Algunas propiedades deducidas de semejanzas

Algunas propiedades deducidas de semejanzas
asociadas a los vértices de un triángulo
Angel Montesdeoca
Para un punto P , sobre la circunferencia circunscrita a un triángulo
ABC, consideramos triángulos que tienen dos de sus vértices en
los del triángulo dado y son semejantes al formado por P y dos de
los vértices de ABC. Estudiamos diversas configuraciones asociadas
a estos triángulos, en las que están involucrados ciertos centros y
cónicas asociadas a ABC.
4
∇
~
Semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Las seis posibles semejanzas directas (no involutivas y sin puntos fijos en los vértices), definidas
tomando como puntos homólogos entre los vértices de ABC son las que tienen las siguientes parejas de
pares homólogos:
A 7→ B y B 7→ C;
A 7→ B y C 7→ A;
A 7→ C y B 7→ A;
A 7→ C y C 7→ B;
B 7→ A y C 7→ B;
B 7→ C y C 7→ A.
Las ecuaciones de la semejanza directa definida por B 7→ C y C 7→ A son, en coordenadas baricéntricas
respecto a ABC:
λx0 = (c2 − b2 )x + a2 z,
λy 0 = b2 x,
λz 0 = (a2 − c2 )x + a2 y.
Esto surge del hecho de que el punto homólogo del punto X(x : y : z) en tal semejanza se obtiene
intersecando la recta que resulta de girar CA, alrededor de C, un ángulo igual al que forman las rectas
BC y BX, con la que nos da al girar CA, alrededor de A, un ángulo igual al que determinan CB y CX
(AM. §13.3, pag. 50) 1 . Las rectas giradas tienen de coeficientes, respectivamente:
¡
¢
b2 x : (b2 − c2 )x − a2 z : 0 ,
¡
¢
0 : (c2 − a2 )x + a2 y : b2 x .
4
∇
1
A. Monteseoca.- Geometrı́a métrica y proyectiva en el plano con coordenadas baricéntricas.
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
~
Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un
triángulo
En los enunciados que aparecen a continuación pueden omitirse algunos entes o nomenclaturas, por
abreviar, que ya estén citados en alguna parte anterior de este documento.
Sea P un punto en la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, consideremos los triángulos directamente semejantes CABa ∼ BCP , ABCb ∼ CAP y
BCAc ∼ ABP . Entonces los puntos Ba , Cb y Ac están alineados y, si U (u : v : w)
son las coordenadas baricéntricas del conjugado isogonal de P (u + v + w = 0),
el punto del infinito de la recta que los contiene es:
U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w).
La transformación U 7→ U 0 es la involución que la hipérbola de Kiepert induce
en la recta del infinito. La transformación P 7→ P 0 (P 0 conjugado isogonal de
U 0 ) es la simetrı́a respecto al eje de Brocard.
La imagen del punto P (a2 vw : b2 wu : c2 uv), u + v + w = 0, sobre la circunferencia circunscrita,
mediante la semejanza directa que transforma B 7→ C y C 7→ A, es:
¡ ¡
¢
¡
¡
¢ ¢¢
Ba −v c2 v + b2 w : b2 vw : w b2 u + a2 − c2 v .
Razonando de la misma manera, se obtienen las ecuaciones las restantes semejanzas consideradas
arriba. Ası́, para la semejanza dada por B 7→ A y C 7→ B, las ecuaciones son:
λx0 = a2 z,
λy 0 = c2 x + (c2 − b2 )z,
λz 0 = c2 y + (b2 − a2 )z,
el punto homólogo de P es:
¡ ¡
¢
¡
¡
¢ ¢
¢
Ca w c2 v + b2 w : v uc2 + a2 − b2 w : c2 vw .
Procediendo cı́clicamente, se obtienen las coordenadas de los puntos, para las correspondientes semejanzas, homólogos de P :
¡ ¡
¡
¢ ¢
¡
¢
¢
Cb u c2 v + b2 − a2 w : −w c2 u + a2 w : c2 uw ,
¢¢
¢
¡
¡
¢
¡¡
Ab a2 uw : −u c2 u + a2 w : w b2 − c2 u + va2 ,
¡
¡¡
¢
¢
¡
¢¢
Ac a2 uv : v c2 − b2 u + a2 w : −u b2 u + a2 v ,
¡ ¡¡
¢
¢
¡
¢¢
Bc u c2 − a2 v + b2 w : b2 uv : −v b2 u + a2 v .
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Siendo el determinante formado por las coordenadas de los puntos Ba , Cb y Ac igual a:
¡
¢
¡
¢
− a4 + b4 + c4 − b2 c2 − c2 a2 − a2 b2 uvw(u + v + w) a2 vw + c2 uv + b2 uw ,
ellos están alineados, al ser u + v + w = 0. El punto del infinito de la recta que determinan es:
U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w).
En los triángulos ABCa ∼ BCP , BCAb ∼ CAP y CABc ∼ ABP , los vértices Ab , Bc y Ca también
están alineados, en una recta paralela a la determinada por los tres puntos Ba , Cb y Ac .
La correspondencia:
U (u : v : w) 7−→ U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w),
es una involución sobre la recta del infinito (U 0 7→ U ). De hecho, la involución U 7→ U 0 es la que
la hipérbola de Kiepert (isogonal conjugada del eje de Brocard), hipérbola equilátera circunscrita al
triángulo de referencia y que pasa por el baricentro, de ecuación
(b2 − c2 )yz + (c2 − a2 )zx + (a2 − b2 )xy = 0,
induce sobre la recta del infinito; pues la polar de U (u : v : w) respecto a la hipérbola de Kiepert es:
¡ 2
¢
¡
¢
¡
¢
(a − b2 )v + (c2 − a2 )w x + (a2 − b2 )u + (b2 − c2 )w y + (c2 − a2 )u + (b2 − c2 )v z = 0.
La cual corta a la recta del infinito, x + y + z = 0, en el punto U 0 .
Por tanto, la correspondencia P 7→ P 0 (P 0 conjugado isogonal de U 0 ) es una involución sobre la
circunferencia circunscrita, que en realidad es la simetrı́a respecto al eje de Brocard, OK, que es el eje
de perspectividad de la involución 2 .
2
Esto es una caso particular de la situación general siguiente:
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Podemos hacer una comprobación de este hecho, tomando pares de puntos (centros de ETC) homólogos
en la involución:
µ
X74
a2
: ···
2
a SA − 2SB SC
¶
µ
7→ X842
¶
a2
:
·
·
·
,
a2 (a2 SA + b2 c2 ) − 2(a2 SB SC + b2 SA SB + c2 SA SC )
las rectas que unen estos puntos con cualquier otro par de puntos homólogos, se cortan en el eje de
perspectividad. Ası́, por ejemplo, sean los dos pares de puntos homólogos siguientes:
¶
¶
µ
µ
a2
a2
X110
:
·
·
·
−
7
→
X
:
·
·
·
.
691
b2 − c2
(b2 − c2 )(b2 + c2 − 2a2 )
µ
¶
µ
¶
a2
a2
X112
: ···
7−→ X2715
: ··· .
(b2 − c2 )SA
b4 SB − c4 SC
¿Dados un triángulo ABC, una recta ` (no tangente a la circunferencia circunscrita Γ) y la cónica circunscrita, C` ,
conjugada isogonal de `. Si P es un punto de Γ, sean d el diámetro de C` con punto impropio el conjugado isogonal de P , d0
su diámetro conjugado y P 0 el conjugado isogonal del punto del infinito de d0 . Entonces, la correspondencia σ : P 7−→ P 0 es
una involución sobre Γ, con eje de perspectividad `. Además, si ` pasa por el circuncentro, σ es la simetrı́a respecto a ` À.
En efecto, la correspondencia entre diámetros conjugados de una cónica (elipse o hipérbola) es una involución con
elementos dobles las ası́ntotas, en el caso de la hipérbola. La correspondencia que a un diámetro d le asigna el punto P ,
en la circunferencia circunscrita, conjugado isogonal de su punto del infinito, es una proyectividad; ya que P se obtiene,
trazando una paralela a d por un vértice (sea A), luego la recta simétrica de ésta, respecto a la bisectriz en A, y finalmente,
P es el otro punto en que la última recta trazada vuelve a cortar a Γ. Tenemos ası́, que σ : P 7−→ P 0 es un involución sobre
Γ y las rectas que unen puntos homólogos pasa por un punto (polo de la involución), cuya polar es el eje de perspectividad
de la involución. Éste contiene a los puntos dobles (reales o imaginarios) de la involución, que son los puntos de contacto
con Γ de las tangentes trazadas desde el polo. Estos puntos de tangencia son los correspondientes conjugados isogonales de
los puntos del infinito de la cónica circunscrita; es decir que están en la recta `, la cual coincide, por tanto, con el eje de
perspectividad de la involución.
En el caso de que ` contenga al circuncentro, el polo de la involución está en el infinito, ya que es la intersección de las
tangentes en puntos antipodales. Ası́, σ : P 7−→ P 0 es la simetrı́a respecto a `.
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El punto X74 X110 ∩X842 X691 , pertenece al eje de perspectividad; que se trata del circuncentro O, pues
X74 y X110 son antipodales y también los son X691 y X842 . También pertenece a dicho eje el simediano
K = X74 X112 ∩ X842 X2715 .
Por otra parte, las rectas X74 X691 y X110 X842 son paralelas, simétricas respecto a O y se cortan en
el eje de perspectividad, por lo que X74 y X842 son simétricos respecto al eje de Brocard. Ası́, las rectas
X842 P y X74 P 0 , que se cortan en el eje de perspectividad, son simétricas respecto a éste, es decir, P y
P 0 son simétricos, respecto al eje de Brocard.
¤
Los puntos medios de los segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc coinciden, en el punto
imagen (en la circunferencia de Euler) de P mediante la homotecia de centro en
el baricentro y razón −1/2.
El punto medio de cualquiera de los tres segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc es el punto:
¡ 2
¢
u(c v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) ,
que es el complemento de P , y está en la circunferencia de Euler (al estar P en la circunferencia circunscrita).
¤
Cada terna de rectas AP, BCa y CBa ; BP, CAb y ACb , y CP, ABc y BAc son
paralelas entre sı́. Si A0 = BAc ∩ CAb , B 0 = CBa ∩ ABc y C 0 = ACb ∩ BAc ,
entonces los puntos medios de los segmentos AA0 , BB 0 y CC 0 coinciden, en el
punto imagen (en la circunferencia de Euler) de P mediante la homotecia de
centro en el baricentro y razón −1/2.
El punto del infinito de cada una de las tres rectas AP, BCa y CBa es (c2 v + b2 w : −b2 w : −c2 v).
Las dos restantes ternas de rectas tienen como puntos del infinito (−a2 w : c2 u + a2 w : −c2 u) y (−a2 v :
−b2 u : b2 u + a2 v).
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Por otro lado, se tiene que:
¡
¢
A0 −a2 vw : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) ,
¡
¢
B 0 u(c2 v + b2 w) : −b2 wu : w(b2 u + a2 v) ,
¡
¢
C 0 u(c2 v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : −c2 uv) .
Las sumas de las coordenadas de cada uno de estos puntos es a2 vw +b2 wu+c2 uv. Por lo que poniendo
A(a2 vw + b2 wu + c2 uv : 0 : 0) el punto del segmento AA0 es: coinciden en:
¡ 2
¢
u(c v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) .
Este punto coincide con el punto medio de los segmentos BB 0 y CC 0 .
¤
Los seis puntos A0b = BAc ∩ ABa , Bc0 = CBa ∩ BCb , Ca0 = ACb ∩ CAc , A0c =
CAb ∩ ACa , Ba0 = ABc ∩ BAb , Cb0 = BCa ∩ CBc , están en la circunferencia
circunscrita. Los triángulos A0c Ba0 Cb0 son congruentes para cualquier P (en la
circunferencia circunscrita) y simétricos a A0b Bc0 Ca0 con respecto a la recta OP .
(Applet CabriJava)
Las coordenadas de los puntos A0b y A0c son:
¡
¢
A0b a2 v(b2 u + (a2 − c2 )v) : −b2 v(b2 u + a2 v) : −b4 u2 + b2 (c2 − 2a2 )uv + a2 (c2 − a2 )v 2 ,
¡
¢
A0c −a2 w(c2 u + (a2 − b2 )w) : c4 u2 + (2a2 − b2 )c2 uw + a2 (a2 − b2 )w2 : c2 w(c2 u + a2 w) .
Las coordenadas de los puntos Bc0 y Ca0 se obtienen permutando cı́clicamente las de A0b . Las de los
puntos Ba0 y Cb0 se deducen de las de A0c permutando cı́clicamente dos veces.
Sustituyendo las coordenadas de estos seis puntos en la ecuación de la circunferencia circunscrita,
a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0, se comprueba que están sobre ella.
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Que todos los triángulos A0c Ba0 Cb0 son congruentes es porque:
Ba0 Cb0 =
|b2 − c2 |
,
a
Cb0 A0c =
|c2 − a2 |
,
b
A0c Ba0 =
|a2 − b2 |
.
c
A0b Bc0 =
|a2 − b2 |
.
c
También con congruentes los triángulos A0b Bc0 Ca0 :
Bc0 Ca0 =
|b2 − c2 |
,
a
Ca0 A0b =
|c2 − a2 |
,
b
Otras distancias, entre pares de vértices de estos triángulos, son:
Bc0 Cb0 = BC = a,
A0b A0c =
2SA
= 2a cos A,
bc
Ca0 A0c = CA = b,
Ba0 Bc0 =
A0b Ba0 = AB = c,
2SB
= 2b cos B,
ac
Ca0 Cb0 =
2SC
= 2c cos C.
ab
Nos falta establecer que los A0c Ba0 Cb0 y A0b Bc0 Ca0 son simétricos respecto al diámetro OP . Pero esto
surge de que el punto del infinito del diámetro perpendicular a OP es:
¡ 2 2 2
¢
a (c v − b2 w2 ) : b2 (a2 w2 − c2 u2 ) : c2 (b2 u2 − a2 v 2 ) .
Y de que el determinante formado por estas coordenadas y las de los puntos A0b y A0c es:
a2 b2 c2 (u + v + w)(−b2 c2 u2 − c2 (a2 − c2 )uv − b2 (a2 − b2 )uw + 2a2 SA vw)(−c2 u2 v + b2 u2 w − a2 v 2 w + a2 vw2 ),
que es nulo, al ser u + v + w = 0; con lo que A0b y A0c son los extremos de una cuerda perpendicular
a OP . Análogamente, se establece que Bc0 Ba0 y Ca0 Cb0 son cuerdas de la circunferencia circunscritas
perpendiculares al diámetro OP .
¤
Los puntos P para los cuales las rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca son paralelas a los
lados de ABC, son los otros puntos en los que las paralelas por los vértices a
la dirección del conjugado isogonal del punto de Steiner, vuelven a cortar a la
circunferencia circunscrita.
La recta Ba Cb Ac es paralela al lado BC, cuando sus puntos del infinito:
U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w)
y
(0 : 1 : −1),
coinciden; lo cual ocurre para U (b2 − c2 : a2 − b2 : c2 − a2 ).
La recta Ba Cb Ac es paralela al lado CA o al AB, cuando U coincide, respectivamente, con (a2 − b2 :
c − a2 : b2 − c2 ) ó (c2 − a2 : b2 − c2 : a2 − b2 ).
Luego los puntos, sobre la circunferencia circunscrita, buscados son:
2
µ
Ua
b2
a2
b2
c2
: 2
: 2
2
2
−c
a −b
c − a2
¶
µ
, Ub
a2
a2
b2
c2
: 2
: 2
2
2
−b
c −a
b − c2
¶
µ
, Uc
c2
a2
b2
c2
: 2
: 2
2
2
−a
b −c
a − b2
¶
.
Es decir, el triángulo circunceviano del punto X512 , conjugado isogonal del punto de Steiner, X99 .
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Cuando P = Ua , se tiene que Ub = Cb0 = BCa ∩ CBc y Uc = Bc0 = BCb ∩ CBa . Si P = Ub ,
entonces Ua = Ca0 = ACb ∩ CAc y Uc = A0c = CAb ∩ ACa . Y, finalmete, si P = Uc , ocurre que
Ua = Ba0 = ABc ∩ BAb y Ub = A0b = BAc ∩ ABa .
¤
Las rectas AP, BBa y CCa son concurrentes cuando P coinciden con uno de
los tres puntos siguientes (en la circunferencia circunscrita Γ): los puntos donde
las bisectrices (interior y exterior) en A y la paralela a BC por A, vuelven a
corta a Γ.
El valor del determinante formado por los coeficientes de las rectas AP, BBa y CCa es:
(c4 uv 3 + a2 c2 v 3 w − b2 c2 v 3 w − b4 uw3 − a2 b2 vw3 + b2 c2 vw3 )(c2 v + b2 w).
El cual se anula para los puntos, en la recta del infinito:
(−b − c : b : c),
(b − c : −b : c),
(b2 − c2 : −b2 : c2 ),
cuyos conjugados isogonales (en la circunferencia circunscrita) están, respectivamente, en las bisectrices
interior y exterior del ángulo en A (es decir, en la mediatriz del lado BC y los puntos de concurrencia
son centros de perspectividad de Kiepert (AM. §15, pag. 61)) y en la paralela por A a BC. Por tanto,
en este último caso, se tiene que la recta Ba Ca coincide con el lado BC.
Situación similar se tiene para la concurrencia de las tres rectas BP, CCb y AAb y para las tres rectas
CP, AAc y BBc .
¤
El punto P (en la circunferencia circunscrita), para el que los seis puntos
Ba , Cb , Ac , Ab , Bc y Ca están en una misma recta, es el foco de la parábola de
Kiepert.
Una de las formas de expresar la condición de alineamiento de estos seis puntos es:
(−b2 c2 + c4 )u2 v + (−a2 c2 + c4 )uv 2 + (a2 b2 − b2 c2 )u2 w + (a2 b2 − a2 c2 )v 2 w+
+(a4 + b4 + 2c4 − 2b2 c2 − 2a2 c2 )uvw = 0,
u + v + w = 0.
Cuya única solución real es el punto, en la recta del infinito, (b2 −c2 : c2 −a2 : a2 −b2 ), cuyo conjugado
isogonal es el punto X110 , foco de la parábola de Kiepert:
µ
¶
a2
b2
c2
:
:
.
b2 − c2 c2 − a2 a2 − b2
El punto de medio común de los segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc es, ahora, el centro de la hipérbola
de Jerabek, X125 (en la circunferencia de Euler). Y la recta que contiene a los seis puntos es:
t:
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b2
x
y
z
+ 2
+ 2
= 0.
2
2
−c
c −a
a − b2
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(1)
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Es perpendicular3 a la recta que pasa por X110 y X125 ; y se trata de la tripolar del punto X523 , conjugado
isogonal del foco de la parábola de Kiepert. Esta recta vuelve a cortar a la circunferencia de Euler en el
punto X115 , centro de la hipérbola de Kiepert y su punto del infinito es el X690 .
Por supuesto, esta recta es la tangente común a la tres cónica envolventes de las rectas Ba Ca , Cb Ab y
Ac BC , cuando P varı́a en la circunferencia circunscrita.
¤
Las tres cónicas envolventes de las rectas Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc son bitangentes
a la circunferencia de Euler. Las rectas que unen los puntos de contacto (reales
o imaginarios) forman un triángulo Ea Eb Ec perspectivo con ABC, con centro de
perspectividad en el conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert. Cada
par de tangentes (reales o imaginarias) en los puntos de contacto se cortan en
los vértices de Ea Eb Ec .
La ecuación de la recta Ba Ca , cuando P varı́a en la circunferencia circunscrita (es decir, cuando su
conjugado isogonal, U (t : 1 − t : −1), varı́a en la recta del infinito), la podemos poner en la forma:
(−a2 + b2 + c2 )(t − 1)x + (−b2 − c2 (t − 1))y + (−b2 − c2 (t − 1))(t − 1)z = 0.
Estas rectas envuelven a la cónica inscrita en ABC:
2 2
Ca : 4SA
x + c4 y 2 + b4 z 2 − 2b2 c2 yz − 4b2 SA zx − 4c2 SA xy = 0.
Similarmente, se tienen las ecuaciones de las cónicas que envuelven las rectas Cb Ab y Ac Bc , que son,
respectivamente:
2 2
y + a4 z 2 − 4a2 SB yz − 2a2 c2 zx − 4c2 SB xy = 0,
Cb : c4 x2 + 4SB
2 2
z − 4a2 SC yz − 4b2 SC zx − 2a2 b2 xy = 0.
Cc : b4 x2 + a4 y 2 + 4SC
Si consideramos el haz de cónicas determinado por la circunferencia de Euler y la cónica Ca :
2 2
SA x2 + SB y 2 + SC z 2 − a2 yz − b2 zx − c2 xy + λ(4SA
x + c4 y 2 + b4 z 2 − 2b2 c2 yz − 4b2 SA zx − 4c2 SA xy) = 0,
los valores de λ que anulan al polinomio caracterı́stico (que corresponden a las cónicas degeneradas del
haz) son:
a2
1
,
.
b2 c2
2SA
El segundo, que es doble, da lugar a una recta doble, que pasa por los puntos (reales o imaginarios) de
bitangencia:
da : (a2 − b2 )y + (c2 − a2 )z = 0.
La raı́z simple, nos da la cónica degenerada determinada por las tangentes comunes, cuya matriz
asociada (de determinante nulo) es:
¢ 
¢¡
¡
¢
¢ ¡
¢ ¡ 2
¢¡
¢¡
 ¡ 2
a¡ − b2 ¢c2 a¡2 − c2 ¢ b2 a2 − b2 a2 − c2
a − ¡b2 a2 −¢ c2 ¡ a2 − b¢2 − c2
.

0¢ ¡
− a2 − b2 c2 b2 − c2
a2¡ − b2 c¢2 ¡a2 − c2 ¢
¡
¢
2
2
2
2
2
b a −b
a −c
0
b2 a2 − c2 b2 − c2
3
Quang Tuan Bui, http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/19123
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El punto común de estas tangentes es:
Ta (c2 − b2 : c2 − a2 : a2 − b2 ).
Cálculos similares para los haces de cónicas formados por la circunferencia de Euler y cada una de las
restantes cónicas, Cb y Cc , nos dan como rectas dobles y puntos de intersección de las tangentes comunes:
db : (a2 − b2 )x + (b2 − c2 )z = 0,
Tb (b2 − c2 : a2 − c2 : a2 − b2 ),
dc : (c2 − a2 )x + (b2 − c2 )y = 0.
Tc (b2 − c2 : c2 − a2 : b2 − a2 ).
El triángulo 4 Ta Tb Tc es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X523 , conjugado isogonal
del foco de la parábola de Kiepert.
Los puntos de tangencia, con cada una de estas cónicas, de la tangente t común (1) son, respectivamente:
µ 2
¶
2(b − c2 )2 SA (c2 − a2 )2 (a2 − b2 )2
La
:
:
,
b2 c2
b2
c2
4
El triángulo Ta Tb Tc es autopolar respecto a la circunferencia de Euler y la ecuación de ésta referida a él es:
b2
a2
b2
c2
x2 + 2
y2 + 2
z 2 = 0.
2
2
−c
c −a
a − b2
También, el triángulo Ta Tb Tc es autopolar respecto a las cónicas Ca , Cb y Cc , y sus ecuaciones en esta referencia son:
Ca :
b2 c2 2
2b2 SA 2
2c2 SA 2
x + 2
y + 2
z = 0,
b2 − c2
c − a2
a − b2
2a2 SB 2
c2 a2 2
2c2 SB 2
x + 2
y + 2
z = 0,
2
2
2
b −c
c −a
a − b2
2a2 SC 2
2b2 SC 2
a2 b2 2
Cc : 2
x + 2
y + 2
z = 0.
b − c2
c − a2
a − b2
Cb :
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
µ
Lb
µ
Lc
(b2 − c2 )2 2(c2 − a2 )2 SB (a2 − b2 )2
:
:
a2
c2 a2
c2
(b2 − c2 )2 (c2 − a2 )2 2(a2 − b2 )2 SC
:
:
a2
b2
a2 b2
¶
,
¶
.
Por tanto, las rectas ALa , BLb y CLc concurren en el punto X338 (producto ceviano
X115 y X125 , en los que la tangente común, t, corta a la circunferencia de Euler):
µ 2
¶
(b − c2 )2 (c2 − a2 )2 (a2 − b2 )2
:
:
.
a2
b2
c2
5
de los puntos
Los perspectores de las cónicas Ca , Cb y Cc son, respectivamente:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
1 1
1 1
1
1
1 1
:
:
,
:
,
:
.
2SA c2 b2
c2 2SB a2
b2 a2 2SC
O bien:
µ
¶
b2 c2 2 2
:b :c ,
2SA
µ
a2 :
¶
c2 a2 2
:c ,
2SB
µ
¶
a2 b2
a2 : b2 :
.
2Sc
5 En el glosario de ETC (faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html):
Cevapoint (cevian product). Suppose P = p : q : r and U = u : v : w are distinct points, neither lying on a sideline
of ABC. The cevapoint of P and U is the point
(pv + qu)(pw + ru) : (qw + rv)(qu + pv) : (ru + pw)(rv + qw)
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Ası́, estos perspectores forman un triángulo perspectivo con ABC, cuyo centro de perspectividad es
el simediano.
Los centros de las cónicas,
(b2 + c2 : b2 + 2SA : c2 + 2SA ),
(a2 + 2SB : a2 + c2 : c2 + 2SB ),
(a2 + 2SC : b2 + 2SC : a2 + b2 ),
están en la recta GK. Esta recta corta a la tangente común (1) a las tres cónicas en el punto X1648 :
¡ 2
¢
(2a − b2 − c2 )(b2 − c2 )2 : (2b2 − c2 − a2 )(c2 − a2 )2 : (2c2 − a2 − b2 )(a2 − b2 )2 .
El punto X1648 es el baricentro6 de los tres puntos en que la tangente común (1) corta a los lados de
ABC
¤
Sean A4 , B4 , C4 los cuartos puntos de intersección de la circunferencia circunscrita con las cónicas circunscritas que pasan, respectivamente, por los puntos Ba
y Ca , Cb y Ab , Ac y Bc , entonces las rectas AA4 , BB4 , CC4 son concurrentes si
sólo si P = X3565 y el punto de concurrencia es el X2079 , inverso del centro de la
hipérbola de Kiepert, X115 , respecto a la circunferencia circunscrita.
La cónica circunscrita que pasa por Ba y Ca tiene por ecuación:
Γa : (c2 v + b2 w)(b2 c2 u2 + c2 (a2 − c2 )uv + b2 (a2 − b2 )uw − a2 (−a2 + b2 + c2 )vw)yz+
b2 (c2 u + (a2 − b2 )w)(−c2 v 2 + b2 uw + (a2 − c2 )vw)zx+
c2 (b2 u + (a2 − c2 )v)(c2 uv + (a2 − b2 )vw − b2 w2 )xy = 0.
Si consideramos las otras cónicas circunscritas Γb y Γc que contienen a Cb y Ab , y a Ac y Bc ,
respectivamente y si A4 , B4 y C4 son sus cuartos puntos de intersección (PY §9.1, pag. 105) con la
circunferencia circunscrita, el determinante formado por los coeficientes de las rectas AA4 , BB4 , CC4
vale, poniendo U = (u : v : w) = (t : 1 − t : −1):
(−a6 − b6 − c6 − c4 + a2 c4 + b2 c4 + b4 c2 + a4 b2 + a2 b4 + a4 c2 − 3a2 b2 c2 )
(−3a2 b2 + b4 + 3a2 c2 + (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 )t)(−a2 + (a2 − b2 + c2 )t − c2 t2 )4 .
Que se anula para el valor real:
t=
c4 − b4 + 3a2 b2 − 3a2 c2
.
(a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 )
Luego AA4 , BB4 , CC4 concurren si U (u : v : w) es el punto del infinito:
¡ 2
¢
(b − c2 )(b2 + c2 − 3a2 ) : (c2 − a2 )(c2 + a2 − 3b2 ) : (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 ) .
6 Darij Grinberg (ver nota anterior al centro X
1635 en la Enciclopedia de Kimberling) da la noción de ”tripolar centroid”
de un punto X, como el baricentro de los tres puntos en los que la tripolar de X corta a los lados del triángulo de referencia.
En particular, el punto X1648 es el ”tripolar centroid” del conjugado isogonal, X523 , del foco de la parábola de Kiepert,
X110 .
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Su conjugado isogonal es el punto X3565 :
µ
¶
a2
b2
c2
:
:
.
(b2 − c2 )(b2 + c2 − 3a2 ) c2 − a2 )(c2 + a2 − 3b2 ) (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 )
El punto donde se cortan las rectas AA4 , BB4 , CC4 es el X2079 :
¡ 2 8
¢
a (a − 2a6 (b2 + c2 ) + 5a4 b2 c2 + a2 (2b6 − 3b4 c2 − 3b2 c4 + 2c6 ) − (b2 − c2 )2 (b4 + c4 )) : · · · : · · · .
El punto X2079 (situado sobre la circunferencia circunscrita al triángulo tangencial) es el inverso del
centro de la hipérbola de Kiepert, X115 , respecto a la circunferencia circunscrita. El punto X3565 es
uno de los dos extremos del diámetro de la circunferencia circunscrita que es paralelo al diámetro de la
circunferencia circunscrita al triángulo tangencial que pasa por X2079 .
Las tres cónicas circunscritas Γa , Γb y Γc tiene en común, aparte de los vértices A, B y C el punto de
primera coordenada:
¡ 2
¢2 ¡
¢2
v(c u + a2 w) + b2 wu
w(a2 v + b2 u) + c2 uv
(a6 vw + a4 u(b2 w + c2 v) + a2 (b2 c2 u2 − ((b2 − c2 )2 + b2 c2 )vw) − u(b2 − c2 )(b4 w − c4 v))
En particular, cuando P = X110 , es decir U = X523 , las tres cónicas se cortan 7 en el punto X67 :
µ
¶
1
1
1
:
:
.
b4 + c4 − a4 − b2 c2 c4 + a4 − b4 − c2 a2 a4 + b4 − c4 − a2 b2
¤
7
Quang Tuan Bui, http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/19123
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Cuando P recorre la circunferencia circunscrita, la recta da que une los centros
de las circunferencias que describen los puntos Ba y Ca , la recta db que une
los centros de las circunferencias que describen los puntos Cb y Ab , y la recta
dc que une los centros de las circunferencias que describen los puntos Ac y Bc ,
concurren en el centro de la circunferencia de Euler. Los ejes radicales ea , eb , ec de
cada par de estas circunferencias determinan un triángulo perspectivo con ABC,
con centro de perspectividad en el conjugado isogonal del foco de la parábola de
Kiepert.
Cuando P describe la circunferencia circunscrita, su imagen Ba , mediante la semejanza definida por
B 7→ C y C 7→ A, está en una circunferencia, que pasa por A y C, de ecuación y centro:
¡ 2
¢
(a2 − b2 )y 2 − b2 yz − b2 zx − 2SA xy = 0,
2b SB : 2b2 SA : −a4 − b4 − c4 + 2a2 (b2 + c2 ) .
La ecuación de la circunferencia que describe Ca y su centro son:
¡ 2
¢
(a2 − c2 )z 2 − c2 yz − 2SA zx − c2 xy = 0,
2c SC : −a4 − b4 − c4 + 2a2 (b2 + c2 ) : 2c2 SA .
Los centros de estas circunferencias están en la recta:
da : (a4 + b4 + c4 − 2a2 (b2 + c2 ) + b2 c2 )x + c2 (a2 − c2 )y + b2 (a2 − b2 )z = 0.
Ası́ mismo de obtienen las rectas que unen los centros de las circunferencias descritas por Cb y Ab y
por Ac y Bc :
db : c2 (b2 − c2 )x + (a4 + b4 + c4 − 2b2 (c2 + a2 ) + c2 a2 )y + a2 (b2 − a2 )z = 0,
dc : b2 (c2 − b2 )x + a2 (c2 − a2 )y + (a4 + b4 + c4 − 2c2 (a2 + b2 ) + a2 b2 )z = 0.
Estas tres rectas se cortan en el punto X5 , centro de la circunferencia de Euler:
¡ 2
¢
(b − c2 )2 − a2 (b2 + c2 ) : (c2 − a2 )2 − b2 (c2 + a2 ) : (a2 − b2 )2 − c2 (a2 + b2 ) .
El eje radical de las circunferencias descritas por Ba y Ca es la perpendicular por A a la recta da , que
une sus centros (ası́ como los otros dos):
ea : (a2 − b2 )y + (c2 − a2 )z = 0,
eb : (a2 − b2 )x + (b2 − c2 )z = 0,
ec : (c2 − a2 )x + (b2 − c2 )y = 0.
Los puntos eb ∩ ec , ec ∩ ea y ea ∩ eb son, respectivamente:
(b2 − c2 : a2 − c2 : b2 − a2 ),
(c2 − b2 : a2 − b2 : b2 − a2 ),
(c2 − b2 : a2 − c2 : b2 − c2 ),
que forma un triángulo perspectivo con ABC, de centro de perspectividad en X523 , conjugado isogonal
del foco de la parábola de Kiepert:
(c2 − b2 : a2 − c2 : b2 − a2 ).
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
¤
Denotemos por Pab el punto P (sobre la circunferencia circunscrita) tal que las
tres rectas BP, CBa y ACa son concurrentes, y por Pac el punto P tal que las tres
rectas CP, ABa y BCa son concurrentes; ellos determinan la recta `a = Pab Pac .
Similarmente, definimos las rectas `b y `c . Estas tres rectas forman un triángulo
simétrico de ABC respecto al punto X39 , punto medio de los puntos de Brocard.
Para que las rectas BP, CBa y ACa sean concurrentes, ha de ocurrir que:
−c2 u + b2 w = 0,
ó
c2 u2 + (a2 − b2 + c2 )uw + a2 w2 = 0.
La segunda condición no da puntos reales y la primera nos da el punto:
¡
¢
Pab a2 (b2 + c2 ) : −b4 : b2 (c2 + a2 ) .
Y el punto de concurrencia de las rectas BP, CBa y ACa es Ω1 (1/b2 : 1/c2 : 1/a2 ), primer punto de
Brocard.
Ası́ mismo, para que las rectas CP, ABa y BCa sean concurrentes, se debe verificar que:
b2 u − c2 v = 0,
ó
b2 u2 + (a2 + b2 − c2 )uv + a2 v 2 = 0.
La primera condición nos dice que la tres rectas son concurrentes cuando se toma el punto de la
circunferencia circunscrita:
¡
¢
Pac a2 (b2 + c2 ) : c2 (b2 + c2 ) : −c2 .
Y el punto de concurrencia de las rectas CP, ABa y BCa es Ω2 (1/c2 : 1/a2 : 1/b2 ), segunda punto de
Brocard.
Las rectas `a = Pab Pac , `b = Pbc Pba y `c = Pca Pcb , determinan el triángulo de vértices:
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
¡
¢
A0 −b2 c2 : b2 (c2 + a2 ) : c2 (a2 + b2 ) ,
¡
¢
B 0 a2 (b2 + c2 ) : −c2 a2 : c2 (a2 + b2 ) ,
¡
¢
C 0 a2 (b2 + c2 ) : b2 (c2 + a2 ) : −a2 b2 .
Se concluye que los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad en el
centro X39 :
¡ 2 2
¢
a (b + c2 ) : b2 (c2 + a2 ) : c2 (a2 + b2 ) .
Que además es el punto medio de los segmentos AA0 , BB 0 y CC 0 . Por los triángulos son simétricos
respecto a X39 .
¤
Los puntos P (en la circunferencia circunscrita) que están en sus correspondientes rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca son los conjugados isogonales de los brocardianos del
punto de Steiner; es decir, los cuartos puntos de intersección de la circunferencia
circunscrita con las elipses circunscritas con perspectores los puntos de Brocard.
La condición para que el punto P esté en al recta Ba Cb es:
c2 (c2 − a2 )u2 v + c2 (b2 − a2 )uv 2 + b2 (a2 − b2 )u2 w + a2 (a2 − c2 )v 2 w + (a4 + c4 − 2a2 c2 )uvw = 0,
u + v + w = 0.
8
2
2
2
2
La única solución real es (a − c : b − a : c2 − b2 ), cuyo conjugado isogonal es:
¶
µ
b2
c2
a2
:
:
.
a2 − c2 b2 − a2 c2 − b2
8 Los brocardianos (AM, §14.4, pag. 58) del punto de Steiner, X (1/(b2 − c2 ) : 1/c2 − a2 ) : 1/(a2 − c2 )), son los puntos
99
de la recta del infinito (c2 − a2 : b2 − a2 : c2 − b2 ) y (a2 − b2 : b2 − c2 : c2 − a2 ).
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Este punto es punto de intersección, a parte de los vértices de ABC, de la circunferencia circunscrita,
a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0, y la elipse circunscrita con perspector el primer punto de Brocard, a2 c2 yz +
a2 b2 zx + b2 c2 xy = 0.
Similarmente, el único punto P que está en la recta Ab Bb Ca es:
µ
¶
a2
b2
c2
:
:
.
b2 − a2 c2 − b2 a2 − c2
Hacer notar que en ambos casos el punto de Steiner, X99 , pertenece a las rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca
que se obtienen:
y
z
x
y
z
x
+ 2
+ 2
=0 y
+ 2
+ 2
= 0.
2
2
2
2
2
2
2
b −a
c −b
a −c
a −c
b −a
c − b2
¤
Los centros de las semejanzas directas asociadas a los vértices de ABC coinciden dos a dos y forman un triángulo cuyos vértices son los puntos (distintos de
K) de intersecciones de las simedianas con la circunferencia de Brocard.
De las semejanza asociadas a los vértices de ABC consideradas, tres de ellas son las inversas de las
otras tres. Ası́, tendremos sólo tres centros de semejanza distintos, a saber:
El punto fijo de la semejanza directa definida por B 7→ C y C 7→ A (que coincide con la que transforma
A 7→ C y C 7→ B) es (a2 : b2 : 2SC ), situado en la simediana por C, b2 x − a2 y = 0, y en la circunferencia
de Brocard.
1
a2 yz + b2 zx + c2 xy − 2
(x + y + z)(b2 c2 x + c2 a2 y + a2 b2 z) = 0
a + b2 + c2
Similarmente, el punto fijo de la semejanza directa definida por A 7→ B y B 7→ C (que coincide con
la que transforma B 7→ A y C 7→ B) es (a2 : 2SB : c2 ).
Y el punto fijo de la semejanza directa definida por A 7→ B y C 7→ A (que coincide con la que
transforma A 7→ C y B 7→ A) es (2SA : b2 : c2 ).
¤
Los tres puntos, sobre la circunferencia circunscrita, tales que para cada uno
de ellos, la correspondiente recta Ba Cb Ac es paralela a una de las cevianas de
un punto Q, forman un triángulo perspectivo con ABC si Q está en la recta del
infinito o sobre la hipérbola de Kiepert.
Sean (p : q : r) las coordenadas de un punto Q. Resolviendo el sistema que resulta de imponer que
los puntos del infinito de la recta Ba Cb y de la ceviana AQ, coincidan:
(a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w) = λ(−q − r : q : r),
u + v + w = 0,
resulta que el punto, en el circunferencia circunscrita, para el cual dichas rectas son paralelas tiene de
coordenadas:
¶
µ
b2
c2
a2
:
:
.
AQ
(c2 − a2 )q + (b2 − a2 )r (c2 − b2 )q + (a2 − c2 )r (a2 − b2 )q + (c2 − b2 )r
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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los vértices de un triángulo
Similarmente, los puntos que dan rectas paralelas a las cevianas BQ y CQ son:
µ
¶
a2
b2
c2
BQ
:
:
,
(b2 − c2 )r + (a2 − c2 )p (a2 − b2 )r + (c2 − b2 )p (a2 − c2 )r + (b2 − a2 )p
µ
¶
b2
c2
a2
CQ
:
:
.
(b2 − a2 )p + (c2 − b2 )q (c2 − a2 )p + (b2 − a2 )q (b2 − c2 )p + (a2 − c2 )q
El triángulo AQ BQ CQ es perspectivo con ABC si:
a2 b2 c2 (a4 + b4 + c4 − b2 c2 − c2 a2 − a2 b2 )(p + q + r)((b2 − c2 )qr + (c2 − a2 )rp + (a2 − b2 )pq) = 0.
Es decir, si Q está en la recta del infinito o en la hipérbola de Kiepert.
Para un punto arbitrario de la hipérbola de Kiepert,
¶
µ
1
1
1
:
:
,
Q
SA + t SB + t SC + t
el centro de perspectividad es:
³ ¡
¢
Q0
a2 a2 (b2 + c2 ) − b4 − c4 + 2(2a2 − b2 − c2 )t :
¡
¢
b2 b2 (c2 + a2 ) − c4 − a4 + 2(2b2 − c2 − a2 )t :
¡
¢´
c2 c2 (a2 + b2 ) − a4 − b4 + 2(2c2 − a2 − b2 )t .
Esta es la ecuación paramétrica del eje de Brocard:
b2 − c2
c2 − a2
a2 − b2
x
+
y
+
z = 0.
a2
b2
c2
Si ahora tomamos el conjugado isogonal Q0∗ de Q0 , resulta que Q0∗ es el punto diametralmente opuesto
de Q en la hipérbola de Kiepert:
µ
Q0∗
1
1
1
:
:
b4 + c4 − (b2 + c2 )(a2 − 2t) − 4a2 t c4 + a4 − (c2 + a2 )(b2 − 2t) − 4b2 t a4 + b4 − (a2 + b2 )(c2 − 2t) − 4c2 t
¶
.
Si Q está en la recta del infinito, p + q + r = 0, las tres cevianas son paralelas y si también lo son a
la recta Ba Cb Ac , el punto P coincide con AQ , BQ y CQ en el punto:
µ
¶
a2
b2
c2
:
:
.
a2 p + c2 q + b2 r c2 p + b2 q + a2 r b2 p + a2 q + c2 r
Por ejemplo, para que las rectas Ba Cb Ac sean paralelas a la recta de Euler, Q = X30 y P = X842 .
Algunos otros pares (Q, P ) son los siguientes:
(X511 , X2698 ),
(X512 , X805 ),
(X513 , X2703 ),
(X514 , X2702 ),
(X515 , X2708 ),
(X516 , X2700 ),
(X517 , X2699 ),
(X518 , X2711 ),
(X519 , X2712 ),
(X520 , X2713 ),
(X521 , X2714 ),
(X522 , X2701 ),
(X524 , X843 ),
(X525 , X2715 ),
(X530 , X2379 ),
(X531 , X2378 ),
(X542 , X74 ),
(X523 , X691 ),
(X543 , X111 ),
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(X690 , X110 ),
(X1499 , X2709 ),
Pág. 18/18
(X1503 , X2710 ),
···
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