Funciones Reales de Variable real - Docencia DIM

Semana05[1/29]
Funciones Reales de Variable real
30 de marzo de 2007
Funciones Reales de Variable real
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Funciones
Definición de funciones
Sean A y B dos conjuntos no vacios de naturaleza arbitraria. Una función de A en B es una correspondencia
entre los elementos de A y los elementos de B de tal modo que a cada x ∈ A se le hace corresponder un y
sólo un elemento y ∈ B.
Notación
f : A −→ B
x 7−→ y = f (x)
Observación
R
En el caso en que A ⊆ , se dice que la función es de variable real. Si además B =
la función es real de variable real.
Es decir, las funciones reales de variable real son:
f :A⊆
R
R
−→
x 7−→ y = f (x)
Funciones Reales de Variable real
R, entonces diremos que
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Funciones
Elementos básicos de una función
A se llama dominio de la función.
B=
R, se llama codominio de la función.
y = f (x) se llama imagen de x por f o variable dependiente.
x se llama variable de la función o variable independiente.
Observación
En nuestro caso una función puede especificarse dando sólo la ley y = f (x) que permite calcular la imagen de
x. Cuando esto suceda, entenderermos que el dominio de la función es el mayor subconjunto de donde la
ley es aplicable para calcular f (x), es decir:
R
Dom (f ) = {x ∈
R | y = f (x) ∈ R}.
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Funciones
Ejemplos
f (x) =
x
x 2 −1
f (x) =
√
=⇒ Dom (f ) =
x =⇒ Dom (f ) =
R \ {−1, 1}.
R∗+ ∪ {0}.
p
Si f (x) = x + 2|x − 5| − x 2 + |3x − 2|
entonces para determinar el dominio de f debe resolverse una inecuación con módulo.
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Funciones
Ejemplos
Observación
La ley de una función (y = f (x)) puede ser definida de multiples formas en cada
una de ellas debe cumplirse la condición básica, que para x en el dominio de la
función pueda calcularse una y sólo una imagen de x.
y
y
y
y
= f (x) tal que y + x 2 = 5 corresponde a una función.
= f (x) tal que x 2 + y 2 = r 2 no corresponde a una función.
= f (x) tal que y ≥ 0 ∧ x 2 + y 2 = r 2 corresponde a una función con Dom (f ) = [−r .r ].
= f (x) tal que y < 0 ∧ x 2 + y 2 = r 2 corresponde a una función con Dom (f ) = (−r .r ).
Funciones Reales de Variable real
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Funciones
Gráfico de una función
Llamaremos Gráfico de una función f al conjunto de puntos del plano Gf definido por:
Gf = {(x, y ) ∈
R2 | x ∈ Dom (f ) ∧ y = f (x)}.
Algunos ejemplos de gráficos:
2
12000
sin(x)
1-exp(x)*sin(x)
1.5
10000
1
8000
0.5
6000
0
4000
-0.5
2000
-1
0
-1.5
-2000
-2
-10
-4000
-5
0
5
10
0
2
Funciones Reales de Variable real
4
6
8
10
Algunas propiedades de las funciones
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Definiciones importantes
A continuación estudiaremos algunas propiedades, que pueden o no cumplir las funciones reales de variable
real. De cumplirse algunas de estas propiedades, las funciones tomarán nombres especiales y esto se
reflejará en características especiales de su gráfico.
Antes de comenzar, veamos un par de definiciones importantes:
Ceros de una función
R R
Sea f : A ⊆ → . Llamaremos ceros de f a todos los reales de su dominio tales que f (x) = 0. En estos
puntos el gráfico de f corta al eje OX .
Adicionalmente llamaremos ∩ con el eje Y al punto de cordenadas (0, f (0)).
Ejemplo: Los ceros de f (x) = x(x − 1)(x − 2) son 0, 1 y 2.
Conjunto Imagen
Sea f : A ⊆
R → R. Llamaremos conjunto Imagen de f al conjunto definido por
Im (f ) = f (A) = {y ∈ R/(∃x ∈ A) de modo que y = f (x)}.
O sea
Im (f ) = {f (x)/x ∈ A}.
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Algunas propiedades de las funciones
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Funciones Pares e Impares
Función par
R R
Diremos que f : A ⊆ → es una función par ssi
(∀x ∈ A) − x ∈ A.
(∀x ∈ A) f (−x) = f (x).
Función impar
R R
Diremos que f : A ⊆ → es una función impar ssi
(∀x ∈ A) − x ∈ A.
(∀x ∈ A) f (−x) = −f (x).
Ejemplos
R
f (x) = 1 tiene Dom (f ) = Luego la primera condición se cumple.
Además f (−x) = 1 = f (x). Luego f es par.
f (x) = x tiene Dom (f ) =
Además f (−x) = −x = −f (x). Luego f es impar.
√
f (x) = x tiene Dom (f ) = + ∪ {0}, luego no cumple la primera condición, en consecuencia no es par ni
impar.
R
R
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Algunas propiedades de las funciones
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Características de una función par o impar
Si f es una función par entonces
(x, y ) ∈ Gf ⇒ (−x, y ) ∈ Gf .
Luego el gráfico de la función es simétrico con respecto al eje OY .
Si f es una función impar entonces
(x, y ) ∈ Gf ⇒ (−x, −y ) ∈ Gf .
Luego el gráfico de la función es simétrico con respecto al origen O del sistema de coordenadas.
En forma más general, puede observarse que el gráfico de una función será simétrico con respecto a una
recta vertical de ecuación x = ℓ ssi se cumplen las siguientes condiciones:
ℓ + t ∈ Dom (f ) =⇒ ℓ − t ∈ Dom (f ).
ℓ + t ∈ Dom (f ) =⇒ f (ℓ − t) = f (ℓ + t).
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Algunas propiedades de las funciones
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Ejemplo
Como ejemplo veamos la siguiente función:
f (x) = |x − 5|
Es simétrica respecto de la recta x = 5 ya que
f (5 − t) = |(5 − t) − 5| = | − t| = |t|
f (5 + t) = |(5 + t) − 5| = |t|
Para efectos prácticos, cuando una función es par, impar o presenta alguna simetría, entonces puede
estudiarse sólo en una mitad de su dominio y luego construir su gráfico completo usando dicha simetría.
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Algunas propiedades de las funciones
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Funciones Periódicas
Función periódica
Sea f : A ⊆
R → R. Diremos que f es periódica ssi (∃p ∈ R+) tal que :
(∀x ∈ A) x + p ∈ A.
(∀x ∈ A) f (x + p) = f (x).
En este caso p se llama periodo de la función.
Periodo mínimo
Se llama periodo mínimo de la función f al real p tal que f es periódica de periodo p y, si f es periódica de
periodo p, entonces p ≥ p.
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Algunas propiedades de las funciones
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Ejemplos
f (x) = a es periódica de periodo p > 0, cualquiera. No tiene periodo mínimo.
f (x) = x − [x], donde [x] es el mayor entero menor que x.
Es periódica de periodo 1, 2 o 3. p = 1 es su periodo mínimo.
Observación
Cuando una función es periodica de periodo p, el estudio de su gráfico puede
restringirse sólo a un intervalo de longitud p en su dominio y luego construir el
gráfico total haciendo uso de la periodicidad.
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Algunas propiedades de las funciones
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Funciones Monótonas
Crecimiento de funciones
R R
Sea f : A ⊆ →
Diremos que f es creciente en B ⊆ A ssi (∀x1 , x2 ∈ B) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Diremos que f es decreciente en B ⊆ A ssi (∀x1 , x2 ∈ B) x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Adicionalmente agregaremos la palabra estrictamente cuando las desigualdades anteriores se satisfacean en
forma estricta.
Si B = A se dira que f es creciente o decreciente en lugar de decir que es creciente en A o decreciente en A.
Diremos que f es monótona ssi es o bien creciente o decreciente.
Observación
La negación de la frase f (x) es creciente no es la frase f es decreciente ya que
existen funciones crecientes y decrecientes a la vez y otras que no son ni
crecientes ni decrecientes.
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Algunas propiedades de las funciones
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Funciones Acotadas
Función acotada
R R
Sea f : A ⊆ → .
Diremos que f es acotada inferiomente ssi (∃a ∈
R) tal que (∀x ∈ Dom f ) a ≤ f (x)
Diremos que f es acotada superiomente ssi (∃b ∈ R) tal que (∀x ∈ Dom f ) f (x) ≤ b
Diremos que f es acotada ssi (∃a, b ∈ R) tales que (∀x ∈ Dom f ) a ≤ f (x) ≤ b
Observaciones
R
R
f es acotada superiormente ssi Im (f ) ⊆ lo es .
f es acotada inferiormente ssi Im (f ) ⊆ lo es .
f es acotada si lo es tanto superior como inferiormente.
Proposición
f es acotada ⇐⇒ (∃M ∈
R+ )(∀x ∈ Dom f )|f (x)| ≤ M
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Algunas propiedades de las funciones
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Observaciones adicionales
Si f es acotada superior o inferiormente y B ⊆ Dom (f ) entonces se pueden determinar las siguientes
expresiones:
m«ın f (x) = m«ın{f (x)/x ∈ B}
x∈B
m«
ax f (x) = m«
ax{f (x)/x ∈ B}
x∈B
Mínimo y máximo
Podemos decir que x0 es punto mínimo de f si x0 ∈ Dom (f ), y
(∀x ∈ Dom (f )) f (x0 ) ≤ f (x).
O, equivalentemente x0 =
m«ın f (x).
x∈Dom(f )
De la misma manera, x0 ∈ Dom (f ) es punto máximo de f si
(∀x ∈ Dom (f )) f (x0 ) ≥ f (x),
o, x0 = m«
ax f (x).
x∈Dom(f )
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Algunas Funciones Importantes
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Funciones conocidas
1. La función constante
Esta definida por f (x) = a.
Tiene Dom (f ) = .
f (−x) = a = f (x), luego es una función par.
Si a = 0 entonces f (−x) = −f (x) = 0 luego sería también impar.
Si a 6= 0 entonces no tiene ceros, Si a = 0 todos los reales son sus ceros.
Su gráfico es la recta horizontal que pasa por (0, a)
R
2. La función potencia natural
Esta definida mediante la ecuación f (x) = x n donde n ∈ IN.
Tiene Dom f = .
Si n = 1 el gráfico es la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Si n = 2 el gráfico es una parábola.
Puesto que f (−x) = (−x)n = (−1)n x n = (−1)n f (x), luego es una función par si n es par y una función impar si
n es impar.
Si x ∈ + entonces x n ∈ + .
(∀y ∈ + )(∃x ∈ + ) y = f (x), luego {f (x) | x ∈ + } = + .
R
R
R
R
R
R
R
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Algunas Funciones Importantes
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Funciones conocidas
3. La función raíz enésima
√
Esta definida mediante la expresión f (x) = n x donde n ∈ IN.
Esta función tiene variadas propiedades dependiendo de la paridad de n.
Su dominio depende de n:
Si n es par entonces Dom (f ) = [0, ∞).
Si n es impar entonces Dom (f ) = .
√
√
Si n es impar entonces f (−x) = n −x = − n x = −f (x)
Luego si n impar se trata de una función impar.
Si n par, por simetría respecto al eje Y , Im (f ) = [0, ∞).
Si n impar, por simetría respecto al origen O, Im (f ) = .
R
R
4. La función cajón o parte entera
Esta definida por: f (x) = [x] = m«
ax{k ∈ ZZ/k ≤ x}.
Tiene Dom (f ) = y Im (f ) = ZZ.
Sus ceros son todos los reales en el intervalo [0, 1).
No es una función par ni impar.
Es una función creciente, pero no de forma estricta.
R
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Algunas Funciones Importantes
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Definiciones
5. Función opuesta
Sea f : A ⊆
R → R Llamaremos función opuesta de f a la función (−f ) definida por:
−f : A ⊆ R → R tal que (∀x ∈ A)(−f )(x) = −(f (x))
El gráfico de la función (−f ) es el conjunto simétrico con respecto al eje OX del gráfico de f .
6. Módulo de una Función
Sea f : A ⊆
R → R Llamaremos función módulo de f a la función |f | definida por:
|f | : A ⊆
R → R tal que (∀x ∈ A)|f |(x) = |f (x)| =
f (x) si f (x) ≥ 0
−f (x) si f (x) < 0
El gráfico de la función módulo de f puede obtenerse fácilmente si se conoce el gráfico de f , ya que debe
copiarse simétricamente respecto al eje OX los puntos del gráfico de f que queden bajo el eje OX y dejar
intactos aquellos puntos que esten sobre el eje OX . Es decir, al tomar módulo a una función, su gráfico se
refleja en el eje OX hacia el primer o segundo cuadrante.
7. Restricción de una función
Sea f : A ⊆
R → R una función y sea B ⊆ A. Se llama restricción de f a B a la función f |B definida por:
f |B : B ⊆ R → R tal que (∀x ∈ B)f |B (x) = f (x).
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Algunas Funciones Importantes
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Algebra de Funciones.
Sean f y g dos funciones de Dominio Df y Dg respectivamente y sea λ ∈
funciónes suma, diferencia, ponderación, producto y cuociente por:
1
Función suma
f + g : Df ∩ Dg →
2
R tal que (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f + g)(x) = f (x) + g(x).
Función Diferencia f − g = f + (−g), es decir:
f − g : Df ∩ Dg →
3
R tal que (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f − g)(x) = f (x) − g(x).
Ponderación de una función
λf : Df →
4
R tal que (∀x ∈ Df )(λf )(x) = λf (x).
Función producto
f · g : Df ∩ Dg →
5
R una constante fija. Definimos las
R tal que (∀x ∈ Df ∩ Dg )(f · g)(x) = f (x) · g(x).
Función cuociente
f
:A→
g
R
f (x)
f
tal que (∀x ∈ A)
(x) =
g
g(x)
donde A = Df ∩ Dg | {x ∈ Dg /g(x) = 0}.
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Algunas Funciones Importantes
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Observación
Con las definiciones dadas anteriormente pueden formarse funciones más complicadas, tomando módulo u
operando las 4 funciones conocidas.
Por ejemplo se pueden formar las siguientes funciones:
f (x) = |x| que corresponde al módulo de la función g(x) = x, luego es la bisectriz del primer y segundo
cuadrante.
f (x) = |x − a| es análoga a la anterior pero desplazada horizontalmente en a.
Con esto se pueden resolver en forma sencilla inecuaciones como |x − 2| + |x + 2| ≤ 5.
Otras funciones más importantes se dan en las siguientes definiciones.
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Algunas Funciones Importantes
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Otras funciones importantes
Funciones polinmicas
Son de la forma f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
Donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 son constantes reales.
Estas funciones tienen siempre Dom (f ) =
R. n se llama el grado.
Si n = 1 el gráfico corresponde a una recta.
Si n = 2 el gráfico es una parábola de eje vertical.
Si n > 2 el gráfico en general no es muy sencillo.
Funciones racionales
n
P(x)
1 x+a0
Son de la forma f (x) = Q(x)
.
= bamn xx m+···+a
+···+b1 x+b0
Donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas.
El dominio de estas funciones es
R salvo los puntos donde la función Q se anula, es decir:
Dom (f ) =
R \ {x ∈ R
: Q(x) = 0}.
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Algunas Funciones Importantes
Semana05[22/29]
Ejemplos
Consideremos la función polinómica f (x) = x 3 − x
Dom f =
Im f =?
Paridad: f (−x) = (−x)3 − (−x) = −x 3 + x = −(x 3 − x) = −f (x) luego f es impar.
Ceros: f (x) = 0 ⇐⇒ x 3 − x = 0 ⇐⇒ x(x 2 − 1) = 0 luego los ceros son x = 0, x = 1 y x = −1
x ∈ (−∞, −1) f (x) < 0
x ∈ (−1, 0)
f (x) > 0
Signos de la función:
x ∈ (0, 1)
f (x) < 0
x ∈ (1, ∞)
f (x) > 0
Gráfico:
R
100
x**3-x
50
0
-50
-100
-10
-5
0
5
Funciones Reales de Variable real
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Algunas Funciones Importantes
Semana05[23/29]
Ejemplos
1
Consideremos la función racional f (x) = x−1
Dom (f ) = \ {1}
No tiene ceros.
x ∈ (−∞, 1) f (x) < 0
Signos de la función:
x ∈ (1, ∞) f (x) > 0
Crecimiento de f : (por intervalos)
R
1 < x1 < x2
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
x1 < x2 < 1
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
0 < x1 − 1 < x2 − 1
1
1
<
x2 − 1
x1 − 1
f (x − 2) < f (x − 1)
f (x − 1) > f (x − 2)
x1 − 1 < x2 − 1 < 0
1 − x1 > 1 − x2 > 0
1
1
>
1 − x2
1 − x1
1
1
<
x2 − 1
x1 − 1
f (x − 2) < f (x − 1)
f (x − 1) > f (x − 2)
Luego f es estrictamente decreciente en (−∞, 1) y en (1, ∞) por separado.
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Semana05[24/29]
Ejemplos
El gráfico de la función f (x) =
1
x−1
es:
100
1/(x-1)
50
0
-50
-100
-2
-1
0
1
2
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4
Algunas Funciones Importantes
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Asíntotas de una función racional
Asíntotas Verticales
Sea
f (x) =
an x n + · · · + a1 x + a0
P(x)
.
=
Q(x)
bm x m + · · · + b1 x + b0
Si x1 , x2 , · · · xr son todas las raices del Denominador, es decir de la función Q(x) pero no del Numerador, o sea
de la función P(x), entonces las rectas x = x1 , x = x2 , . . . , x = xr se llaman Asíntotas verticales de la función
f (x) y se carecterizan por que para valores de x cercanos a dichos puntos la función crece o decrece sin
cotas.
Asíntota Horizontal
Sea
f (x) =
P(x)
an x n + · · · + a1 x + a0
.
=
Q(x)
bm x m + · · · + b1 x + b0
Si n ≤ m la recta y = abmm se llama asíntota horizontal de la función f y se caracteriza por que para valores de
x muy grandes o muy negativos los valores de f (x) se aproximan a dicha recta.
Si n < m entonces am = 0. Luego la asíntota horizontal es y = 0.
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Semana05[26/29]
Observación
El concepto de asíntotas horizontales y verticales puede extenderse a funciones más generales, pero para
formalizar este concepto deberemos esperar hasta el capítulo de Limite de Funciones.
Por el momento se trabajara con funciones racionales y algunas otras donde las asíntotas sean evidentes sin
usar una definición rigurosa.
Ejemplo
f (x) =
R
(x − 1)(x − 2)
x2 − 1
Tiene Dom f = \ {−1, 1}
Asíntota horizontal: y = 1.
Asíntotas verticales: (postulantes x = −1 y x = 1).
Sin embargo x = 1 es raíz del numerador.
x−2
Además si x ∈ Dom (f ) =⇒ f (x) = x+1
,
luego, si x está cerca de 1, la función ni crece ni decrece sin cota.
Por lo tanto la única asíntota vertical es x = −1.
Funciones Reales de Variable real
Algunas Funciones Importantes
Semana05[27/29]
Composición de Funciones
Recordemos que en general si A, B y C son conjuntos de naturaleza arbitraria y f , g son funciones f : A → B y
g : B → C entonces se define la composición de f y g como la función g ◦ f definida por g ◦ f : A → C tal que
(∀x ∈ A)(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
R R
R R
En nuestro caso, dadas dos funciónes f : A ⊆ → y g : B ⊆ → , no siempre se cumple que Im (f ) ⊆ B,
luego la definición de la composición no siempre se puede hacer por este camino.
En consecuencia definiremos la composición simplemente mediante la ley, como se hace frecuentemente con
las funciones reales de variable real, es decir
g ◦ f (x) = g(f (x))
de modo que el dominio será
Dom (gof ) = {x ∈ Dom (f ) : f (x) ∈ Dom (g)}.
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Semana05[28/29]
Funciones invertibles
Sea f : A ⊆
R → Cod (f )
Diremos que f es inyectiva ssi [f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 ].
Gráficamente esto equivale a decir que toda recta horizontal intersecta a lo más en un punto al gráfico de
f.
Diremos que f es epiyectiva ssi Im (f ) = Cod (f )
Gráficamente esto equivale a decir que toda recta horizontal en el codominio de f intersecta al menos en
un punto al gráfico de f .
Diremos que f es biyectiva ssi f es inyectiva y epiyectiva.
Gráficamente esto equivale a decir que toda recta horizontal en el codominio de f intersecta en
exactamente un punto al gráfico de f .
Si f es biyectiva entonces ∀y ∈ Cod (f ) el problema de encontrar x ∈ Dom (f ) tal que y = f (x) tiene solución
única.
Esto motiva la definición de una función llamada función inversa.
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Semana05[29/29]
Función inversa
Función inversa
Sea f : Dom (f ) → Cod (f ) una función biyectiva. se define la función inversa de f como la función f −1 definida
por:
f −1 : Cod (f ) → Dom (f ) tal que [y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y )].
Observación
En el caso de funciones reales de variable real existen varias de ellas que no
son inyectivas o no son epiyectivas y por lo tanto no tienen inversa. sin embargo,
se puede contruir una función inversa por el siguiente metodo.
Sea f : A ⊆
R → R una función cualquiera no invertible.
Se determina B ⊆ A tal que f |B sea inyectiva.
De igual modo se restringe el codomonio a Im (f |B ). Con esto f |B se hace biyectiva y luego invertible.
R
Funciones Reales de Variable real