Tarea Número 1 Concepto de función

Tarea Número 1
Concepto de función.
Aplicaciones Cuantitativas
Concepto de función.
Uno de los conceptos más importantes en matemática es el concepto de función. El
término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René
Descartes para designar una potencia x n de la variable x . En el mundo que nos
desenvolvemos es habitual que se establezcan reglas de correspondencia que
asocien a los miembros de un grupo con los miembros de otro grupo, por ejemplo:
“para cada automóvil registrado en la ciudad de Santiago le corresponde una placa patente.”
En matemáticas estamos interesados en estudiar una clase especial de correspondencia, la cual
denominamos función. Esta relaciona a cada miembro de un conjunto con un único elemento de
otro conjunto. A continuación se exhibe una definición semi-formal del concepto de función.
Definición (semi formal de función). Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una
regla que hace corresponder a cada elemento x ∈ A uno y solamente un elemento y y ∈ B , el cual
denominamos imagen de x por f. esta correspondencia se denota por y = f ( x ) .
A continuación ilustraremos algunos ejemplos para los cuales es posible determinar la función que
relaciona las variables involucradas en un cierto problema.
Ejemplo 1. Después de observar una fotocopiadora automática de trabajo continuo, el técnico
descubre que por un defecto de funcionamiento, la producción disminuirá en un número constante
de hojas impresas por hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con
desperfectos. Si la hora 30 con desperfecto produjo 3900 hojas.
a. Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la
fotocopiadora con defecto, N, en función de la cantidad de horas t.
Solución. Determinar un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas
por la fotocopiadora en función del tiempo, consiste en relacionar N y t asumiendo que:
N = mt + n
Por lo tanto del enunciado tenemos que:
Si t = 1 ⇒ N = 4480 .
Si t = 30 ⇒ N = 3900 .
De lo anterior tenemos:
4480 = m + n
3900 = 30m + n
⇒ 29m = 3900 − 4480 ⇒ m = −20 ⇒ n = 4500
Por lo tanto la relación que existe entre N y t es N ( t ) = −20t + 4500
Profesor: Miguel Ángel Muñoz Jara.
b. ¿Después de cuántas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420
copias?
Solución. Para dar respuesta a la interrogante planteada, debemos resolver la ecuación
N ( t ) = 4420 , es decir debemos resolver la ecuación:
−20t + 4500 = 4420
⇒ 4500 − 4420 = 20t
⇒ 80 = 20t
⇒t =4
Por lo tanto la fotocopiadora, arrojará 4420 hojas a las 4 horas de funcionamiento con
desperfecto.
Trabajo 1
Resuelva el siguiente problema.
Un gran hospital tiene una flota de 30 ambulancias cada una de las cuales recorre aproximadamente
300Km al día y gasta en promedio 1 galón por cada 15 Km. El precio de la gasolina es de $70 por
galón.
a) Establezca una función que exprese la cantidad de dinero que se necesita para gastos de
gasolina en los siguientes x días.
b) Si la facturación mensual promedio en el último año fue de $1.050.000, determine la cantidad
de días promedio que al mes funcionan las ambulancias.
Profesor: Miguel Ángel Muñoz Jara.