1 1. Gráficas Gráficas Una gráfica es un par G = (V, E) de conjuntos tal que E ⊆ V2 . Los elementos de V son los vértices de G, y los elementos de E son las aristas de G. Una manera natural de ver una gráfica es poner puntos para los vértices y una lı́nea entre dos puntos si los vértices correspondientes son adyacentes. Figura 1: Dos representaciones de K4 El conjunto de vértices de una gráfica G se denota V (G), y el conjunto de aristas como E(G). El número de vértices de una gráfica G es el orden de G, escrito como |G|. El número de aristas es el tamaño, escrito como kGk. Las gráficas son finitas o infinitas si su orden es finito o infinito, respectivamente. Un vértice x es incidente con una arista e (y una arista e es incidente con un vértice x) si x ∈ e. Los dos vértices incidentes con una arista son los vértices terminales. Una arista {x, y} es generalmente escrita como xy. Dos vértices x, y son adyacentes o vecinos si xy es una arista de G. Dos aristas e 6= f son adyacentes si e ∩ f 6= ∅. Si cada par de vértices de una gráfica G es adyacente, entonces G es completa. Una gráfica completa sobre n vértices se denota Kn . Un conjunto de vértices o de aristas es independiente (o estable) si no tiene elementos adyacentes. Sean G = (V, E) y G′ = (V ′ , E ′ ) dos gráficas. Decimos que G y G′ son isomorfas (escrito G ∼ = G′ ) si existe una biyección φ : V → V ′ tal que xy ∈ E si y ′ solo si φ(x)φ(y) ∈ E para todos x, y ∈ V . El mapeo φ se llama un isomorfismo; si G = G′ entonces φ es un automorfismo. En general no distinguimos entre gráficas isomorfas, y escribimos G = G′ en vez de G ∼ = G′ . La unión y la intersección de dos gráficas G1 = (V1 , E1 ) y G2 = (V2 , E2 ) es G1 ∪ G2 = (V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 ) y G1 ∩ G2 = (V1 ∩ V2 , E1 ∩ E2 ), respectivamente. Si G1 ∩ G2 = ∅, entonces G1 y G2 son disjuntas. Si V2 ⊆ V1 y E2 ⊆ E1 entonces G2 es una subgráfica de G1 , y se denota G2 ⊆ G1 . También se puede decir que G1 contiene G2 . Si G2 ⊆ G1 y G2 contiene todas las aristas xy ∈ E1 tal que x, y ∈ V2 , entonces G2 es una subgráfica inducida de G1 y decimos que V2 induce G2 en G1 , escrito G2 = G1 [V2 ]. Entonces si U ⊆ V , G[U ] es la gráfica con conjunto de vértices U y cuyas aristas son todas las aristas de E con ambos vértices terminales en U . G1 ⊆ G2 es generadora si V1 = V2 . Si U es un conjunto de vértices de G, escribimos G − U para G[V \ U ], y decimos que G − U se obtiene eliminando los vértices de U ∩ V y todas las aristas incidentes. G − {x} se abrevia como G − x. Si F es un subconjunto de V , entonces G − F = (V, E \ F ) y G + F = (V, E ∪ F ) y como antes G − {e} 2 y G + {e} se abrevia como G − e y G + e. Gráficas G1 G 2 G2 Figura 2: Una gráfica G con subgráficas G1 y G2 ; G1 es generadora pero no inducida, G2 es inducida pero no generadora Si G1 y G2 son disjuntas, entonces G1 ∗ G2 es la gráfica cuyos vértices son V (G1 ) ∪ (G2 ) y cuyas aristas son E(G1 ) ∪ E(G2 ) ∪ F , donde F = {xy | x ∈ V (G1 ), y ∈ V(G2 )}. El complemento G de G es la gráfica sobre V con conjunto de aristas V2 \ E. La gráfica de lı́neas L(G) de G es la gráfica cuyo conjunto de vértices es E y dos vértices de L(G) son adyacentes si y solo si son adyacentes como aristas en G. Figura 3: La gráfica C5 es isomorfa a su complemento El conjunto de vecinos de un vértice x de G se denota por NG (x), o simplemente por N (x). De manera mas general, los vecinos en V \ U de los vértices en U son los vecinos de U y se denota como N (U ). El grado dG (x) = d(x) de un vértice x es el número de aristas que son incidentes con x. (Con nuestra definición de gráficas d(x) = |N (x)|, pero no es cierto para multigráficas.) Un vértice de grado cero es aislado. El número δ(G) = mı́n{d(x) | x ∈ V } es el grado mı́nimo de G, y ∆(G) = máx{d(x) | x ∈ V } es el grado máximo de G. Si todos los vértices tienen el mismo grado P k, entonces G es k-regular, o simplemente regular. El número d(G) = |V1 | x∈V d(x) es el grado promedio de G; siempre tenemos δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G). Además, tenemos la identidad 1X 1 |E| = d(x) = d(G)|V |. 2 2 x∈V Proposición 1. El número de vértices de grado impar es par. P P Demostración. Una gráfica sobre V tiene 21 x∈V d(x) aristas, entonces x∈V d(x) es un número par.