Capítulo 4. Examen d..

Problemas
1. Un comerciante compra 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16,000 pesos. Cada traje costó el doble de lo que costó
cada par de zapatos más 50 pesos. Hallar el precio de los trajes y de los pares de zapatos.
2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho.
3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le queda fuera 36 hombres. Entonces pone un
hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres
había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?
4. Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera
costado 10 pesos menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?
5. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los
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del menor. Hallar los números.
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6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane
20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?
7. Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3,000 dólares y una sortija. Al cabo de 7 meses el
obrero es despedido y recibe 1,500 dólares y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija?
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de los mangos que había más 4
8. En un puesto de frutas había cierto número de mangos. Un cliente compró
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mangos; otro cliente compro de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9
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más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto?
9. Un conejo es perseguido por un perro. el conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da
5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe
dar el perro para alcanzar al conejo?
10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un
auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?
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Problemas con respuesta
1. Un comerciante compra 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16,000 pesos. Cada traje costó el doble de lo que costó
cada par de zapatos más 50 pesos. Hallar el precio de los trajes y de los pares de zapatos.
Solución: Los trajes cuestan 250 pesos y los zapatos 100 pesos.
2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho.
Solución: El ancho del buque es 12 metros.
3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un
hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres
había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?
Solución: En el primer cuadrado había 55 hombres y el total de hombres en la tropa es de 3061.
4. Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera
costado 10 pesos menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?
Solución: Cada caballo le costó 80 pesos
5. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los
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del menor. Hallar los números.
8
Solución: Los números son 56 y 62.
6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane
20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?
Solución: El auto me había costado 90,000 pesos
7. Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3,000 dólares y una sortija. Al cabo de 7 meses el
obrero es despedido y recibe 1,500 dólares y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija?
Solución: La sortija valía 600 dólares.
1
de los mangos que había más 4
8. En un puesto de frutas había cierto número de mangos. Un cliente compró
3
1
mangos; otro cliente compro de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9
3
más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto? ¿Cuántos mangos compró cada uno de los clientes?
Solución: En el puesto había 60 mangos. El primer cliente compró 24, el segundo 18 y el tercero también 18.
9. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da
5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe
dar el perro para alcanzar al conejo?
Solución: El perro debe dar 800 saltos para alcanzar al conejo.
10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un
auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?
Solución: Podrá recorrer hacía el campo 100 kilómetros.
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1. Un comerciante compra 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16,000 pesos. Cada traje costó el doble de lo que costó
cada par de zapatos más 50 pesos. Hallar el precio de los trajes y de los pares de zapatos.
Solución:
Sea x el valor de cada par de zapatos.
Como se compran 35 pares de zapatos, el precio total de los zapatos será 35x:
Como bien lo indica el enunciado del problema, cada traje cuesta el doble más 50 de lo que cuesta cada par de zapatos;
es decir, cada traje cuesta 2x + 50.
Ahora bien, como se compran 50 trajes, su costo total será de 50 (2x + 50).
Por tanto, el costo total de los 50 trajes más los 35 pares de zapatos será de 50 (2x + 50) + 35x.
Pero el problema nos indica claramente que el costo total fue de 16,000, así que la ecuación nos queda
50 (2x + 50) + 35x = 16000
Pasamos ahora a resolver esta ecuación.
Primero quitamos los signos de agrupación, efectuando la multiplicación,
100x + 2500 + 35x = 16000
Reducimos ahora los términos semejantes,
135x + 2500 = 16000
Ahora restamos 2500 a ambos miembros de la ecuación, obteniendo la ecuación equivalente
135x = 16000
2500 = 13500
Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 135, obteniendo
x=
13500
= 100
135
Así que el precio de cada par de zapatos es 100 pesos.
Al ser el precio de cada traje el doble más 50, obtenemos un precio de 250 pesos.
2. El largo de un buque, que es de 99 metros, excede en 3 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho.
Solución:
Denotando como a metros el ancho del buque, es claro que
8a + 3 = 99
Para resolver esta ecuación, restamos 3 a ambos miembros, obteniendo
8a = 99
3 = 96
Dividiendo ahora ambos miembros entre 8, tenemos
a=
96
= 12
8
Es decir, el ancho del buque es 12 metros
3.Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un
hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres
había en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa?
3
Solución:
Llamemos n al número de soldados que había por lado en el primer cuadrado.
Entonces el número total de soldados es claramente n2 + 36, ya que le sobraban 36 soldados en ese primer cuadrado.
2
2
El segundo cuadrado hubiera tenido (n + 1) soldados, pero faltaron 75, así que el total de soldados es de (n + 1)
75.
Como el número de soldados siempre es el mismo, es constante, igualamos el número que nos resulta del primer
cuadrado al número que nos resulta del segundo cuadrado, obteniendo la ecuación
2
n2 + 36 = (n + 1)
75
Para resolver esta ecuación eliminamos, primeramente, los signos de agrupación
n2 + 36 = n2 + 2n + 1
75
Reducimos ahora los términos semejantes
n2 + 36 = n2 + 2n
74
Restamos ahora a ambos miembros n2 ,
36 = 2n
74
Sumamos ahora a ambos miembros 74,
36 + 74 = 2n
Dividimos ahora toda la ecuación por 2 e intercambiamos los dos miembros,
n=
36 + 74
= 55
2
Así que en el primer cuadrado había 55 soldados por lado.
Por tanto, el número total de soldados era 552 + 36; es decir, 3061.
4. Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera
costado 10 pesos menos. ¿Cuánto le costó cada caballo?
Solución:
Sea c el costo de cada caballo.
Como compró 35, le costaron 35c.
Si hubierá comprado 5 más por el mismo precio, le hubiera costado 10 pesos menos cada caballo. Es decir, hubiera
comprado 40 caballos a un precio de c 10. El costo total sería entonces de 40 (c 10).
Entonces tenemos que como hubiera sido el mismo
35x = 40 (x
10)
Para resolver esta ecuación quitamos primero los signos de agrupacion,
35x = 40x
400
Sustrayendo 40x a ambos miembros,
35x
40x =
400
Reduciendo ahora los términos semejantes,
4
5x =
400
Dividiendo ahora toda la ecuación entre
x=
5,
400
= 80
5
Así que el costo de cada caballo es de 80 pesos
5. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los
3
del menor. Hallar los números.
8
Solución:
Denotemos como x al menor de los dos números. Es claro que el mayor será x + 6.
Escribiendo con ecuaciones lo que dice el problema, obtenemos la ecuación
x+6
3
= x + 10
2
8
Para resolverla procedemos a quitar los denominadores, multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo
de todos los denominadores. Como los denominadores son 2, 8 y 1, el mínimo común múltiplo es 8 y tenemos
8
x+6
2
=8
3
x + 10
8
ó sea
4x + 24 = 3x + 80
Restando a ambos miembros de la ecuación
3x,
x + 24 = 80
Restando ahora a toda la ecuación 24,
x = 80
24 = 56
es decir, el menor de los números es 56 y el mayor 62.
6. Vendí un automovil por 80,000 pesos más la tercera parte de lo que me había costado, y en esta operación gane
20,000 pesos. ¿Cuánto me había costado el auto?
Solución:
Llamando x al precio que me costo el coche, tenemos que lo vendí por 80000 +
x
.
3
Si gané 20,000 pesos, quiere decir que lo vendi en lo que me costo, que es x, más 20,000 pesos; por tanto, lo vendí en
x + 20000.
Tenemos entonces la ecuación
80000 +
x
= x + 20000
3
Multiplicando toda la ecuación por 3,
240000 + x = 3x + 60000
De donde
3x
x = 240000
60000
ó
5
2x = 180000
y
x = 90; 000
El coche costó 90,000 pesos.
7. Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3,000 dólares y una sortija. Al cabo de 7 meses el
obrero es despedido y recibe 1,500 dólares y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija?
Solución:
Sea s el precio de la sortija. El sueldo mensual ofrecido al obrero es entonces
Como trabajo 7 meses el sueldo que le corresponde es 7
7
3000 + s
.
12
3000 + s
y le dieron 1500 + s, así que
12
3000 + x
= 1500 + x
12
Para resolver esta ecuación multiplicamos ambos miembros por 12,
Solution is: 600
7 (3000 + x) = 12 (1500 + x)
Quitamos los signos de agrupación,
21000 + 7x = 18000 + 12x
Restamos 18000 a ambos miembros,
3000 + 7x = 12x
Restamos 7x a ambos miembros,
3000 = 12x
7x = 5x
Dividimos entre 5,
x=
3000
= 600
5
Así que la sortija tiene una valor de 600 dólares.
1
8. En un puesto de frutas había cierto número de mangos. Un cliente compró
de los mangos que había más 4
3
1
mangos; otro cliente compro de los que quedaban y 6 más; un tercer cliente compró la mitad de los que quedaban y 9
3
más, y se acabaron los mangos. ¿Cuántos mangos había en el puesto? ¿Cuántos mangos compró cada uno de los clientes?
Solución:
Sea M el número total de mangos que había originalmente en el puesto.
El primer cliente compró
Quedaron en el puesto M
M
+ 4.
3
M
+4 .
3
De esos que quedaron, el segundo cliente compró la tercera parte más 6;
6
M
+4
3
3
M
es decir, compró
+6
Después del primer y segundo cliente, quedaron M
0
B M
B
@ 3 +4 +
M
M
+4
3
3
1
C
+ 6C
A mangos en el puesto.
Finalmente, el tercer cliente compró la mitad de los que quedaban más 9; es decir, compró
0
1
M
M
+
4
B M
C
3
M B
+ 6C
@ 3 +4 +
A
3
+9
2
Como los tres clientes compraron el total de mangos del puesto, llegamos entonces a la ecuación que resuelve el
problema,
0
1
M
M
+
4
B M
C
3
M B
+4 +
+ 6C
@
A
M
3
3
M
+4
M
3
+4 +
+6+
+ 9 = M , Solution is: 60
3
3
2
Para resolverla reducimos las fraccciones complejas una a una,
0
1
M
M
4
BM
C
3
M @
+4+
+ 6A
M
3
3
4
M
M
3
+4+
+6+
+9=M
3
3
2
1
0
2
M
4
C
BM
+4+ 3
+ 6A
M @
2
3
3
M 4
M
+4+ 3
+6+
+9=M
3
3
2
2
M
+4+ M
3
6
4
+6+
3
M
2
+4+ M
3
6
4
+6+
3
M
2
+4+ M
3
6
M
4
+6+
3
2
M
+4+ M
3
6
4
6M
+6+
3
M
2
+4+ M
3
6
4M + 48 + 4M
M
2
+4+ M
3
6
2
M
4
+6
3
2M + 24 + 2M
6
2
M
+9=M
8 + 36
+9=M
4M + 52
6
+9=M
2
4
6M
+6+
3
16 + 72 + 6M
(4M + 52)
+9=M
12
(4M + 52)
+ 9 12 = 12M
12
4M
52 + 108 = 12M
10M + 160 = 12M
2M = 160
7
M = 80
En el puesto había 60 mangos.
El primer cliente compró
60
+ 4 = 24
3
El segundo cliente compró
El tercer cliente compro
60
60
24
3
+ 6 = 18
(24 + 18)
+ 9 = 18
2
9. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial al perro de 50 de sus saltos. El conejo da
5 saltos mientras el perro da 2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos. ¿Cuántos saltos debe
dar el perro para alcanzar al conejo?
Solución:
Sea x el número de saltos que debe dar el perro para alcanzar al conejo.
Tenemos entonces la ecuación,
3
8
5
x + 50 = x
2
Para resolverla eliminamos los simbolos de agrupación,
15
x + 50 = x
16
15
x + 50 16 = 16x
16
15x + 800 = 16x
x = 800
Entonces 800 saltos del perro equivalen a 2,000 del conejo.
En esos 2,000 saltos el conejo avanza 750 saltos del perro, pero como originalmente le llevaba 50, resultan 800.
10. Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres. ¿Que distancia podrá recorrer hacia el campo en un
auto que va a 50 kilómetros por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda a 10 kilómetros por hora?
Solución:
Si viaja hacía el campo un tiempo t horas, la distancia que recorrerá serán 50t kilómetros.
Le restarán 12
t horas para regresar, y recorrera en el caballo una distancia 10t kilómetros.
La distancia que viaja en el coche debe ser igual a la distancia que viaja en el caballo, así que
50t = 10 (12
t)
Resolviendo esta ecuación,
50t = 120
10t
60t = 120
t=2
Es decir, debera viajar dos horas.
Como en el coche viaja a 50 km/h recorrerá entonces 100 km.
8