curso geometría para profesores 2004

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
NÚCLEO TEMÁTICO: GEOMETRÍA
Profesor: Dr. Raúl F Jiménez, Departamento Matemática, Universidad de Concepción
e-mail: [email protected]
TEMAS (Fijados por el Ministerio de Educación, 2004):
• Rectas: paralelismo, perpendicularidad, secantes, paralelas cortadas por trasversal.
• Triángulos: clasificación, simetrías, ángulos interiores, exteriores, elementos
secundarios. Construcciones geométricas. Teorema de Pitágoras.
• Cuadriláteros: Clasificación, ejes de simetría, ángulos interiores, exteriores,
diagonales.
• Polígonos regulares: Propiedades, construcciones.
• Circunferencia: Propiedades de elementos secundarios.
PRELIMINARES:
1. Notaciones: Puntos: A, B, C,...Rectas: l , l 1, l 2, .., l *, ..Planos: π, π1, π2, ..π*,... Ángulos :
ABC, α, β,...
Con la sigla: AS indicamos actividades sugeridas como una invitación al trabajo personal.
Con la sigla TE indicamos un tema especial para aquellos colegas que deseen profundizar
un poco los temas aquí tratados. Estos temas terminan con el símbolo: ♣
2. Construcciones Geométricas Fundamentales, es decir, construcciones realizadas sólo
con regla y compás. La justificación de estas construcciones se verá más adelante.
a)
Por un punto fuera de una recta, trazar una recta paralela a ella.
P
C
l'
l
A
B
Figura 1.
Construcción: Sea l una recta arbitraria y P un punto cualquiera que no esté en l .
Sea A un punto arbitrario de l . Hacemos AB = AP, luego trazamos dos circunferencias con
centros en B y en P. Estas se cortan en el punto C. Uniendo P con C hallamos la recta l ’
pedida. Esta solución se llama “método del paralelogramo”.
Traduciendo a lenguaje matemático, esta construcción se escribe:
A∈ l arbitrario
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C(A, AP) : B
C(B,AP) ∩ C(P, AP) : C
P (↔) C : l ´.
AS: Busque la solución llamada del “trapecio isósceles”.
b)
Por un punto situado sobre una recta, levantar una perpendicular a ella.
l'
C
l
A
P
B
Figura 2
Construcción:
P∈ l . C(P,r) r arbitrario: A , B
C(A, r’) ∩ C(B,r´), r´ > r: C
P(↔) C: l ´ recta pedida.
c)
Por un punto fuera de una recta, bajar la perpendicular a ella.
P
l
A
B
C
l'
Figura 3
Construcción:
Sea P ∉ l . C(P, r) r arbitrario: A, B
C(A,r) ∩ C(B,r) : C
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C (↔) P: l ´ recta pedida.
d)
Trazar la simetral de un trazo dado.
Recordemos que la simetral de un trazo es la recta perpendicular en su punto medio.
C
B
A
M
D
SAB
Figura 4
Construcción:
Sea r un trazo arbitrario, pero mayor a AB/2.
C(A,r) ∩ C(B,r) : C y D
C(↔) D: SAB
NOTA SAB es el símbolo para indicar “simetral del trazo AB”.
e)
Dimidiar un trazo dado.
Construcción:
Es la misma anterior, dado que por construcción MA = MB.
f)
Trazar la bisectriz de un ángulo dado.
bα
B
C
α
O
A
Figura 5.
Construcción:
Sea α con vértice en O.
C(O,r) r arbitrario: A y B
C(A,r´) ∩ C(B,r´) : C
C(↔)O: bα
NOTA: El símbolo bα indica la “bisectriz del ángulo α”
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AS: Restan otras construcciones como: sumar y restar trazos, dividir trazos en n partes
iguales, copiar ángulos, sumar y restar ángulos, etc.
3. Ángulos: La definición de ángulo requiere cierto cuidado. Algunos autores la definen con
unión de dos rayos que nacen en un mismo punto, pero esta definición produce problemas
cuando debemos medir los ángulos. Damos otra definición: Un ángulo es la figura formada
por la intersección de dos semiplanos.
l'
O
α
l
Figura 6
Observe, que en la figura 6 hay dos semiplanos indicados con líneas de puntos y de rayas y
cuyas rectas límites son l y l ´ y que se cortan en O. Evidentemente, el vértice del ángulo
será O y los lados del ángulo serán semirrectas que nacen en O. Así el ángulo α es la
intersección de ambos semiplanos.
Dados dos ángulos, ellos pueden ser opuestos por el vértice, adyacentes (tienen el vértice
y un lado en común), suplementarios (suman 1800), complementarios (suman 900), son
de la misma naturaleza (ambos agudos o ambos obtusos).
β
α
α
angulos opuestos por el vertice
α
β
angulos adyacentes
β
α
β
angulos complementarios
angulos suplementarios
Figura 7
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RECTAS:
Definición 1. Se dice que dos rectas son paralelas cuando situadas en un mismo
plano, no tienen puntos en común. En caso contrario se dicen secantes.
Definición 2. Se dice que dos rectas son perpendiculares si ellas se cortan según un
ángulo recto.
Definición 3. Se dice que dos rectas son oblicuas si se cortan formando ángulos
distintos.
rectas paralelas
rectas perpendiculares
rectas secantes u oblicuas
Figura 8
Teorema 1. “Por un punto fuera de una recta se puede trazar una paralela a esta recta”
En efecto, por el punto A fuera de la recta l bajamos la perpendicular y sobre ésta
levantamos la perpendicular en A.
Este Teorema está relacionado con el famoso 5 to Postulado de Euclides: “Por un punto fuera
de una recta, se puede trazar una única recta paralela a la recta dada”. Ver Construcciones
Geométricas Fundamentales a)
AS: Averigüe la relación que existe entre este 5
Euclidianas.
to
Postulado y las Geometrías no
Corolario: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
Corolario: Si dos rectas son paralelas, entonces toda recta que corta a una de ellas, cortará
a la otra.
Definición 4. Dos rectas cualesquiera dividen al plano en tres regiones: una interior
limitada por las rectas y dos regiones exteriores.
exterior
l
interior
exterior
l'
Figura 9
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Si estas dos rectas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos: 4 de ellos en el
interior, llamados ángulos internos, y los otros cuatro en el exterior, llamados ángulos
externos. Respecto de la secante, estos ángulos pueden estar al mismo lado, y se llaman
correspondientes, o en lados diferentes y se llaman alternos.
l*
γ
δ
β
l1
α
l2
φ
η
ε
κ
Figura 10
AS: En la Figura 10, identifique cada par de ángulos, según las definiciones anteriores.
Observe que las rectas l 1 y l 2 son dos rectas cualesquiera, es decir, NO pueden ser
paralelas. La razón es sencilla, pero significativa: De las infinitas posiciones de dos rectas en
un plano, la probabilidad que ellas sean paralelas o perpendiculares, es cero. La recta l *, es
por definición secante a ambas, luego las corta.
Si las rectas l 1 y l 2 son paralelas, entonces todo par de ángulos o son iguales o son
suplementarios. Evidentemente, esta propiedad se puede probar si aceptamos que: “dos
ángulos de lados paralelos son iguales o suplementarios”. En este mismo caso, aparecen los
ángulos opuestos por el vértice, que siempre son iguales y tienen bisectrices comunes.
2
1
4
3
5
6
7
l
8
l"
l'
Figura 11.
En la figura 11, l y l ´ son paralelas y l ´´ es secante. Luego, los ángulos 1,2,7 y 8 son
exteriores; 3,4,5 y 6 son interiores. Los ángulos 1,4,5 y 8 son correspondientes, como
también 2,3,6 y 7. Los ángulos 1 y 7 son alternos externos, y como son ambos obtusos, son
iguales. Lo mismo para 2 y 8. Los ángulos 3 y 5 son alternos internos y obtusos, luego son
iguales; lo mismo para 4 y 6 que son agudos.
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AS: Es fácil probar que las bisectrices de los ángulos adyacentes y suplementarios, son
perpendiculares. Inténtelo, ayudándose de la figura 12.
bβ
bα
β
α
Figura 12
Como caso particular se tiene: “Dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre
sí “. Esta propiedad puede considerarse como postulado.
Observe el recíproco de esta última propiedad: “Si dos rectas son paralelas, toda recta
perpendicular a una de ellas, será perpendicular a la otra”.
TRIANGULOS
Definiciones previas:
Recordemos que una poligonal o línea quebrada es una línea formada por una sucesión de
trazos y/o de semirrectas, como muestra la Fig. 13
Figura 13.
y un polígono es una poligonal cerrada, como muestra la Fig. 14.
Figura 14.
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Las poligonales y por lo tanto, los polígonos pueden ser convexos o cóncavos. Decimos
que una poligonal es convexa si al prolongar cualquiera de sus lados, toda la poligonal
pertenece al mismo semiplano, y evidentemente un polígono convexo estará formado por
una poligonal de este tipo, como muestra la Figura 15
Figura 15. Poligonal convexa y polígono convexo.
Los estudiantes pueden visualizar la convexidad poniendo una regla sobre uno los lados ya
sea de la poligonal o del polígono, y observar que toda la figura queda a un solo lado de la
regla.
En caso contrario, hablamos de poligonales y polígonos cóncavos.
Otra clasificación se refiere a si los polígonos son simples o estrellados. Un polígono es
simple cuando la poligonal no pasa dos veces por el mismo punto, y es estrellado cuando
dos lados no consecutivos se cortan, como puede observarse de la Figura 16.
E
C
D
E
C
F
D
A
A
B
Figura 16. Polígono simple y polígono estrellado.
Definición 5. Un triángulo es un polígono de tres lados.
Notación: ABC
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B
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C
B
A
Figura 17.
Si ABC son los vértices, entonces denotamos por ABC el triángulo de la Figura 17. Los
lados se denotan por los 2 vértices que lo limitan, o bien con letras minúsculas a, b y c ,
opuestos a los respectivos vértices A, B y C ,. Los ángulos se denotan por los vértices, si no
hay confusión, o con las letras griegas α, β, γ .
•
•
Todo triángulo es un polígono simple y convexo.
Todo triángulo posee seis elementos principales: tres lados y tres ángulos.
Clasificación de triángulos:
1. Según sus lados:
Definición 6. Un triángulo se dice isósceles si tiene dos lados iguales; se dice
equilátero si sus tres lados son iguales: y escaleno si sus tres lados son desiguales.
triangulo isosceles
triangulo equilatero
triangulo escaleno
Figura 18. Clasificación de los triángulos según sus lados.
Los ángulos iguales de un triángulo isósceles se llaman basales y el tercer ángulo de llama
ángulo de vértice y se denota por γ.
C
AB=CB
angulos
basales
base
angulo
del vertice
B
A
Figura 19: Triángulo isósceles de base AC
2. Según sus ángulos:
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Definición 7: Un triángulo se dice obtusángulo si tiene un ángulo obtuso; se dice
acutángulo si los tres ángulos son agudos y rectángulo si uno de sus ángulos es recto.
triangulo obtusangulo
triangulo rectangulo
triangulo acutangulo
Figura 20.Clasificación de los triángulos según sus ángulos
Evidentemente, todo triángulo sólo podrá tener un ángulo agudo o bien un ángulo recto. En el
caso del triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros
dos lados se llaman catetos.
Elementos secundarios:
Todo triángulo tiene tres alturas, tres bisectrices interiores, tres simetrales, tres transversales
de gravedad y tres medianas. Todas ellas se llaman transversales.
Definición 8. Se llama altura al trazo perpendicular bajada desde un vértice al lado
opuesto.
Notación: ha, hb, hc , son las alturas respecto de los lados a, b y c.
Las tres alturas de todo triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
C
H = ortocentro
b
a
H
ha
hb
hc
A
q
D
B
c
p
Figura 21. Las alturas en un triángulo cualquiera.
AS: Considere un triángulo rectángulo y otro obtusángulo. ¿Dónde queda el ortocentro en cada
caso?.
En todo triángulo, hc divide al lado AB = c en dos trazos q y p. Si D es el pie de la
perpendicular, entonces q = AD y p = DB. Ver figura 21.
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Definición 9. Se llama bisectriz interior a las bisectrices de los ángulos α, β y γ.
Notación: bα, bβ , bγ.
C
bc
a
b
bb
ba
c
A
B
Figura 22: Las bisectrices en un triángulo cualquiera
La bisectriz del ángulo γ divide al lado c en dos trazos v y u. Si la intersección de bγ y c es D,
entonces v = AD y u = DB.
Las tres bisectrices interiores se cortan en un punto llamado inscentro, y es el centro O de la
circunferencia inscrita, es decir, la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo
y cuyo radio se detona por ρ.
TE:
RELACIONES EN UN TRIÁNGULO:
C
z
perímetros y semiperímetros
bγ
x
bα
ρ
z
bβ
y
A
x
y
2s=a+b+c=2x+2y+2z
B
s=x+y+z . Luego x=s-(y+z) , pero y+z=a, Por lo tanto
x=s-a y análogamente z=s-c y=s-b
TEOREMA: "En todo triángulo, la distancia entre un vértice y el punto de tangencia
de la circunferencia inscrita es igual a la diferencia entre el semiperímetro y el lado
opuesto al vértice"
Figura 23. La circunferencia inscrita en un triángulo cualquiera. ♣
Definición 10. Se llama simetral en un triángulo cualquiera a la recta perpendicular a
cada lado en su punto medio.
Notación: Sa, Sb, Sc.
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Las tres simetrales de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado circunscentro que
corresponde al centro de la circunferencia circunscrita, y cuyo radio se denota por r. Esta
circunferencia para por los tres vértices del triángulo.
C
Sa
Sb
A
B
Sc
Figura 24. Circunferencia circunscrita.
AS: Dibuje un triángulo rectángulo y otro obtusángulo. Determine el circunscentro en cada
caso y diga donde queda.
Definición 11. Se llama transversal de gravedad al trazo que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto.
Notación: ta, tb, tc.
C
G
ta
A
N
a
tc
bL
tb
cM
B
Figura 25. Las transversales de gravedad
Las tres transversales de gravedad de todo triángulo se cortan en un único punto baricentro
G o centro de gravedad. Este nombre “centro de gravedad” se debe a que si el triángulo
fuese un objeto material, entonces el centro de gravedad físico o centro de masa de ese
objeto coincide con G.
En la figura 25, observe que si ta es la transversal de gravedad respecto al lado a, entonces
NB = NC, y recíprocamente: si NB = NC entonces AN = ta
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AS: Investigue las propiedades de las transversales de gravedad.
Definición 12. Se llama mediana al trazo que une los puntos medios de los lados del
triángulo.
C
M
N
L
A
B
Figura 26. Las medianas de un triángulo cualquiera.
AS: Investigue las propiedades de las medianas.
NOTA 1: En francés se llama médiane a la transversal de gravedad, y médiatrice a la
simetral.
NOTA 2: Los ángulos α, β y γ del triángulo se llaman ángulos interiores del triángulo, para
distinguirlos, cuando así sea necesario, de los ángulos exteriores de ese mismo triángulo.
Este alcance se debe a la siguiente
Definición 13. Se llaman ángulos exteriores de un triángulo a aquellos formados por
un lado y la prolongación del otro.
Notación: δ, ε, φ, en cualquier orden
φ
δ
C
ε
B
A
Figura 27. Los ángulos exteriores en un triángulo cualquiera.
TE: Las bisectrices de los ángulos exteriores son centros de las circunferencias exinscritas,
es decir, circunferencias tangentes a los lados del triángulo y a sus prolongaciones
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T
n
C
Oa
n a
b
ρ
a
m
c
A
B
m+n=a
AS+AT=m+n+b+c=a+b+c =2s
AS=c+m, AT=b+n
m
S
AS=s y AT = s
AS=AT
Figura 28 Una circunferencia exterior a un triángulo cualquiera.
Complete la figura anterior, dibujando las otras dos circunferencias exinscritas, una los
centros y observe atentamente la figura obtenida. ¿Qué puede afirma sobre la figura ?♣
Propiedades fundamentales:
a) Sobre los ángulos
Teorema 2. “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 1800”
NOTA 3: Se entiende que estamos sumando las medidas de los ángulos y que la unidad de
medida es un ángulo que está contenido 360 veces en la circunferencia. A veces decimos un
recto, y escribimos 1R, para indicar un ángulo de 900. Luego, los ángulos de 1800 se pueden
indicar como 2R.
Hipótesis:
H
ABC cualquiera.
α, β, γ ángulos interiores
Tesis:
T
α + β + γ = 2R
Demostración: D
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C
α∗
γ
l
β∗
α
β
A
B
Figura 29.
Por un vértice cualquiera, digamos C, trazamos una recta l paralela al lado opuesto. Se
obtienen los ángulos α* y β*, como indica la Figura 29. Evidentemente
α* + γ + β* = 2R
Pero, α = α* pues son alternos internos entre paralelas. Por la misma razón β = β*. Luego,
reemplazando en la igualdad anterior, resulta la tesis.
Corolarios: i) En todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos suman 1R.
ii) En todo triángulo rectángulo isósceles, los ángulos agudos miden 450
iii) Cada ángulo de un triángulo es el suplemento de los otros dos
iv) Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 600.
v) Cada ángulo basal de un triángulo isósceles mide 900 - γ/2.
Teorema 3. “Dos ángulos de la misma naturaleza con sus lados respectivamente
perpendiculares, son iguales”.
B
α
D
1
A
2
β
C
Figura 30. Ángulos de lados perpendiculares
H:
αy
β de la misma naturaleza (agudos en la Fig.30)
AB ⊥ BC , AD ⊥ DC
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T
α=
β
D
1=
2 (opuestos por el vértice)
∴
α = 900 –
1
β = 900 –
1
α=
β.
Teorema 4. “Dos ángulos de distinta naturaleza con sus lados respectivamente
perpendiculares, son suplementarios”.
AS: Escriba la hipótesis, tesis y haga la demostración.
Teorema 5. “El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes con él”.
C
γ
δ
β
α
A
B
Figura 31.
H
δ un ángulo exterior cualquiera
α y β ángulos interiores no adyacentes a δ.
T
δ =α+β
D
γ + δ = 1800
α + β + γ = 1800
∴γ+δ=α+β+γ
∴ δ = α + β.
AS: Piense Ud. en otra demostración.
NOTA 4: Observe que no hemos usado el símbolo
para indicar el ángulo.
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Corolario: “El ángulo exterior en el ángulo del vértice de un triángulo isósceles es el doble
del ángulo basal”
Teorema 6. “La suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera es 3600”
C
φ
γ
δ
α
β ε
B
A
Figura 32.
H
δ, ε, φ ángulos exteriores
T
δ + ε + φ = 3600
D
α + δ = 1800
β + ε = 1800
γ + φ = 1800
∴ α+β+γ+δ+ε+φ = 5400
Pero, α + β + γ = 1800
∴δ + ε + φ = 3600.
AS: Piense en otra demostración.
b) Sobre los lados y ángulos
Teorema 7. “En un triángulo cualquiera:
• Si dos lados son iguales, entonces los ángulos opuestos son iguales
• Si dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos son iguales”
AS: -Intente una demostración indicando claramente la hipótesis y la tesis
- Redacte el teorema recíproco
Corolarios: i) En un triángulo escaleno todos los ángulos son diferentes
ii) En un triángulo isósceles hay dos ángulos iguales
iii) En un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales
iv) En un triángulo rectángulo cada cateto es menor que la hipotenusa
v) En un triángulo obtusángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
AS: Enuncie los posibles recíprocos.
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c) Sobre los lados
Teorema 8. “Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos”
D
C
ψ
B
A
Figura 33
H
ABC cualquiera
T
AB < AC + CB
D
Prolonguemos AC más allá de C : AC (→)C.
Hacemos CD = CB. Luego CBD triángulo isósceles. Así
Pero ψ < ABD
∴ D < ABD
En triángulo ABD : AB < AD y así AB < AC + CB.
D=
ψ,
Corolario En todo triángulo, un lado cualquiera es mayor que la diferencia de los otros dos.
Escolio: Si a, b , c representan los lados de un triángulo, ha de tenerse; a < b +c, a > b-c,
etc.
NOTA 5: Para poder construir un triángulo dados los tres lados, es menester que cada uno
de ellos sea menos que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Estas
condiciones se cumplirán si el trazo mayor es menor que la suma de los otros dos y el trazo
menor es mayor que la diferencia de los dos. Sabiendo esto, Ud. puede saber si tres trazos
cualesquiera pueden formar un triángulo o no. Intente enseñar esto a sus alumnos haciendo
varios ejemplos con tres trazos talque se cumpla y no se cumpla la propiedad. Puede servirle
para descubrir “mentes matemáticas” en estudiantes pequeños...
Construcciones de triángulos
Este es un tema apasionante y sin embargo tan olvidado en la enseñanza de la Geometría a
todo nivel. Sin duda cada problema constituye un desafío a nuestra capacidad de análisis y
síntesis, poniendo a prueba toda nuestra imaginación y conocimientos previos.
Usaremos el método analítico para resolver geométricamente algunos problemas sencillos
de construcción de triángulos. De este modo, distinguimos 4 etapas principales: el análisis,
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la construcción propiamente tal, la demostración y la discusión. Sin pretender dar reglas,
damos las características fundamentales de cada etapa.
Análisis: Tal vez la etapa más importante. Suponemos el problema resuelto dibujando una
“figura de análisis”, donde hemos colocado los elementos conocidos o datos del problema. A
veces es necesario construir figuras auxiliares para lograr la meta final.
Construcción: Como el nombre lo indica, es el proceso de construir la figura pedida,
siguiendo la ruta que la etapa anterior nos da. Como recomendación general, debemos tratar
que los datos sean parecidos a los datos ubicados en el análisis. En esta etapa es importante
saber algunas técnicas como copiar ángulos, trazar paralelas, perpendiculares, etc.
Demostración: En esta etapa debemos probar que la solución encontrada es
verdaderamente la solución del problema, es decir, cumple con las restricciones impuestas.
Discusión: En muchos problemas de construcción es conveniente discutir el número de
soluciones posibles. En general, esta etapa pone a prueba la solidez de los conocimientos de
nuestros estudiantes.
Regla de oro:
Para construir un triángulo cualquiera se necesitan tres datos independientes entre sí,
de los cuales, al menos uno, debe ser lineal.
Si los triángulos a construir cumplen ciertas condiciones previas, entonces el número de
datos puede disminuir. En efecto, si nos piden un triángulo isósceles o un triángulo
rectángulo, bastarán dos datos, y si nos piden construir un triángulo equilátero, bastará un
dato: el lado !
NOTACIÓN: La frase “construir un triángulo dados:” se denota por ∆:
Problemas resueltos:
1. Problema previo. Dados dos ángulos de un triángulo, hallar el tercer ángulo.
SOL. Sean α y β los ángulos dados:
β
α
Sobre una recta cualquiera (que por razones estéticas la dibujamos horizontal), copiamos
ambos ángulos con vértice común. El suplemento de esta suma α + β será el ángulo pedido
γ:
γ
β
α
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2. ∆: α, β , c
c
C
α
β
α
A
β
c
B
Este es un problema demasiado sencillo como para hacer un análisis. La construcción es así:
sobre una recta cualquiera (horizontal por razones estéticas), copiamos el trazo c
determinándose los extremos A y B del triángulo pedido. En A copiamos el ángulo α y en B
copiamos el ángulo β. Donde se corten los lados libres, encontramos C.
AS: Escribir esta construcción “matemáticamente”.
Nada hay que probar, y la discusión está relacionada con la NOTA 5.
Ejercicios:
1) ∆ a,.b, c 2) ∆: a, β, c 3) ∆ rectángulo: la hipotenusa, un cateto 4) ∆ isósceles : la base y el
ángulo basal. 5) ∆: c, γ, hc 6) ∆: c, γ, tc 7) ∆ : c, γ, hc 8) ∆: c, ha, hb 9) p, q, γ 10) ∆: u, v, γ
11)∆ : a+b+c, hc, γ
NOTA 6: La construcción de triángulos dados un lado y el ángulo opuesto se hace utilizando
el "arco capaz" de ese ángulo, materia que veremos más adelante.
TE : ∆ s, α, hc:
Análisis: De la figura 28 8, deducimos que podemos dibujar el cuadrilátero ASOaT dado que:
AT = AS = s (s = semiperímetro), SAT = α ; OaT ⊥ AT y Oa ⊥ AS. El vértice C de
encuentra a distancia hc del lado AS, luego bastará trazar una paralela a AS a distancia hc, y
tendremos un lugar geométrico para C. La circunferencia con centro en Oa determina el
punto de tangencia R, dado que CT = CR. Prolongando CR más allá de R, encontramos B.
Haga Ud. la construcción siguiendo el camino indicado por el análisis
Ejercicios:
1) ∆: s, ρa, β 2) ∆: s-b, ρa, a (observe la figura propuesta en TE de la página 8) 3)∆: s-c, ρ, b
4) ∆: s-b, ρ, ρc 5) ∆: a+b+c, ρa, hc 6) s-c, γ, bγ.
Relaciones métricas en triángulos:
Definición 14. Se llama relación métrica entre ciertas longitudes, a toda relación
entre los números que miden esas longitudes respecto de una misma unidad de longitud.
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NOTACIÓN : Para abreviar, usamos los mismos símbolos: a, b, c, ....para indicar los lados y
sus respectivas medidas o longitudes. El producto de dos longitudes será ab y representa al
área de un rectángulo de lados a y b. Evidentemente a2 representará el área de un cuadrado
de lado a.
Definición 15. Se dice que una longitud a es media proporcional geométrica entre
otras dos b y c cuado:
b a
=
a c
o bien a2 = bc.
Ahora estudiaremos las relaciones métricas determinadas en un triángulo por sus alturas.
Teorema 9. “En todo triángulo rectángulo:
1. Cada cateto es media proporcional geométrica entre su proyección sobre la
hipotenusa y la hipotenusa entera.
2. La altura respecto de la hipotenusa, es media proporcional geométrica entre las
proyecciones de los catetos sobre ella”.
A
b
C
c
h
m
n
D
B
a
Figura 35
H ∆ ABC recto en A
AD ⊥ CB
T
1) b2 = am 2) h2 =mn
D 1) Los triángulos rectángulos ABC y ADC son semejantes, pues tiene dos ángulos iguales,
luego sus lados son proporcionales, es decir, b2 = am.
2) Los triángulos ADC y BDA son semejantes y así h2 = mn.
Corolario “En un triángulo rectángulo, los cuadrados sobre los catetos son entre sí como sus
proyecciones sobre la hipotenusa”
Es decir,
b2 m
=
c2 n
NOTA 7: Este teorema 9 se conoce como Teorema de Euclides, (300 AC)
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Teorema 10 (Teorema de Pitágoras)
“El cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos
sobre los catetos”
De la misma Fig.35, deducimos que b2 = am y c2 = an. Sumando estas igualdades, resulta
a2=c2+b2.
AS Busque otras demostraciones del Teorema de Pitágoras. ¿Cómo trazaban las bases de
las pirámides los antiguos egipcios?
Teorema 11. (Teorema General de Pitágoras)
“En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces el producto del segundo lado por la
proyección del tercero sobre el segundo”
B
B
a
C
c
hh
m
c
h
n
D
a
A
D
b
m
C
b
A
Figura 36.
En efecto, estando el ángulo agudo en A, tenemos: a2 = h2+ m2 o bien h2 = c2-n2 . Además
m2=(b - n)2 = b2+ n2 - 2bn. Luego, a2 = b2+ c2 – 2bn.
AS: Para este teorema 11, especifique claramente la hipótesis y la tesis. complete la
demostración justificando cada paso.
Teorema 12. “En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más dos veces el producto del
segundo lado por la proyección del tercero sobre el segundo”.
B
a
h
c
n
C
b
A
D
m
Figura 37.
22
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En efecto, estando en A el ángulo obtuso, tenemos a2 = h2 + m2; h2 = c2 – n2. Además, m2 =
(b + n)2 = b2 + n2 + 2bn. Luego, a2 = b2 + c2 + 2bn.
AS: Para este teorema 12 especifique claramente la hipótesis y la tesis. Complete la
demostración justificando cada paso.
NOTA 8: Los tres teoremas anteriores pueden resumirse así: Según como sea un ángulo de
un triángulo, agudo, recto u obtuso, el cuadrado construido sobre el lado opuesto será
inferior, igual o superior a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. ¿Cómo
redactaría Ud. el teorema recíproco?.
TE: Averigüe las relaciones métricas dadas por las transversales de gravedad y las
bisectrices.
AS: Calcular las alturas de un triángulo en función de sus lados:
CUADRILÁTEROS
Definición 16. Se llama cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados.
Todo cuadrilátero tiene dos diagonales, que son los trazos que unen los vértices opuestos.
Evidentemente un cuadrilátero podrá ser convexo, cóncavo o estrellado. Nos interesan, por
ahora, sólo los convexos.
Teorema 13. “La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 4R”
C
δ
D
γ
ε
β
B
φ α
A
Figura 38
Intente una demostración basada el la figura 38, donde hemos trazado una diagonal.
Corolarios i) Si los cuatro ángulos son iguales, entonces cada ángulo es 1R
ii) Si dos ángulos son suplementarios, los otros dos también son suplementarios.
Casos especiales:
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Paralelogramo: cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Base de un paralelogramo
es cualquiera de sus lados, y altura es la distancia en la base y el lado opuesto.
C
D
h = altura
A
B
P
Figura 39. Un paralelogramo cualquiera.
Si en la figura 39, ABCD es un paralelogramo, entonces AD // BC y AB // DC. Además, si
elegimos AB como base, entonces si DP ⊥ AB, entonces DP = altura del paralelogramo
NOTACIÓN: A veces el símbolo # indica paralelogramo.
Rectángulo: cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son iguales y por lo tanto, son rectos.
Rombo: cuadrilátero cuyos cuatros lados son iguales.
Cuadrado: cuadrilátero cuyos cuatros lados y cuatro ángulos son iguales
Trapecio: cuadrilátero con solo dos lados paralelos, llamados bases; los lados no paralelos
se llaman lados.
rectangulo
cuadrado
rombo
trapecio
Figura 40. Tipos de cuadriláteros especiales.
Un trapecio es rectángulo si los dos lados paralelos son perpendiculares a un tercero.
Un trapecio es isósceles cuando los lados no paralelos son iguales.
AS . Recorte un cuadrado en una hoja de cartulina y haga el siguiente experimento: Muestre
primero el cuadrado en la forma A (figura 41) y pregunte cómo se llama esa figura?
A
B
Figura 41 Un sencillo experimento...
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NO se extrañe que algunos digan es un rombo!. Luego, Ud. muestre la misma figura en la
forma B. Y la respuesta será un cuadrado!. Pregunte a un estudiante ¿Cómo te llamas? ....y
acostado ¿Cómo te llamas?.
Propiedades de los paralelogramos:
Teorema 14. “ En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales”
D
α
C
β∗
β
α∗
A
B
Figura 41.
En efecto, son ángulos de la misma naturaleza y de lados paralelos.
AS Escriba Ud. todos los pasos aprendidos para probar este teorema.
NOTA 9: En un # dos ángulos consecutivos son suplementarios ¿porqué?.
Teorema 15 (recíproco del teorema 14). “Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son
iguales, es un paralelogramo”.
Teorema 16. “ En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales”
AS: Demuestre este teorema y redacte el teorema recíproco. Ayúdese de los triángulos ABD
y DBC y de sus ángulos, según muestra la figura 41..
Teorema 17. “Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un paralelogramo“
En efecto, de la Fig 41. si el cuadrilátero tiene lados AB y CD paralelos e iguales, entonces la
diagonal BD divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes con ángulos iguales β y β*,
comprendidos entre lados iguales. Así, los ángulos α y α* son iguales también y por lo tanto,
las rectas AD y BC son paralelas.
AS Formalice esta demostración.
Teorema 18. “En todo paralelogramo las diagonales se dimidian”.
D
C
Q
A
B
Figura 42
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En efecto, Sea ABCD el paralelogramo cuyas diagonales AC y BD se cortan en Q. Los
triángulos ABQ y DQC son congruentes, luego sus lados correspondientes son iguales; se
tiene entonces que QA = QC y QB = QD.
AS: Enuncie y demuestre el teorema recíproco del teorema 18.
Propiedades de los rectángulos:
Teorema 19: “Todo rectángulo es un paralelogramo cuyas diagonales son iguales”
C
D
B
A
Figura 43
Sea ABCD el rectángulo.
Este cuadrilátero es un paralelogramo pues sus ángulos opuestos son iguales. Las
diagonales son iguales pues los triángulos ABC y ABD son congruentes ¿porqué?. Luego
sus diagonales son iguales.
AS: Enuncie y demuestre el teorema recíproco del teorema 19.
Propiedades de los rombos:
Teorema 20: “Todo rombo es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares”
D
A
Q
C
B
Figura 44
Sea ABCD de la figura 44 cuyas diagonales se cortan en Q. Esta figura es un paralelogramo
pues sus lados opuestos son iguales. Las diagonales se cortan en 1R pues los puntos B y D
equidistan de los puntos A y C, y así la recta que sostiene BD es simetral de AC y luego son
perpendiculares.
AS: Enuncie y demuestre el teorema recíproco del teorema 20.
Propiedades del cuadrado:
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Teorema 21: “Todo cuadrado es un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares e
iguales”.
AS: Demuestre este teorema, enuncie y demuestre el teorema recíproco.
Propiedades del trapecio:
Teorema 22: “La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralela a las
bases y es igual a su semisuma”.
D
C
F
E
G
B
A
Figura 45.
Sea ABCD el trapecio de la figura 45, con diagonal BD y sean E y F los puntos medios de los
lados AD y BC respectivamente. Como G dimidia BD, EG y GF son medianas de los
triángulos ABD y DCB respectivamente, luego EF // AB // DC. Continúe Ud. con la
demostración y formalícela.
POLÍGONOS REGULARES
Definición 17 Se llama polígono regular a todo polígono convexo que tiene sus
lados y sus ángulos iguales.
Todo polígono regular es equilátero y es equiángulo. Por ejemplo el triángulo equilátero y el
cuadrado.
No son polígonos regulares ni el rombo ni el rectángulo, aunque el primero sea equilátero y el
segundo sea equiángulo.
Definición 18 Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos
los vértices están en la circunferencia y los lados son cuerdas de la misma.
En este caso se dice que la circunferencia esta circunscrita al polígono.
En los siguientes teoremas demostraremos que los polígonos regulares existen y su
construcción se reduce a dividir la circunferencia en n partes iguales (ciclotomia, no confundir
con "ciclotimia"). Evidentemente hay infinitos polígonos regulares.
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Teorema 23. “Si dividimos una circunferencia en n (n>2) partes iguales y se unen los puntos
consecutivos, el polígono inscrito resulta ser regular”
A
E
B
O
D
C
Figura 46
Supongamos que la circunferencia está dividida en n partes iguales, luego el ángulo del
centro mide 3600 / n. Sea A, B, C,... los puntos de división consecutivos. El polígono es
regular. En efecto, los triángulo con vértices en O y lados las cuerdas AB, BC, ...son todos
triángulos isósceles y congruentes entre sí. Luego las cuerdas son iguales entre sí y el
polígono es regular. La figura 46 contempla el caso n = 5.
Definición 19. La perpendicular baja del centro de la circunferencia a la cuerda se
llama apotema del polígono regular de n lados, y se denota por ρn.
La apotema dimidia la cuerda y si prolongamos la apotema, éste corta la circunferencia en el
punto medio del arco respectivo. De este modo obtenemos el polígono regular de 2n lados.
A
E
B
O
C
M
ρ
5
P
D
N
Figura 47
Basta unir P con D y P con C, y análogamente para los otros lados. Ver figura 23 para el
caso n = 5.
Si por el punto P trazamos una tangente a la circunferencia circunscrita (problema de
construcción geométrica que veremos mas adelante), que será perpendicular al radio de
contacto OP, y prolongamos los trazos OC y OD, encontramos los puntos M y N, que son los
vértices del polígono del mismo número de lados, pero ahora la circunferencia es inscrita a
este nuevo polígono. En la figura 47 dibujamos un pentágono regular inscrito, cuyo lado se
denota por l 5 . Al trazar la tangente MN, obtenemos el pentágono regular circunscrito, cuyo
lado se denota por L5.
Esto se resume en el siguiente
28
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Teorema 24. “Si una circunferencia se divide en n partes iguales (n>2) y por los puntos de
división trazamos tangentes limitadas entre sí, el polígono circunscrito que se forma es
regular”
AS: Demuestre este teorema. Enuncie el recíproco y pruébelo.
Inscripción de polígonos regulares
Los siguientes problemas son construcciones geométricas:
Problema 1. Construir un cuadrado inscrito en una circunferencia:
C
ρ4
D
B
O
l4
A
Figura 48.
Solución: Se traza una circunferencia de radio y centro arbitrario y luego se trazan dos
diámetros perpendiculares. Uniendo los extremos A, B, C y D, resulta la figura pedida.
Además, si se baja la perpendicular desde el centro al lado l 4, obtenemos la apotema ρ4.
Problema 2. Construir un octógono regular inscrito en una circunferencia.
Solución: En la misma figura anterior, prolongando ρ4 obtenemos un punto sobre la
circunferencia que dimidia el respectivo arco. La cuerda así obtenida será l 8.
AS . Justifique esta construcción.
Problema 3. Generalizar la construcción de polígonos regulares inscritos a 16, 32, 64,..lados.
Solución: Las respuestas son evidentes.
AS :Constrúyalas !
Problema 4. Construir un hexágono regular inscrito.
29
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Figura 49.
Solución: A partir de un punto cualquiera de la circunferencia, copiamos el radio como
cuerda, obteniéndose así 6 puntos equidistantes que conforman los vértices del hexágono
regular inscrito.
AS: Justifique esta construcción, trace la apotema ρ6 y calcule su valor en función del radio r
de la circunferencia.
Problema 5. Construir un triángulo equilátero.
Solución: Con la misma figura 49, una punto por medio y piense.
Problema 6. Construir un dodecágono regular inscrito.
AS : Hágalo!
Problema 7. Construir un pentágono regular inscrito.
Para resolver este problema, debemos resolver antes el siguiente problema:
División áurea o divina: Se trata de dividir un trazo en dos segmentos de modo que el
trazo mayor sea media proporcional geométrica entre el trazo completo t el segmento menor.
Sea AB el trazo y supongamos que el punto X lo divide armónicamente, entonces
A
X
B
AB AX
=
AX BX
¿Cómo hallar un punto X tal cumpla con la proporción anterior?: Fácil, En uno de los
extremos del trazo se traza una perpendicular de longitud la mitad del traza AB. Digamos
BO = 21 AB
Luego se traza la circunferencia C(O, OB). Se une A con O y se prolonga más allá de O.
Hallamos C y D sobre la circunferencia. Hacemos centro A con radio AC y hallamos X..
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D
O
C
A
B
X
Figura 50; División armónica de un trazo
La demostración que justifica esta construcción se basa en el teorema de la recta y la
secante (ver Teorema 30).
AS Ahora es posible construir el pentágono regular inscrito, pues el lado
mayor obtenido al dividir el radio en sección áurea. Hágala.
l 10
es el trazo
AS Problema 8. Construir un decágono regular inscrito.
TE: Averigüe la construcción aproximada de polígonos regulares de n lados, con n>4. Un
caso interesante es el del heptágono. Averigüe la construcción de polígonos estrellados y
estudie sus propiedades.
AS: Calcule las longitudes de l n , Ln y ρn en función del radio r de la circunferencia
circunscrita, para n = 3, 4, 5, 6, 8,..
LA CIRCUNFERENCIA
Definición 20 Se llama circunferencia a todos los puntos del plano que equidistan de
otro punto llamado centro. La distancia se llama radio.
En una misma circunferencia todos los radios son iguales y dos circunferencias serán
congruentes si tienen el mismo radio.
Una circunferencia es una curva cerrada y encierra una región convexa llama círculo.
El trazo que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se llama diámetro.
Si los trazos no pasan por el centro, se llama cuerdas. Toda cuerda determina sobre la
circunferencia una porción de curva llama arco.
Definición 21 Se llama ángulo del centro a todo ángulo formado por dos radios.
Todo ángulo del centro intercepta sobre la circunferencia un arco bien determinado llamado
arco comprendido o subtendido. El arco restante para formar la circunferencia se llama arco
capaz.
31
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arco capaz
O
α
B
A
arco subtendido
Figura 51. Un ángulo del centro y su respectivos arcos
Lema 25 “En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes
i) Dos ángulos del centro iguales interceptan arcos iguales
j) Si un ángulo del centro es la suma de otros dos, entonces el arco
interceptado por el primero será la suma de los arcos interceptados por los
otros dos.
AS: Discuta con sus colegas la propiedad anterior
Definición 22 La parte del círculo limitada por un arco y la cuerda correspondiente de
llama segmento. La parte del círculo limitada por dos radios se llama sector.
segmento
sector
Figura 52
Lema 26 “En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes dos arcos iguales
subtienden cuerdas iguales”
AS: Discuta con sus colegas la propiedad anterior. Enuncie el recíproco y discuta con sus
colegas.
Posiciones relativas de una circunferencia y una recta:
Una recta y una circunferencia en un mismo plano pueden ocupar sólo tres posiciones
mutuamente excluyentes: O la distancia del centro de la circunferencia a la recta es menor
que el radio, o es igual al radio, o es mayor al radio.
32
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l
l
l
P
P
P
r
r
r
O
O
O
Figura 53
En efecto, la distancia de la recta l al centro O de la circunferencia: PO, puede ser menor
que el radio r, igual al radio r o mayor que el radio r. Observe que siempre OP ⊥ l .En el
primer caso se dice que la recta l es secante a la circunferencia, en el segundo caso, se
dice tangente y el radio OP se llama radio de contacto, y en el tercer caso se dice exterior.
Teorema 27 “Para que una recta sea tangente a una circunferencia es necesario y suficiente
que sea perpendicular al radio de contacto”.
AS Haga el gráfico que corresponde a la siguiente demostración: En efecto, sea A ∈ l otro
punto, que será exterior a la circunferencia. Por ser OP perpendicular a l y OA oblicua, se
tendrá OA > OP y así A estará fuera de la circunferencia. Luego, no teniendo l otro punto en
común con la circunferencia que P, será tangente. Sólo en este caso la distancia del centro
será igual al radio r.
Propiedades de las cuerdas y los diámetros
Teorema 28 “Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos que
subtiende en dos partes iguales”
D
O
E
A
B
C
Figura 54
En efecto, sea DC el diámetro perpendicular a la cuerda AB (figura 54). Trazamos los radios
OA y OB y así EA = EB, Por lo tanto DC es la simetral del trazo AB y así C equidista de A y
de B, es decir, AC = CB. Si las cuerdas son iguales, los arcos que subtienden son iguales
también AC = CB y AD = DB .
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Corolario: Dos diámetros perpendiculares entre sí dividen la circunferencia en cuatro partes
iguales, llamados cuadrantes.
Escolio: El diámetro CD (eje de simetría de la cuerda AB, como veremos mas adelante), es
una recta que cumple las siguientes 5 condiciones, tales que verificadas dos de ellas, se
verifican las otras tres:
1. Es perpendicular a la cuerda
2. Pasa por el punto medio de ella
3. Pasa por el centro de la circunferencia
4. Divide en dos partes iguales el arco menor subtendido por la cuerda
5. Divide también en dos partes iguales el arco supletorio, que con el anterior completan
la circunferencia.
NOTA: Como con 5 elementos se pueden formar 10 combinaciones binarias, el teorema
completo abarcaría 10 proposiciones distintas, cuyas demostraciones serán iguales a la
anterior. Discuta con sus colegas estas afirmaciones.
Relaciones entre cuerdas y sus distancias al centro
Teorema 29 “En una misma circunferencias o en circunferencias congruentes:
i) dos cuerdas iguales equidistan del centro
j) si no son iguales, la mayor está más cerca del centro que la otra
E
A
H
G
B
I
O
D
F
C
Figura 55
H
AB = CD
BG > AB
OE ⊥ AB, OF ⊥ CD, OH ⊥ BG
T
OE = OF
OF > OH
Trazamos radios BO y OD. ∆ rectángulo OEB ≅ ∆ rectángulo OFD. Luego OE = OF.
BG > CD ⇒ BG > CD . Luego, dentro de la cuerda BG podemos tomar un arco
AB = CD . En este caso la cuerda AB será igual a la cuerda CD y OE=OF. Pero E está en el
segmento BAG, y por lo tanto la recta OE cortará necesariamente a BG en un punto I, y se
D
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tendrá OH < OI, por ser OH perpendicular y OI oblicua. Con mayor razón, OH < OE y
también OH < OF.
Teorema 30 (recíproco) “En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:
i) si dos cuerdas equidistan del centro, son iguales
j) si dos cuerdas no equidistan del centro, la más próxima al centro es la mayor”
Corolarios i) Todas las curdas iguales de una misma circunferencia son tangentes a otra
circunferencia concéntrica, y cuyo radio es la distancia de las cuerdas al centro de la
circunferencia.
ii) De todas las cuerdas que pasan por un punto interior a una circunferencia, la
mayor es el diámetro que pasa por dicho punto y la menor es la perpendicular trazada por
dicho punto a este diámetro.
AS: Discuta las posibles demostraciones de estos resultados.
Teorema 31 “En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre paralelas son
iguales”
AS: Haga la demostración, considerando los casos: las rectas son secantes, una es secante
y la otra es tangente, y las dos son tangentes
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias situadas en un mismo plano pueden tener:
a) Tres puntos en común, entonces coinciden
b) Dos puntos en común, entonces son secantes. El trazo que une estos puntos se llama
cuerda común.
c) Un punto en común, entonces son tangentes. Este punto común se llama punto de
contacto o de tangencia y la recta que pasa por el se llama tangente común. Si las
circunferencias están a distinto lado de esta tangente común, se dice que son
tangentes exteriores, sino, tangentes interiores.
d) Cero puntos en común, entonces son exteriores cuando todos los puntos de una son
exteriores a los puntos de la otra; y son interiores cuando todos los puntos de una
están en el interior de la otra.
En todos estos casos la recta que une los centros se llama central.
Teorema 32 Si dos circunferencias tienen un punto en común no situado en la central,
tendrán otro punto en común simétrico del anterior, respecto de la central”.
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A'
O
B
O'
A
Figura 56
AS: Escriba la hipótesis, tesis y haga la demostración de este teorema.
Corolarios i) Si dos circunferencias son secantes, la distancia de los centros es menor que
la suma de los radios y mayor que su diferencia
ii) Si dos circunferencias son secantes, la central coincide con la simetral de la
cuerda común.
iii) Si dos circunferencias son tangentes, la central pasa por el punto de contacto
iv) Si dos circunferencias son tangentes, la perpendicular a la central en el punto
de contacto, es la tangente común
Teorema 33 “Si dos circunferencias de radios distintos, situadas en un mismo plano son:
i) Exteriores, la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.
j) Tangentes exteriores, la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
k) Secantes, la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor
que su diferencia.
l) Tangentes interiores la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los
radios”
AS: Demuestre este teorema, enuncie el recíproco y demuéstrelo también.
Ángulos en la circunferencia
Definición 23: Se llama ángulo del centro al ángulos con vértice en el centro de la
circunferencia y sus lados son radios.
Si el vértice no está en el centro se dicen excéntricos. Éstos se clasifican en periféricos,
internos y externos. Los ángulos periféricos son los que tienen el vértice en la circunferencia;
pueden ser inscritos, semiinscritos o exinscritos.
Definición 24: Se llama ángulo inscrito la distancia entre los centros es mayor que la
suma de los radios al ángulo periférico formado por dos cuerdas que parten del mismo punto.
Definición 25: Se llama semiinscrito al ángulo periférico cuyos lados son una cuerda
y una tangente.
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Definición 26: Se llama exinscrito al ángulo periférico formado por una cuerda y la
prolongación de otra.
Teorema 24: “Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulos del
centro que subtiende el mismo arco”
C
γ
δ
O
β
α
A
B
D
Figura 57
inscrito que subtiende arco AB
del centro que subtiende el mismo arco AB
H
ACB =
AOB =
T
ACB = ½ AOB
D
C(↔) O → O: D
∆CAO y ∆ COB isósceles, con ángulos basales α y β respectivamente.
∴
AOB = 2α
DOB = 2β
sumando:
AOB = 2(α +β) = 2
ACB.
AS: Demuestre que este teorema sigue siendo válido si uno de los lados del ángulo inscrito
es diámetro, y también sigue siendo válido si el centro de la circunferencia queda fuera del
interior del ángulo inscrito.
Corolarios :
i) Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, son iguales.
C
C'
γ
γ
C''
γ
A
B
Figura 58
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ii) Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia, son rectos. (resultado conocido
como Teorema de Thales de Mileto, 600 AC).
Arco capaz de un ángulo: En la figura 58 todos los triángulo ABC, ABC’, ABC’’,...tiene la
misma base AB = c, lado opuesto al ángulo γ. Luego, al conocerse el lado c, se conocen los
vértices A y B de un eventual triángulo. Sólo quedaría por hallar el tercer vértice C, pero éste
se encuentra sobre el arco ACC’C`` ...B. Este arco se llama arco capaz del ángulo γ respecto
de la cuerda AB. Evidentemente es un L.G. ¿cuál?
Construcción fundamental: Dado un trazo c y una ángulo γ, construir el arco capaz de γ .
arco capaz
O
A
α
B
M
Figura 59.
Construcción: Se copia el ángulo α en uno de los extremos del trazo dado, digamos A. Se
traza la simetral del trazo dado AB. En el punto A se levanta la perpendicular al lado del
ángulo α, como muestra la figura 59. Esta perpendicular corta la simetral en O, el centro de
una circunferencia. El arco capaz de γ es el arco que está sobre el trazo AB.
AS: Haga las siguientes construcciones de triángulos 1) ∆: c, γ, hc
4) ∆: c, ha, hb 5) ∆: p, q, γ 6) ∆:a+b+c, hc , γ.
2) ∆: c γ, tc
3) ∆: c, γ, ha
Teorema 25. “ En todo cuadrilátero inscrito la suma de los ángulos opuestos es 2R”
AS: Demuestre este teorema y enuncie el recíproco.
Teorema 26. “Un ángulo interior a una circunferencia mide la semisuma de los arcos de
subtienden sus lados y sus prolongaciones”
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C
α
A
β
ε
D
B
Figura 60
H
ε = ángulo interior
T
ε = ½( AB + CD )
D
A(↔)C
ε=α+β
Pero medida de α = ½ AB ; medida de β = ½ CD
∴ medida ε = ½( AB + CD ).
Teorema 27 “Todo ángulo exterior a una circunferencia mide la semidiferencia de los arcos
comprendidos entre sus lados”.
AS: Demuestre este teorema.
AS: Ahora estamos en condiciones se rehacer las construcciones fundamentales del
comienzo del curso, justificando cada paso:
1.) Desde un punto P trazar la perpendicular a una recta cualquiera(varias soluciones)
2.) Levantar la perpendicular a una recta desde un punto de ella.
3.) En los extremos de un trazo AB se levantan las perpendiculares como trazos AC y BD.
Hallar en AB un punto P talque CP ⊥ PD.
4.) Idem, pero el ángulo es de 600
5.) Hallar el L.G. del punto intersección de las diagonales de los rombos que tienen la
misma base.
6.) Hallar el L.G. del ortocentro H de todos los ∆ ABC inscritos en una circunferencia y
que tiene la misma base AB.
Relaciones métricas en el círculo.
Teorema 28 "Toda cuerda es media proporcional geométrica entre el diámetro que parte de
uno de sus extremos y la proyección de la cuerda sobre ese diámetro"
Evidentemente este es un simple corolario de los teoremas de Euclides.
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Teorema 29 "Si desde un punto fuera de un círculo se trazan dos secantes, éstas son
inversamente proporcionales a sus trazos externos"
C
α
D
γ
P
β
ε
B
A
Figura 61.
H PA, PC secantes
T PA • PB = PC • PD o bien
D
PA PD
=
PC PB
PAC ∼
PBD (γ ángulo común, α = β tienen el mismo suplemento)
∴ PA homólogo de PD y PC homólogo de PB (∠A = ∠ D), es decir
PA PC
⇒ PA • PB = PC • PD
=
PD PB
AS Haga otra demostración uniendo A con D y B con C.
Teorema 30 "Si desde un punto fuera de un círculo se traza una tangente y una secante, la
tangente es media proporcional geométrica entre la secante y el trazo externo".
T
β
P
α
γ
A
B
Figura 62
H PA secante
PT tangente
T
PA PT
=
⇒ PT 2 = PA • PB
PT PB
D ∆ PAT ∼∆PTB (¿por qué ?)
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AS siga Ud.
Teorema 31 " Los trazos de dos cuerdas que se cortan al interior de una circunferencia son
inversamente proporcionales" .
B
C
1
2
P
β
α
D
A
Figura 63.
AS Con la ayuda de la figura 63, escriba la hipótesis, tesis y haga la demostración de este
teorema.
SIMETRÍAS
Simetría axial
Definición 27: Dos puntos A y B son simétricos respecto a un eje (o recta) si esta
recta es la simetral del trazo AB.
De esta manera, dos figuras son simétricas respecto de un eje cuando este eje es la simetral
de todos los trazos determinados por dos puntos correspondientes de las figuras.
A
P
B
C
A'
B'
Q
F
E
D
R
S
T
F'
E'
C'
D'
Figura 64. Figuras simétricas respecto a un eje.
En la figura 64 se cumple: l es el eje de simetría de ambas figuras ABCDEF A´B´C´D´E´F´.
Luego: AP = A´P, BQ = QB´ , etc.
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Ejercicio: Hallar la figura simétrica K respecto de la recta l
K
l
Figura 65.
AS: Manchas en papel doblado, óptica sobre imágenes en espejos planos.
AS: 1) Discuta la siguiente afirmación: Las figuras simétricas respecto de un eje son
congruentes.
2) ¿Cuál es el eje de simetría de un triángulo isósceles?, de un triángulo equilátero?.
3) ¿Qué puede decir de la bisectriz de un ángulo?
4) Cuál es el eje de simetría de dos rectas que se cortan?
5) ¿Cuál es el eje de simetría de dos rectas paralelas?
6) ¿Cuál es el eje de simetría de una circunferencia?.
7) ¿Cuál es el eje de simetría de un cuadrado? De un rectángulo?.
Simetría central
Definición 28: Dos figura son céntricamente simétricas respecto de un punto
cuando al girar una de ellas en 1800 las figuras coinciden.
Para construir la figura simétrica respecto de un punto fijo O, se unen los puntos de la figura
y se prolongan en igual magnitud.
A'
B'
O
Figura 66
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F'
E'
C'
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AS: Hallar la figura simétrica respecto del punto O, del polígono A´,B´,C´D´E´F´, de la figura
66, de acuerdo con la definición 28.
Los puntos que coinciden después del giro en 1800 se llaman céntricamente simétricos y las
rectas que unen el centro de simetría O con los puntos de la figura, se llaman rayos de
simetría.
AS: Discuta las siguientes afirmaciones:
1) Los rayos simétricos forman ángulos iguales con los trazos simétricos
2) Trazos céntricamente simétricos son iguales y paralelos
3) La circunferencia y el círculo son céntricamente simétricos respecto del centro de la
circunferencia.4) Un paralelogramo es céntricamente simétrico respecto del punto intersección de las
diagonales.
BIBLIOGRAFIA
1. Carlos Mercado Sh. Geometría, Editorial Universitaria, 1978.
2. Raúl F Jiménez. Curso de Geometría I, Apuntes, Universidad de Concepción, 2002.
3. Une Réunion de Professeurs. Cours de Géométrie, Ligel, Paris.
4. F. G-M. Cours de Géometrie Elémentaire. Poussielgue, Paris.
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