Álgebra lineal y Geometrıa II SEMINARIO III. 2. Geometrıa Euclıdea

Álgebra lineal y Geometrı́a II
Daniel Hernández Serrano
Darı́o Sánchez Gómez
Departamento de MATEMÁTICAS
SEMINARIO III.
2.
Geometrı́a Euclı́dea
2.1. Problemas de Geometrı́a Euclı́dea.
14. Demuestra que la aplicación:
T
2
R
C × C −→
(z, z 0 ) 7→ Im(z · z 0 ) = parte imaginaria de z · z 0
define una métrica simétrica sobre el R-espacio vectorial de los números complejos C = h1, ii y
calcula su matriz asociada en la base h1, ii. ¿Es euclı́dea?
15. Demuestra que la aplicación:
R3 × R3 → R
((x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 )) 7→ xx0 + yy 0 + 3zz 0 − 2xz 0 − 2zx0
define una métrica, calcula su matriz asociada en la base canónica y comprueba que es simétrica.
16. Sea:


0 1 0
G = 1 0 0
0 0 1
la matriz de una métrica T2 .
a) Comprobar que es simétrica e irreducible.
b) Calcular el subespacio ortogonal a V = h(1, 1, 2), (1, 0, 1)i. ¿Son sumplementarios V y V ⊥ ?
c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuación y = 0. ¿Son sumplementarios π y π ⊥ ?
17. En el espacio euclı́deo R3 con la métrica habitual calcula los ángulos que forma la recta:
x−1
y−2
z−3
=
=
2
2
5
con los ejes coordenados.
18. En el espacio euclı́deo R3 calcula la matriz de la métrica euclı́dea en la base {e1 , e2 , e3 } definida
por:
√
|e1 | = 1, |e2 | = 2, |e3 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 90o , ∠(e1 , e3 ) = 45o , ∠(e2 , e3 ) = 60o
Dados los vectores e = 2e1 − 3e2 y e0 = e1 + e2 − e3 calcula su producto escalar e · e0 y el ángulo
que determinan.
19. En un plano euclı́deo se da una base con las condiciones siguientes:
|e1 | = 1, |e2 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 60o
Calcula la matriz de la métrica en esta base y el ángulo que determinan las rectas de ecuaciones
3x + 2y = 0, x − y = 0, siendo {x, y} las coordenadas en esa base.
20. En el espacio euclı́deo tridimensional se considera el sistema de referencia de base {e1 , e2 , e3 } dada
por las condiciones:
|e1 | = |e2 | = |e3 | = 1, ∠(e1 , e2 ) = 60o , ∠(e1 , e3 ) = ∠(e2 , e3 ) = 90o
Calcula la distancia entre los puntos P y Q de coordenadas en este sistema de referencia P =
(1, 1, 0) y Q = (−2, 3, 1).
√
21. En un plano euclı́deo se da una base {e1 , e2 } con las condiciones |e1 | = 2, |e2 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 45o .
Calcula la ecuación de la circunferencia de radio unidad y centro el punto P = 2e1 + e2 .
22. En el espacio euclı́deo R3 con la métrica habitual, hallar la ecuación de la recta que pasa por el
y
z−1
punto (1, 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta x−1
1 = 2 = 1 .
9
10
Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez
ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO III.
14. Demuestra que la aplicación:
T
2
R
C × C −→
(z, z 0 ) 7→ Im(z · z 0 ) = parte imaginaria de z · z 0
define una métrica simétrica sobre el R-espacio vectorial de los números complejos C = h1, ii y
calcula su matriz asociada en la base h1, ii. ¿Es euclı́dea?
Solución:
La aplicación T2 define una métrica si es bilineal, es decir si es lineal en cada uno de sus factores.
Veámoslo
T2 (z1 + z2 , z 0 ) = Im((z1 + z2 ) · z 0 ) = Im(z1 · z 0 + z2 · z 0 ) =
= Im(z1 · z 0 ) + Im(z2 · z 0 )
= T2 (z1 , z 0 ) + T2 (z2 , z 0 )
T2 (λz, z 0 ) = Im((λz) · z 0 ) = Im(λ(z · z 0 )) = λIm(z · z 0 )
= λT2 (z, z 0 )
Luego es lineal en el primer factor. Por otro lado como z · z 0 = z 0 · z se tiene la simetrı́a T2 (z, z 0 ) =
T2 (z 0 , z), de donde se sigue que T2 es lineal en el segundo factor. Por tanto T2 define una métrica
simétrica.
Para calcular la matriz asociada a T2 respecto de la base {1, i} calculamos el valor de la métrica
sobre los vectores de la base, es decir:
T2 (1, i) = T2 (i, 1) = Im(i) = 1 y T2 (i, i) = Im(i2 ) = 0.
0 1
Luego la matriz de T2 respecto de la base {1, i} es T2 =
.
1 0
En particular para todo vector e ∈ C tenemos que T2 (e, e) = 2xy siendo x, y ∈ R las coordenadas
de e respecto de la base {1, i}, es decir e = x + iy. Tomando por ejemplo x = 1 e y = −1 se tiene
que T2 (1 − i, 1 − i) = −2 < 0, luego la métrica T2 no es definida positiva y en consecuencia no es
euclı́dea.
T2 (1, 1) = Im(1) = 0,
16. Sea:

0
G = 1
0
1
0
0

0
0
1
la matriz de una métrica T2 .
a) Comprobar que es simétrica e irreducible.
b) Calcular el subespacio ortogonal a V = h(1, 1, 2), (1, 0, 1)i. ¿Son sumplementarios V y V ⊥ ?
c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuación y = 0. ¿Son sumplementarios π y π ⊥ ?
Solución:
a) La métrica es simétrica ya que G = Gt y es irreducible porque detG = −1 6= 0.
b) Por definición V ⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 : T2 ((x, y, z), (1, 1, 2)) = 0 y T2 ((x, y, z), (1, 0, 1)) = 0}.
Operando se obtienen las ecuaciones implı́citas de V ⊥ :
x + y + 2z = 0
V⊥ ≡
y+z =0
Como T2 es irreducible, los subespacios V y V ⊥ están en suma directa si la restricción de T2
a V también es irreducible. Calculamos entonces la restricción de la métrica al subespacio V .
Para ello hay que calcular el valor de la métrica sobre los vectores de una base de V . Denotando
e = (1, 1, 2) y e0 = (1, 0,
que:
1) se tiene


0 1 0
1
T2 (e, e) = (1, 1, 2) 1 0 0 1 = 6,
0 0 1  2 
0 1 0
1
T2 (e, e0 ) = (1, 1, 2) 1 0 0 0 = 3,
0 0 1
1
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T2 (e0 , e) = T2 (e, e0 ) 
= 3, por ser
simétrica,


0 1 0
1
T2 (e0 , e0 ) = (1, 0, 1) 1 0 0 0 = 2.
0 0 1
1
Ası́ la restricción de T2 a V tiene por matriz, respecto de la base {e, e0 },
6 3
T2|V =
3 2
cuyo determinante es distinto de 0. Como consecuencia tenemos que V ∩ V ⊥ =Rad T2|V = 0,
luego V y V ⊥ están en suma directa.
c) Como una base de π ≡ {y = 0} es {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} razonando como en el apartado anterior
obtenemos que π ⊥ = {y = 0, z = 0}, siendo una base {(1, 0, 0)}. En particular π y π ⊥ no son
subespacios suplementarios ya que π ⊥ ⊂ π.
22. En el espacio euclı́deo hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta perpeny
z−1
dicularmente a la recta x−1
1 = 2 = 1 .
Solución: De las ecuaciones implı́citas de r se tiene que sus ecuaciones paramétricas son:


x = 1 + λ
r ≡ y = 2λ

z =1+λ
Por tanto un vector de posición de r es e0 = (1, 0, 1) y el subespacio director es Er = h(1, 2, 1)i.
La recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el punto (1, 1, 1) está contenida en el
plano ortogonal a r que pasa por dicho punto. Si denotamos por π a dicho plano se verifica que
π = (1, 1, 1) + Er⊥ , siendo Er⊥ el subespacio de R3 ortogonal a Er . Como nose indicaninguna
1 0 0
métrica se entiende que la ortogonalidad es respecto de la métrica estandar 0 1 0. Luego
0 0 1
Er⊥ = {x + 2y + z = 0} y, en consecuencia, el plano π tiene por ecuación π ≡ x + 2y + z − 4 = 0.
La recta pedida será aquella que pasa por el punto (1, 1, 1) y el punto r ∩ π. Para calcular r ∩ π
debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales:

x=1+λ



 y = 2λ
z =1+λ




0 = x + 2y + z − 4
4 2 4
Sustituyendo se tiene que 6λ − 2 = 0, de donde se sigue que r ∩ π = ( , , ).
3 3 3
Finalmente la recta buscada será s ≡ (1, 1, 1) + h(1, −1, 1)i, cuyas ecuaciones implı́citas son
x+y−2=0
s≡
y+z−2=0