Ecuaciones de Capa Limite

Teoría de Capa limite y
Turbulencia
Fenómenos de Transporte
ILQ – 230 (II – 2011)
Prof. Alonso Jaques
Capa Limite.
• La zona inmediatamente en la región cercana a la superficie,
capa limite (boundary layer), se considera que los efectos de
viscosidad son mas intensos que fuera de esa zona.
Esto permite
considerar dos
regiones para
el análisis de
flujo.
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Capa Limite.
http://accessscience.com/loadBinary.aspx?aID=1699&filena
me=092500FG0050.gif
Espesor de capa Limite δ~ 𝑥
𝑥𝑣∞ 𝜌
Re𝑥 =
𝜇
Transicion de Laminar a
Turbulento,Re𝑥 en el rango de
2 ∙ 105 − 3 ∙ 106
• Diferentes regímenes
de flujo para flujo
perpendicular a un
cilindro.
Adaptado de Bird, Steward, Lightfoot, 2ed. Ch. 4
Ecuaciones de Capa Limite
• Considerando los componentes en la capa limite posible ver
que algunos términos de la misma pueden ser simplificados.
El espesor de la capa limite se toma como referencia donde
la velocidad alcanza el 99% de la velocidad de la corriente
libre.
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Ecuaciones de Capa Limite
• De las ecuaciones de capa limite se
puede considerar algunos términos
como no relevantes, y la presión del
sistema como conocida (Ecuaciones
de Capa Limite de Prandtl),
Ludwing Prandtl (1875-1953)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/P
randtl_portrait.jpg
Ecuaciones de Capa Limite
• Resolviendo las ecuaciones anteriores para las siguientes
condiciones de borde.
𝑣𝑥 𝑦 = 0 = 0
𝑣𝑦 𝑦 = 0 = 0
𝑣𝑥 𝑦 → ∞ = 𝑣∞
• Se obtiene la solución de Blausius (Paul Richard Heinrich
Blasius (1883 – 1970)). El espesor de la capa limite es dado
por.
𝛿=
5,0𝑥
𝜇𝑥
= 5,0
𝜌𝑣∞
Re𝑥
Ecuaciones de Capa Limite
• El arrastre en el flujo pasando por la placa se puede estimar a partir
del esfuerzo viscoso en la superficie.
𝜕𝑣𝑥
𝜏0 =
𝜕𝑦
= 0,332𝜇𝑣∞
𝑦=0
𝜌𝑣∞
𝜇𝑥
• La fuerza sobre la superficie d una placa de longitud b y ancho L
puede ser estimada por integración.
𝐿
𝐹𝐷 = 𝑏
0
1/2
2
𝑣
𝜏0 𝑑𝑥 = 0,664𝑏 𝜇𝜌𝑣∞ 3 𝐿 = 𝐶𝐷 𝜌𝐴
2
𝐶𝐷 = 1,328 Re𝐿
; 𝐴 = 𝑏𝐿
Notar resultado valido para Re menor que valor transicion y 𝑥, 𝐿 ≫ 𝛿
Comparación de velocidades observadas y calculadas para el
flujo tangencial a una placa plana.
Adaptado de Bird, Steward, Lightfoot, 2ed. Ch. 4
Una placa plana de 55x110 cm esta inmersa en una corriente
de aceite SAE 10 a 20°C. Determine cual orientación
produciría una menor fuerza de resistencia al flujo.
Explique como estimaría la resistencia por fricción en un
cartel adosado a un camión, y cuales son las restricciones que
aplican.
Turbulencia
• En régimen turbulento hay fluctuación
de velocidad en todos las direcciones.
Se puede considerar que la velocidad se
puede descomponer en un promedio
en el tiempo y una componente
fluctuante de la velocidad.
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Turbulencia, Ecuaciones Promediadas en el Tiempo
• Se puede re-escribir las ecuaciones anteriores
considerando el promedio en el tiempo.
• Notar que
≠ 0 y en general,
≠ 0.
• Se define la intensidad de turbulencia como, 𝐼 =
Turbulencia, Ecuaciones Promediadas en el Tiempo
• Se puede re-escribir las ecuaciones anteriores considerando el
promedio en el tiempo.
• Notar que ≠ 0 y en general,
≠ 0.
• Se define la intensidad de turbulencia como, 𝐼 =
• Aplicando los valores promediados en el tiempo para la ecuación de
movimiento,
Turbulencia, Ecuaciones Promediadas en el Tiempo
• Analizando los términos quedan, es posible ver la ecuación de
movimiento y la ecuación de continuidad promediada en el tiempo
quedan dadas por,
Turbulencia, Esfuerzos de Reynolds
• Es posible notar que términos adicionales aparecen en la ecuación
anterior. Estos términos son asociados con el las fluctuaciones en
flujo turbulento. Se puede definir un tensor de esfuerzo turbulento
(Esfuerzos de Reynolds).
Turbulencia, Longitud de Mezclado de Prandtl
• A fin de analizar los esfuerzos de Reynolds, se realiza analogía con
respecto al la expresión para esfuerzo viscoso en flujo laminar, por
analogía se define la viscosidad turbulenta 𝜂𝑡 , y difusividad de
vórtice 𝜀𝑡 , como,
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑥
𝑡
𝜏𝑦𝑥 = −𝜂𝑡
= −𝜌𝜀𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑦
• Prandtl propuso que un modelo para la difusividad de vórtice
basado en la distancia que viaja una porción del fluido antes de ser
mezclado.
Turbulencia, Longitud de Mezclado de Prandtl
• Prandtl propuso que un
modelo para la
difusividad de vórtice
basado en la distancia
que viaja una porción
del fluido antes de ser
mezclado. (Recordar
trayectoria libre media).
Turbulencia, Longitud de Mezclado de Prandtl
• En base a lo anterior la fluctuación de la velocidad se puede
expresar como,
𝑑𝑣𝑥
𝑣′𝑥 = 𝐿
𝑑𝑦
• Considerando que la fluctuación de es parecida en ambas
direcciones, 𝑣′𝑥 ≅ 𝑣 ′ 𝑦 ,
𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥
2
′
𝑣′𝑥 𝑣 𝑦 = −𝐿
𝑑𝑦 𝑑𝑦
Turbulencia, Longitud de Mezclado de Prandtl
• Por lo tanto el esfuerzo de Reynolds queda definido como,
𝑡
𝜏𝑦𝑥 =
−𝜌𝐿2
𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑦
• La difusividad de vórtice queda dada por,
𝜀𝑡 =
𝐿2
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
Distribución universal de velocidad en
flujo turbulento
En la proximidad de la pared el
esfuerzo se puede considerar
aproximadamente constante
𝑦: Distancia medida desde la
pared
Análisis de la subcapa laminar
• Efectuar integración
• Definir cantidades
adimensionales
• Perfil de velocidad capa laminar
• y+< 5
Zona turbulenta
• Modelo de Prandtl
• Longitud de mezcla
proporcional a la distancia
de la pared
• Integración del perfil de
esfuerzo
• Condición de borde:
velocidad
aproximadamente cero a
una distancia pequeña
desde la pared
• Adimensionalización de
coordenada posición
• Solución en términos de
parámetros de ajuste
experimentales
Perfil universal de velocidad
Distribución de velocidad en tuberías circulares.
(Perfil Universal de Velocidades)
Adaptado de Bird, Steward, Lightfoot, 2ed. Ch. 5
Perfil de Velocidad en Tuberías Circulares Régimen Turbulento
• En tuberías circulares lisas se puede aproximar el perfil de velocidad
de acuerdo a la siguiente expresión.
• Los valores de n dependen el Re para condición de flujo.
Re = 4 ∙ 103 , 𝑛 = 6 ;
Re = 1.1 ∙ 105 , 𝑛 = 7 ; Re = 3,2 ∙ 1010 , 𝑛 = 10
En tuberías circulares se han obtenido expresiones para
describir perfil de velocidad promediado en el tiempo.
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