1. Gráficas

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1.
Gráficas
Gráficas
Una gráfica es un par G = (V, E) de conjuntos tal que E ⊆ V2 . Los elementos de V son los vértices de G, y los elementos de E son las aristas de G.
Una manera natural de ver una gráfica es poner puntos para los vértices y una
lı́nea entre dos puntos si los vértices correspondientes son adyacentes.
Figura 1: Dos representaciones de K4
El conjunto de vértices de una gráfica G se denota V (G), y el conjunto de
aristas como E(G). El número de vértices de una gráfica G es el orden de G,
escrito como |G|. El número de aristas es el tamaño, escrito como kGk. Las
gráficas son finitas o infinitas si su orden es finito o infinito, respectivamente.
Un vértice x es incidente con una arista e (y una arista e es incidente con
un vértice x) si x ∈ e. Los dos vértices incidentes con una arista son los vértices
terminales. Una arista {x, y} es generalmente escrita como xy. Dos vértices
x, y son adyacentes o vecinos si xy es una arista de G. Dos aristas e 6= f son
adyacentes si e ∩ f 6= ∅. Si cada par de vértices de una gráfica G es adyacente,
entonces G es completa. Una gráfica completa sobre n vértices se denota Kn .
Un conjunto de vértices o de aristas es independiente (o estable) si no tiene
elementos adyacentes.
Sean G = (V, E) y G′ = (V ′ , E ′ ) dos gráficas. Decimos que G y G′ son
isomorfas (escrito G ∼
= G′ ) si existe una biyección φ : V → V ′ tal que xy ∈ E si y
′
solo si φ(x)φ(y) ∈ E para todos x, y ∈ V . El mapeo φ se llama un isomorfismo;
si G = G′ entonces φ es un automorfismo. En general no distinguimos entre
gráficas isomorfas, y escribimos G = G′ en vez de G ∼
= G′ .
La unión y la intersección de dos gráficas G1 = (V1 , E1 ) y G2 = (V2 , E2 ) es
G1 ∪ G2 = (V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 ) y G1 ∩ G2 = (V1 ∩ V2 , E1 ∩ E2 ), respectivamente.
Si G1 ∩ G2 = ∅, entonces G1 y G2 son disjuntas. Si V2 ⊆ V1 y E2 ⊆ E1 entonces
G2 es una subgráfica de G1 , y se denota G2 ⊆ G1 . También se puede decir que
G1 contiene G2 .
Si G2 ⊆ G1 y G2 contiene todas las aristas xy ∈ E1 tal que x, y ∈ V2 ,
entonces G2 es una subgráfica inducida de G1 y decimos que V2 induce G2 en
G1 , escrito G2 = G1 [V2 ]. Entonces si U ⊆ V , G[U ] es la gráfica con conjunto
de vértices U y cuyas aristas son todas las aristas de E con ambos vértices
terminales en U . G1 ⊆ G2 es generadora si V1 = V2 .
Si U es un conjunto de vértices de G, escribimos G − U para G[V \ U ], y
decimos que G − U se obtiene eliminando los vértices de U ∩ V y todas las
aristas
incidentes. G − {x} se abrevia como G − x. Si F es un subconjunto de
V
,
entonces
G − F = (V, E \ F ) y G + F = (V, E ∪ F ) y como antes G − {e}
2
y G + {e} se abrevia como G − e y G + e.
Gráficas
G1
G
2
G2
Figura 2: Una gráfica G con subgráficas G1 y G2 ; G1 es generadora pero no
inducida, G2 es inducida pero no generadora
Si G1 y G2 son disjuntas, entonces G1 ∗ G2 es la gráfica cuyos vértices son
V (G1 ) ∪ (G2 ) y cuyas aristas son E(G1 ) ∪ E(G2 ) ∪ F , donde F = {xy | x ∈
V (G1 ), y ∈ V(G2 )}. El complemento G de G es la gráfica sobre V con conjunto
de aristas V2 \ E. La gráfica de lı́neas L(G) de G es la gráfica cuyo conjunto de
vértices es E y dos vértices de L(G) son adyacentes si y solo si son adyacentes
como aristas en G.
Figura 3: La gráfica C5 es isomorfa a su complemento
El conjunto de vecinos de un vértice x de G se denota por NG (x), o simplemente por N (x). De manera mas general, los vecinos en V \ U de los vértices
en U son los vecinos de U y se denota como N (U ).
El grado dG (x) = d(x) de un vértice x es el número de aristas que son
incidentes con x. (Con nuestra definición de gráficas d(x) = |N (x)|, pero no es
cierto para multigráficas.) Un vértice de grado cero es aislado. El número δ(G) =
mı́n{d(x) | x ∈ V } es el grado mı́nimo de G, y ∆(G) = máx{d(x) | x ∈ V } es
el grado máximo de G. Si todos los vértices tienen el mismo grado
P k, entonces
G es k-regular, o simplemente regular. El número d(G) = |V1 | x∈V d(x) es el
grado promedio de G; siempre tenemos δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G). Además, tenemos
la identidad
1X
1
|E| =
d(x) = d(G)|V |.
2
2
x∈V
Proposición 1. El número de vértices de grado impar es par.
P
P
Demostración. Una gráfica sobre V tiene 21 x∈V d(x) aristas, entonces x∈V d(x)
es un número par.