Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos II
Tema 3: Números Complejos
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
E.T.S.I. Telecomunicación
U.P.M.
[email protected]
Octubre 2009
Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Esquema
1
Cuerpo de los números complejos
2
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
3
Formas trigonométrica y exponencial
4
Raı́z de un complejo
5
Interpretación geométrica de las operaciones en C
6
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos
Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces
un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la
2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos
ecuación x√
α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios
en 2 se tratase.
Esta
√ construcción√pretende que el nuevo conjunto
Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea
√ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los
racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto
la ecuación
√
x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la
ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2.
En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce
un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación
x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R
por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se
denominan números complejos
En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es
el cuerpo de los números complejos.
Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente
debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del
real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo
arbitrario por z, de modo que z = x + iy .
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces
un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la
2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos
ecuación x√
α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios
en 2 se tratase.
Esta
√ construcción√pretende que el nuevo conjunto
Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea
√ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los
racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto
la ecuación
√
x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la
ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2.
En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce
un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación
x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R
por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se
denominan números complejos
En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es
el cuerpo de los números complejos.
Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente
debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del
real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo
arbitrario por z, de modo que z = x + iy .
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces
un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la
2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos
ecuación x√
α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios
en 2 se tratase.
Esta
√ construcción√pretende que el nuevo conjunto
Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea
√ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los
racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto
la ecuación
√
x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la
ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2.
En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce
un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación
x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R
por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se
denominan números complejos
En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es
el cuerpo de los números complejos.
Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente
debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del
real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo
arbitrario por z, de modo que z = x + iy .
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
La ecuación x 2 − 2√= 0, carece de soluciones racionales. Se introduce, entonces
un número nuevo 2, ajeno a los racionales e interpretado como solución de la
2 − 2 = 0, se le vincula a los racionales formando números nuevos
ecuación x√
α =√p + q 2 con p, q ∈ Q y se postula el manejo de éstos como si de binomios
en 2 se tratase.
Esta
√ construcción√pretende que el nuevo conjunto
Q( 2) = {p + q 2 , p, q ∈ Q} sea
√ un cuerpo que comprenda el cuerpo de los
racionales Q y también el número 2 y que en este nuevo conjunto
la ecuación
√
x 2 − 2 = 0 tenga solución. Se dice entonces que el cuerpo Q(√ 2) es la
ampliación del cuerpo Q por agregación del nuevo elemento 2.
En el caso real, aparece la ecuación x 2 + 1 = 0, sin soluciones reales. Se introduce
un número nuevo i, ajeno a los reales e interpretado como solución de la ecuación
x 2 + 1 = 0 (i.e. i 2 = −1), y se construye un cuerpo R(i), ampliación del cuerpo R
por agregación de ese número nuevo i. Los elementos de esta ampliación se
denominan números complejos
En lugar de R(i) suele usarse la notación C, o sea, C := R(i), y se dice que C es
el cuerpo de los números complejos.
Como C es un cuerpo que comprende el número i y reales x, y , necesariamente
debe comprender números de tipo x + iy (o, que es lo mismo, x + yi), suma del
real x y del producto de i por el real y . Es costumbre indicar un complejo
arbitrario por z, de modo que z = x + iy .
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Igualdad de complejos
Observemos que si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 son dos números complejos, la
igualdad z1 = z2 debe necesariamente entenderse de la forma siguiente
^
(z1 = z2 ) ⇔ (x1 = x2 ) (y1 = y2 );
(1)
En efecto, si y1 6= y2 , entonces (por las propiedades de cuerpo inherentes a C) de
x1 + iy1 = x2 + iy2 se deduce que i(y1 − y2 ) = x2 − x1 , o sea,
i = (x2 − x1 )(y1 − y2 )−1 ∈ R,
en contra de la hipótesis i ∈
/ R. Luego, debe ser y1 = y2 y entonces de la igualdad
x1 + iy1 = x2 + iy1 se deduce que x1 − x2 = 0, o sea, x1 = x2 .
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Igualdad de complejos
Observemos que si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 son dos números complejos, la
igualdad z1 = z2 debe necesariamente entenderse de la forma siguiente
^
(z1 = z2 ) ⇔ (x1 = x2 ) (y1 = y2 );
(1)
En efecto, si y1 6= y2 , entonces (por las propiedades de cuerpo inherentes a C) de
x1 + iy1 = x2 + iy2 se deduce que i(y1 − y2 ) = x2 − x1 , o sea,
i = (x2 − x1 )(y1 − y2 )−1 ∈ R,
en contra de la hipótesis i ∈
/ R. Luego, debe ser y1 = y2 y entonces de la igualdad
x1 + iy1 = x2 + iy1 se deduce que x1 − x2 = 0, o sea, x1 = x2 .
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
2
z
2
2
2
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2
2
2
2
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
2
z
2
2
2
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Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
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z
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
2
z
2
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
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z
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
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z
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Operaciones con complejos
Análogamente, puede probarse que:
1 la suma de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 necesariamente viene dada
por
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(2)
2
3
4
para el cero 0 ∈ C ha de verificarse 0 = 0 + i0,
si z = x + iy , para el opuesto −z ∈ C de z ha de ser −z = −x − iy ,
el producto de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 viene dado
necesariamente por
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
5
6
para el uno 1 ∈ C debe ser 1 = 1 + i0,
el inverso z −1 de z viene dado necesariamente por
z −1 =
7
(3)
x
−y
+i 2
,
x2 + y2
x + y2
el cociente de dos números
“ complejos z1 =
” x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0 se tiene
z1
−y2
+y1 y2
+y1 x2
2
= z1 z2−1 = (x1 + iy1 ) x 2x+y
= x1xx22 +y
+ i −xx1 2y2+y
.
2 + i x 2 +y 2
2
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z
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se
obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se
tratase y recordando que i 2 = −1.
En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se
introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato
ver que z2 6= 0 y que
z1
z1 z2
z1 z2
=
·
=
,
z2
z2 z2
z2 z2
ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que
z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en
el denominador.
Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto,
cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C
está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en
otras palabras,
C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}.
Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se
obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se
tratase y recordando que i 2 = −1.
En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se
introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato
ver que z2 6= 0 y que
z1
z1 z2
z1 z2
=
·
=
,
z2
z2 z2
z2 z2
ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que
z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en
el denominador.
Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto,
cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C
está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en
otras palabras,
C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}.
Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente.
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
No es necesario memorizar las fórmulas (1), (2) y (3): basta observar que se
obtienen operando con las expresiones x + iy como si de binomios en i se
tratase y recordando que i 2 = −1.
En cuanto al cociente de dos complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 6= 0, si se
introduce el complejo z2 = x2 − iy2 (denominado conjugado de z2 ), es inmediato
ver que z2 6= 0 y que
z1
z1 z2
z1 z2
=
·
=
,
z2
z2 z2
z2 z2
ya que, operando (como binomios), es inmediato concluir que
z1 z2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + y1 x2 ) en el numerador y z2 z2 = x22 + y22 6= 0, en
el denominador.
Es claro que las anteriores operaciones con complejos (suma, resta, producto,
cociente) conducen nuevamente a complejos, de modo que el cuerpo C
está formado exclusivamente por elementos del tipo x + iy con x, y ∈ R o, en
otras palabras,
C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R}.
Resumiendo todo lo expuesto, se llega a la definición siguiente.
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
Fundamentos Matemáticos II Tema 3: Números Complejos
Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (cuerpo de los números complejos)
El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R},
donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que
V
(z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ),
(z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria
(Im z := y ) del complejo z = x + iy .
Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente
z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice
que z es imaginario puro.
Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C
y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C.
Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo
complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo
z =: x − iy que se denomina conjugado de z.
Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z.
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (cuerpo de los números complejos)
El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R},
donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que
V
(z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ),
(z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria
(Im z := y ) del complejo z = x + iy .
Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente
z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice
que z es imaginario puro.
Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C
y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C.
Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo
complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo
z =: x − iy que se denomina conjugado de z.
Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z.
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (cuerpo de los números complejos)
El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R},
donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que
V
(z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ),
(z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria
(Im z := y ) del complejo z = x + iy .
Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente
z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice
que z es imaginario puro.
Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C
y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C.
Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo
complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo
z =: x − iy que se denomina conjugado de z.
Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (cuerpo de los números complejos)
El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R},
donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que
V
(z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ),
(z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria
(Im z := y ) del complejo z = x + iy .
Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente
z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice
que z es imaginario puro.
Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C
y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C.
Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo
complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo
z =: x − iy que se denomina conjugado de z.
Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (cuerpo de los números complejos)
El cuerpo de los números complejos es el conjunto C = {z : z = x + iy , x, y ∈ R},
donde i 2 = −1 y para cualesquiera z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se acepta que
V
(z1 = z2 ) := (x1 = x2 ) (y1 = y2 ),
(z1 + z2 ) := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
(z1 · z2 ) := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Los reales x e y son, respectivamente, la parte real (Re z := x) y parte imaginaria
(Im z := y ) del complejo z = x + iy .
Si z = x + i0 (es decir, si Im z = 0) se dice que z es real y se escribe simplemente
z = x. Si z = 0 + iy (es decir, Re z = 0), se escribe simplemente z = iy y se dice
que z es imaginario puro.
Los complejos 0 = 0 + i0 y 1 = 1 + i0 son, respectivamente, el cero y el uno de C
y el complejo i = 0 + i1 se denomina unidad imaginaria de C.
Si z = x + iy , el complejo −z =: −x − iy es el opuesto de z y, además, con todo
complejo z = x + iy conviene relacionar (de cara a la división) el complejo
z =: x − iy que se denomina conjugado de z.
Se dice que z = x + iy es la forma algebraica o binómica del complejo z.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example (Números complejos)
(a) Para empezar, un ejercicio aritmético.
(2 + 3i) − (−1 + i) = 3 + 2i,
(2 + 3i)(−1 + i) = − 2 − i + 3i 2 = −5 − i,
2 + 3i
2 + 3i −1 − i
1 − 5i
1
5
=
·
=
= −i
−1 + i
−1 + i −1 − i
2
2
2
y, por lo tanto,
2 + 3i
=
−1 + i
= (3 + 2i) + (−5 − i) + (2 − 10i) = −9i.
(2 + 3i) − (−1 + i) + (2 + 3i)(−1 + i) + 4 ·
(b) Por ser C es un cuerpo, los complejos gozan de las propiedades deducibles
exclusivamente de los correspondientes
P axiomas A1-A4, P1-P4, AD. Ası́, en C puede
hablarse (vı́a inducción) de la suma nk=1 zk de n complejos, del producto z1 · . . . · zn
de n complejos o de la potencia natural z n , n ∈ N, de un complejo.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Se acepta que i 0 = 1 y se tiene
i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc.,
de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por
ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i.
No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton
(u + v )n =
n
X
Cnk u n−k v k
(u, v ∈ C),
k=0
También, la fórmula
n
X
q k−1 =
k=1
n−1
X
qk =
k=0
1 − qn
1−q
para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja
de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida.
Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n,
Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
(z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0)
y de sus raı́ces.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Se acepta que i 0 = 1 y se tiene
i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc.,
de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por
ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i.
No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton
(u + v )n =
n
X
Cnk u n−k v k
(u, v ∈ C),
k=0
También, la fórmula
n
X
q k−1 =
k=1
n−1
X
qk =
k=0
1 − qn
1−q
para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja
de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida.
Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n,
Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
(z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0)
y de sus raı́ces.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Se acepta que i 0 = 1 y se tiene
i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc.,
de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por
ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i.
No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton
(u + v )n =
n
X
Cnk u n−k v k
(u, v ∈ C),
k=0
También, la fórmula
n
X
q k−1 =
k=1
n−1
X
qk =
k=0
1 − qn
1−q
para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja
de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida.
Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n,
Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
(z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0)
y de sus raı́ces.
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Se acepta que i 0 = 1 y se tiene
i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2 i = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −i, etc.,
de modo que las potencias naturales de i se repiten de cuatro en cuatro. Ası́, por
ejemplo, i 123 = i 4·30+3 = ((i 4 )30 )i 3 = 130 (−i) = −i.
No existe impedimento alguno para emplear en C el binomio de Newton
(u + v )n =
n
X
Cnk u n−k v k
(u, v ∈ C),
k=0
También, la fórmula
n
X
q k−1 =
k=1
n−1
X
qk =
k=0
1 − qn
1−q
para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica compleja
de primer termino 1 y de razón q ∈ C, q 6= 1, es válida.
Igualmente, se puede hablar de polinomios complejos de grado n,
Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0
(z, a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0)
y de sus raı́ces.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
C no es un cuerpo ordenado
Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales
R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio).
Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden
trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o
sea, a los axiomas ORD1, ORD2.
Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso
complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse
en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo,
más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima
de un complejo o los conceptos de conjunto acotado.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
C no es un cuerpo ordenado
Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales
R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio).
Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden
trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o
sea, a los axiomas ORD1, ORD2.
Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso
complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse
en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo,
más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima
de un complejo o los conceptos de conjunto acotado.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
C no es un cuerpo ordenado
Sin embargo, es muy importante indicar que, a diferencia del cuerpo de los reales
R, el cuerpo C no admite orden (compatible) (ejercicio).
Por lo tanto, C no puede ordenarse como cuerpo y, por eso, a C no pueden
trasladarse sin más aquellos resultados de R vinculados al orden de los reales, o
sea, a los axiomas ORD1, ORD2.
Esto no significa que sea imposible extender algunos de estos resultados al caso
complejo, pero esta extensión no puede hacerse automáticamente y debe basarse
en consideraciones especı́ficas no basadas en la noción de orden; por ejemplo,
más adelante se verá que es factible introducir en C el concepto de raı́z n-ésima
de un complejo o los conceptos de conjunto acotado.
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Interpretación geométrica
Si se toma un plano con un sistema rectangular de coordenadas, el complejo
z = x + iy puede interpretarse como el punto M de coordenadas x, y o como
vector de coordenadas x, y (en particular, como el vector OM que une el origen y
el punto M) y, viceversa, el punto o cualquier vector de coordenadas x, y del
plano puede interpretarse como el complejo z = x + yi.
Obviamente, los complejos reales z = x corresponden a los puntos del eje de las
abscisas (o a vectores paralelos al mismo) y los imaginarios puros z = iy , a los del
eje de ordenadas (o a vectores paralelos al mismo). Por esto, se suele decir eje real
en lugar de eje de las abscisas y eje imaginario en lugar de eje de las ordenadas.
El propio plano se denomina entonces plano complejo y se indica con el mismo
sı́mbolo C que se usa para el cuerpo de los complejos (del mismo modo que el
sı́mbolo R se usa indistintamente para el cuerpo de los reales y para la recta real).
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Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Interpretación geométrica
Si se toma un plano con un sistema rectangular de coordenadas, el complejo
z = x + iy puede interpretarse como el punto M de coordenadas x, y o como
vector de coordenadas x, y (en particular, como el vector OM que une el origen y
el punto M) y, viceversa, el punto o cualquier vector de coordenadas x, y del
plano puede interpretarse como el complejo z = x + yi.
Obviamente, los complejos reales z = x corresponden a los puntos del eje de las
abscisas (o a vectores paralelos al mismo) y los imaginarios puros z = iy , a los del
eje de ordenadas (o a vectores paralelos al mismo). Por esto, se suele decir eje real
en lugar de eje de las abscisas y eje imaginario en lugar de eje de las ordenadas.
El propio plano se denomina entonces plano complejo y se indica con el mismo
sı́mbolo C que se usa para el cuerpo de los complejos (del mismo modo que el
sı́mbolo R se usa indistintamente para el cuerpo de los reales y para la recta real).
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Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Módulo y argumento
Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por
la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme
con el semieje real positivo.Ası́,
1
2
La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|.
El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se
denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que
difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido
entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del
argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto,
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π.
Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β,
etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda
totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0.
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Raı́z de un complejo
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Módulo y argumento
Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por
la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme
con el semieje real positivo.Ası́,
1
2
La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|.
El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se
denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que
difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido
entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del
argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto,
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π.
Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β,
etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda
totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0.
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Módulo y argumento
Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por
la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme
con el semieje real positivo.Ası́,
1
2
La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|.
El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se
denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que
difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido
entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del
argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto,
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π.
Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β,
etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda
totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0.
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Raı́z de un complejo
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Módulo y argumento
Por otro lado, todo complejo z = x + iy 6= 0 queda totalmente determinado por
la longitud del vector OM y por cualquiera de los ángulos que este vector forme
con el semieje real positivo.Ası́,
1
2
La longitud OM del vector OM se denomina módulo de z y se indica |z|.
El conjunto de los ángulos que el vector OM forma con el semieje real positivo se
denomina argumento de z y se indica Arg z. Entre los elementos de este conjunto (que
difieren en múltiplos enteros de 2π) habrá obviamente un único ángulo comprendido
entre −π y π o igual a π que se indica arg z y se denomina valor principal del
argumento de z, o sea, arg z ∈ Arg z y −π < arg z 6 π. Por tanto,
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}, −π < arg z 6 π.
Para el elemento genérico de Arg z se suelen usar notaciones como ϕ, θ, α, β,
etc. Si z = 0, su argumento no está definido, pero este complejo queda
totalmente determinado por su módulo, ya que z = 0 ⇔ |z| = 0.
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Raı́z de un complejo
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Cambio a la forma binómica
Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que
x = |z| cos ϕ,
y = |z| sen ϕ,
lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ.
Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que
p
|z| = x 2 + y 2
En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero,
el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z,
y
basándose en que tg ϕ = .
x
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Raı́z de un complejo
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Cambio a la forma binómica
Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que
x = |z| cos ϕ,
y = |z| sen ϕ,
lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ.
Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que
p
|z| = x 2 + y 2
En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero,
el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z,
y
basándose en que tg ϕ = .
x
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Raı́z de un complejo
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Cambio a la forma binómica
Si z = x + iy 6= 0 es de módulo |z| y argumento ϕ, está claro que
x = |z| cos ϕ,
y = |z| sen ϕ,
lo que permite encontrar trivialmente x, y a partir de |z|, ϕ.
Estas mismas relaciones permiten encontrar |z|, ϕ conociendo x, y : es obvio que
p
|z| = x 2 + y 2
En cuanto a ϕ, estas relaciones permiten (ejemplo que sigue) encontrar, primero,
el cuadrante I, II, III o IV al que pertenece ϕ y, después, el valor ϕ = arg z,
y
basándose en que tg ϕ = .
x
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example
(Módulo y argumento)
(a) Si z = x es un complejo real, entonces |z| =
que
√
x 2 = |x|; por otro lado, está claro
1
si x > 0, arg z = 0 y Arg z = {2kπ, k ∈ Z}, y que
2
si x < 0, arg z = π y Arg z = {π + 2kπ = (2k + 1)π, k ∈ Z}.
Análogamente, si z = iy es un imaginario puro, entonces |z| = |y |, y
π
2
y Arg z = { 4k+1
π, k ∈ Z}, y
2
1
si y > 0, arg z =
2
si y < 0, arg z = − π2 y Arg z = { 4k−1
π, k ∈ Z}.
2
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Example
(Módulo y argumento)
(a) Si z = x es un complejo real, entonces |z| =
que
√
x 2 = |x|; por otro lado, está claro
1
si x > 0, arg z = 0 y Arg z = {2kπ, k ∈ Z}, y que
2
si x < 0, arg z = π y Arg z = {π + 2kπ = (2k + 1)π, k ∈ Z}.
Análogamente, si z = iy es un imaginario puro, entonces |z| = |y |, y
π
2
y Arg z = { 4k+1
π, k ∈ Z}, y
2
1
si y > 0, arg z =
2
si y < 0, arg z = − π2 y Arg z = { 4k−1
π, k ∈ Z}.
2
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Raı́z de un complejo
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
(b)
√
√
√
√
Si z = 2 + i 2, entonces
|z| = 2; por otro lado, como 2 = 2 cos ϕ y 2 = 2 sen ϕ,
V
resulta que (ϕ ∈ I ) (tg ϕ = 1), de donde se deduce que arg z = π4 y
√
√
Arg z = { π4 + 2kπ = 8k+1
π, k ∈ Z}. En cambio, si z = − 2 − i 2 , entonces
4
8k−3
−3π
|z| = 2, arg z = 4 y Arg z = { 4 π, k ∈ Z}, ya que en este caso
(ϕ ∈ III ) ∧ (tg ϕ = 1).
(c) Si z = 3 − 4i, entonces |z| = 5 y, como 3 = 5 cos ϕ y −4 = 5 sen ϕ, resulta que
(ϕ ∈ IV ) ∧ (tg ϕ = − 43 ), de donde se deduce que arg z = − arc tg 43 y
Arg z = {− arc tg 43 + 2kπ, k ∈ Z}. En cambio, si z = −3 + 4i, entonces |z| = 5,
arg z = − arc tg 43 + π y Arg z = {− arc tg 43 + (2k + 1)π, k ∈ Z}, ya que en este caso
(ϕ ∈ II ) ∧ (tg ϕ = − 43 ).
N
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(b)
√
√
√
√
Si z = 2 + i 2, entonces
|z| = 2; por otro lado, como 2 = 2 cos ϕ y 2 = 2 sen ϕ,
V
resulta que (ϕ ∈ I ) (tg ϕ = 1), de donde se deduce que arg z = π4 y
√
√
Arg z = { π4 + 2kπ = 8k+1
π, k ∈ Z}. En cambio, si z = − 2 − i 2 , entonces
4
8k−3
−3π
|z| = 2, arg z = 4 y Arg z = { 4 π, k ∈ Z}, ya que en este caso
(ϕ ∈ III ) ∧ (tg ϕ = 1).
(c) Si z = 3 − 4i, entonces |z| = 5 y, como 3 = 5 cos ϕ y −4 = 5 sen ϕ, resulta que
(ϕ ∈ IV ) ∧ (tg ϕ = − 43 ), de donde se deduce que arg z = − arc tg 43 y
Arg z = {− arc tg 43 + 2kπ, k ∈ Z}. En cambio, si z = −3 + 4i, entonces |z| = 5,
arg z = − arc tg 43 + π y Arg z = {− arc tg 43 + (2k + 1)π, k ∈ Z}, ya que en este caso
(ϕ ∈ II ) ∧ (tg ϕ = − 43 ).
N
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Raı́z de un complejo
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos
elementos recogidos en la definición siguiente:
Definición (módulo y argumento)
Si z = x + iy ,
el real no negativo
|z| :=
p
x2 + y2 > 0
se denomina módulo de z,
si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales
Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ)
V
(y = |z| sen ϕ)}
se denomina argumento de z,
al elemento de este conjunto
arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π,
se denomina valor principal del argumento de z, de modo que
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}.
El complejo z = 0 carece de argumento.
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Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos
elementos recogidos en la definición siguiente:
Definición (módulo y argumento)
Si z = x + iy ,
el real no negativo
|z| :=
p
x2 + y2 > 0
se denomina módulo de z,
si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales
Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ)
V
(y = |z| sen ϕ)}
se denomina argumento de z,
al elemento de este conjunto
arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π,
se denomina valor principal del argumento de z, de modo que
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}.
El complejo z = 0 carece de argumento.
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Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos
elementos recogidos en la definición siguiente:
Definición (módulo y argumento)
Si z = x + iy ,
el real no negativo
|z| :=
p
x2 + y2 > 0
se denomina módulo de z,
si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales
Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ)
V
(y = |z| sen ϕ)}
se denomina argumento de z,
al elemento de este conjunto
arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π,
se denomina valor principal del argumento de z, de modo que
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}.
El complejo z = 0 carece de argumento.
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Ası́, además de Re z, Im z y z, al complejo z = x + iy se le asocian otros dos
elementos recogidos en la definición siguiente:
Definición (módulo y argumento)
Si z = x + iy ,
el real no negativo
|z| :=
p
x2 + y2 > 0
se denomina módulo de z,
si z = x + iy 6= 0, el conjunto de los reales
Arg z := {ϕ ∈ R : (x = |z| cos ϕ)
V
(y = |z| sen ϕ)}
se denomina argumento de z,
al elemento de este conjunto
arg z ∈ Arg z, −π < arg z 6 π,
se denomina valor principal del argumento de z, de modo que
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}.
El complejo z = 0 carece de argumento.
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Geométricamente,
|z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y
asociado al complejo z = x + iy ,
|z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y
x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ,
Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al
complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo.
Example (Lugares geométricos)
Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que
1. r < |z − z0 | 6 R;
2. |z − z1 | = |z − z2 |.
Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z,
está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por
circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia
mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa
la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 .
N
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Geométricamente,
|z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y
asociado al complejo z = x + iy ,
|z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y
x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ,
Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al
complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo.
Example (Lugares geométricos)
Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que
1. r < |z − z0 | 6 R;
2. |z − z1 | = |z − z2 |.
Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z,
está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por
circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia
mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa
la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 .
N
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Geométricamente,
|z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y
asociado al complejo z = x + iy ,
|z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y
x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ,
Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al
complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo.
Example (Lugares geométricos)
Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que
1. r < |z − z0 | 6 R;
2. |z − z1 | = |z − z2 |.
Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z,
está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por
circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia
mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa
la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 .
N
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Geométricamente,
|z| es la longitud del vector que une el origen con el punto de coordenadas x, y
asociado al complejo z = x + iy ,
|z1 − z2 | es la longitud del vector que une los puntos de coordenadas x1 , y1 y
x2 , y2 asociados a los complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ,
Mientras que Arg z representa el conjunto de los ángulos que el vector asociado al
complejo z = x + iy forma con el semieje real positivo.
Example (Lugares geométricos)
Interpretar geométricamente los conjuntos formados por los complejos z tales que
1. r < |z − z0 | 6 R;
2. |z − z1 | = |z − z2 |.
Como |z − z0 | es la longitud del vector que une el complejo z0 con el complejo z,
está claro que las desigualdades 1 corresponden a la corona formada por
circunferencias de radios r < R, centradas en z0 , con los puntos de la circunferencia
mayor y sin los de la menor. Del mismo modo es fácil ver que la igualdad 2 representa
la mediatriz del segmento que une los complejos z1 y z2 .
N
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Formas trigonométrica y exponencial
Definición (formas trigonométrica y exponencial)
Si z = x + iy es un complejo distinto de 0 de módulo |z| y ϕ es un argumento
cualquiera del mismo, entonces x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ y, por lo tanto,
p
z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ), |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z,
expresión que se conoce como forma trigonométrica o polar del complejo z.
Euler propuso usar para el complejo cos t + i sen t, t ∈ R, el sı́mbolo e it , es decir,
e it := cos t + i sen t, t ∈ R,
lo que permite reescribir la forma trigonométrica de un complejo z =
6 0 como
p
z = |z|e iϕ , |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z,
expresión que se conoce como forma exponencial del complejo z.
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
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Formas trigonométrica y exponencial
Definición (formas trigonométrica y exponencial)
Si z = x + iy es un complejo distinto de 0 de módulo |z| y ϕ es un argumento
cualquiera del mismo, entonces x = |z| cos ϕ, y = |z| sen ϕ y, por lo tanto,
p
z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ), |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z,
expresión que se conoce como forma trigonométrica o polar del complejo z.
Euler propuso usar para el complejo cos t + i sen t, t ∈ R, el sı́mbolo e it , es decir,
e it := cos t + i sen t, t ∈ R,
lo que permite reescribir la forma trigonométrica de un complejo z =
6 0 como
p
z = |z|e iϕ , |z| = x 2 + y 2 , ϕ = arg z + 2kπ, k ∈ Z,
expresión que se conoce como forma exponencial del complejo z.
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example
Ası́, según el ejemplo 2, se tiene
z=x <0
√
√
z = − 2 − 2i
z = −3 + 4i
⇒
⇒
⇒
z = (−x)(cos π + i sen π) = (−x)e iπ ,
3π
) + i sen(− 3π
)) = 2e i(− 4 ) ,
z = 2(cos(− 3π
4
4
4
z = 5(cos(− arc tg 3 + π) + i sen(− arc tg 34 + π)) =
= 5e i(− arc tg
4 +π)
3
,
donde en todos los casos se ha tomado ϕ = arg z.
El sı́mbolo de Euler e it verifica unas propiedades elementales que se usan
frecuentemente y cuya demostración se propone (ejercicio).
Teorema (propiedades del sı́mbolo de Euler)
Tienen lugar las relaciones siguientes:
1. |e it | = 1, Arg e it = {t + 2kπ, k ∈ Z};
3. e i(t+2kπ) = e it , k ∈ Z;
−it
it
2. e = e ;
4. e it1 e it2 = e i(t1 +t2 ) ;
iπ
−i π
i0
iπ
2
2
5. e = 1, e
= i, e
= −i, e = −1, e i2π = 1;
e it + e −it
e it − e −it
6. cos t =
, sen t =
.
2
2i
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Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Example
Ası́, según el ejemplo 2, se tiene
z=x <0
√
√
z = − 2 − 2i
z = −3 + 4i
⇒
⇒
⇒
z = (−x)(cos π + i sen π) = (−x)e iπ ,
3π
) + i sen(− 3π
)) = 2e i(− 4 ) ,
z = 2(cos(− 3π
4
4
4
z = 5(cos(− arc tg 3 + π) + i sen(− arc tg 34 + π)) =
= 5e i(− arc tg
4 +π)
3
,
donde en todos los casos se ha tomado ϕ = arg z.
El sı́mbolo de Euler e it verifica unas propiedades elementales que se usan
frecuentemente y cuya demostración se propone (ejercicio).
Teorema (propiedades del sı́mbolo de Euler)
Tienen lugar las relaciones siguientes:
1. |e it | = 1, Arg e it = {t + 2kπ, k ∈ Z};
3. e i(t+2kπ) = e it , k ∈ Z;
−it
it
2. e = e ;
4. e it1 e it2 = e i(t1 +t2 ) ;
iπ
−i π
i0
iπ
2
2
5. e = 1, e
= i, e
= −i, e = −1, e i2π = 1;
e it + e −it
e it − e −it
6. cos t =
, sen t =
.
2
2i
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial
Example
[Aritmética en forma exponencial]
(a) Sean
z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 .
Entonces, resulta inmediato que
z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) ,
es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se
suman o, en otras palabras,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .
Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad
entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada
ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que
ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista)
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y
−π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π.
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Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial
Example
[Aritmética en forma exponencial]
(a) Sean
z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 .
Entonces, resulta inmediato que
z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) ,
es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se
suman o, en otras palabras,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .
Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad
entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada
ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que
ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista)
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y
−π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π.
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Multiplicación en formas trigonométrica y exponencial
Example
[Aritmética en forma exponencial]
(a) Sean
z1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sen ϕ1 ) = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sen ϕ2 ) = |z2 |e iϕ2 .
Entonces, resulta inmediato que
z1 · z2 = (|z1 |e iϕ1 )(|z2 |e ϕ2 ) = (|z1 | · |z2 |)e i(ϕ1 +ϕ2 ) ,
es decir, al multiplicar dos complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se
suman o, en otras palabras,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .
Conviene subrayar que la relación Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 establece una igualdad
entre conjuntos, es decir, debe entenderse de la forma siguiente: para cada
ϕ ∈ Arg(z1 · z2 ) pueden encontrarse unos ϕ1 ∈ Arg z1 y ϕ2 ∈ Arg z2 tales que
ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Además, como −π < arg z 6 π, la igualdad numérica (no conjuntista)
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 es, en general, falsa, ya que de −π < arg z1 6 π y
−π < arg z2 6 π no se deduce que sea −π < arg z1 + arg z2 6 π.
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División en formas trigonométrica y exponencial
(b) Análogamente, al dividir dos complejos z1 y z2 6= 0, sus módulos se dividen y sus
argumentos se restan:
˛z ˛
“z ”
|z1 |
˛ 1˛
1
= Arg z1 − Arg z2 ;
, Arg
˛ ˛=
z2
|z2 |
z2
en particular, para el inverso z −1 de un complejo z 6= 0 se tiene
|z −1 | = |z|−1 ,
Arg z −1 = Arg 1 − Arg z = − Arg z,
ya que
Arg 1 − Arg z = {2mπ, m ∈ Z} − {arg z + 2nπ, n ∈ Z} =
= {− arg z − 2kπ, k = n − m ∈ Z} = − Arg z.
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Potenciación y conjugación en formas trigonométrica y exponencial
(c) Además, si z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ) = |z|e iϕ y n ∈ N, es inmediato comprobar
aplicando inducción (ejercicio)que
z n = |z|n (cos nϕ + i sen nϕ) = |z|n e inϕ ;
este resultado se conoce como fórmula de Moivre.
(d) Por último, si z es el conjugado de z = |z|e iϕ , es obvio que
z = |z|e −iϕ , de modo que |z| = |z|,
Arg z = − Arg z,
salvo que z = x < 0 sea un real negativo, en cuyo caso z = z y, por eso,
Arg z = Arg z.
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Potenciación y conjugación en formas trigonométrica y exponencial
(c) Además, si z = |z|(cos ϕ + i sen ϕ) = |z|e iϕ y n ∈ N, es inmediato comprobar
aplicando inducción (ejercicio)que
z n = |z|n (cos nϕ + i sen nϕ) = |z|n e inϕ ;
este resultado se conoce como fórmula de Moivre.
(d) Por último, si z es el conjugado de z = |z|e iϕ , es obvio que
z = |z|e −iϕ , de modo que |z| = |z|,
Arg z = − Arg z,
salvo que z = x < 0 sea un real negativo, en cuyo caso z = z y, por eso,
Arg z = Arg z.
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Aplicaciones de los anteriores resultados
Example (Aplicaciones inmediatas)
“ 1 + i √3 ”45
√
√
.
2−i 2
√
√
√
√
π
π
7
1+i 3
√ = e i 12 π y, por lo
Como 1 + i 3 = 2e i 3 y 2 − i 2 = 2e −i 4 , resulta que √
2−i 2
tanto,
45·7
z = e i 12 π
i( π
= e 4 +13·2π)
√
√
π
2
2
+i
.
= ei 4 =
2
2
(a) Calcular z =
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Aplicaciones de los anteriores resultados
P
(b) Calcular la suma nk=0 cos kx = 1 + cos x + . . . + cos nx, donde x ∈ R y
x 6= 2kπ,
Pes obvio que la suma es igual a n + 1). Sean
P k ∈ Z (si x = 2kπ,
Cn = nk=0 cos kx y Sn = nk=0 sen kx. Aplicando la notación de Euler y la fórmula
de Moivre, se tiene
Cn + iSn =
n
X
(cos kx + i sen kx) =
k=0
n
X
k=0
e ikx =
n
X
`
e ix
´k
,
k=0
de modo que Cn + iSn es la suma de los n + 1 primeros términos de una progresión
geométrica de primer término 1 y de razón q = e ix 6= 1, ya que x 6= 2kπ. Luego:
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
tenemos
Cn + iSn =
1 − q n+1
1 − e i(n+1)x
=
.
1−q
1 − e ix
n+1
Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y
1
el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ),
se obtiene
Cn + iSn =
=
ei
n+1 x
2
ei
sen
1x
2
·
n+1
x
2
sen x2
ei
n+1 x
2
1x
2
− e −i
n+1 x
2
1x
2
n
= ei 2 x ·
n+1
x
2
sen x2
sen
− e −i
x
sen n+1
n
2
· cos 2 x + i
· sen n2 x,
sen x2
ei
=
de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta
Cn =
n
X
k=0
cos kx =
n+1
x
2
sen x2
sen
· cos
n
X
sen n+1
x
n
n
2
· sen x.
x y Sn =
sen kx =
x
2
sen
2
2
k=0
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tenemos
Cn + iSn =
1 − q n+1
1 − e i(n+1)x
=
.
1−q
1 − e ix
n+1
Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y
1
el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ),
se obtiene
Cn + iSn =
=
ei
n+1 x
2
ei
sen
1x
2
·
n+1
x
2
sen x2
ei
n+1 x
2
1x
2
− e −i
n+1 x
2
1x
2
n
= ei 2 x ·
n+1
x
2
sen x2
sen
− e −i
x
sen n+1
n
2
· cos 2 x + i
· sen n2 x,
sen x2
ei
=
de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta
Cn =
n
X
k=0
cos kx =
n+1
x
2
sen x2
sen
· cos
n
X
sen n+1
x
n
n
2
· sen x.
x y Sn =
sen kx =
x
2
sen
2
2
k=0
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tenemos
Cn + iSn =
1 − q n+1
1 − e i(n+1)x
=
.
1−q
1 − e ix
n+1
Para pasar a la forma algebraica, conviene despejar el factor e i 2 x en el numerador y
1
el factor e i 2 x , en el denominador. Entonces, como sabemos que sen t = 2i1 (e it − e −it ),
se obtiene
Cn + iSn =
=
ei
n+1 x
2
ei
sen
1x
2
·
n+1
x
2
sen x2
ei
n+1 x
2
1x
2
− e −i
n+1 x
2
1x
2
n
= ei 2 x ·
n+1
x
2
sen x2
sen
− e −i
x
sen n+1
n
2
· cos 2 x + i
· sen n2 x,
sen x2
ei
=
de donde, igualando las partes real e imaginaria, resulta
Cn =
n
X
k=0
cos kx =
n+1
x
2
sen x2
sen
· cos
n
X
sen n+1
x
n
n
2
· sen x.
x y Sn =
sen kx =
x
2
sen
2
2
k=0
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Raı́z de un complejo
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Utilidad adicional del cálculo en C
Operando en el cuerpo de los complejos, es posible obtener resultados en el
cuerpo de los reales que, dentro de este último, pueden ser difı́ciles de comprobar.
Además, puesto que los complejos tienen parte real y parte imaginaria, en muchos
casos, junto al resultado buscado, se obtiene “gratis” un segundo resultado, como
sucede en el anterior ejemplo.
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Raı́z de un complejo
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Definición (raı́z de un complejo)
Si z, w ∈ C, n ∈ N y w n = z, se dice que w es una raı́z n-ésima de z.
En R, sabemos que la raı́z es única y existe sólo para reales no negativos. En el caso
complejo la situación es diferente.
Teorema (raı́ces de un complejo)
Cualquier complejo z = |z|e iϕ 6= 0 tiene exactamente n raı́ces n-ésimas diferentes
p
ϕ+2kπ
w0 , w1 , . . . , wn−1 , dadas por wk = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1,, es decir
w0 =
p
ϕ
n
|z| · e i n ,
wk = wk−1 · e i
2kπ
n
,
k = 1, . . . , n − 1,
p
n
donde |z| es la
√habitual raı́z real n-ésima del real positivo |z|; el conjunto de estas
raı́ces se indica n z, es decir,
√
n
z := {w0 , w1 , . . . , wn−1 }
y se dice que w0 es el valor principal de la raı́z n-ésima de z, ya que las restantes
2π
raı́ces se obtienen multiplicándolo sucesivamente por e i n .
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Definición (raı́z de un complejo)
Si z, w ∈ C, n ∈ N y w n = z, se dice que w es una raı́z n-ésima de z.
En R, sabemos que la raı́z es única y existe sólo para reales no negativos. En el caso
complejo la situación es diferente.
Teorema (raı́ces de un complejo)
Cualquier complejo z = |z|e iϕ 6= 0 tiene exactamente n raı́ces n-ésimas diferentes
p
ϕ+2kπ
w0 , w1 , . . . , wn−1 , dadas por wk = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1,, es decir
w0 =
p
ϕ
n
|z| · e i n ,
wk = wk−1 · e i
2kπ
n
,
k = 1, . . . , n − 1,
p
n
donde |z| es la
√habitual raı́z real n-ésima del real positivo |z|; el conjunto de estas
raı́ces se indica n z, es decir,
√
n
z := {w0 , w1 , . . . , wn−1 }
y se dice que w0 es el valor principal de la raı́z n-ésima de z, ya que las restantes
2π
raı́ces se obtienen multiplicándolo sucesivamente por e i n .
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Demostración.
En efecto, si se toma w = |w |e iθ y z = |z|e i(ϕ+2kπ) , k ∈ Z, aplicando la fórmula de
Moivre, la expresión w n = z puede escribirse como
|w |n e inθ = |z|e i(ϕ+2kπ) ,
de donde, igualando los módulos y los argumentos, resulta
p
|w | = n |z| y θ = ϕ+2kπ
, k ∈ Z.
n
p
˘
¯
ϕ+2kπ
Luego, el conjunto wk = n |z|e i n , k ∈ Z comprende todas las raı́ces n-ésimas
de z. Pero, es inmediato ver que
wk =
p
ϕ+2kπ
n
|z| · e i n ,
k = 0, 1, . . . , n − 1,
son elementos diferentes de este conjunto, que cualquier otro elemento del mismo
coincide con uno de éstos y que
w0 =
p
ϕ
n
|z| · e i n ,
wk = wk−1 · e i
2kπ
n
,
k = 1, . . . , n − 1,
es decir, las raı́ces w1 , . . . , wn−1 se obtienen multiplicando sucesivamente la raı́z w0
por e i
2π
n
.
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Example (raı́ces complejas)
√
(a) Calcular n 1 . Como z = 1 es un complejo de módulo |z| = 1 y argumento
principal ϕ = 0, se tiene
√
n
˘p
¯
ϕ+2kπ
z = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 =
2(n−1)π ¯
˘ i 2kπ
¯ ˘
2π
;
= e n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = 1; e i n ; . . . ; e i n
√
en este caso, el valor principal de n 1 es w0 = 1 y los restantes valores se obtienen
2π
multiplicando sucesivamente por e i n :
w1 = w0 · e i
Ası́, para n = 3, se tiene
2π
n
√
3
= ei
˘
2π
n
; . . . ; wn−1 = wn−2 e i
1 = 1; e
i 2π
3
; e
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i 4π
3
¯
=
n
2π
n
= ei
√
2(n−1)π
n
.
√ o
1
3
1
3
; − −i
1; − + i
.
2
2
2
2
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(b)
Calcular
tiene
√
n
−1 . Como z = −1 es de módulo |z| = 1 y argumento principal ϕ = π, se
√
n
˘p
¯
ϕ+2kπ
z = n |z| · e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 =
(2k+1)π
(2n−1)π ¯
˘ i π+2kπ
¯ ˘ π
3π
= e n = e i n , k = 0, 1, . . . , n − 1 = e i n ; e i n ; . . . ; e i n
.
˘ π
√
3π
5π
7π ¯
Por ejemplo, si n = 4, resulta que 4 −1 = e i 4 ; e i 4 ; e i 4 ; e i 4 y que el valor
√
√
√
π
2
2
+i
.
principal de 4 −1 es e i 4 =
2
2
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Raı́z de un complejo
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(c)
√
n
Comprobar que la suma de
√ las raı́ces
el ejemplo (a), las raı́ces n 1 son
w0 = 1; w1 = e i
1 es igual a 1 y el producto, a (−1)n−1 . Según
2π
n
; . . . ; wn−1 = e i
2(n−1)π
n
,
o sea, forman los n primeros términos de una progresión geométrica que tiene 1 como
2π
primer término y q = e i n 6= 1 como razón; por lo tanto,
n−1
X
k=0
ya que 1 −
qn
`
=1− e
´n
i 2π
n
wk =
n−1
X
1 − qn
= 0,
1−q
qk =
k=0
= 1 − e i2π = 1 − 1 = 0. Por otro lado,
w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i
2π (1+2+
n
... +(n−1))
;
pero,
n−1
X
k=
k=1
n(n − 1)
,
2
lo que puede comprobarse por inducción; luego,
y, por lo tanto, w0 · w1 · . . . · wn−1 =
e i(n−1)π
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2π
(1 + 2 +
n`
´
iπ n−1
= e
. . . + (n − 1)) = (n − 1)π
= (−1)n−1 .
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(c)
√
n
Comprobar que la suma de
√ las raı́ces
el ejemplo (a), las raı́ces n 1 son
w0 = 1; w1 = e i
1 es igual a 1 y el producto, a (−1)n−1 . Según
2π
n
; . . . ; wn−1 = e i
2(n−1)π
n
,
o sea, forman los n primeros términos de una progresión geométrica que tiene 1 como
2π
primer término y q = e i n 6= 1 como razón; por lo tanto,
n−1
X
k=0
ya que 1 −
qn
`
=1− e
´n
i 2π
n
wk =
n−1
X
1 − qn
= 0,
1−q
qk =
k=0
= 1 − e i2π = 1 − 1 = 0. Por otro lado,
w0 · w1 · . . . · wn−1 = e i
2π (1+2+
n
... +(n−1))
;
pero,
n−1
X
k=
k=1
n(n − 1)
,
2
lo que puede comprobarse por inducción; luego,
y, por lo tanto, w0 · w1 · . . . · wn−1 =
e i(n−1)π
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2π
(1 + 2 +
n`
´
iπ n−1
= e
. . . + (n − 1)) = (n − 1)π
= (−1)n−1 .
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N
Cuerpo de los números complejos
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Formas trigonométrica y exponencial
Raı́z de un complejo
Interpretación geométrica de las operaciones en C
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Interpretación geométrica de las operaciones con suma
Las operaciones con complejos admiten una clara interpretación geométrica si se
identifica el complejo z = x + iy con el vector cuyo afijo es el punto de coordenadas
cartesianas (x, y ). Ası́,
Para las operaciones relacionadas con la Adición.
La suma z1 + z2 de complejos es la suma de los correspondientes vectores
(diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2 )
El opuesto de z, −z es el vector simétrico respecto al origen.
La diferencia z1 − z2 es, entonces, el vector diferencia, que constituye “la otra
diagonal” del paralelogramo que construye la suma.
El conjugado z = x − iy de un complejo es su simétrico respecto al eje real.
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Interpretación geométrica de las operaciones con producto
Consideramos ahora los complejos expresados en forma exponencial, i.e. z = |z|e iϕ .
Para las operaciones relacionadas con el producto.
El producto z1 z2 es el vector de longitud |z1 ||z2 | y que está girado un ángulo ϕ2 ,
en torno al origen, con respecto a z1 .
El resultado de dividir z1 por z2 es un vector de longitud |z1 ||z2 |−1 y girado un
ángulo −ϕ2 , en torno al origen, con respecto a z1 .
El inverso de z es el vector de longitud |z|−1 y simétrico respecto al eje real del
vector correspondiente a z.
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
operaciones aritméticas y geometrı́a. Ejemplos. (a)
La adición a todos los z ∈ C de un mismo complejo z0 puede interpretarse
geométricamente como la traslación del plano complejo C al nuevo origen z0
la multiplicación de todos los z ∈ C por un complejo z0 = |z0 | · e iϕ0 , cómo la
homotecia de razón |z0 | respecto al origen, seguida de una rotación alrededor del
origen de ángulo ϕ0 .
π
En particular, si los complejos z ∈ C se multiplican por z0 = i = e i 2 (o por
π
z0 = −i = e −i 2 ), esto corresponde a un giro del plano complejo alrededor del
o
origen de 90 en el sentido (respectivamente, en contra del sentido) de las agujas
del reloj.
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(b)
Sean x, y las coordenadas del punto M en el sistema rectangular xOy y x 0 , y 0 , sus
coordenadas en otro sistema rectangular x 0 Oy 0 , obtenido del primero por un giro de
ángulo ϕ alrededor del origen. Para encontrar la relación entre las coordenadas x, y y
x 0 , y 0 se puede considerar que xOy y x 0 Oy 0 son dos planos complejos. Tomando
OM = z = x + iy en el primero, y OM = z 0 = x 0 + iy 0 en el segundo y girando este
último en −ϕ alrededor del origen hasta confundir ambos planos complejos, queda
claro que z 0 = ze −iϕ , o sea,
x 0 + iy 0
= (x + iy )(cos ϕ − i sen ϕ) =
= (x cos ϕ + y sen ϕ) + i(−x sen ϕ + y cos ϕ),
de donde resulta que
x 0 = x cos ϕ + y sen ϕ,
y 0 = −x sen ϕ + y cos ϕ
(expresión de las coordenadas “nuevas” x 0 , y 0 mediante las “antiguas” x, y ). Por otro
lado, (z 0 = ze −iϕ ) ⇒ (z = z 0 e iϕ ) y, por eso,
= (x 0 + iy 0 )(cos ϕ + i sen ϕ) =
= (x 0 cos ϕ − y 0 sen ϕ) + i(x 0 sen ϕ + y 0 cos ϕ),
x + iy
de donde se deduce que
x = x 0 cos ϕ − y 0 sen ϕ,
y = x 0 sen ϕ + y 0 cos ϕ
(expresión de las coordenadas “antiguas” x, y mediante las “nuevas” x 0 , y 0 ).
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Radicación
√
Si z = |z|e iϕ , entonces n z = {wk , k = 0, 1, . . . , n − 1}, dondep(teorema 4.1) todos
los complejos wk , k = 0, 1, . . . , n − 1 tienen el mismo módulo n |z| y cada uno se
2π
obtiene del anterior multiplicando por e i n .
Ası́, para realizar la radicación geométricamente debe procederse de la forma siguiente:
p
n
|z|,
1
Trazar con centro en el origen la circunferencia C de radio
2
determinar en la misma el valor principal w0 ∈ C (cuyo argumento
dividiendo por n el argumento ϕ del complejo z)
ϕ
n
3
desplazándose por la circunferencia según arcos de medida angular
sucesivamente los restantes valores w1 , w2 , . . . , wn−1 .
2π
,
n
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se obtiene
obtener
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Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
Elementos de un complejo, sus relaciones y propiedades
A todo complejo z se han asociado tres números reales Re z, Im z y |z|, un conjunto
de números reales, Arg z y un número complejo z. Estos elementos verifican las
siguientes relaciones:
Teorema (relaciones)
z +z
z −z
1. Re z =
, Im z =
;
2
2i
p
2. |z| = (Re z)2 + (Im z)2 ;
5. z · z =
|z|2
3. | Re z| 6 |z|, | Im z| 6 |z|;
4. |z| = |z|;
√
o bien |z| = z · z.
Demostración.
En efecto, 1 yp4 se comprueban
directamente, y 2 es trivial. Por otro lado, 3 se debe a
p
que | Re z| = (Re z)2 6 (Re z)2 + (Im z)2 = |z|, y análogamente | Im z| 6 |z|. Por
último, de z = |z|e iϕ y z = |z|e −iϕ resulta z · z = |z|2 , de modo que se cumple 5.
Observemos que la relación 3 se refiere a desigualdades entre números reales y
significa geométricamente que los catetos de un triángulo rectángulo no pueden ser
mayores que su hipotenusa.
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Example
Interpretar geométricamente el conjunto formado por los complejos z que verifican
V
(| Im z| < 1) (0 < Re z < 2).
Claramente, a partir de las correspondientes desigualdades, es fácil ver que se trata de
los puntos interiores del cuadrado de vértices 2 + i, i, −i, 2 − i.
N
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Teorema (propiedades del argumento)
El argumento verifica las propiedades siguientes
`
´
Arg(z1 · z2 ) = Arg z1 + Arg z2 , Arg z1 · z2−1 = Arg z1 − Arg z2 ,
−1
Arg z
= − Arg z.
como se ha indicado anteriormente en el ejemplo 5.
Example
Interpretar geométricamente el conjunto formado por los complejos z que verifican
˛
˛
˛| arg z| − 7π ˛ 6 π .
8
8
Deshaciéndonos sucesivamente de los valores absolutos,
˛
`˛
´
`
˛| arg z| − 7π ˛ 6 π ⇔ − π 6 |argz| − 7π 6
8
8
8
8
⇔
` 3π
4
π
8
´
⇔
`
´ W` 3π
´
6 |argz| 6 π ⇔ −π < arg z 6 − 3π
6 arg z 6 π ,
4
4
´
queda claro que se trata del ángulo de amplitud
semieje real negativo como bisectriz.
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π
2
con vértice en el origen y con el
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Teorema (propiedades del conjugado)
El conjugado tiene las propiedades siguientes
1. (z ∈ R) ⇔ (z = z),
4. z1 + z2 = z1 + z2 ,
2. z = z,
5. z1 · z2 = z1 · z2 ,
7. z1 + . . . + zn = z1 + . . . + zn ,
3. −z = −z,
6. z −1 = (z)−1 ,
8. z1 · . . . · zn = z 1 · . . . · z n .
Demostración.
Las afirmaciones 1, 2, 3 y 4 se comprueban directamente. Por otro lado, si
z1 = |z1 |e iϕ1 y z2 = |z2 |e iϕ2 , se verifica z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · e i(ϕ1 +ϕ2 ) y, por eso,
z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · e −i(ϕ1 +ϕ2 ) = (|z1 | · e −iϕ1 ) · (|z2 | · e −iϕ2 ) = z 1 · z 2 ,
es decir, se cumple 5. Además,
“
”
“
”
z −1 = z −1 · (z · (z)−1 ) = z −1 · z · (z)−1 = z −1 · z · (z)−1 = (z)−1 ,
de modo que z −1 = (z)−1 y, por lo tanto, es cierta 6. Finalmente, 7 y 8 se obtienen
por inducción a partir de 4 y 5, respectivamente.
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Example
Sean a0 , a1 , . . . , an ∈ R, z ∈ C y
Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a0
un polinomio en C de grado n y de coeficientes reales. Entonces, si z0 ∈ C es una raı́z
de Pn (z) (es decir, Pn (z0 ) = 0), también z0 será raı́z de Pn (z) (es decir, Pn (z0 ) = 0);
en otras palabras, las raı́ces complejas de un polinomio de coeficientes reales forman
pares conjugados.
Pruébese a partir de las anteriores propiedades (ejercicio)
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Teorema (propiedades del módulo)
Tienen lugar los resultados siguientes
1. |z| > 0;
2. |z| = 0 ⇔ z = 0;
3. |z
˛ 1 + z2 | 6˛ |z1 | + |z2 |;
4. ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 |;
5. |z1 + . . . + zn | 6 |z1 | + . . . + |zn |;
6. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |;
7. |z1 · z2−1 | = |z1 | · |z2 |−1 ;
8. |z1 · . . . · zn | = |z1 | · . . . · |zn |.
Demostración.
Las afirmaciones 1 y 2 son triviales. Por otro lado, puesto que |z|2 = z · z, usando
propiedades del conjugado, se tiene
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ;
pero, para los reales Re z, | Re z| y |z| se cumple Re z 6 | Re z| 6 |z| y, por tanto,
|z1 + z2 |2 6 |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 | · |z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 ,
de modo que |z1 + z2 |2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, o sea, se
verifica 3.
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Teorema (propiedades del módulo)
Tienen lugar los resultados siguientes
1. |z| > 0;
2. |z| = 0 ⇔ z = 0;
3. |z
˛ 1 + z2 | 6˛ |z1 | + |z2 |;
4. ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 |;
5. |z1 + . . . + zn | 6 |z1 | + . . . + |zn |;
6. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |;
7. |z1 · z2−1 | = |z1 | · |z2 |−1 ;
8. |z1 · . . . · zn | = |z1 | · . . . · |zn |.
Demostración.
Las afirmaciones 1 y 2 son triviales. Por otro lado, puesto que |z|2 = z · z, usando
propiedades del conjugado, se tiene
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ;
pero, para los reales Re z, | Re z| y |z| se cumple Re z 6 | Re z| 6 |z| y, por tanto,
|z1 + z2 |2 6 |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 | · |z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 ,
de modo que |z1 + z2 |2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, o sea, se
verifica 3.
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Demostración (continuación).
Análogamente, como para los reales |z| y Re z se verifica −|z| 6 −| Re z| 6 Re z,
resulta que
(|z1 | − |z2 |)2 = |z1 |2 − 2|z1 z2 | + |z2 |2 6
6 |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 ,
˛
˛
de modo que (|z1 | − |z2 |)2 6 (|z1 | + |z2 |)2 , de donde ˛|z1 | − |z2 |˛ 6 |z1 + z2 | y,
por lo tanto, se cumple 4.
Las propiedades 6 (módulo del producto es igual al producto de los módulos) y 7
(módulo del cociente es igual al cociente de los módulos) se han visto
anteriormente en el ejemplo 5.
En cuanto a las propiedades 5 y 8, se obtienen por inducción de 3 y 6,
respectivamente.
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Example
(a) Demostrar que
`
´
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
e interpretar geométricamente este resultado.
Demostración: (ejercicio).
El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta
propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo.
N
(b) Comprobar geométricamente la desigualdad
˛ z
˛
˛
˛
− 1˛ 6 | arg z|.
˛
|z|
En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad
˛ centrada en
˛ el origen.
Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de
la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del
d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta,
arco EM
d
ya que obviamente EM 6 EM.
N
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Example
(a) Demostrar que
`
´
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
e interpretar geométricamente este resultado.
Demostración: (ejercicio).
El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta
propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo.
N
(b) Comprobar geométricamente la desigualdad
˛ z
˛
˛
˛
− 1˛ 6 | arg z|.
˛
|z|
En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad
˛ centrada en
˛ el origen.
Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de
la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del
d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta,
arco EM
d
ya que obviamente EM 6 EM.
N
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Example
(a) Demostrar que
`
´
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
e interpretar geométricamente este resultado.
Demostración: (ejercicio).
El resultado significa que la suma de los cuadrados de las diagonales de un
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados. Por eso, esta
propiedad de los complejos se conoce como propiedad del paralelogramo.
N
(b) Comprobar geométricamente la desigualdad
˛ z
˛
˛
˛
− 1˛ 6 | arg z|.
˛
|z|
En efecto: sea z un complejo y C la circunferencia unidad
˛ centrada en
˛ el origen.
Entonces z · |z|−1 es un punto M de la circunferencia, ˛z · |z|−1 − 1˛ es la longitud de
la cuerda EM que une M y el punto E = (1, 0), mientras que | arg z| es la longitud del
d de la circunferencia apoyado en este cuerda. Luego, la desigualdad es cierta,
arco EM
d
ya que obviamente EM 6 EM.
N
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