2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
Inecuaciones de primer grado
Lasinecuaciones lineales se resuelven de la misma manera que las ecuaciones. Esimportante
que, cuando lleguemos al final de la resolución de la inecuación, apliquemos lo siguiente:
. a>O=}x<- b
SI
ex c b e»
j si a<O=}x>- ~a
Esdecir, siempre que un número negativo cambie de término multiplicando o dividiendo,
debemos cambiar el sentido del signo de la inecuación.
11. Resuelve la inecuación 2(3x - 4) - 3{4x
+ 2) ::; O.
Eliminamos los paréntesis igual que en una ecuación normal y separamos la incógnita x:
2 (3x - 4) - 3(4x + 2) ::; O --t 6x - 8 - 12x - 6::; O -+ -6x::; 14
Aislamos la incógnita teniendo presente la propiedad de la desigualdad comentada
anteriormente:
14
-6x<14=}x>-=}x>-=}
-
- -6
-7
- 3
[-7
- 00)
3'
Resulta adecuado expresar el resultado en un intervalo y también gráficamente.
-713
-----'---~-_
-3
-2
.._~--~-~-~.
-1
O
,.
"
Inecuaciones de segundo grado
12. Resuelve la inecuación xl - 7x
+ 12 ::; O.
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x2-7x+12=O=}x=
7±~
2
7±1={X=4
2
x=3
Escribimos la inecuación factorizada: x2
Ahora podemos decir que si:
(x-3)(x-4)::;O=}
-
7x + 12 ::; O
!
(X-3)::;O y (x-4)~O=}x::;3
o
(x-3kO
y (x-4)::;O=}x~3
-+
(x - 3)(x - 4) ::; O
y x~4=}x={0}
y x::;4=}x=[3,4]
Otra alternativa consiste en representar en una recta real los puntos que anulan la
ecuación y elegir un punto de cada intervalo para ver si cumple la inecuación.
3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ecuaciones exponenciales
En una ecuación exponencial, la incógnita está en el exponente y nos podemos encontrar
con cuatro casos diferentes:
• Conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.
• Aplicar un cambio de variable.
• Extraer factor común.
• Aplicar logaritmos.
Para resolver las ecuaciones puede ser necesario aplicar las propiedades de las potencias y raíces.
Operación
Potencia
Producto
a
_=a
x-Y
x
¡División
aY
Potencia
, (a . b)x
: Potencia d~ producto
= él"
.
ti'
I Raíz de raíz
Potencia de división
Ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica la incógnita está afectada por un logaritmo. El logaritmo en
base a de x es m si cumple que a elevado a m es igual a x:
10g x
B
= m -->
=x
am
Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:
!I
Expresión matemática
¡ 10g x + 10g Y = 10g (x . y)
Operación
Suma de logaritmos
B
Resta de logaritmos
; 109. x - 109. Y
B
=
109. (x I y)
.
; log xn = n ·Iog x
Logaritmo de una potencia
.'
,
log
Logaritmo de una raíz
--- ----
B
I
----_ ..-----------------------
Potencia de un logaritmo de igual base
•
!I/X = 2 . log x
n
a
----------------
-----~. ---
-_.-
aloga• = x
------------------
Logaritmo de una potencia de igual base
10g a = x
X
B
--'-------~----------------------
---------
log.1 = O
-----------------
Logaritmo de 1
La estrategia para resolver las ecuaciones logarítmicas consiste en transformar la ecuación hasta obtener 10g m = 10g n --> m = n; y entonces se resuelve la ecuación algebraica siguiente.
Para ello usaremos las propiedades descritas anteriormente; y si tenemos un número natural
B
B
lo transformaremos en logaritmo.
Una vez resuelta se deberá comprobar que la solución no provoque la existencia de un 109aritmo de un número negativo o de o.
Inecuaciones
racionales
Llamamos ceros o raíces de una ecuación a los valores que dan cero en el numerador.
Denominamos polos de una ecuación a los valores que dan cero en el denominador.
Para resolver inecuaciones racionales procederemos del siguiente modo:
1.0 Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad.
2.° Encontramos los ceros y los polos de la ecuación.
3.° Representamos los valores obtenidos en una recta real.
4.° Probamos un punto de cada intervalo en la inecuación; si el punto verifica la inecuación, el intervalo correspondiente
es la solución.
5.° Los polos nunca son soluciones; es decir, los intervalos para estos extremos son siempre
abiertos.
4
13. Resuelve la inecuación racional x' -3 >0
•
x+
Siguiendo
-
los pasos indicados anteriormente:
x' -4 = O=>{raíces x = ±2
x+3
polos x =-3
Representamos los valores obtenidos
ces y con puntos vacíos los polos.
en una recta indicando
con puntos llenos las raí-
~
.
-4
I
-3
-2
I
o
-1
i
,
I
I
2
3
4
Obtenemos los intervalos siguientes (-00, -3), (-3, -2], [-2, 2] Y[2, (0)
Probamos un punto de cada intervalo en la inecuación:
25-4
-5+3
21
.
<O =>no cumple la desigualdad.
-2
(-00, -3); x =-5=>--=-
(-3, -2];
x' -4 >O=>
x+3 -
[-2,2]; x = O => ~
[2,00);
Por tanto,
x =-2,5
x
=
=> 6,25-4
-2,5+3
4
3 => 9-4
3+3
-2
0,5
< O => no cumple la desigualdad.
= ~ > O =>sí cumple la desigualdad.
6-
la solución de la desigualdad
-3
2,252 O=> sí cumple la desigualdad.
o
es (-3, -2] < [2, 00).
2
Sistemas de ecuaciones
Generalmente, los sistemas de ecuaciones suelen tener tantas ecuaciones como
incógnitas.
El procedimiento más habitual para resolver los sistemas es el método de sustitución:
1.° Aislamos la incógnita más fácil en la ecuación más sencilla.
2.0 Sustituimos esta incógnita en la otra ecuación.
3.0 Resolvemos la ecuación que nos quede, encontrando una incógnita.
4.0 Encontramos la otra incógnita a partir de la expresión que hemos hallado en el primer paso.
10. Resuelve el sistema:
x-2y=-S
x2 + y2 -4x-2y-20=O
}
Procedimiento
Resolución
Aislamos la incógnita más fácil
en la ecuación más sencilla.
x= 2y - 5
La sustituimos en la segunda
(2y - 5)2
ecuación.
+ y2
- 4(2y - 5) - 2y - 20 = O
Resolvemos la ecuación.
4y2 - 20y + 25 + y2 - By + 20 - 2y - 20 = O
5y2 - 30y + 25 = O
y2 - 6y+ 5 = O
y= 5; y= 1
Encontramos
Y=5=>X=5
{y=1=>x=-3
la otra incógnita.