Examen Adicional P1. a) La elipse de la figura pasa por el origen O

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Álgebra Lineal 09-2
Examen Adicional
P1.
a) La elipse de la figura pasa por el origen O y su semieje menor mide
√
2.
(i) (0,5 ptos.) Escriba la ecuación de la elipse
en función de las variables u, v asociadas
a los ejes U y V .
(ii) (1,5 ptos.) Encuentre la ecuación de la
elipse en las variables x, y del sistema
XOY .


2 −1 −1
b) Sea A ∈ M3×3 ( ) definida por A = −1 2 −1
−1 −1 2
R
(i) (1,0 pto.) Demuestre que el polinomio característico de A es p(λ) = −λ(λ − 3)2 .
(ii) (3,0 ptos.) Encuentre matrices P y D de modo que P t = P −1 y D diagonal tal que A = P DP t .


2 a 0 0
2 a 0 0



P2. a) Considere la matriz A ∈ M4×4 ( ) definida por A = 
0 2 0 0
0 0 2 b 
0 0 0 2
(i) (2,5 ptos.) ¿Para qué valores de a, b ∈ la matriz A es diagonalizable?
(ii) (2,5 ptos.) Cuando A es NO diagonalizable, encuentre una base de (ker(A − 2I))⊥ .
b) (1,0 pto.) Sea A ∈ Mn×n ( ) con núcleo de dimensión k ≥ 1. Muestre que λ = 1 es valor propio de
I + A y determine su multiplicidad geométrica.
R
R
R
P3. Sea S2 el espacio vectorial de las matrices simétricas de 2 × 2 con coeficientes reales. Dada B ∈ M2×2 ,
considere la transformación lineal T : M2×2 ( ) → S2 definida por
R
x1
T (X) = BX + X B , donde X =
x3
t
t
x2
x4
R
∈ M2×2 ( ).
a) (1,0 pto.) Verificar que T (X) está bien definida, es decir, que T (X) ∈ S2 .
a b
b) (3,0 ptos.) Para B =
∈ M2×2 ( ) encuentre la matriz representante de T con respecto a la
c d
1 0
0 1
0 0
base canónica de M2×2 ( ) y la base
,
,
de S2 .
0 0
1 0
0 1
1 1
c) (2,0 ptos.) Para B =
encuentre bases y dimensión para ker(T ) e Im(T ).
1 0
R
R
15 de diciembre de 2009
Sin consultas
Tiempo: 3:00
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