4 SEL

Bloque 4:
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ( SEL )
Definiciones y propiedades
Definición 1. Llamaremos SEL al conjunto de igualdades siguientes:
aij
sonloscoeficientes
i=1....p,j=1.....q
⎧ a11x1 + a12 x 2 + ...... + a1q x q = b1 ⎫
⎪a x + a x + ...... + a x = b ⎪
xi i=1....q lasincógnitas
2q q
2⎪
⎪⎪ 21 1 22 2
⎪ (I)
donde
.......
.........................
⎨
⎬
⎪
⎪
bj j=1....p
losterminos independientes
................................
⎪
⎪
.............
⎪⎩ a p1x1 + a p2 x 2 + ...... + a pq x q = b1 ⎪⎭
(I) Es un sistema de ecuaciones lineales, p ecuaciones y q incógnitas.
El SEL se puede expresar en forma matricial:
⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
a1q ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
⎟ . ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟ ..... (II)
a pq ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ xq ⎠ ⎝ bp ⎠
⎛ a11
⎜
⎜
⎜a
⎝ p1
que en forma simplificada es:
A.X=B
(III)
(I), (II), (III) se pueden considerar como las ecuaciones de una aplicación lineal f: Kp → Kq
(x
1
x2
⎛ a11
⎜
.... xq ) . ⎜
⎜ a1q
⎝
a pq ⎞
⎟
⎟ = ( b1 b2
a pq ⎟⎠
.... bp )
Definición 2. Llamamos solución del SEL (III) A·X=B, a todo vector s de K / A·s = b.
Definición 3. Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y S2 son equivalentes cuando tienen las
mismas soluciones.
Definición 4. Si b = 0 el SEL se llama HOMOGENEO (SELH). Un SELH siempre tiene al menos
una solución X = 0.
Según las soluciones los sistemas se clasifican en:
Determinado SCD (única)
* COMPATIBLE (tiene solución)
Indeterminado SCI ( ∞ soluciones)
* INCOMPATIBLE (sin solución) SI
fqg
Algebra1 Lineal EII
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Interpretación de un sistema de ecuaciones lineales y su resolución desde el punto de vista de las
aplicaciones lineales
Un SEL (III) A.X = B puede interpretarse como la ecuación de una aplicación lineal:
f: Kp → Kq cuya ecuación sabemos que es de la forma y=x.M siendo M la matriz de f.
⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎛ a11
a1q ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
En efecto el SEL ⎜
⎟ . ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟ ..... puede escribirse (tomando las traspuestas) como
⎜a
a pq ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p1
⎝ xq ⎠ ⎝ bp ⎠
⎛ a11
a pq ⎞
⎜
⎟
( x1 x2 .... xq ) .⎜
⎟ = ( b1 b2 .... bp ) que sería la ec. de una aplicación f
⎜a
a pq ⎟⎠
⎝ 1q
“Resolver” el SEL será encontrar un vector s ∈ Kq / f(s)=b.
Esto es, el conjunto de soluciones de un SEL es f-1(b) (o sea el conjunto de originales de b).
f-1(b)={ s ∈ Kq / f(s)=b }
- Un sistema es incompatible si f-1(b)=∅ ⇔ b ∉ Imagen de f
- Un sistema será compatible si f-1(b) ≠ ∅ (será SCD si f-1(b) es un conjunto unitario)
Si la aplicación es suprayectiva el sistema es compatible.
Si es inyectiva y es compatible entonces es determinado (obviamente si es biyectiva es SCD).
La solución de un SELH (homogéneo) es f -1(0) ⇔ las soluciones son el Ker(f), esto es como
sabemos que el sistema siempre es compatible pues el Ker(f)≠∅, al menos siempre tiene el vector 0.
4.2 SISTEMAS DE CRAMER.
Regla de Cramer.
Definición 1. Un SEL se llama de CRAMER cuando p = q (cuadrado) y además |A|≠ 0.
(IV)
A·X=b y |A|≠ 0. ⇔ r(A)=p
TEOREMA.- Un sistema de CRAMER siempre es COMPATIBLE.
En efecto: si A·X =b
y
|A|≠ 0 entonces X=A-1.b
(Pues si el determinante de A es distinto de 0 entonces existe la matriz inversa de A)
Regla de Cramer.Δ
La solución de un sistema de CRAMER, viene dada por la expresión:
xi = i
A
donde Δ i es el determinante que resulta de sustituir la columna i de A
por el vector b.
En efecto:
fqg
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Si A·X=b entonces
⎛ A11 A 21
⎜
1 ⎜ A12 A 22
X=A-1·b, y dado que A −1 =
A ⎜ ... ....
⎜⎜
⎝ A1p A 2p
A p1 ⎞
⎟
A p2 ⎟
... ... ... ⎟
⎟
...
A pp ⎠⎟
...
...
Sustituyendo
tenemos:
⎛ x1 ⎞
⎛ A11
⎜ ⎟
x
1
⎜
2
.⎜ ⎟ =
⎜ ... ⎟ | A | ⎜
⎜ A1p
⎜⎜ ⎟⎟
⎝
x
q
⎝ ⎠
⎛ p
⎞
⎜ ∑ bi .A i1 ⎟
⎜ i =1
⎟
⎛ b1 ⎞
… A p1 ⎞ ⎜ ⎟
⎜ p
⎟
1 ⎜ ∑ bi .A i2 ⎟
⎟ ⎜ b2 ⎟
⎟ ⎜ ... ⎟ . = | A | . ⎜ i =1
⎟ esto es que cada xk viene dado por:
⎜ .... ⎟
A pq ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟
b
⎜ p
⎟
p
⎝ ⎠
⎜ b .A ⎟
⎜ ∑ i ip ⎟
⎝ i =1
⎠
a11
a12
a13
a 21
⎞
1 ⎛ p
1
...
xk =
⎜ ∑ bi A ik ⎟ =
| A | ⎝ i =1
⎠ |A| b
1
a 22
a 23 ... a 2p
...
...
...
...
b2
b3
...
bp
a p1 a p2
... a1p
⇔
xk =
Δk
A
k = 1,..., p cqd
a p3 ... a pp
4.3 TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS.Sea el SEL (I), éste se puede expresar de la forma:
⎛ a1i ⎞
⎛ a12 ⎞
⎛ a1q ⎞
⎛ a11 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
a 2i
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b
a
a
a
A i = ⎜ ⎟… y
⎜ 21 ⎟ x + ⎜ 22 ⎟ x + .......... + ⎜ 2q ⎟ x = ⎜ 2 ⎟ y si llamamos
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟ 1 ⎜ .. ⎟ 2
⎜ .. ⎟ q ⎜ .. ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ a pi ⎠
a
a
a
b
⎝ p1 ⎠
⎝ p2 ⎠
⎝ pq ⎠
⎝ p⎠
El SEL quedaría de la forma (V):
A1 x1+ A2 x2+ …..+ Aq xq = b
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
b2
b=⎜ ⎟
⎜ .. ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ bp ⎠
Si convenimos en llamar A a la matriz de coeficientes ( pxq )
y A* a la matriz ampliada ( px( q+1) ), esto es A* = (A|b)
El teorema de ROUCHË-FROBENIUS dice:
El SEL (I) es COMPATIBLE
⇔ r(A)=r(A*)
En efecto, supongamos que (V) tiene solución ⇒ ∃ el vector s∈Kq que cumple que
A1 s1+ A2 s2+ …..+ Aq sq = b siendo s=(s1,s2,…..,sq)
Esto significa que el vector b es c.l. de los Ai, o sea que r(A)= r( A*)
cqd
Supongamos que el r(A)=r(A*) = r y sea el menor no nulo, el formado por las r primeras filas y r
primeras columnas:
fqg
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a11 a12 ... a1r
a 21 a 22 ... a 2r
..
a r1
..
ar2
Esto es, las p-r ecuaciones últimas son c.l., de las r primeras. Nos
≠ 0 olvidamos pues de ellas.
... ..
Y las q-r incógnitas xr+1, ..., xq las pasamos al 2º miembro y el sistema
quedaría:
... a rr
⎧ a11x1 + a12 x 2 + ...... + a1r x r = b1 − a1,r +1x1,r +1 − ..... − a1,q x q ⎫
⎪a x + a x + ...... + a x = b − a x
⎪
2r r
2
2,r +1 2,r +1 − ..... − a 2,q x q ⎪
⎪⎪ 21 1 22 2
⎪
.........................
⎨
⎬
⎪ a x + a x + ...... + a x = b − a x
⎪
rr r
r
r,r +1 r,r +1 − ..... − a1,r x q
⎪ r1 1 r 2 2
⎪
........................................
⎩⎪
⎭⎪
que es un SEL de CRAMER de tamaño r, con determinante distinto de cero y, por ello, como todo
Sistema de Cramer tiene solución, o sea, es COMPATIBLE.
Corolario 1: EL SEL. (I) es incompatible ⇔ r(A) = r(A*)
Corolario 2: Si el r(A) = r(A*)= nº incógnitas ⇒ el SEL es DETERMINADO.
Corolario 3: Si el r(A)=r(A*) ≠ nº incógnitas ⇒ el SEL es COMP. INDETERMINADO
Caso de sistemas lineales Homogeneos SELH
TEOREMA 1.- Un SELH., es siempre compatible (por el teorema de ROUCHE-FROBENIUS
el r (A) = r(A*) siempre en los SELH).
TEOREMA 2.- La condición necesaria y suficiente para que un SELH tenga soluciones distintas
de la trivial es que el r(A) < nº incógnitas.
4.4 MÉTODO DE GAUSS de resolución de SEL .Dado cualquier SEL pxq de matriz de coeficientes A, planteamos su matriz ampliada A*=(A|b) que
es de tamaño px(q+1).
El método de Gauss consiste en convertir, mediante operaciones elementales la matriz ampliada en
matrices equivalentes, hasta llegar a una matriz triangular equivalente.
El sistema equivalente obtenido sería triangular (escalonado) que es un sistema de ecs. recurrente y
fácil de resolver.
Los casos posibles de resolución serían:
i)
ii)
iii)
Que la última ecuación sea de la forma a.xn =b con a≠0 , entonces xn= b/a y las demás
incógnitas se obtienen recurriendo a l ec. inmediatamente superior el SEL es SCD.
Si en la última ecuación no quedase más de una incógnita, ak1xk+……+akpxp=b, sería un
sistema de ecs. con p-k grados de libertad esto es que las soluciones vendrían dadas de la
Sería un
forma: xk=f(α, β, γ, ….δ) donde xk+1= α, xk+2= β,, ….., xq = δ,………
SCI
Que la última ecuación no tenga incógnita y sea del tipo (por ejemplo) 0.x=3 que es una
incongruencia….. esto es que el sistema es INCOMPATIBLE.
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