sistema

SEMANA 9
CURSO: CONTROL AUTOMATICO
PROFESOR: MSC. CESAR LOPEZ AGUILAR
RESPUESTAS DEL SISTEMA
CONTENIDO
1. INTRODUCCION
2. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
3. LA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
4. SEÑALES DE ENTRADA
5. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
6. PRACTICA DE TEORIA
III. BIBLIOGRAFIA
W. Bolton, Año 2001 Ingeniería de Control. Cap. 3
1. INTRODUCCION
Sea un resorte suspendido en forma vertical, si se suspende un
peso, la deformación del resorte se incrementa abruptamente y
así puede oscilar hasta que después de un tiempo se asienta en un
valor estable.
El valor estable es la respuesta en estado estable del resorte.
La oscilación que se presenta antes de este estado estable es la
respuesta transitoria.
figura 1.a Respuesta de un sistema
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figura 1.b Respuesta de un sistema
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1. INTRODUCCION
La respuesta de un sistema de control o de un elemento
del sistema, está formada por dos partes:
• La Respuesta transitoria, es la parte de la respuesta de
un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la
entrada y desaparece después de un breve intervalo.
•La Respuesta en estado estable, es la respuesta que
permanece después de que desaparecen todos los
transitorios.
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figura 1.b Respuesta de un sistema
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La entrada al sistema resorte es una cantidad que varía con el
tiempo, esta entrada es el peso. Durante cierto tiempo no se
adiciona peso, y es hasta después de este tiempo que se agrega
el peso. Este tipo de entrada se conoce como Entrada tipo
escalón. Ejemplo los martillos hidráulicos.
Un diagrama se bloques sería tal como se muestra en la siguiente
figura
Entrada
d(t)
W(t)
SISTEMA
Peso como
una función
del tiempo
0
Desplazamiento
como una
función del
tiempo
Tiempo
SEÑAL ESCALON
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figura 2. Diagrama de bloque, entrada y salida en función del tiempo
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1. INTRODUCCION
Para describir por completo el comportamiento de un sistema,
el modelo debe considerar la relación de entradas y las salidas,
los cuales son función del tiempo y, por lo tanto son capaces
de describir los comportamientos tanto transitorio como en
estado estable. Así se necesitará un modelo que indique cómo
variará la repuesta del sistema con el tiempo.
θi(t)
θo(t)
SISTEMA
figura 3. Diagrama de bloque para un sistema de entrada y salida en función del tiempo
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1. INTRODUCCION
El tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el
comportamiento de un sistema de control o elemento del
sistema de control, es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas.
Estas se pueden clasificar en:
1.
Primer Orden ,
dx/dt
2.
Segundo Orden,
d(dx/dt)/dt = d²x/dt²
3.
Tercer Orden,
d³x/dt³
Los métodos de solución de estas ecuaciones son :
1. Prueba una solución.
2. Transformaciones, es decir que se pueda manejar mediante
álgebra convencional.
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2. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Un tanque de un agua controlado por un flotador, fig. 5.
dh = k(H-h) ……..ec. 1
donde : dh/dt es la razón de cambio
dt
de la altura y k, una constante
Mientras sube el nivel del agua el valor de (H-h) es menor, y de esta
forma es menor de cambio de la altura con el tiempo (dh/dt). Una gráfica
de la altura de agua contra el tiempo se muestra en la fig. 6. La ecuación
que describe esta gráfica es:
h= H (1-e-kt) ……..ec. 2
En este sistema se puede considerar como entrada la atura requerida H y
como salida h, ver fig. 7
h
H
H
H
SISTEMA
h
t
Fig. 5
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h
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Fig. 6
Fig. 7
7
2. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Un capacitor en serie con un resistor (fig. 8)
dVc = 1 (V-Vc) ……..ec. 3 Donde : dVc/dt es la razón de cambio
dt
RC
de Vc y es proporcional a (V-Vc). R es la
resistencia y C la capacitancia.
La Fig. 9, muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la
ecuación Vc= V (1-e-t/RC) ……..ec. 4
Se puede considerar que este sistema, tiene la entrada el voltaje V y como
salida la diferencia de potencial Vc (fig. 10)
Vc
V
Vc
V
V
Fig. 9
SISTEMA
Fig. 8
t
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Vc
Fig. 10
8
CONCLUSION
Todos los sistemas de primer orden tienen la característica
que la razón de cambio de alguna variable es proporcional
a la diferencia entre esta variable y algún valor de ajuste de
la variable.
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3. LA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
Una ecuación diferencial de primer orden es en general de la forma
a1 dΦo + ao Φo = bo Φi
dt
………..ec. 5
Donde a1, ao, bo son constantes, Φi es la función de entrada
al sistema y Φo la salida, dΦo/dt es la razón de cambio a la
cual la salida cambia con el tiempo.
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4. SEÑALES DE ENTRADA
Tiempo
Tiempo
FIG. 11 SEÑAL ESCALON
Entrada
Tiempo
FIG. 11 SEÑAL SENOIDAL
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0
0
0
0
Entrada
Entrada
Entrada
FIG. 12. SEÑAL IMPULSO
Tiempo
FIG. 13 SEÑAL RAMPA
Las señales de entrada al sistema pueden adoptar
diferentes formas, la más común es la de
escalón; ésta se presenta cuando la entrada
cambia de valor de manera abrupta. Un ejemplo de
este caso es cuando el voltaje se conecta a un
circuito. Un impulso es una entrada de corta
duración, una rampa es una señal que se
incrementa en forma estable y una entrada
senoidal es aquella que se describe por senwt.
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5. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
a1 dΦo + ao Φo = bo Φi Esta es nuestra ecuación
dt
Se hace la sustitución Φo = u +v
u =respuesta transitoria
v = Respuesta forzada
Para una entrada Φi tipo escalón, la solución es:
Φo = (bo / ao ) Φi (1-e- ao t/ a1)
La solución es diferente si la señal es tipo rampa o tipo senoidal.
Entrada
Salida
bo/ao
Φi
0
Tiempo
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Φo
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tiempo
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6. PRACTICA DE TEORIA
1. Explique dos diferencias entre respuesta transitoria y respuesta en
estado estable.
2. Cuáles son los tipos de ecuaciones diferenciales.
3. Cuales son los tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales, en éste
módulo cuál de ellas se estudia.
4. Cual es el modelo matemático de un tanque controlado por flotador,
grafique la respuesta del sistema.
5. Cuál es el modelo matemático de un capacitor en serie con un resistor,
grafique la respuesta del sistema.
6. Exprese la forma general de una ecuación diferencial y explique sus
elementos.
7. Cuales son los tipos de señales, cual de ellas es la más común.
8. Expresar las ecuaciones 1 y 3 en una ecuación diferencial de primer
orden similar a la ecuación 5, e indicar las constantes, las funciones de
entrada y salida.
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9.
Mediante valores reales, construir las gráficas de las ecuaciones 2 y 4
10. Cuál será la forma de la ecuación diferencial cuando un termómetro se
sumerge en un líquido caliente a una temperatura Th. Cuál será la
ecuación de la gráfica de T contra el tiempo. Graficar el sistema de
control.
11. Cuál será la forma de la ecuación diferencial para un circuito que
consta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuál será la
ecuación de la gráfica de Vl contra el tiempo. Graficar el sistema de
control.(Vl= tensión del inductor).
12. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un
sistema eléctrico formado por resistor en serie con un capacitor.
Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón.
13. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un
sistema formado por un tanque de agua controlado por un flotador.
Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón.
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