C´ALCULO

CÁLCULO
Práctica 3.1
Lı́mites y continuidad de funciones en una variable
(Curso 2013-2014)
1.– Hallar los dominios de las siguientes funciones reales de variable real:
f1 (x) =
x
f3 (x) = ln(ln( )),
2
√
x − 1,
f4 (x) =
f2 (x) = ln (sen(cos x)) ,
x2 − 3
,
x−1
f5 (x) = (f1 ◦ f4 )(x),
2.– Calcular (cuando tenga sentido) los siguientes lı́mites.
Se supondrá que las funciones
involucradas están definidas en el mayor conjunto en el que tienen sentido:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x3 − 1
,
x→1 x2 − 1
e1/x + 2
lim 1/x
,
x→0 e
+3
lim
g)
h)
xn − an
, n ∈ IN, a ∈ IR,
x→a x − a
1 + x 1/x
lim
,
x→0
1−x
i)
lim
j)
|x2
− 1|
lim 2
,
k)
x→1 x + x − 2
p
lim
(x + α)(x + β) − x , α, β ∈ IR.
lim
p
x→0
−|x|,
2
lim x 3−ln x ,
x→0+
7x − 3 (2x−4)
lim
,
x→∞
7x + 3
lim
x→0
lim
x→0
1
,
x
1−
√
1 − x2
,
x2
x→∞
3.– Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en sus dominios de definición. Discutir, en
caso de que la función sea discontinua, si se pueden evitar las discontinuidades redefiniendo
las funciones en los puntos de discontinuidad.
ln(1+x)
, x > −1, x 6= 0
x
f1 (x) =
f4 (x) = E(x)
0,
x=0
|x|
1/x
f2 (x) = e|x−1| , x 6= 0
f5 (x) = 2 , x 6= 0
0,
x=0
1,
x=0
tan x
e
−1
xn cos x1 , x 6= 0, n ∈ IN ∪ {0}
f6 (x) =
f3 (x) = etan x +1 , x 6= π/2
0,
x=0
1,
x = π/2
4.– Construir una función racional g(x) que cumpla:
lim g(x) = −∞
x→∞
lim
x→−∞
g(x) = +∞
g(1) = g(3) = 0
x = 5, x = π 6∈ Domg(x)
5.– Dada la función f (x) : A ⊂ IR → IR
 sen[2π|x+1|]


 x+1
b,
f (x) = √
x,


 c
a−x,
,x ≤ 0, x 6= −1
x = −1
, a, b, c, ∈ IR, a 6= 4
0<x<4
x≥4
se pide:
a) Determinar el dominio de la función f (x).
b) Estudiar la continuidad de la función f (x) en su dominio de definición. Indicar, si es
posible, los valores y/o relaciones entre a, b y c para que f (x) sea continua.
6.– Sea la función
f (x) =

1
 2+x2x x
2+x3x
k − 1 ,
3−x
,
x>0
.
x≤0
se pide:
a) Dominio de f (x). Razonar la respuesta.
b) Calcular el valor de k ∈ IR para que la función sea continua en x = 0.
c) Estudiar la continuidad de f (x) para ese valor de k.
7.– Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios
son una función de la cantidad de agua que almacena. Tales costes, en miles de euros, vienen
dados por la siguiente expresión:
p
c(x) = (104 − x2 ) + 2x
siendo x el volumen de agua almacenada en millones de m3 .
Se pide:
a) Determinar, razonando la respuesta, el dominio de la función c(x).
b) Cuál es el coste cuando la presa está vacı́a?. Para qué volumen de agua el coste de
mantenimiento es de 0 euros?. Para qué volumen de agua el coste de mantenimiento es
de 100 miles de euros?.
c) Encontrar el volumen de agua diario óptimo que debe mantenerse para minimizar el
coste, indicando su valor.
d) Dibujar de forma aproximada la función coste.
8.– Dar un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto sea continua.
9.– Calcular el siguiente lı́mite, a ∈ IR, a > 0.
1
lim a x
x→0−
10.– Indicar un intervalo en el cual pueda asegurarse la existencia de alguna solución para las
siguientes ecuaciones:
a)
x ln x = 1,
b)
x2 + ex = e.
11.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:
(a) Sean f, g: [a, b] → IR dos funciones y α un punto interior de [a, b]
Si f y g son discontinuas en α, entonces f + g también es discontinua en α
Si f (x) ≤ g(x) y g(x) ≤ 1 en un entorno de α y además lim f (x) = 1, entonces lim g(x) = 1
x→α
x→α
Si existen los lı́mites laterales de f en α y son iguales, entonces f es continua en α
Es posible que f y f + g sean continuas en α y g no lo sea
(b) Sea f : [a, b] → IR una función continua que verifica f (a)f (b) < 0. En estas condiciones,
Se puede garantizar que existe un único α ∈ (a, b) que verifica f (α) = 0
Es posible que f (α) 6= 0 ∀α ∈ (a, b)
f alcanza un máximo y un mı́nimo en [a, b]
Es posible que f tenga una ası́ntota vertical en [a, b]
(c) Consideremos la función f : (0, 1] → IR definida por f (x) = sen(1/x).
Se puede extender a [0, 1] de forma que resulte una función continua.
Si le damos cualquier valor en x = 0 obtenemos una función continua a trozos.
f no está acotada.
f es continua.
(d) Sea una función h: D ⊂ IR → IR continua en el intervalo [a, b] y que cumple h( a+b
2 ) = 0.
Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) < 0
Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) > 0
Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) ≤ 0
Ninguna de las restantes es correcta
(e) Si f (x) es continua en el intervalo (a, b), entonces:
Existe un x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ (a, b).
Existe un x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0.
Si existe un x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0, entonces f (a)f (b) < 0.
f (x) podrı́a no estar acotada en (a, b).
(f) Sean f, g : A → IR con A ∈ IR, y α un punto interior de [a, b]
Si f y g son discontinuas en α, f + g no puede ser continua en α
Si f y g son discontinuas en α, f · g no puede ser continua en α
Si f es continua y g es discontinua en α, f · g no puede ser continua en α
Si f es continua y g es discontinua en α, f + g no puede ser continua en α