D - Canek

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Optimización.
E: Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de 100 l en forma de un
cilindro circular recto rematado por dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el
4
volumen de la esfera es πr3 y que la superficie es 4πr2 , encontrar las dimensiones del tanque que
3
minimicen la cantidad de metal.
D: H Usamos la figura siguiente que es la de una sección vertical del tanque:
l
r
Considerando un cilindro circular recto de radio r y largo l, medidos ambos en decı́metros (dm),
el volumen de este tanque es
4
V = πr2 l + πr3 ;
3
y debe ser V = 10 l = 10 dm3 ; por lo cual se debe cumplir que
4
πr2 l + πr3 = 10.
3
Minimizar la cantidad de metal es equivalente a minimizar el área superficial del tanque.
El área del tanque es
A = 2πrl + 4πr2 .
Se tiene entonces:
4
Una ecuación, πr2 l + πr3 = 10.
3
Una función, A = 2πrl + 4πr2 .
De la ecuación se despeja a una de las variables (la que convenga) para luego sustituirla en la
función. Conviene despejar l:
4 3
πr
10
−
4 3
2
3
πr l + πr = 10 ⇒ l =
.
3
πr2
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
2
Sustituyendo en A se obtiene


4
10 − πr3


2
3
A = 2πrl + 4πr2 = 2πr 
 + 4πr =
2
πr
4 3
20 8 2
10 − πr + 4πr2 =
− πr + 4πr2
3
r
3
20 4 2
+ πr ,
A(r) =
r
3
que es la función a minimizar:
2
=
r
A 0 (r) = −
20 8
+ πr
r2
3
8
20
20 8
+ πr = 0 ⇔ πr = 2 ⇔
2
r
3
r
r 3
15
60
3 15
⇔ r3 =
=
⇔ r=
≈ 1.3365.
8π
2π
2π
Luego entonces, la función A(r) tiene un punto crı́tico en r1 ≈ 1.3365:
40 8
A 00 (r) = 3 + π > 0.
r
3
Se tiene un mı́nimo local estricto.
Por lo tanto, las dimensiones del tanque que minimizan el área son:
A 0 (r) = 0 ⇔ −
r = 1.3365 &
4π 15
4 3
10 −
10 − πr
10 − 10
3 2π
3
l=
=
=
= 0.
2
2
πr
π(1.3365)
π(1.3365)2
Es decir, el tanque debe ser una esfera de radio r1 = 1.3365 dm.