ALGEBRA LINEAL TAREA 9 En toda la tarea U, V y W denotan

ALGEBRA LINEAL
TAREA 9
G. SALGADO
En toda la tarea U , V y W denotan espacios vectoriales de dimensión
finita sobre el campo F. (TL ≡ transformación lineal).
1. Demuestre que T : V → W es TL si, y sólo si T (au + v) =
aT (u) + T (v) para todo a ∈ F y u, v ∈ V .
2. Demuestre que si T : V → W es TL, y U ⊂ W es subespacio
vectorial, entonces T −1 (U ) es subespacio vectorial de V . Dé una
demostración alternativa de que Ker(T ) es subespacio usando
este resultado.
3. Demuestre que si T : V → W es un monomorfismo entonces
existe una transfomación lineal T −1 : W → V tal que T −1 ◦ T =
IdV .
4. Enuncie y pruebe un resultado análog si la hipótesis es: T es
epimorfismo.
5. Demuestre que si T : V → W es un isomorfismo entonces T −1 es
TL.
6. Concluya del ejercicio anterior que: T es isomorfismo si, y sólo si
T −1 es isomorfismo.
7. Sea T : Mat(n × m, F) → Mat(m × n, F) definida por T (A) = At ,
donde At denota a la matriz transpuesta de A. Verifique que T
es una transformación lienal y demuestre que es un isomorfismo.
8. Sean S, T : V → W TL’s, demuestre que si definimos (S +
T )(v) := S(v) + T (v) entonces S + T es TL.
9. Demueste que si a ∈ F y T : V → W es TL entonces aT definida
por (aT )(v) := aT (v) es TL.
10. Sea HomF (V, W ) := { T : V → W | T es TL }, demuestre que
con las operaciones de los ejercicios anteriores HomF (V, W ) es un
espacio vectorial.
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G. SALGADO
11. Cuando W = V , escribimos EndF (V ) en lugar de HomF (V, V ),
observe que ahora tenemos una nueva operación: la composición.
Demuestre que si S, T ∈ EndF (V ) entonces S ◦ T y T ◦ S estan
en EndF (V ).
12. Demuestre que (EndF (V ), +, ◦) es un anillo.
13. Suponga que dimF V = n y que dimF W = m. Calcule
dimF (HomF (V, W ))
14. Sea T ∈ EndF (V ) tal que T 2 ≡ 0, muestre que Im(T ) ⊂ Ker(T )
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