Optimización de una Medida de Semejanza para Objetos - E

Computación y Sistemas Vol. 3 No.4
pp. 274 -286
@ 2000, CIC -IPN.
ISSN 1405-5546
Impreso en México
Optimización
de una Medida
Tridimensionales
a Partir
de Semejanza
de Invariantes
para
Objetos
y Transformaciones
Hermilo
Sánchez
Departamento en Ciencias de la Computación
Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas
Universidad Nacional Autónoma de México
Apdo. Postal 20- 726 Admon. No.20.
Delegación Alvaro Obregón.
CP: 01000.
Ciudad Universitaria, D.F. México
[email protected]
Artículo recibido elB de noviembre. 1999: acevtado el2 de marzo. 2000
Resumen
1
Uno de /os prob/emas actua/es dentro de visión por
computadora es e/ reconocimiento de /a forma de /os
objetos o figuras tridimensiona/es. En éste trabajo se
propone /a optimización de un método para /ograr este
objetivo. Para e//o se uti/izan ros invariantes y /a teoría
de gráficas que permiten //evar a cabo /a transformación
de objetos irregu/ares de representación binaria y medir
su semejanza. Para obtener e/ parecido se presentan
cuatro invariantes para objetos tridimensiona/es; se
obtiene e/ trabajo mínimo en su transformación a/ usar
/a teoría de gráficas. En /a parte de asignación óptima y,
como parte importante de/ reconocimjento después de/
cá/cu/o de invariantes, se presenta e/ a/goritmo húngaro,
que permite hacer dicha transformación de manera
óptima y obtener así una buena medida de semejanza.
Palabras clave: Medida de semejanza, slgoritmo
húngaro, invariantes, momentos centrales, gráficas
bipartitas,
camino
extendido,
trabajo,
ceros
independientes, apareo óptimo.
Introducción
El objetivo del presente trabajo es optimizar una medida
de semejanza de objetos o figuras tridimensionales
irregulares. El gasto o trabajo realizado en medir la
semejanza de las figuras debe ser el menor posible.
Para representar a nuestras figuras tridimensionales, se
emplea la voxelizaciónl.
Como parte del proceso de reconocimiento de la forma,
a través de la medida de similitud, se propone utilizar
cuatro invariantes bajo transformaciones de traslación,
cambio de escala y rotación. Para ello se hace un estudio
de los momentos centrales. De esta manera se verá que el
cálculo de los invariantes así como la transformación de
los objetos permitirá obtener una medida de semejanza
óptima.
Sobre el reconocimiento de la forma de objetos
tridimensionales, hasta ahora han existido algunos
autores que han aplicado diferentes técnicas para lograr
su propósito, tales como Besl(1988), Besl & lain(1985),
lain (1989), Boyse (1979), Brooks (1983) y Dickinson,
Pentland & Rosenfeld (1992), entre otros, quienes basan
sus métodos de reconocimiento en el uso de primitivas,
es decir, ciertas figuras geométricas que sirven como
unidades para conformar a los objetos, tales como conos,
conos truncados, cilindros, elipsoides, etc.
Otro tipo de técnica que se ha utilizado para representar
la superficie de un sólido, es a través de curvas digitales
(lonas and Kiryati,
1997). Sobre descripción de
IRepresentar a un objeto mediante voxels. Un voxel es un elemento de
volumen representado por el vector: [propiedades, posición] donde las
propiedades son las características del voxel, tales como brillo, color,
intensidad, densidad, etc. La posición esta dado por las coordenadas
espaciales (x,y,z). Ver Ballard & Brown(1982).
Hermilo
Sánchez:
Optimización
de una Medida
de Semejanza
superficie de cuerpos sólidos a través de propiedades de
invariancia se puede ver a Cohen & Wang (1994).
Sin embargo el método planteado en este trabajo se basa
en las ideas iniciadas por Bribiesca (1995), quien defme
una métrica y una medida de similitud, susceptibles de
aplicarse
para
la
transformación
de
figuras
tridimensionales irregulares y no solo figuras regulares,
como lo han venido haciendo los autores anteriores. En
este artículo se logra optimizar el método de Bribiesca.
para
Objetos
Tridimensionales...
Los momentos centrales son invariantes bajo translación
al tener la siguiente transformación de coordenadas:
x' = x + a
y' = y + 13
de los Invariantes
=
.u ' (p+q)/2+1
Interpretación de loS Invariantes
2.1
(3)
7
Los momentos dados por la siguiente relación:
.Upq
2 Teoría
con a y 13constantes
J.lpq
.u (p+q)/2
con p + q = 3,4,
Considérese un objeto geométrico S en el espacio X. Se
supone un grupo de transformaciones admisibles G que
actúa en el espacio X. Un invariante escalar de un objeto
S es una cantidad que no cambia su valor cuando el
objeto S sufre cualquiera de las transformaciones
admisibles (tales como una rotación, traslación o bien
cambio de escala).
Supóngase que el objeto S tiene invariantes escalares
Il,I2,...,In. Considérese S'. Si S' se obtiene al transformar
apropiadamente al objeto S usando transformaciones
admisibles, los valores de estos invariantes escalares
deben ser idénticos. Sin embargó, en general, lo contrario
no es cierto. Para ello se necesita la siguiente definición.
Definición: se dice que un conjunto de invariantes es
una base invariante si la coincidencia de invariantes
escalares para dos objetos implica la existencia de una
transformación admisible que mapea uno al otro
(Kanatani, 1990). Se sigue, entonces, que para
transformar a dos objetos es necesario calcular primero
sus invariantes.
(4)
donde
.u
=
1/
p(x,y)
dxdy
(5)
son invariantes bajo cambio de escala al tener la
siguiente transfonnación de coordenadas:
x'=ax
y'=ay
(6)
con a constante
2.3
Momentos Invariantes Ortogonales
rotación
transformaciones
Bajo
se tiene:
ortogonales
o
de
x
(7)
y
2.2
Momentos Centrales
Sea p ( x, y)
~ o una función real y acotada, definida en
una región !Jí'. Los momentos
(p+q) se definen como:
bidimensionales
x
I/xPy(jp
mpq
de orden
dxdy
I)
91
Por otro lado, los momentos centrales bidimensionales
.Upqse definen como:
.Upq = II (x-I';)P
(y -1J)q p (x, y) dxdy
91
(2)
donde
p,q
~
E
N
=
m¡Jmoo,
11 = mol /m,
y
Con el álgebra de invariantes, se llega a los 7 invariantes
ortogonales, los cuales fueron dados por primera vez por
Hu (1962):
tjJl = .U20+ .UO2,
tjJ2 = (.u20 -.UO2)2 + 4.u112 .
tjJ3 = (.U30-3.u12)2 + (3.u21- .UO3)2.
tjJ4 = (.u30 + .U12J2+ (.u21 + .UO3)2.
tjJ5 = (.U30-3 .u12J (.u30 + .U12)[(.u30 + .U12J2-
(8)
3<1121
+
.uo3;2] + (3.u21- .UO3)(.U21
-.UO3) [ (.u30
+ .u12J2 -(.u21 + .UO3)2],
tjJ6 = (.U20 -.uo2J [ (.u30 + .U12J2 -(.u21 + .UO3)2] +
4.ull (.U30 + .U12) (.U21+ .UO3).
Hermilo Sánchez: Optimización
de una Medida de Semejanza para Objetos
rjJ7 = (3.u21 -.UOJJ (.U30 + .U12J[(u30 + .U12J2-3(u21
+ .UO3)2]-(u30 -3.u12J (u21 + .UO3)[3(u30 + .U12J2-
Tridimensionales...
Al considerar esta transfonnación
utilizarlas en (12), se llega a que
(u21 + .uo3;2],
,
'Upqr
Los momentos invariantes ortogonales absolutos, dados
por (8) pueden utilizarse directamente para identificar un
patrón independientemente
de la posición y cambio de
escala.
-p+q+r+3
-a
Si p = q = r = O, tenemos
de coordenadas
y
'Upqr,.
que .u ' ooo=aJ
Sea .uOOO = .u, entonces,
.uOOO
de (15) y (16)
se tiene el
siguiente invariante nonnalizado:
Análisis
2.4
.u pqr
Los momentos centrales en tres dimensiones se puede
definir como
I1pqr
=
.u ' (p+q+r)/3+1
11 (p+q+r)/3+ 1 ,
con p + q + r = 3,4,
.Upqr = II/ ( x-.;) P( y -17) q( z -c;)r p ( x,y,z ) dxdydz,
9l
donde p,q,r
N.
(9)
Sea p(x,y,z)=l,
pues aquí no importarán las
características de la imagen, tales como sus intensidades
de brillo, de color, etc. sino solo la posición de los
voxels. La ecuación anterior se reduce a
J.lpqr = /ff (x-~)P(y
-17)q( z -t;)r
dxdydz,
(10)
!Ji
donde p.q,r
N .
El cual es invariante bajo cambios de escala. (Ver
Figura 1 y el apéndice, donde se muestran los valores
numéricos calculados de los invariantes en traslación y
cambio de escala, asi como el centro de masa de cada
objeto).
.Ningún
autor hasta ahora ha deducido invariantes en
3-D utilizando el método de Hu.
.Se
propondrá en este artículo utilizar los centros de
masa y los ejes mayores de los objetos (que pasen por el
centro de masa) como los invariantes bajo rotación.
En el caso discreto, la ecuación anterior se puede
escribir como
Jlpqr = LLL
(11)
--9
( Xi-; )P( Yj -17)q( zk -I;" )r ~Xi~Yj~Zk.
-9:::
xyz
Si se piensa en los voxels como cubos de lado unitario,
entonces Axj=Ayj=Azk=l.
Así que la ecuación anterior
queda simplemente
.Upqr = LLL
xyz
la cual
siguiente
como
( xi-I;)P(
es invariante
Y) -1] )q( zk -t;y,
bajo
traslación,
(12)
al
considerar
transformación:
con a, 13 y y constantes.
Bajo
de
escala
se
utiliza
b)
la
(13)
siguiente
transformación:
x' =ax
y' =ay
z' =az.
la
9
x' = x + a
y' = y + 13
z' = z + y.
cambio
a)
con a constante
(14)
Figura 1: a) Al aplicar una traslación sobre la figura (un
nueve), los momentos centrales se mantienen invariantes.
b) Al aplicar un cambio en la escala, la ec. 4) se mantiene
invariante (ver apéndice para valores numéricos).
Hermilo Sánchez: Optimización
3
,
Gráficas
Bipartitas
y
de una Medida de Semejanza
Asignación
3.6
para Objetos
Tridimensionales...
Problema de Asignación Óptima
Optima
A continuación se presenta una introducción a la teoría de
gráficas para enseguida estudiar el algoritmo húngaro, base
de la optimización de la medida de semejanza, propuesto
por Bribiesca (1995).
3.1
Teoría de Gráficas
Una gráfica es un conjunto fmito, no vacío, compuesto
de un conjunto de vértices V. Sea E el conjunto de parejas
(aristas) de la forma {u,v}. Una gráfica puede defmirse
simplemente a través de los conjuntos V y E como G =
G(v; E) (Chartrand, 1985).
3.2
Pesos en las Aristas
Existe un método llamado método Húngaro (Bondy, 1976)
(que es el método clásico), que pu~de encontrar apareos
perfectos.
El problema de Asignación Óptima que se considerará
consiste en que la suma de las distancias que los voxels que
conforman a un objeto tienen que recorrer, para
transformarlo en otro objeto, sea la menor de todas las
posibilidades.
Sea una gráfica bipartita pesada completa con bipartición
(X;}), donde X={xl' x2, ...,xJ,
y = {Y¡'Y2'...'YJ. El
conjunto X puede representar al conjunto de voxels de un
objeto a transformar Y el conjunto Ya los voxels del objeto
transformado. Las aristas {Xi.Yj} tienen un peso Wjj =
W(XiYJ.
En esta gráfica pesada, se debe encontrar un apareo
perfecto de peso mínimo, es decir, un Apareo Óptimo.
x
A cada arista de una gráfica G, se asocia un número real
w(e), al cual se llamará su peso. En este sentido a G se le
llama gráfica pesada.
Si H es una subgráfica de o, el peso w(H) de H es la
suma de los pesos de las aristas de H: ¿ w(e), donde
)y¡
X¡
eEE(H).
Cuando se desea que la suma de los pesos de las aristas
que conforman una subgráfica H sea la menor, esta
subgráfica debe ser conectada y acíclica. .En este caso se
obtiene un spanning tree de peso mínimo.
El peso mínimo de una gráfica es aquel tal que w(H) = ¿
w(e) sea el menor de todas las subgráficas conectadas de o.
3.4
y
X2
x
)y
3
Y3
Gráficas Bipartitas
X4(
Una gráfica G(V,E) es bipartita si existe una partición de
los vértices en dos conjuntos U y V, tales que si (u, v) está
enEimplicaqueuEU
3.5
2
Figura 2: Un apareo óptimo, dado por las aristas remarcadas en
y vEV(oalrevés).
Apareo
Sea M ~ E un subconjunto de aristas de la gráfica G, el
cual es llamado apareo en G si cada uno de sus vértices son
adyacentes a, a lo más, una arista de M. Se dice que un
apareo M satura a un vértice v, que sea extremo de una
arista en M, entonces v está saturado si alguna arista de M
es adyacente a v, de otra forma, ves no saturado. Si todos
los vértices de G son M-saturados, el apareo M esperfecto.
Sea M un apareo en G, un camino alternante en G es un
camino cuyas aristas están alternativamente en E\M y en M.
Un camino extendido es un camino alternante cuyo inicio y
final no están saturados.
y+
negro.
Bondy y Murty (1976), presentan un algoritmo que
resuelve el problema de asignación al encontrar un apareo
óptimo de peso máximo. Gould encuentra el apareo óptimo
de peso mínimo basado en el a[goritmo húngaro.
3.7
Algoritmo Húngaro
Sea el peso de un apareo M dado por W(M) = L w(e), eEM.
Una solución óptima es un apareo perfecto con W(M) como
mínimo.
I. Se representa a la gráfica bipartita en forma de matriz
de tamaño n x n, U = [Wij].
2. Minimizar
la matriz
de la siguiente
manera:
Hermilo
Sánchez:
Optimización
de una Medida
de Semejanza
-Elegir el valor más pequefio de cada renglón y restarlo a
ese renglón.
-Elegir el valor más pequefio de cada columna y restarlo a
esa columna.
3. Al encontrar n ceros independientes, esto es, se etiquetan
n ceros, tales que no haya otro cero (etiquetado) en el
renglón y columna. Se seleccionan los números
correspondientes a estos ceros en la matriz como solución.
4. Sin embargo, la gráfica inicial puede ser tal que al
minimizarla por primera vez no se puedan encontrar n
ceros independientes. Entonces, se marcan los renglones
y/o columnas que contengan ceros. La idea es "cubrir"
todos los ceros (se utilizará el menor número de líneas
posibles para marcar los ceros).
5. Encontrar el número más pequefio, min, que esté en la
submatriz, es decir que no esté en ninguno de los renglones
o columas marcados.
6. a) Restar min a las columnas y renglones de la
stiÉmatriz. b) Sumar min a los pesos que están doblemente
marcados.
7. Enseguida una función (o rutina) checa si se pueden
encontrar n ceros independientes. Si es así, el algoritmo
termina satisfactoriamente y se llega a un apareo óptimo. Si
no, se va otra vez al paso 4.
8. Se suman los valores que estaban en la matriz original en
la posición de los ceros independientes de la última matriz
modificada, obteniendo el valor buscado W(M).
IZI
El algoritmo presentado en este capítulo y que soluciona
el probl~ma de encontrar el peso mínimo en la
transformación de los objetos se conoce como algoritmo
Húngaro. La versión original (en la que no se habla de
marcar los ceros como lo hace Gould, 1988) se debe a
Konig (1931) y Egerváry (1931).
Una forma de implementar el algoritmo anterior de
manera eficiente es utilizando e11lamadoÁrbol Húngaro.
para
Objetos
TridimensionaJes...
XI(
XI0--0YI
) Y2
X2
~
)
XJ
YJ
X~
y~
~YI
X2~Y2
v
b)
a)
Figura 3: a) Gráfica bipartita con vértices adyaoentes que
representan los ceros de la matriz. b) Gráfica con un apareo
arbitrario elegido.
2.- Se toma un vértice raíz x de la gráfica bipartita.
3.- A partir de este vértice raíz se van buscando todos los
caminos altemantes posibles.
4.- Se repite el paso anterior con los vértices x's para los
que las y's estaban saturadas.
5.- Si alguna y no encuentra su respectiva x para ser
saturada. entonces se ha encontrado un camino extendido.
6.- Si hay otra x que no esté saturada (raíz) regresar a 3. De
lo contrario se detiene el programa y se construye un nuevo
apareo M al usar el camino extendido. en el que se
intercambian las x adyacentes a las y's que no estaban en el
apareo M anterior por un apareo nuevo (M). y viceversa. se
sacan del apareo anterior la x-y que se encontraban bajo M.
De esta manera se ha encontrado un apareo perfecto. es
decir un apareo óptimo.
7.- Si nunca se encontró el camino extendido. regresar al
paso 1.
En la figura 4 se muestra que el camino dado por
X4.Y2.X2.y4
es el camino extendido buscado.
camino extendido
/
3.8
Árbol
Húngaro
Una vez que se aplica el algoritmo Húngaro a la matriz
original,
queda una matriz
con posibles ceros
independientes, para buscarlos, se procede a construir al
llamado árbol húngaro, y posteriormente se busca el
llamado camino húngaro dado por un camino extendido.
J
X2
Y2 ~
Y3
Y2
'0
Figura 4. Árbol
Así, el nuevo
~
y
X4
1.- Para construir el árbol húngaro se visitan los ceros de la
matriz y se elige un apareo cualquiera.
La figura 3 a) muestra el apareo obtenido a partir de los
ceros encontrados y la figura 3 b) la elección de un apareo
arbitrario.
X3
X21
apareo
X4
X4
húngaro y camino extendido.
queda
como
en la figura
5
Hermilo Sánchez: Optimización
de una Medida de Semejanza
"
w = L Si = D
i=1
Transformación
Otro
de un Objeto
a
(en unidades de trabajo )
Por tanto, el valor numérico del trabajo será, en
artículo, igual a la distancia total recorrida. En general
no debe ser cierto, sin embargo para el propósito de
artículo esto no traerá consecuencias negativas.
Para encontrar el trabajo al transformar dos objetos
este
esto
este
A y
B:
En este capítulo se defmirá un concepto 'muy importante, el
trabajo. Debido a que en la transformación de un objeto a
otro se tienen qu~ mover voxels, entonces se debe realizar
un cierto trabajo al hacer dicha operación, Se verá que el
valor numérico del trabajo total (por haber movido los
voxeIs en la transformación) coincide numéricamente con
la distancia recorrida total de los voxels involucrados en la
transformación.
4.1
Tridimensionales.
Sea Fi (la fuerza para mover los voxels) constante e igual a
1 (un Newton o una dina, por ejemplo). Por el momento no
importará la masa de los voxels o la fricción que podría
"obstaculizar" su movimiento. De manera que el trabajo
total para transformar a los dos objetos será:
XI0--0YI
4
para Objetos
Trabajo Requerido para Transformar
a los Objetos
1.- Se superponen los dos objetos A y B. Esto es, una vez
que son invariantes en escala (mismo número de voxels,
todos del mismo tamaño) se hace una traslación de los
objetos de manera que coincidan sus centros de masa y sus
ejes de simetría.
Al llevar a cabo la superposición, existen voxels que son
comunes a los dos objetos. Se debe considerar a los
conjuntos Ia<r,c,k) e Ib(r,c,k) (donde (r,c,k) son las
coordenadas cartesianas de los voxels) que representan la
imagen binaria 3-D de los cuerpos A y B respectivamente.
La superposición de los objetos, se define como la
imagen binaria dada por el conjunto
Is(c,r,k) = IA(r,c,k) n IB(r,c,k)
En la transformación, cada voxel se mueve de la posición
X(Xl'X2'XJ) a la posición Y(YI'Y2'YJ)' lo que requiere de un
trabajo realizado. De la física clásica el trabajo dW se
define como
2.- Voxels positivos. Voxels negativos. Enseguida se
mueven los voxels del objeto A que no ocupan la posición
respectiva en el objeto B. En términos de la imagen binaria
3-D se mueve:
dW = Fds
Ip(c,r,k) = IA(r,c,k) \ IB(r,c,k)
El trabajo total para transformar
a los objetos es
Ip(c,r,k)
Donde F; es la fuerza aplicada a cada voxel para moverlo
una distancia Si' Así, se puede construir una métrica para
II
W = L FiSi
i=1
transformar un objeto A en un objeto B (W(A -+- B»:
W(A ~ B) = W(B~
A),
W(A ~ B) ~ O,
W(A ~ B) = ° <:::>
A = B, y
W(A~C)~
W(A~B)+
W(B~C).
representa a loS voxels positivos.
Los voxels negativos están d~dos por
IMc,r,k) = IB(r,c,k) \ IA(r,c,k)
3.- Se aplica el algoritmo húngaro para mover los voxels
(de manera que el trabajo realizado en ello sea el mínimo).
Se supondrá que al mover los voxels en la transformación
de los objetos, la fuerza empleada al hacerlo es constante e
igual a una unidad de fuerza (por ejemplo una dina o un
newton).
El método usado en este trabajo, considera una gráfica G
bipartita con bipartición (Ip,IN) donde Ip = {ip),ip2'...'ip.} e
IN = {iNl'iN2,...,iN.}.
Hermilo
Sánchez:
4.2
Optimización
de una Medida
de Semejanza
para
Objetos
Tridimensionales...
Medida de Semejanza
El i-ésimo voxel recorrerá una distancia euclidiana Si =
d(Ai,BJ al moverse del objeto A al objeto B. Aquí, Aj es la
posición del voxel positivo i, y Bj la posición del voxel
negativo correspondiente. De esta manera se puede definir
la Medida de Semejanza como:
Una vez que se han encontrado los invariantes (10 cual es
una parte crucial en el reconocimiento de la fQrma, pues
debemos construir una base invariante como se dijo en la
secc. 2.1, esto es, no se puede transformar sin antes haber
calculado los invariantes) se procederá a transformar a los
objetos. La figura 6 muestra a los objetos utilizados para
realizar las siguientes transformaciones: A ~ B, A ~ C, B
~C,D~EyF~G.
II
D
=
LLd(Ai,~j)
i;1
o
A
E
II
Las tablas I y 2 muestran los resultados de haber realizado
las transformaciones entre los objetos de la figura 6 en la
forma que se muestra en las figuras 7, 8 Y. 9. En estas
figuras aparecen las transformaciones en forma progresiva.
j;1
s
c
2
E
F
Transforn1ación
Voxels comunes
G
Figura 6: Siete objetos diferentes a transformar una vez
que son invariantes bajo traslación, cambio de escala y
rotación
A-+B
24
8
A~C
28
4
B~C
24
8
D~E
75
12
F~G
75
Tabla
Número
de voxels
positivos
Puesto que se ha considerado
trabajo
1otal
numéricamente
a la fuerza
Voxels
a mover
D
igual
comunes a ambos objetos y voxels
a mover en cada transformación.
a 1, el
a transfonnar
los objetos
coincidirá
con la desemejanza de los objetos.
4.3
Trabajo Realizado al Transformar
Objetos y Medida de Semejanza.
12
los
Los objetos se hicieron invariantes en traslación, cambio
de escala, centro de masa y los ejes de simetría principales
que pasan por el centro, de masa. (ver los valores numéricos
en .el apéndice).
Ello permitirá dar una medida de
semejanza óptima. Los objetos a transformar deben tener la
misma información (mismo número de voxels) lo que
representa invariancia en escala; sus centros de masa
deben coincidir después de una translación y por último se
deben alinear sus ejes de simetría.
.Cabe aclarar que fueron suficientes a lo más dos ejes perpendiculares
que pas!ifan por el centro de masa. Además se alinearon de manera que el
número de voxels a mover fuese el menor posible.
Se hace una comparación entre el método empleado en este
artículo y el utilizado por Bribiesca (1995). El método de
Bribiesca (1995) se basa en recorrer primero los voxels más
cercanos y luego los más lejanos. En términos de gráficas
pesadas bipartitas, significa encontrar un apareo tal que
primero se apareen los vértices cuyas aristas son de menor
peso, y luego, en orden creciente, los de mayor peso, hasta
tener un apareo completo. Lo anterior claramente no da un
apareo óptimo, es decir, no se obtiene la menor distancia
recorrida por los voxels. En este trabajo se optimiza la
medida de semejanza propuesta por Bribiesca(1995).
Se puede observar que el trabajo realizado al hacer las
transformaciones empleando el método de Bribiesca (1995)
es mayor o igual que el trabajo realizado al emplear el
método Húngaro.
Hermilo Sánchez: Optimización
de una Medida de Semejanza
Discusión
5
Como se puede observar, el número de voxels a mover
no excede los 12. ¿Qué sucede si queremos transformar el
robot en el primer avión? Ello significaría mover 58 voxels.
¿Qué pasa si aumentamos la definición o el tamatlo de los
objetos? ¿por qué no transformamos algunos de estos
casos?
Un estudio de la forma de cómo trabaja el algoritmo
implementado, nos permite ver por qué no se pudo aplicar
el método a transformaciones en las que el número de
voxels a mover excede a 12. Se ha llegado a los siguientes
resultados y razones:
.El
método planteado e implementado para el
reconocimiento de objetos es consistente con la teoría
y los métodos propuestos por la literatura, tal como
puede verse en Bondy (1976) y Gould (1988).
.No
se tiene ningún problema con los inv~riantes de
translación y cambio de escala, pues la aplicación de
estos puede hacerse con un número relativamente
grande de voxels (más de 3000). El problema aparece
cuando se aplica el algoritmo húngaro. Ello sucede
cuando, en el transcurso de la búsqueda de los ceros
independientes, se llega a una etapa de la matriz como
la presentada en la figura 10.
para Objetos
Tridimensionales..
Como se puede observar, ya no es posible trabajar con una
submatriz que pemlita buscar los] O ceros ihdependientes.
Sin embargo, al hacerlo personalmente usando un cierto
criterio, uno cubriría los ceros de la manera en que se
muestra en la figura 12. En ella podemos observar que se
ha empleado una línea más para poder marcar todos los
ceros y así seguir buscando los ceros independientes,..
o
,
A,.
A",
"~I "~~ "!~
n.1 O
""
n"
",.
D.~ ""
"le
".,
"'8
",~
n
"!1
".v
".,
"..
".7
O
"iR
O
ni 19
n"
I\
nil ni~ n"
n
n,.
",'
n"
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O n..
"."'v
",'
I\
",~ ",'v
O
n.,
n.n
n.n n.,n
"61 "6~ "6~ n
"6~ n
"6'
"68
"6~ n618
A,. A,.
O
A,J
881 Q
88J 884 88) 8.0
"7' "7.
"7J ",'
A"
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"'u
A"
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Q
",'
O "'7 "'.U
8..
Q
Q
"'U
"7~ I\
o A¡V¿ A¡V" AIU't A¡V;) A¡VOA.Vf A,vo A¡V" O
Figura II: Matriz con todos sus ceros marcados con el mínimo
número (10) de renglones y/o columnas.
/"
o
nl2
n13
n14
n 15
n16
n17
nl8
n19
O
n21
n22
n23
n24
O
n26
n27
n28
n29
O
n31
O
n38
O
n310
n41
n42
O
n51
n52
n53
O
n61
n62
n63
O
n71
n72
O
n74
ns1
U
DS3
DS4
DS5
D9l
D92
D93
D94
O
O
D1O2
D1O3
Dl04
n33
n34
n35
n44
n36
n45
n55
n37
n46
O
n65
O
n75
O
n49 n410
n57
n58
n59
n51O
n67
n68
n69
n610
n76
n77
O
DS6
U
DS~
U
D97
D9S
D99
O
D1O7
DIOS
D1O9
O
D96
DlO5
n47
D1O6
n79
n710
"
"
U
\
Figura
10: Matriz
de 10xl0
en la que nij ~ Q
./
A la cual todavía no se le pueden extraer sus lO ceros
independientes.
A través del método empleado aquí para encontrar los ceros
independientes, usando las ideas de Gould (1988), los
renglones y columnas a marcar quedan como se muestra en
la figura 11.
Figura 12: Matriz con todos sus ceros marcados con 11 renglones
y/o columnas permitiendo que quede una submatriz.
Ningún
ejemplos
caso
como
el
experimentales.
de
la
figura
12
sucedió
en
los
Hermilo
6
Sánchez:
Optimización
de una Medida
Conclusiones
Para lograr .el propósito de encontrar una medida de
semejanza óptima, se vio que son suficientes y adecuados
sólo 4 invariantes a encontrar en objetos tridimensionales a
diferencia de los siete que deduce Hu (1962).
Para transformar a los objetos se implementó el
Algoritmo Húngaro, aplicándose a algunos ejemplos.
En la sección 4 se muestra que el trabajo realizado en la
transformación de los objetos a través del método empleado
en este articulo, siempre es menor o igual que el utilizado
por Bribiesca en (1995).
Con lo anterior se tiene entonces que: con teoria de
invariantes y con Algoritmo Húngaro se obtiene una
medida de semejanza óptima entre objetos.
Por lo tanto, se ha resuelto un problema que Bribiesca
plantea en (1995) para optimizar una medida de similitud o
semejanza de figuras tridimensionales. En realidad tal
reconocimiento se hizo para objetos pequeños, como los
planteados en la sección 4.
Debido a la discusión dada en la sección 5 se concluye
que el método de Gould planteado en 1988 no es
consistente, y que el problema de elaborar un algoritmo que
resuelva encontrar un apareo óptimo (para encontrar el
trabajo mínimo) y asi poder transformar objetos de gran
resolución sigue abierto. Sin embargo se considera que el
método aqui planteado, basado en los invariantes y en el
concepto de trabajo, es una buena línea de investigación
que puede llevar a diferentes aplicaciones.
7
Trabajo
para
Objetos
Tridimensionales...
expresadas para el mejoramiento del mismo. También
quiero agradecer al Dr. Ernesto Bribiesca por sus
comentarios y consejos durante la realización de esta
investigación.
Referencias
Ballard, D. H. & Brown, C. M. Computer Vision. Prentice
Hall, Ennglewood Cliffs, New Jersey (1982).
Bondy, J. A. and Murty, U.S.R. Graph Theory with
Applications. Departrnent
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Optimization, University of Waterloo, Ontario, Canada.
1976.
Boyse, J. W ., Data Structure for Solid mode11er, NFS
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Objects, University of Pennsy1vania 1979.
Besl P .J., Surfaces in range image Understanding.
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York Springer. 338 pp. 1988.
1988.
Besl,
P.
Recognition,
Bribiesca
and
Jain,
R
Three-dimensional
ACM Comput. Surv. 17(1).75-145
E.,
Measuring
Progresive Transformations.
1995. pp. 1-13.
3-D
Shape
Object
(1985).
Similarity
Pattem Recognition,
Using
vol 29,
futuro
Respecto a los invariantes, un trabajo posterior debe
plantear un algoritmo para automatizar la búsqueda de los
ejes mayores y rotar los objetos de manera de transformar
objetos grandes o de gran resolución. Con ello se reforzará
la idea de si los 4 invariantes encontrados hasta ahora son
suficientes para establecer nuestra medida de similitud o tal
vez podrían ser superados. Hasta ahora el cálculo de los
invariantes de rotación, sobre todo los ejes de simetría, no
ha representado problema, debido al relativo pequeño
número de voxels de los ejemplos expuestos.
Un trabajo posterior debe atacar el problema de marcar
correctamente los ceros de la matriz. Tal trabajo debe
encontrar un algoritmo que "sepa decidir" cómo marcar
todos los ceros sin llegar a marcar todos los renglones (o
columnas).
8
de Semejanza
Brooks
R., Model Based 3-0 Interpretations
of 2-0
Images, IEEE Trans. Pattem Anal. Mach. Intell. 5(2), 1983.
pp 140-150.
Cohen, F. and Wang, J. Part I: Modeling images curves
using invariant 3D object curve models a path to 3D
recognition and shape estimation from image contours,
IEEE Trans. Patem Analysis Mach. Intell. PAMI-16(1), 112, 1994.
Chartrand,
Publications
Gary
1985.
Introductory
Graph
Teory, Dover
Dickinson S. J., Pentland A. P. and Rosenfeld A., From
Volumes lo Views: an aproach lo 3-D Objecl Recognilion.
CVGIP: Image Understanding 55,1992, pp 130-154.
Egerváry, J., Matrixok Kombinatorikus
Tulajdonságairól.
Mathematika és Fizikai Lápok, vol 38 1931, pp 16-28.
Agradecimientos
Quiero agradecer a los revisores por sus acertados
comentarios acerca del trabajo, así como las sugerencias
Gould,
R., Graph Theory,
Benjarnin/Curnrnings
Publishing
Ernory
University,
Cornpany, Inc. 1988
The
Hermilo
Sánchez:
Optimización
de una Medida
de Semejanza
Bu M. K., Visual Pattern Recognition by Moment
Invariants. lRE, vol 8, Feb 1962, pp 179- 187.
Jain K., Fundamentals of Digital Image Processing.
Prentice Hall Information and System Sciences Series.
Thomas Kailath, series Editor. 1989, pp 569.
Jonas, A. and Kiryati,
Schemes for 3-D Curves,
N., Digital
Representations
Pattem Recognition. 30, 1817-
1827,1997.
para
Objetos
Tridimensionales...
o
o
0.408875
0
J.lO3=O
J.l13=O
J.l04=13398
J.l14=O
Objeto
B
Invariancia
traslación
en
~oo=32
O
~10=O
Kanatani
K.,
Understanding,
Group
of Theoretical
Methods
in Image
1990, Springer -Verlag.
0.117188
~20=120
0
~30=O
0.020325
~40=666
Konig,
D., Graphs
and Matrices
(Hungarian).
Mat. Fig.
Lapok, vo138, 1931, pp 26-30.
0
~01=O
-0.058594
~11=-60
0
~21=O
Apéndice
~31=-375
-0.011444
~02=448
0.4375
0
~12=O
0.048218
~22=1580
Valores de los lnvariantes en traslación y cambio de escala
de las figuras dadas en el artículo. Se han encontrado los
momentos hasta cuarto orden. Para los objetos que
representan caracteres numéricos se calcularon invariantes
bidimensionales por estar formados por una sola capa. Para
el resto se calcularon invariantes tridimensionales.
Invariancia
en
cambio
de
escala (esc1)
1
0
~03=O
~13=-765
-0.023346
~04=12190
0.372009
Objeto C
Invariancia en
traslación
Invariancia
en
cambio de escala
(esc1)
.Upq
Sea
escl
=
.u (p+q)/2+1
y
.Upqr
esc2 =
A
1.100=32
Invariancia en
cambio
de
escala (esc1)
1
1.110=0
O
Invariancia
traslación
1.120=160
1.130=0
1.140=958
en
0.15625
0
0.029236
1.101=0
0
1.111=0
0
1.121=0
0
1.131=0
0
1.102=528
1.112=0
1.122=2090
1
Jl10=O
o
Jl20=136.875
0.133667
Jl30=-66.796875
-0.065231
Jl40=814.990417
0.024872
JlO1=0
Jl (p+q+r)/3+1
Objeto
Jloo=32
0.515625
0
0.063782
0
Jl11=23.125
0.022583
Jl21=-23.203125
-0.022659
Jl31=159.509277
0.004868
JlO2=504.875
0.493042
Jl12=-91.796875
Jl22= 1948.927856
-0.089645
JlO3=411.796875
0.402145
Jl13=81.697189
Jl04=13422.617188
0.002493
Objeto
0.059477
0.409626
D
Invariancia
en
traslación
Invariancia
en
cambio de escala
(esc3)
~ooo=87
~1oo=9.536743e-O7
1
1.096177e-08
~2oo=1528.413818
17.567975
~3oo=-386.004822
-0.050998
Hermilo Sánchez: Optimización
de una Medida de Semejanza
para Objetos
/.l4oo=48168.535156
6.363923
~201=68.729927
0.00908
/.lo1o=4.48226ge-05
5.152034e-07
~3o1=162.995163
0.021535
/.l11o=-88.413803
-1.016251
-0.024206
~o11=53.977005
~111=37. 770649
0.620425
/.l21o=-183.213135
/.l31o=-2332.521973
-0.308168
~211=1206.491577
0.159399
/.lo2o=517.747131
5.951116
~o21=172.693817
0.022816
/.l12o=107.466461
0.014198
~121=175.771103
0.023223
/.l22o=8633.792969
1.140678
0.124446
/.lo3o=-111.198029
-0.014691
~o31=941.933594
~oo2=42 .436775
/.l13o=-1112.552002
-0.146988
~1o2=19.03594
0.002515
/.lo4o=6954.779297
/.lOO1
=-2. 9563ge-05
0.91885
~2o2=836.585876
0.110528
-3.39815e-07
~o12=130.287491
0.017213
/.l1o1=31.482759
0.361871
~112=78.796211
0.01041
/.l2o1=3.01742
0.000399
~o22=598.626648
0.079089
/.l3o1=669.666077
0.088475
~oo3=78.399796
0.010358
/.lo11=71.183899
0.818206
~103=61.977261
0.008188
/.l111=82.959579
0.01096
~o13~314.50766
0.041552
/.l211=1167.696045
0.154273
~004=204.0616
0.02696
/.lo21=192.381516
0.025417
/.l121=368.438812
0.048677
Objeto
/.lo31=1214.243896
0.160423
/.loo2=60.229862
0.692297
Invariancia
traslación
/.l1o2=47.426472
0.006266
/.l2o2=935.522705
0.123599
~ooo=87
/.lo12=169.04863
0.022334
~1oo=-8.58306ge-06
/.l11~=164.73587
0.021765
~2oo=1522.482666
/.lo22=762.975403
0.100803
~3oo=-23.772869
/.loo3=99.210197
0.013107
~4oo=47126.816406
/.l1o3=110.579216
0.014609
~o1o=2.0504e-05
/.lo13=405.54953
0.05358
~110=137.655167
/.loo4=271.552673
0.035877
~210=129.255722
en
~o2o=791.103333
E
Invariancia
traslación
en
~ooo=87
Invariancia en cambio
de escala (esc3)
~120=-216.197586
1
~o3o=-400.223724
~220=13638.788086
~1oo=9.536743e-06
1.096177e-07
~130=2740.707764
~2oo=1518.988159
17.459634
~o4o=14045.150391
~3oo=80.621407
0.010652
~001=-1.239777e-05
~4oo=48938.09375
6.465596
~101=-15.655175
~201=-21.370535
~o1o=-3.051758e-05
-3.507768e-07
~110=-91.091957
-1.047034
~301=-256.250793
~210=-120.584312
-0.015931
~011=-116.103523
~310=-1875.03479
-0.247726
~111=158.415817
~o2o=479.264404
5.508786
~211=-2118.086182
~120=142.235382
0.018792
~021=167.936356
~220=8013.384766
~o3o=61. 720974
1.058711
~121=-247.996201
0.008154
~031=-2068.522217
~130=-946.156433
-0.125004
~oo2=32.436764
~o4o=5868.976563
~oo1=-5.722046e-06
~101=6.747128
0.00499
0.487779
F
~310=2458.357666
Objeto
Tridimensionales..
0.775397
~102=-31.001989
-6.577064e-08
~202=543.349426
0.077553
~012=-21.338438
Invariancia en
cambio de escala
(esc3)
1
-9.865596e-08
17.499801
-0.003141
6.226294
2.356781e-07
1.582243
0.017077
0.324793
9.093142
-0.028564
1.801927
-0.052877
0.362096
1.855615
-1.425031 e-07
-0.179945
-0.002823
-0.033855
-1.334523
0.02093
-0.279837
0.022187
-0.032765
-0.273289
0.372836
-0.004096
0.071786
-0.002819
~
Hermilo
Sánchez:
Optimización
de una Medida
1.1112=80.559418
0.010643
1.1022=487.449677
0.064401
1.1003=0.874878
0.OC0116
1.1103=-22.834366
-0.003017
1.1013=-118.999275
-0.015722
1.1113=163.780533
0.021638
de Semejanza
para
Objetos
B
C
D
E
F
G
Tridimensionales...
(613,0)
(6,3,0)
(5,
7,1
)
(517,1)
(5,3,2)
(5,3,2)
0.00423
1.1004=32.01799
Nota: un cálculo preciso del centro de masa arroja valores
reales, pero como se consideran figuras discretas, sÓlo se ha
tomado la parte entera de dicho cálculo.
Objeto
G
Invariancia
traslacion
en
~000=87
~100=4.291534e-06
~2oo=1587.057373
~3óo=-123.841103
~400=51552.738281
~o1o=-2.861023e-05
~110=-248.758621
~210=-491.359375
~310=-9814.264648
~o2o=830.413696
~120=-114.583534
~220=14094.620117
~o3o=210.970352
~130=-3527.358887
~040=15086.31 0547
~001=3.71933e-05
~101=17.632189
~201=5.036937
~301=932.001526
~011=-100.34481
~111=112.930664
~211=-2104.812256
~021=90.547813
~121=441.249573
~031=-1549.250488
~002=33. 95401
~102=-22.936455
~202=647 .508423
~012=3.248519
~112=-106.402809
~003=0.342679
~103=16.022408
~013=-99.961685
~004=33.923798
Figura
A
Invariancia en cambio
de escala (esc3)
1
4.932798e-08
18.242039
-0.016362
6.811037
-3.288532e-07
-2.859294
-0.064917
-1.29664
9.544985
-0.015139
1.862151
0.027873
-0.466027
1.993171
4.275092e-07
0.202669
0.000665
0.123134
-1.153389
0.01492
-0.278083
0.011963
0.058297
-0.204684
0.390276
-0.00303
0.085547
0.000429
-0.014058
4.527398e-05
0.002117
-0.013207
0.004482
Centro de Masa
(6,3,0)
Hermilo Sánchez Cruz. Nació en la Ciudad de México.
Actualmente es estudiante del doctorado en Ciencia e
Ingeniería en Computación de la Universidad Nacional
Autónoma de México, con sede en el Instituto de
Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas.
Obtuvo el grado de Físico en la Facultad de Ciencias de la
UNAM; en abril de 1995, el grado de maestro en Ciencias
de la Computación en febrero de 1998, a través de la
Unidad Académica de los Ciclos Profesional y de
Posgrado del CCH. Sus áreas de interés son: Visión por
Computadora y Reconocimiento de Patrones.