Ondas y Rotaciones

Hoja de Trabajo 21
Ondas y Rotaciones
Dinámica de las Rotaciones I
Jaime Feliciano Hernández
Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa
México, D. F. 15 de agosto de 2012
INTRODUCCIÓN. El aplicar una fuerza a un cuerpo puede producir varias cosas;
puede incrementar su velocidad, detenerlo, hacerlo vibrar o rotar o una combinación
de las anteriores. Una experiencia tan sencilla como el abrir una puerta nos enseña
que la fuerza utilizada puede producir diferentes aceleraciones angulares
dependiendo de donde se aplique la fuerza a la puerta y de su dirección (de la fuerza).
Todo esto nos lleva a la posibilidad de definir un nuevo concepto, la “torca”, que en
analogía a la fuerza en el movimiento de traslación, nos permitirá estudiar el
movimiento de rotación de los cuerpos.
Podemos definir la torca como la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza a
producir o a modificar el movimiento rotacional de un cuerpo. La expresión para la
torca es:
r
τr = rr × F
(1)
r
Aquí, r representa el vector deposición del punto de aplicación de la fuerza F, la torca
r
resultante τ apuntará en una dirección perpendicular al plano que contiene a los
vectores de posición y fuerza. Por otro lado recordando que la magnitud del producto
vectorial es:
r
τr = rr F sen(θ )
Donde θ representa el ángulo formado entre los vectores de posición y fuerza,
podremos escribir esta última expresión como:
r
τr = F [ rr sen(θ )]
r
Generalmente a r sen(θ ) se le conoce comúnmente como el “brazo de palanca”.
Las unidades de la torca en el Sistema Internacional son metro por Newton las
cuales son dimensionalmente idénticas a las del trabajo, pero se debe tener bien
claro que estamos manejando conceptos físicos totalmente diferentes.
A. CONDICIONES DE EQUILIBRIO. Un cuerpo (objeto o sistema), que en cierto
instante está en reposo, seguirá en reposo si la fuerza neta que actúan sobre él es
nula y además la torca neta de estas fuerzas (respecto a cualquier punto), también
es nula. Un cuerpo que está en reposo y continúa en ese estado se dice que está en
equilibrio. Para que un cuerpo esté en equilibrio es necesario que se cumplan las
siguientes dos condiciones:
i) La fuerza neta sobre el objeto debe ser nula.
ii) La torca neta sobre el objeto debe ser nulo.
1
Hoja de Trabajo 21
Consideremos un objeto (cuerpo rígido) formado por N masas { m j } ubicadas en los
r
r
lugares { r j } (respecto a un origen O). Sea F j la fuerza externa que actúa sobre cada
una de las masas m j . Se puede ver que:
A) Si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero entonces el torque neto es
independiente del punto respecto del cual se evalúa. En particular, si el
torque es nulo respecto a un punto, también lo será respecto a
cualquier otro punto.
r
B) Si la fuerza neta FTot que actúa sobre un cuerpo de masa M no es
nula, entonces el punto del cuerpo que es acelerado de acuerdo a la
segunda ley de Newton es el centro de masas. O sea, se tiene que:
r
r
FTot = Mrcm
Debido a la importancia de este resultado lo reiteramos en palabras: La fuerza neta
que actúa sobre un objeto acelera al objeto como un todo. El lugar geométrico que
cumple con la segunda ley de Newton es el centro de masas. O sea que para
analizar el movimiento translacional, toda la masa se puede pensar como si estuviese
concentrada en el centro de masas, siendo ése también el lugar en que se aplica la
fuerza neta.
Corolario: Si la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es nula, entonces el centro de
masas del cuerpo se traslada con velocidad uniforme (o nula).
Observe que no es necesario especificar el punto respecto al cual se está evaluando
la torca neta, ya que, de acuerdo a los resultados expuestos anteriormente, si la
fuerza neta es nula y la torca es nula respecto a un punto, también lo será con
respecto a cualquier otro punto.
A1. ACTIVIDAD EN EQUIPO. Aplica la definición anterior para entender los siguientes
ejercicios.
Ejemplo 1. Considere un objeto (por ejemplo, una barra) que en cierto instante se
encuentra en reposo. Que la fuerza total sobre la barra sea nula, y por lo tanto su
aceleración sea nula, no significa que ésta no empezará a moverse. Una situación de
ese tipo se muestra en la Figura A.
Figura A
Figura B
2
Hoja de Trabajo 21
La fuerza total (es decir, la suma vectorial de la dos fuerzas aplicadas sobre la barra)
es nula y efectivamente la barra como un todo no se trasladará; sin embargo, las dos
fuerzas paulatinamente harán que la barra rote.
Consideremos ahora la palanca mostrada en la Figura B. Ignoremos por un
momento el peso de la palanca. Encontremos las condiciones
para las cuales la
r
barra queda en equilibrio. En otras palabras, ¿qué fuerza F debemos aplicar en el
punto L para mantener la palanca en equilibrio?
r
Hay dos fuerzas que actúan sobre la barra: la fuerza
r F que aplicamos en L y el peso de la
masa M, W .
Ya en la antigüedad los griegos conocían la
r
τr = rr × F
respuesta, y si aplicamos la definición para la
torca, ecuación (1), podemos ver que:
r
Si la fuerza se aplicara en el punto extremo de la
r = Liˆ
barra, en la Figura B, entonces:
r
La fuerza está dirigida en el eje Y, por lo que se
F = Fˆj
puede escribir como:
r
r = Liˆ
La masa M del bloque sobre la barra ejerce una
fuerza hacia abajo en la figura, en el punto x, por lo
r
que:
W = − Mgˆj
Por la tercera ley de Newton, las fuerzas deben
equilibrar la barra , por lo que las torcas deben
Liˆ × Fˆj + xiˆ × (− Mgˆj ) = 0
dejarla en equilibrio, así que la suma de las torcas
debe ser cero:
Aplicando la regla del producto vectorial en cada sumando:
iˆ ˆj kˆ
r r
L × F = L 0 0 = iˆ(0 ⋅ 0 − 0 ⋅ F ) − ˆj (L ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 ) + kˆ(LF − 0 ⋅ 0 ) = kˆLF
0
F
iˆ
ˆj
xiˆ × (− Mg ) ˆj = x
0
0 − Mg
0
kˆ
0 = iˆ(0 ⋅ 0 + 0 ⋅ Mg ) − ˆj (x ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 ) + kˆ( x(− Mg ) − 0 ⋅ 0 ) = − kˆxMg
0
Por lo tanto, tenemos:
Como ambos vectores están en la misma
dirección, podemos prescindir del vector unitario:
r
Despejando F obtenemos:
Podemos escribir esta expresión como:
Donde ε sería una cantidad fraccionaria que
puede tomar valores entre 0 y 1, dependiendo del
punto donde se aplique la masa M.
3
LFkˆ − xMgkˆ = 0
LF − xMg = 0
xMg
L
⎛x⎞
F = ⎜ ⎟ Mg
⎝L⎠
F = εMg
F=
⎛x⎞
⎝L⎠
ε ≡⎜ ⎟
Hoja de Trabajo 21
Si M se coloca en el origen x = 0 y ε = 0 . Por el
contrario, cuando la masa se pone a una distancia
L del origen, entonces x = L y ε = 1 . La gráfica
muestra la variación de ε con respecto a la
posición x .
Bajo estas circunstancias
nombrar a ε ?
¿cómo
podemos
A2. ACTIVIDAD EN EQUIPOS MIXTOS. FÍSICOS Y QUÍMICOS TRAJANDO JUNTOS.
Imaginen que trabajan en la empresa “Cinteishons, Ltd. Co.” que fabrica cintas
adhesivas (“cinta canela”, “cinta gris”, “diurex”, etcétera) y adhesivos como el resistol
gris, el resistol negro, el amarillo 8000, el “rabo de demencia”, etcétera.
El gobierno de México, por la vía de su instituto de migración ha querido frenar la
migración de centroamericanos que suben al tren que los lleva por el territorio
nacional hasta la frontera con Estados Unidos en búsqueda del sueño americano.
Para ello han implementado una serie de acciones que pretenden desalentar a los
migrantes, o por lo menos “hacerlos menos”. Una de estas medidas es que han
engrasado los tubos del tren al que estos se suben de mosca.
Como consecuencia de esa idea genial de engrasar los tubos, es que se reduce el
coeficiente de fricción, y ello ha generado dos nuevas situaciones. Por un lado, llegan
menos migrantes a Tamaulipas porque se caen en el camino, quedando “sembrados”
al lado de la vía del tren, y la otra es que los más aferrados han desarrollado una
fuerza considerable en las manos, producto del esfuerzo que tienen que hacer para
agarrarse.
El pasado miércoles, un grupo de empresarios, vino a pedirle “amablemente” al
dueño, que le fabricara una nueva cinta “modelo narco”, que cumpliera con sus
requisitos. Estas finas personas se quejan porque los centroamericanos que levantan
(no los que se caen sino los que secuestran) ya entrenaron mucho por tener que
sujetarse de “la bestia”, de tal manera que ya son capaces de romper las cintas con
que los amarran, y necesitan urgentemente de un desarrollo tecnológico que
solucione sus problemas y les evite pérdidas en sus ganancias.
Así pues, el dueño de “Cinteishons, Ltd. Co. pidió al Departamento de Química que
diseñara un pegamento para una nueva cinta adhesiva porque los “levantados” se
liberaban muy fácilmente de ella. Los químicos se pusieron a trabajar y pronto
desarrollaron el producto; el cual fue entregado al Departamento de Física para que
hiciera las pruebas pertinentes sobre su resistencia.
Empleando el ejemplo anterior ¿se les ocurre un experimento para determinar si el
pegamento tiene la fuerza suficiente para mantener “la mercancía” en su lugar?
Sugerencia. Se me ocurre que pegaran una barra como la del ejemplo a una mesa, y
luego….
4
Hoja de Trabajo 21
Ejemplo 2. Una viga uniforme de Longitud L cuya masa es de 1.8 kg descansa sobre
sus extremos en dos básculas digitales, como se muestra en la figura. Un bloque de
masa M igual a 2.7 kg reposa sobre la viga, con su centro situado a un cuarto de L a
partir del extremo izquierdo de a viga. ¿Qué lectura mostrarán las básculas?
Solución. Escogemos un sistema de referencia como el que se muestra en la figura.
Y en un diagrama libre de cuerpo en la parte baja:
Estamos considerando la aplicación de 4 fuerzas en diferentes puntos
Los pesos del bloque y de la viga, y las reacciones a la izquierda y a la derecha en los
puntos donde la viga toca las balanzas. Estas últimas son las que nos interesa
conocer, pues son las que manifiestan las mediciones en las balanzas.
Es claro que el peso de la viga se aplica en el centro de masa de ésta.
Las condiciones
de equilibrio son:
i)
La suma
de las
fuerzas
son cero.
n
r
∑F
i =1
ii) La suma
de las
torcas es
cero.
i
n
∑τr
i =1
i
r
=0
r
=0
(en el sentido
vectorial)
Como todas las
fuerzas actúan a
lo largo del eje Y,
∑ Fy = Fl + Fr − Mg − mg = 0
en el primer
caso tenemos:
Fl + Fr − Mg − mg = 0
Por lo tanto:
(A)
Esta ecuación tiene dos variables desconocidas, por lo que se requiere de otra
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Hoja de Trabajo 21
Para considerar
la suma de las
torcas primero
determinamos
los vectores de
posición y de
fuera.
relación que nos permita resolver el sistema.
r
r r
Fl = Fl ˆj
r =0
r
r
r = Liˆ
Fr = Fr ˆj
r
Mg = ( Mg ) ˆj
r L
r = iˆ
4
r
mg = (mg ) ˆj
r L
r = iˆ
2
La condición de
r
⎞ r
⎞ ⎛L
⎛L
equilibrio será
∑τri = −(0 × Fl ˆj ) + (Liˆ × Fr ˆj ) − ⎜⎝ 2 iˆ × (mgˆj ) ⎟⎠ − ⎜⎝ 4 iˆ × ( Mgˆj ) ⎟⎠ = 0
que:
En esta expresión estamos considerando que las rotaciones en contra de las
manecillas del reloj son positivas, mientras que las que van en el sentido de las
manecillas del reloj son negativas.
Calculando los
r
⎛L⎞
⎛L⎞
productos
τri = −(0)( Fl )kˆ + ( L)( Fr )kˆ − ⎜ ⎟(mg )kˆ − ⎜ ⎟( Mg )kˆ = 0
∑
vectoriales
⎝4⎠
⎝2⎠
tenemos:
La torca está
dirigida en el eje
⎛L⎞
⎛L⎞
Z, y en magnitud
∑ τ z = −(0)( Fl ) + ( L)( Fr ) − ⎝⎜ 2 ⎠⎟(mg ) − ⎝⎜ 4 ⎠⎟(Mg ) = 0
tenemos la
igualdad:
⎛L⎞
⎛L⎞
( L)( Fr ) − ⎜ ⎟(mg ) − ⎜ ⎟( Mg ) = 0
Por lo tanto:
⎝4⎠
⎝2⎠
⎛L⎞
⎛L⎞
( L)( Fr ) = ⎜ ⎟(mg ) + ⎜ ⎟( Mg )
⎝2⎠
⎝4⎠
De esta
⎛⎛ m ⎞ ⎛ M ⎞⎞
expresión
( L)( Fr ) = ⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟ Lg
podemos
⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎠
despejar Fr :
Por lo tanto:
Sustituyendo en
(A):
Despejando:
Factorizando:
⎛ ⎛ m ⎞ ⎛ M ⎞ ⎞ Lg
Fr = ⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎠ L
⎛ 2m + M ⎞
Fr = ⎜
⎟g
4
⎝
⎠
⎛ 2m + M ⎞
Fl + ⎜
⎟ g − Mg − mg = 0
4
⎝
⎠
⎛ 2m + M ⎞
Fl = −⎜
⎟ g + Mg + mg
4
⎝
⎠
⎧ ⎛ 2m + M ⎞
⎫
Fl = ⎨− ⎜
⎟ + M + m⎬ g
4
⎠
⎩ ⎝
⎭
Por lo tanto:
⎧ 2 m + 3M ⎫
Fl = ⎨
⎬g
4
⎩
⎭
Podemos
sustituir los
valores:
⎛ 2(1.8kg ) + 2.7 kg ⎞
2
⇒ Fr = ⎜
⎟ 9.8m / s = 15.435 N
4
⎝
⎠
(
6
(B)
(C)
)
Hoja de Trabajo 21
m = 1.8 kg
M = 2.7 kg
⎛ 2(1.8kg ) + 3(2.7 kg ) ⎞
2
⇒ Fl = ⎜
⎟ 9.8m / s = 28.665 N
4
⎝
⎠
¿Cambia en algo si elegimos otro sistema de referencia?
(
)
Ejemplo 2. Un bolichista sostiene en la palma de su mano una bola de boliche cuya
mas M es de 7.2 kg. Como lo muestra la figura (A), el brazo está vertical y el
antebrazo horizontal. ¿Qué fuerzas deberán ejercer el músculo bíceps y la estructura
ósea del brazo sobre el antebrazo? El antebrazo y la mano juntos tienen una masa m
de 1.8 kg, y las dimensiones necesarias son d = 4.0 cm , D = 15 cm y L = 33 cm .
Solución. Nuestro sistema consta del antebrazo y la bola de boliche juntos. La figura
(B) muestra un diagrama libre de cuerpo. Las fuerzas desconocidas son T , la fuerza
ejercida por el músculo bíceps, y F , la fuerza ejercida por el brazo sobre el
antebrazo. Al igual que en el problema anterior todas las fuerzas son verticales.
∑F
Aplicando las condiciones de equilibrio, la suma
de fuerzas debe ser cero.
Despejando:
Por lo tanto:
Análogamente, la suma de las torcas debe ser
cero:
y
= T − F − mg − Mg = 0
T − F − mg − Mg = 0
F = T − mg − Mg
∑τ
z
(A)
= (T )(d ) + ( F )(0) − (mg )( D) − ( Mg )( L) = 0
Td − mgD − MgL = 0
mgD + MgL
d
mgD + MgL
F=
− mg − Mg
d
T=
Por lo tanto:
Sustituyendo este valor en la ecuación (A):
Despejando la fuerza:
mgD + MgL − mgd − Mgd
d
mg ( D − d ) + Mg ( L − d )
F=
d
F=
Reacomodando:
Por lo tanto:
7
(B)
Hoja de Trabajo 21
Si sustituimos los valores en la ecuación (B):
M = 7.2 kg
m = 1.8 kg
(1.8kg )(9.8m / s 2 )(15cm) + (7.2kg )(9.8m / s 2 )(33cm)
T=
d = 4.0 cm
(4cm)
D = 15 cm
L = 33 cm .
T = 648.27 N
Por lo tanto:
Si sustituimos en la ecuación (A):
F = 648.27 N − (1.8kg )(9.8m / s 2 ) − (7.2kg )(9.8m / s 2 )
F = 560 .07 N
Por lo tanto:
W = Mg = 70.56 N
Si comparamos con el peso de la bola de boliche:
Vemos que tanto la fuerza como la tensión son mucho mayores que el peso de la bola, lo que nos dice que
el músculo y los huesos soportan mucho más que ese peso, pero hay límites naturales. ¿Tienes idea de
cuáles son? ¿En algunas competencias, algunos levantadores de pesas pasan estos límites y sus
articulaciones ceden y sus huesos se salen de su lugar o se rompen. Por ejemplo, si el peso de una
mancuerna de pesas olímpicas es de: WP = (250kg )(9.8m / s 2 ) = 2450 N
¡Investiga un poco más sobre esto!
B. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Aplique las ecuaciones del equilibrio mecánico para
resolver los siguientes problemas.
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Hoja de Trabajo 21
Una escalera de masa m y largo L se
encuentra apoyada contra una pared
lisa (o sea, no hay roce entre la
escalera y la pared), formando un
ángulo α con ella. Una persona de
masa M se encuentra sobre la
escalera. ¿Cuál es la fuerza de fricción
que debe existir entre el suelo y la
escalera para que la escalera no
resbale, independientemente de la
altura a la que se encuentra la
persona?
Tres tambores del mismo radio están
arrumbados como se indica en la
figura adjunta. Encuentre la fuerza de
fricción que debe existir entre los
tambores y también entre los
tambores y el suelo de manera que el
sistema no se derrumbe. ¿De qué
será la superficie sobre el suelo para
que no se caiga la pila de tambores?
¿Será mejor poner una cuña?
B1. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del
profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos
en esta actividad, que consiste en:
a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en
cada punto.
a) El mapa conceptual del equipo.
b) Las respuestas personales.
c) Las aportaciones del equipo.
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