2.3 Teoria de conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS.
Un conjunto es un grupo, una colección de objetos; a estos objetos se les llama miembros o
elementos del conjunto.
Ejemplos:
•
•
•
•
Los libros de una biblioteca.
Los alumnos de una escuela.
Los meses del año.
Los planetas del sistema solar.
Se ha convenido en representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos
con letras minúsculas, separadas por medio de una coma.
Ejemplo.
Sea el conjunto A formado por todos los números enteros.
A= {1, 2, 3, 4, 5...... ∞ }
Sea el conjunto B formado por las vocales.
B = {a, e, i, o, u}
Pertenencia entre un conjunto y sus elementos.
La relación de pertenencia entre un conjunto y sus elementos se establece por medio del
símbolo ∈ , que significa “es elemento de”, cuando el símbolo aparece tachado ∉ significa
que “no es elemento de”.
Ejemplo.
Sea D el conjunto formado por las vocales.
D= {a, e, i, o, u}
Entonces; a ∈ D y
b∉D
Conjunto universal.
Es aquel conjunto que consta de todos los elementos a los que se puede referir el análisis
de un problema o situación. El conjunto universal lo representamos por la letra “U”.
Conjunto de vacío o nulo.
Es un conjunto sin elementos que se denota por el símbolo Ø ó { }.
Conjunto unitario.
Es aquel conjunto que sólo tiene un solo elemento.
Ejemplo A= {a}
Subconjunto.
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B. Si todos los elementos del conjunto A
pertenecen al conjunto B. Esta relación se denota por el símbolo ⊂ colocado ente A y B.
A ⊂ B que se lee “A es subconjunto de B”.
Ejemplo.
Sea U el conjunto formado por todos los alumnos de la preparatoria 2, el conjunto A formado
por los alumnos del turno matutino y el conjunto B formado por los alumnos de quinto
semestre del turno matutino.
U= {Alumnos de la preparatoria}
A= {Alumnos de T.M.}
B= {Alumnos de quinto semestre de T.M.}
B ⊂ A y A ⊂ U
B es subconjunto de A y A es subconjunto de U.
DIAGRAMAS DE VENN EULER.
Los conjuntos se pueden representar con diagramas de Venn- Euler de forma rectangular,
circular u otras formas. Dentro de los diagramas se anota los elementos del conjunto.
El conjunto universal, se representa por medio de un rectángulo y dentro de éste se
representan los subconjuntos por medio de círculos.
Ejemplo 1.
f
i
k
U
l m n
U= {a, b, c, d…..x, y, z}
g
a
e
A= {a, e, i, o, u}
h
A
b
i
B
r
c
B= {b, c, d}
u
z
j
s
o
d
o
p
t
u
v
w x
q
d
y
Ejemplo 2.
Sea U el conjunto formado por los números enteros positivos menores que 10.
A= {Integrado por los números pares}.
B = {Integrado por los números impares}.
U
A
2
8
4
6
B
1
3
5 7 9
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Intersección.
Dados dos conjuntos A y B, la intersección es el conjunto formado por los elementos
comunes a ambos conjuntos. Esto es simbolizado por A ∩ B que se lee: “A intersección B.” y
es representado por medio de un diagrama de Venn de la siguiente manera.
A
B
A ∩Β
Ejemplo 1.
Sea:
U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B={2, 4, 6, 8}
Representar la intersección con un diagrama de Venn.
A
1
B
5
3
6
2
4
Por lo tanto A ∩ B = {2,4}
8
Ejemplo 2.
Sean los conjuntos
A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B= {2, 4, 6, 8, 10}
C={6,8}
Representar la intersección entre los conjuntos mediante un diagrama de Venn.
A ∩ C = {6}
A ∩ B = {2, 4, 6}
A
B ∩ C = {6, 8}
A ∩ B ∩ C = {6}
2
1
B
4
3
10
5
6
8
C
Unión entre dos conjuntos.
Dados dos conjuntos A y B, la unión es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a por lo menos 1 de ambos conjuntos. Ésto se simboliza por AUB, que se lee: “A
unión B” y se puede representar por medio de un diagrama de Venn de la siguiente manera.
A
B
En este caso, los elementos pueden pertenecer al conjunto “A”, al conjunto “B” o a ambos
conjuntos.
Ejemplo.
Sean los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
un diagrama de Venn.
A
1
B
2
4
5
3
B= {4, 5, 6, 7, 8, 9}, representar A ∪ B mediante
6
9
7
A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Diferencia ente dos conjuntos.
Dados dos conjuntos A y B la diferencia A-B es el conjunto de todos los elementos de A que
no pertenecen a B. Esto se simboliza como A-B que se lee “A diferente de B” y se puede
representar por medio del siguiente diagrama de Venn:
A
B
A-B
Ejemplo.
Sea:
A= {1, 2, 3, 4}
Hallar
B= {1, 3, 5, 7}
A-B , B-A y A ∩ B
A
B
2
4
1
3
5
7
A-B= {2,4}
B-A= {5,7}
A ∩ B = {1,3}
Complemento
El complemento de un conjunto A con respecto al universo, es el conjunto de todos los
elementos U que no están en A, se representa al complemento de A como A C
A
Ejemplo.
Sea:
A= {2, 4, 6, 8, 10}
B= {1, 2, 3, 5, 6}
U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
7
Hallar:
8
U
A-B={4, 8, 10}
A
B
B-A={1, 3, 5 }
A ∩ B = {2, 6}
10
8
2
1
5
C
A = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
4
6
3
9