1.7 INTERCONEXIÓN DE SISTEMAS LINEALES Los dos tipos de

1.7
INTERCONEXIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Los dos tipos de interconexión de sistemas más usados son la conexión
serie o cascada y la realimentación. Sus diagramas son:
u1(t)
Sistema 1
y1(t)
u2(t)
Sistema 2
Figura 1.1 Conexión serie
r(t)
u1(t)
+
Sistema 1
y1(t)
y2(t)
u2(t)
Sistema 2
Figura 1.2 Conexión realimentada
y2(t)
1.7.1 CONEXIÓN CASCADA VARIANTE EN EL TIEMPO
Para la conexión serie de la figura. 1.1 los sistemas individuales se
describen por las ecuaciones diferenciales de estado y salida:1
•

x (t ) = A (t) x (t) + B (t) u (t)  sistema 1
1
1
1
1 
1
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)
1
1
1
1
1 
•

x (t ) = A (t) x (t) + B (t) u (t)  sistema 2
2
2
2
2 
2
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)
2
2
2
2
2 
Definiendo el vector de estado aumentado por:
 x (t) 
x(t) =  1 
 x 2 (t)
El sistema interconectado se describe por:
0 
 A (t)
•
1
 x(t) +
x(t) = 
B 2 (t) C1(t) A 2 (t)
Considerando que:
 B (t) 
1

u (t)
B 2 (t)D1(t) 1
u (t) = y (t)
2
1
La ecuación de salida del sistema resulta:
[
]
[
]
y (t) = D (t) C (t) C (t) x(t) + D (t)D (t) u (t)
2
2
1
2
2
1
1
1.7.2 CONEXIÓN CASCADA INVARIANTE EN EL TIEMPO
En este caso se pueden describir las interconexiones en términos de las
matrices de transferencia. Supongamos que las matrices de transferencia
individuales de los sistemas son:
Y (s) = H (s) U (s)
1
1
1
Y (s) = H (s) U (s)
2
2
2
U (s) = Y (s)
2
1
Y (s) = H (s) H (s) U (s)
2
2
1
1
Luego resulta que la matriz de transferencia del sistema es H2(s) H1(s).
Generalmente no se pueden intercambiar.
1.7.3 CONEXIÓN REALIMENTADA VARIANTE EN EL TIEMPO
Se consideran las siguientes ecuaciones diferenciales de estado y salida:
•

x (t ) = A (t) x (t) + B (t) u (t) sistema 1
1
1
1
1 
1

y (t) = C (t) x (t)
1
1
1

•

x (t ) = A (t) x (t) + B (t) u (t)  sistema 2
2
2
2
2 
2
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)
2
2
2
2
2 
Usando el vector aumentado tenemos que:
 A (t)B (t)D (t)C (t) - B (t)C (t)
•
1
2
1
1
2  x(t) + B1 (t) r(t)
x(t) =  1

B (t) C (t)
A (t) 

 0 
2
1
2

Donde se han usado las relaciones:
u (t) = y (t)
2
1
u (t) = r(t) - y (t)
1
2
La salida del sistema es:
[
]
y (t) = C (t) 0 x(t)
1
1
1.7.4 CONEXIÓN REALIMENTADA INVARIANTE EN EL
TIEMPO
Tenemos en términos de matrices de transferencia:
Y (s) = H (s) U (s)
1
1
1
Y (s) = H (s) U (s)
2
2
2
U (s) = R(s) - Y (s)
1
2
U (s) = Y (s)
2
1
Y (s) = H (s) [ R(s) - H (s) Y (s)]
1
1
2
1
Y (s) = [I + H (s) H (s)]- 1 H (s) R(s)
1
1
2
1
1.7.5 ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS INTERCONECTADOS
Para las conexiones anteriores existen los siguientes resultados:
Teorema 1.15 Considere la conexión serie de la figura 1.1, donde
los sistemas 1 y 2 son sistemas invariantes en el tiempo con los
polinomios característicos Φ1(s) y Φ2(s), respectivamente. Entonces
la interconexión tiene el polinomio característico Φ1(s) Φ2(s). Por lo
tanto, el sistema interconectado es asintóticamente estable si y sólo
si ambos sistemas 1 y 2 son asintóticamente estable.
Teorema 1.16 Considere la conexión realimentada de la figura
1.2, donde los sistemas 1 y 2 son sistemas invariantes en el tiempo
con matrices de transferencia H1(s) y H2(s) y los polinomios
característicos Φ1(s) y Φ2(s), respectivamente. El sistema 1 no tiene
conexión directa. Entonces la interconexión tiene el polinomio
característico:
Φ1(s) Φ2(s) det [I + H1(s) H2(s)]
Por lo tanto, el sistema interconectado es asintóticamente estable si
y sólo si el polinomio (1.108) tiene ceros con parte real estrictamente
negativa solamente.