Cálculo matemático de la probabilidad 10. CÁLCULO DE

10. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
PÁGINA 245
1. P [1] = 0,117; P [2] = 0,302; P [3] = 0,038;
P [4] = 0,234; P [5] = 0,196; P [6] = 0,113;
PÁGINA 239
P [PAR] = 0,649; P [MENOR
Cálculo matemático de la probabilidad
6] = 0,887;
P [{1, 2}] = 0,419
4
9
2.
1
9
■
Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
3.
2
9
■
El diámetro de la moneda es 1,93 cm.
■
0,27
■
QUE
PÁGINA 247
1. a)
V
R
N
TOT
PÁGINA 240
1
2
2
2
6
1. a) E = {1, 2, 3, 4}
2
0
3
1
4
TOT
2
5
3
10
b) Elementales: {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
{2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4},
{1, 2, 3, 4}, {Ø}
b) y c) P [R] = 0,5
P [N] = 0,3
c) 24 = 16 sucesos
P [1] = 0,6
P [2] = 0,4
P [V] = 0,2
2
d) P [1/R] =
5
P [1/V] = 1
P [1/N] =
2
3
P [2/R] =
3
5
P [2/V] = 0
P [2/N] =
1
3
P [R/1] =
1
3
P [V/1] =
PÁGINA 241
2. a) A « B = {1, 2, 3, 4, 5}, A » B = {1, 3},
A' = {5, 6}, B' = {2, 4, 6}
1
3
e) No son independientes.
b) (A « B)' = {6}, (A » B)' = {2, 4, 5, 6},
A' « B' = {2, 4, 5, 6}, A' » B' = {6},
PÁGINA 248
(A « B)' = A' » B',
1.
1
216
(A » B)' = A' « B'
c) B « C = {1, 2, 3, 4, 5}
2. 0,48
B»C=Ö
3. 0,52
Al ser B y C conjuntos disjuntos, la intersección es vacía.
4. 0,665
PÁGINA 249
PÁGINA 243
1. P [(A » B)'] = 0,8
5. a)
2
6
(1, 2)
6/10
8/10
1/10
P [A » B] = 0,2
P [A « B] = 0,9
2. P [M ] = 0,3
P [N ] = 0,4
4
6
(3, 4, 5, 6)
2/10
6/10
2/10
81
b) P [{3, 4, 5, 6} y
P[
/1] =
3
5
]=
P[
2
5
/5] =
A « D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C),
(4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
3
5
P [2 y
]=
1
60
3. E tiene 23 = 8 elementos.
A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
PÁGINA 251
4
1. a)
15
B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
3
b)
10
13
c)
30
A « B = “O bien la menor es mujer, o bien el
mayor es varón” = {(V, V, M), (V, M, M),
(M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)}
PÁGINA 253
1. a)
3
13
b)
1
8
c)
2
3
4. a) A « B « C
b) A' » B' » C'
c) A » B » C
PÁGINA 257
d) (A » B » C') « (A » B' » C) « (A' » B » C)
1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
e) (A » B » C' ) « (A » B' » C ) «
b) E = {OROS,
COPAS, ESPADAS, BASTOS}
« (A' » B » C ) « (A » B » C )
c) Llamamos: O = OROS; C =
E = ESPADAS; B = BASTOS
COPAS;
5. a) (A » B)' = A' « B'
b) (A « B)' = A' » B'
Si influye el orden:
E = {(O, O), (O, C ), (O, E ), (O, B), (C, O),
(C, C ), (C, E ), (C, B), (E, O), (E, C ),
(E, E ), (E, B), (B, O), (B, C ), (B, E ),
(B, B)}
6. A' » B' = (A « B)' = {1, 6}
7. a) A « B = (A – B) « (A » B) « (B – A)
b) A – B = A » B'
Si no influye el orden:
E = {(O, O), (O, C ), (O, E ), (O, B), (C, C ),
(C, E ), (C, B), (E, E ), (E, B), (B, B)}
A – B = A – (A » B)
8. a) Sí define una probabilidad.
b) No define una probabilidad.
d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada
suceso elemental está compuesto por seis
resultados que pueden ser cara o cruz:
c) Sí define una probabilidad.
d) No define una probabilidad.
(x1, x2, x3, x4, x5, x6) donde xi puede ser
cara o cruz.
9. P [A] = 0,78
Por ejemplo, (C, +, C, C, +, C) es uno de
los 64 elementos de E.
e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +),
(4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C), (6, +)}
b) A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
P [B ] = 0,4
10.
11. Los sucesos A y B son compatibles.
PÁGINA 258
B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
12.
3
52
13.
1
16
c) A « B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +),
(4, +), (5, +), (6, +)}
A » B = {(1, +), (2, +)}
82
13
40
14.
PÁGINA 259
11
494
1
15. a)
16
27. a)
15
b)
16
15
= 0,375
40
b)
28. a) 0,2
5
16. P [algún AS] =
26
d) 0,75
15
= 0,6
25
c)
50
= 0,5
100
b) 0,2
c) 0,35
e) 0,25
f) 0,55
g) P [Pr] = 0,55; P [L ] = 0,4; P [Pr » L ] = 0,2;
P [un
AS]
=
12
65
17. P [algún 5] =
P [un 5] =
18. a)
d)
19. a)
P [Pr « L ] = 0,75; P [Pr – L ] = 0,35;
P [L – Pr] = 0,2; P [(L « P r)' ] = 0,25;
11
36
P [(L » P r)' ] = 0,8
5
18
1
15
b)
4
15
c)
1
7
43
105
e)
52
105
f)
2
21
3
4
b)
2
3
20. a) 0,4
21.
5
12
22.
40
4 001
h) P [L/P r] =
4
› 0,36
11
P [L'/P r] =
7
› 0,64
11
29. P [mismo color] =
P [distinto color] =
b) 0,6
17
54
37
54
30. a)
2
3
b)
1
3
c)
1
2
d) Sí son independientes.
31. 0,67232
32.
2
23. P [A « B ] =
3
1
260
33. 0,8742
1
P [A » B ] =
15
24. P [B] =
1
3
P [A] =
34. 0,752
2
3
P [A' » B ] =
1
12
35.
4
7
36.
56
101
25. 1) 0,6
2) 0,9
1
3)
3
4) 0,4
PÁGINA 260
37. a) 0,3
b) 0,9
c)
3
40
1
4
g)
9
10
d)
27
40
26. a) 0,9
b) 0,1
e)
3
4
f)
17
110
b)
c) No son independientes.
d) 0,75
38. a)
14
17
83
39.
40.
PÁGINA 261
0,044
= 0,289
0,152
49. a) E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG,
GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG,
GPGPP, GPP, P}
1
6
donde G significa que gana esa partida y P
que la pierde.
1
41.
3
42. a) 0,1
b) 0,8
c) 0,1
b)
d) 0,7
43. Si P [A » B ] = p, entonces:
50.
P [A' « B'] = P [(A » B)'] = 1 – P [A » B] = 1 – p
44. P [A] + P [B] = P [A « B] + P [A » B] < 1 +
1
3
= ,
2
2
192
247
51. 0,85
52. a)
1
pues P [A « B ] Ì 1 y P [A » B ] < .
2
53.
45. Es imposible.
46. a) No son independientes.
3
= 0,1875
16
n–1
1
8
b)
( 12 )
c)
511
= 0,998
512
9
10
AUTOEVALUACIÓN
b) Solo son independientes si P [B ] = 0.
c) A y C' son independientes.
1. a) Sí está el
0,1.
AS
de
COPAS
b) Hay 10 cartas.
47. 1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 8 cada uno da lugar a
3! formas distintas. Es decir:
2.
TOTAL
3 · 3! = 3 · 6 = 18
1, 4, 4; 2, 2, 5 8 cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6
18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener
suma 9.
25
P [suma 9] = 25 =
216
63
1
3
1
2
6
2
2
1
1
4
TOTAL
5
2
3
10
a) P [ ] =
P [1] =
1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 8 6 · 3 = 18 formas
2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 8 3 · 3 = 9 formas
y su probabilidad es
b) • P [
1
1
3
,
, P[ ] = , P[ ] =
2
5
10
3
2
, P [2] =
5
5
» 1] =
3
10
18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10
Significa P [bola roja con el número 1].
P [suma 10] =
27
216
Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9].
48. P [A « B] =
= P[A – (A » B)] + P[A » B] + P[B – (A » B)] =
= P [A] – P[A » B] + P[A » B] + P[B] – P[A » B] =
= P [A] + P [B] – P [A » B]
84
• P[
/1] =
1
2
Sabemos que la bola tiene un 1. ¿Cuál es
la probabilidad de que sea roja?
3
• P [1/ ] =
5
Sabemos que la bola es roja. ¿Cuál es la
probabilidad de que tenga un 1?
c) P [
/1] =
1
, P[
6
/1] =
1
3
5. a) P [1.ª
d) El suceso 1 es independiente respecto a
porque P [
/1] = P [ ] =
1
.
2
3. P [S] = 0,18
,
P [2.ª
b) P [1.ª
y 2.ª
/1.ª
/1.ª
P [2.ª
]=
5
12
c) P [2.ª
]=
7
12
Por tanto, no podemos asegurar que
P [{1, 2}] < P [{1, 2, 7}].
P [1.ª
6. a) 0,59
/2.ª
b)
1
3
1
2
]=
P [2.ª
P [(R « S)'] = 0,6
4. Podría ser que P [7] = 0, en cuyo caso
P [{1, 2}] = P [{1, 2, 7}].
]=
y 2.ª
P [R » S] = 0,05
P [R' « S'] = 0,95
]=
]=
1
4
]=
1
5
1
12
0,18
› 0,44
0,41
85
11. LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS
PÁGINA 266
c) No es representativa, ya que lo que más se
va a ver son las cartillas que corresponden a
familias numerosas. Está claro que cuanta
más gente tenga esa cartilla más fácil es que
ese mes se tome nota de ella.
1. a) — Se numeran las vacas del 1 al 3 000.
— Se sortean 120 números de entre los
3 000.
— La muestra estará formada por las 120
vacas a las que correspondan los números obtenidos.
b) Coeficiente de elevación: h =
3 000
= 25
120
— Se sortea un número del 1 al 25. Supongamos que sale el 9.
— Las vacas seleccionadas para la muestra
serían las que correspondieran a los números 9, 34, 59, 84, 109, … , 2 984.
PÁGINA 267
2. a) Debemos elegir 51 vacas de raza A, 31 vacas
de B, 19 de C, 12 de D y 7 de E.
b) Dentro de cada estrato, la elección ha de ser
aleatoria.
4. Para los dos casos, numeramos a las personas
del 1 al 500.
500
a) h =
= 25
20
Origen: 25 *
(por ejemplo).
® + 1 = { ‘¢Ÿ | }
Deberemos elegir las personas cuyos números sean:
14, 39, 64, 89, 114, 139, 164, 189, 214, 239, 264,
289, 314, 339, 364, 389, 414, 439, 464, 489
b) Con la tecla ® de la calculadora, hacemos: 500 * * ® = ® = ® = …
hasta obtener 20 resultados distintos.
5. Debemos elegir 2 taxistas, 3 camioneros,
1 conductor de autobús, 10 conductores con
más de 20 años de experiencia, 17 con experiencia entre 5 y 20 años y 7 con experiencia
entre 0 y 5 años.
6. a) Deberíamos realizar un muestreo aleatorio
estratificado.
PÁGINA 268
b) Debemos elegir 600 personas de C1, 900
personas de C2, 1 100 personas de C3 y
400 personas de C4.
1. Respuesta abierta.
2. Respuesta abierta.
c) Dentro de cada comarca, podríamos seleccionarlos mediante un muestreo aleatorio
simple, o mediante un muestreo sistemático.
PÁGINA 269
3. Respuesta abierta.
7. Escogeremos 30 alumnos de 1.º, 20 de 2.º,
16 de 3.º, 12 de 4.º y 6 de 5.º.
4. Respuesta abierta.
PÁGINA 272
1. a) Población.
b) Muestra.
PÁGINA 273
8. a) Estratificado.
c) Simple.
d) Simple.
e) Estratificado.
f ) Simple.
3. a) Es una muestra representativa.
g) Simple.
b) No es representativa, porque hay mucha
más gente en un intervalo que en otro, y
hemos tomado el mismo número de representantes. Además, hay otra mucha gente
sin tarjeta que no se ha tomado en cuenta.
86
b) Simple.
2. Es imprescindible hacerlo sobre una muestra,
porque interesa romper la menor cantidad de
elásticos posible.
9. a) Debemos elegir 40 libros de cada sección.
b) Debemos escoger 25 libros de la sección 1,
43 de la sección 2, 60 de la sección 3, 35 de
la sección 4 y 37 de la sección 5.
10. a) Es poco fiable.
b) No es aleatoria.
c) Utilizar una muestra de viviendas elegidas al
azar entre las de esa población.
11. La muestra no es aleatoria.
12. a) Salvo que se apunten los libros leídos, la
respuesta que se dé es aproximada.
b) Las opciones que se dan de respuesta son
muy subjetivas.
AUTOEVALUACIÓN
1. • La población (los futuros espectadores de la
película), además de ser muy numerosa, aún
no está bien definida.
• Los individuos participantes en la muestra
“se estropean”: al conocer de antemano el
posible final de la película, dejarán de
disfrutar plenamente la emoción de la intriga en la película finalizada.
2. Respuesta abierta (el coeficiente de elevación
es h = 41,71, tomamos h = 42).
c) Es una pregunta que, dependiendo de la
época en que se haga, de la ideología del
encuestado, etc., puede variar mucho.
3. a) Escogeremos 25 de 1.º, 20 de 2.º, 11 de 3.º,
9 de 4.º, 8 de 5.º y 7 de 6.º.
d) Las respuestas serán tan distintas que no se
pueden tabular ni estudiar posteriormente.
b) Los elementos de la muestra se eligen aleatoriamente.
87
12. INFERENCIA ESTADÍSTICA.
ESTIMACIÓN DE LA MEDIA
2. a) za/2 › 1,70
b) za/2 › 1,25
c) za/2 = 3,08
PÁGINA 275
Lanzamiento de varios dados
■
3. Para el 90%: (163,13; 182,87)
1,71
› 1,21
n=2 8
√2
n=3 8
Para el 95%: (161,24; 184,76)
Para el 99%: (157,55; 188,45)
1,71
› 0,98
√3
4. Para el 95%: (10,16; 25,84)
1,71
1,71
› 0,86
n=4 8
=
2
√4
■
PÁGINA 280
Para el 99,8%: (5,68; 30,32)
— Observamos que, al aumentar el número de
dados, n, la forma de la curva se parece cada
vez más a la de la normal.
PÁGINA 283
1. a) (15,78; 17,02)
b) 0,9463
— Son todas curvas simétricas. La media de
todas ellas coincide, 3,5.
— A medida que aumenta n, hay más resultados en la parte central (próxima a la media)
y menos en los extremos; por tanto, menor
es la desviación típica.
2. P [S x > 35 000] = 0,0062
Intervalo característico: (26 710; 33 290)
PÁGINA 287
1. Tenemos una confianza del 99% de que µ esté
comprendida entre 34,34 y 39,66.
PÁGINA 277
1. a) 0,0026
b) 0,0359
c) 0,9641
d) 0,0419
e) 0,1359
f ) 0,6483
g) 0,8185
h) 0,0339
i ) 0,1359
b) k = 1,14
c) k › 1,28
d) k = –0,44
e) k › –0,84
f ) k › 1,175
g) k = –2,76
h) k › –0,25
PÁGINA 288
2. a) k = 0
1. La muestra ha de ser de, al menos, 432 soldados.
PÁGINA 289
2. El nivel de confianza es del 98,18%.
PÁGINA 294
PÁGINA 278
1. a) (–1,96; 1,96)
3. a) 0,6915
b) 0,6480
d) 0,2957
e) 0,9198
4. a) k = 7,8
c) k › 5,532
c) 0,0401
b) k › 6,756
d) k = 5,694
PÁGINA 279
1. • Para una probabilidad de 0,95: za/2 = 1,96
• Para una probabilidad de 0,99: za/2 = 2,575
88
b) (–2,575; 2,575)
c) (–1,645; 1,645)
d) (–1,28; 1,28)
e) (82,6; 141,4)
f) (2 095,75; 4 928,25)
g) (2 434; 4 590)
h) (2 607,25; 4 416,75)
i) (2 808; 4 216)
2. (14,612; 35,388)
3. (3,42; 16,58)
4. (6,41; 12,59)
16. µ = 174,6
5. a) x– es N (23; 0,5).
q = 6,57
b) Solo podemos decir que x– se distribuye
con media µ = 23 y desviación típica:
3,5
3,5
q
=
=
= 0,7
5
√
25
√n
17. 0,0026
18. a) x– es N (7,4; 0,11).
b) 0,8186
30
Si la población de partida, x, fuera normal,
entonces x– también sería normal.
c)
S xi es N (222; 3,29).
i=1
d) 0,1814
6. a) x– es N (120, 5).
b) x– es N (120, 7,5).
19. a) 0,0764
b) 0,2388
7. a) N (20, 1)
b) N (20; 0,4)
20. El intervalo de confianza para estimar µ al 99%
es (161,46; 166,54).
c) N (3,75; 0,6)
Hemos usado la desviación típica muestral
s = 6,24, en vez de la q poblacional, desconocida.
d) N (3,75; 0,17)
e) N (112; 1,5)
f) N (112; 1,5)
PÁGINA 296
g) N (3 512; 86,96)
21. a) (106,71; 113,29)
q
8. a) x– es N µ,
.
√n
(
)
b) El error máximo es 3,29.
b) 0,0735
22. Debemos tomar una muestra de, al menos, 385
bombillas.
9. a) x– es N (20; 0,75).
b) 0,8164
23. a) (1,7108; 1,7892)
10. a) 0,9987
b) Debemos tomar una muestra de, al menos,
1 083 personas.
b) 0,0228
24. Para el 68,26%: (1,993; 2,007)
PÁGINA 295
11. a) El tiempo de espera, x–, es N (14, 1).
Para el 95,446%: (1,986; 2,014)
Para el 99,73%: (1,979; 2,021)
b) 0,8413
25. a) x– es N (µ, 1).
12. 0,1056
b) Se deberá tomar una muestra de, al menos,
97 jóvenes.
13. (1,82; 3,78)
14. (382,54; 417,46)
15. a) 0,2388
b) 0,4483
c) 0,3129
d) 0,0023
e) 0,3085
f) 0,6892
g) k = 4,704
h) b = 1,176
26. a) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o
igual que 152.
b) 0,2514
27. a) (9; 9,72)
b) La muestra debería ser de tamaño 132.
89
28. a) (2,2; 2,3)
b) Significa que la probabilidad de que la media (desconocida) de la población esté en el
intervalo (2,2; 2,3) es del 97%; es decir, la
media de la cantidad de líquido despachado
por la máquina, del 97% de las posibles
muestras de 36 refrescos, está entre 2,2 y 2,3
decilitros.
–
33. a) x =
174,3 + 175,1
= 174,7 cm
2
s = 5,44
b) (173,9; 175,5)
34. La amplitud del intervalo sería ±2.
35. s = 6,5
29. a) (5,68; 6,32)
b) El tamaño de la muestra ha de ser mayor o
igual que 62.
30. a) (68,1; 71,9)
b) a = 0,0278 › 0,028
AUTOEVALUACIÓN
1. a) (–1,44; 1,44)
b) (2266,4; 2813,6)
2. Los pesos que marcan los límites de cada categoría son 57,32 g y 72,68 g.
PÁGINA 297
31. a) (49,783; 50,217)
b) El tamaño de la muestra ha de ser, como mínimo, 76.
3. a) La distribución de las medias de las muestras
de tamaño 16 es N (µ; 1,25).
b) (101,55; 106,45)
4. El nivel de confianza es del 98,76%.
32. a) El consumo medio muestral fueron 20 €.
b) q = 6,12
c) (18,32; 21,68)
90
5. a) (1 463,55; 1 496,45)
b) Se debe tomar una muestra de tamaño 4145.
13. INFERENCIA ESTADÍSTICA:
ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN
PÁGINA 299
¿Cuántas caras cabe esperar?
■
El intervalo característico correspondiente a una
probabilidad del 95% (consideramos “casos raros”
al 5% de los casos extremos) es:
50 ± 1,96 · 5 = (40,2; 59,8)
Esto significa que en el 95% de los casos en que
tiremos 100 monedas, el número de caras que
obtendremos será mayor que 40 y menor que
60. Cualquier otro resultado será un “caso raro”.
PÁGINA 308
1. a) N (0,5; 0,158)
b) N (0,6; 0,110)
c) N (0,8; 0,073)
d) N (0,1; 0,042)
e) N (0,05; 0,0218)
f) N (0,15; 0,036)
2. a) (0,24; 0,76)
b) (0,38; 0,82)
c) (0,61; 0,99)
d) (0,018; 0,182)
e) (–0,006; 0,106)
f) (0,104; 0,196)
3. (0,26; 0,54)
4. a) 0,5537
b) (0,0024; 0,1309)
5. 0,0778
Un saco de alubias
■
a) p = 0,05
b) µ = 30;
q = √28,5 › 5,34
6. La probabilidad de que haya 100 varones o más
es 0,2420.
El intervalo característico buscado es:
(0,4428; 0,5872)
c) (16,25; 43,75)
d) En el 99% de los casos en que saquemos 600
judías de ese saco, el número de judías negras
será mayor que 16 y menor que 44.
Peces en un pantano
■
7. (0,17; 0,26)
8. (0,3836; 0,4498)
9. • p = 0,2
• El intervalo característico es:
En el pantano hay, aproximadamente, 4848 peces.
(
p – za/2 ·
PÁGINA 301
1. a) 0,3859
b) (3,54; 15,66)
2. a) 0,2061
b) 0,1977
√
pq
, p + za/2 ·
n
√
pq
n
)
En este caso ( p = 0,2; q = 0,8; n = 100;
za/2 = 1,96), queda:
(
0,2 – 1,96 ·
√
0,2 · 0,8
; 0,2 + 1,96 ·
100
√
0,2 · 0,8
100
)
PÁGINA 303
Es decir:
1. Para el 90%: (0,109; 0,231)
(0,1216; 0,2784), como queríamos probar.
Para el 95%: (0,097; 0,243)
10. a) La muestra ha de ser de 840 individuos.
Para el 99%: (0,075; 0,265)
b) (0,196; 0,504)
PÁGINA 305
1. Con un nivel de confianza del 90%, la probabilidad de obtener 4 está entre 0,148 y 0,212.
2. Deberemos lanzarlo, al menos, 135 513 veces.
11. a) (0; 0,12)
b) E › 0,06
c) Habrá que tomar una muestra de, al menos,
150 rótulos.
91
PÁGINA 309
15. a) La probabilidad de que se rechace la afirmación es 0,1056.
12. a) La proporción de votantes del partido A en
la población se encuentra, con un nivel de
confianza del 95,45%, entre el 26,76% y el
33,24%.
b) Si aumenta el nivel de confianza, mayor es la
amplitud del intervalo; es decir, cuanto más
seguros queramos estar de nuestra estimación, mayor será el error máximo admisible.
b) El error máximo cometido es de un 9,6%, es
decir, de 10 personas.
AUTOEVALUACIÓN
1. a) pr se distribuye N (0,32; 0,033).
b) (0,255; 0,647)
Si disminuye el nivel de confianza, también
lo hará la amplitud del intervalo.
13. a) 0,0918
b) 0,0475
c) El “número esperado” de hombres accidentados cada fin de semana es 135,2.
14. a) Aumentando la cota de error mejoraría el
nivel de confianza.
b) Podría ser pr = 0,8, o bien pr = 0,2. Con
los datos que tenemos, no podemos decidir
cuál de estos dos resultados es el válido.
92
c) 0,2709
2. 0,2033
3. a) (0,2332; 0,4334)
b) Habrá que tomar una muestra de, al menos,
6014 individuos.
4. El nivel de confianza es del 95%.
14. INFERENCIA ESTADÍSTICA:
CONTRASTE DE HIPÓTESIS
2.° Zona de aceptación:
(101,09; 102,90)
PÁGINA 311
3.° Verificación:
x– = 101
Máquina empaquetadora
4.° Decisión:
■
101 no está en la zona de aceptación. Se
rechaza la hipótesis nula.
a) No.
b) Sí.
Los conocimientos de los soldados no son
los mismos que hace cinco años.
Pilas que duran y duran…
■
a) No.
PÁGINA 315
b) Sí.
–
1. a) Como x = 352 está en la zona de aceptación, (341,72; 352,28), aceptamos la hipótesis
nula, H0: µ = 347. Es decir, aceptamos que
µ = 347.
c) No.
¿Monedas falsas?
–
■
De los apartados b) y c) podemos deducir que
la moneda es incorrecta. Con el apartado c) llegamos a esa conclusión con más seguridad.
La grasa en la leche
■
En este caso se trata de dilucidar si la diferencia
de ese 0,6% es atribuible al azar o no. Esta cuestión será una de las que estudiemos a fondo en
el desarrollo de esta unidad.
b) Como x = 352 no está en la zona de aceptación, (343,63; 350,37), rechazamos la hipótesis nula, H0: µ = 347. Es decir, aceptamos que µ ? 347.
PÁGINA 316
–
2. Como x = 352 no está en la zona de aceptación, (–@; 351,78), rechazamos la hipótesis nula,
H0: µ Ì 347. Es decir, aceptamos que µ > 347.
PÁGINA 318
PÁGINA 314
1. Zonas de aceptación:
1. 1.° Enunciación:
H0: p = 0,167
A
8
(0,131; 0,169)
H1: p ? 0,167
B
8
(–@; 0,164)
C
8
2.° Zona de aceptación:
(0,072; 0,262)
3.° Verificación:
25
pr =
= 0,25
100
aceptación de C. Por tanto, solo aceptamos
como válida la hipótesis p Ó 0,15.
PÁGINA 323
4.° Decisión:
0,25 sí está en la zona de aceptación. Se
acepta la hipótesis nula. Consideramos el
dado correcto.
2. 1.° Enunciación:
H0: µ = 102
(0,136; +@ )
183
pr =
= 0,183 solo está en la zona de
1000
H1: µ ? 102
1. a) Como x– = 11 queda dentro de la zona de
aceptación, (10,78; 13,22), aceptamos:
H0: µ = 12
b) Como x– = 1,6 queda fuera de la zona de
aceptación, (1,33; 1,57), rechazamos:
H0: µ = 1,45
93
c) Como x– = 12 queda fuera de la zona
de aceptación, (–@; 11,76), rechazamos:
H0: µ Ì 11
d) Como x– = 14,5 queda fuera de la zona
de aceptación, (14,895; + @), rechazamos:
H0: µ Ó 15
2. Como x– = 2 320 no cae dentro de la zona de
aceptación, (2 341,2; 2 458,8), rechazamos:
H0: µ = 2 400; es decir, no podemos aceptar la
validez del nuevo proceso de fabricación.
3. a) Hipótesis nula: H0: µ = 12
Hipótesis alternativa: H1: µ ? 12
b) (11,07; 12,93)
c) Calculamos la media de la muestra: x– = 11
Como no está dentro del intervalo de aceptación, rechazamos H0; es decir, no podemos aceptar que la media siga siendo la
misma.
d) Error de tipo I: es cierto que la media son
12 s, pero debido al contraste utilizado, nos
da falso.
Error de tipo II: es falso que la media sea 12 s,
pero debido al contraste utilizado, nos da
cierto.
4. a) Como pr = 0,508 está dentro de la zona
de aceptación, (0,459; 0,541), aceptamos:
H0: p = 0,5
b) Como pr = 0,61 está dentro de la zona
de aceptación, (–@; 0,6329), aceptamos:
H0: p Ì 0,6
c) Como pr = 0,25 está fuera del intervalo
de aceptación, (0,259; + @), rechazamos:
H0: p Ó 0,3
30
= 0,3,
100
queda fuera de la zona de aceptación,
(0,304; 0,496), rechazamos H0: p = 0,4. Es decir, rechazamos la afirmación del dentista.
5. Como la proporción muestral, pr =
170
= 0,85,
200
queda fuera del intervalo de aceptación,
(0,858; 0,942), rechazamos H0: p = 0,9. Es
decir, no podemos considerar válida la afirmación de la empresa.
6. Como la proporción muestral, pr =
94
7. a) Como la proporción muestral, pr = 450/1 000 =
= 0,45, queda fuera de la zona de aceptación, (–@; 0,446), rechazamos H0: p Ì 0,42;
es decir, aceptamos que la proporción ha
aumentado.
b) La probabilidad de concluir erróneamente
que el tanto por ciento se ha mantenido; es
decir, de aceptar H0, siendo falsa, es la
probabilidad de cometer un error de tipo II.
PÁGINA 324
8. a) Como la media muestral, x– = 14,25, está
fuera de (14,51; 15,49), la zona de aceptación, rechazamos H0: µ = 15. Es decir, no
podemos aceptar que el tiempo medio sea
de 15 minutos.
b) Como x– = 14,25 está en el intervalo de
aceptación, (14,18; 15,82), no podríamos rechazar H0. Es decir, aceptaríamos que el
tiempo medio es de 15 minutos.
c) No existe contradicción. En el apartado b),
el riesgo que estamos asumiendo es muy
pequeño, mucho menor que en el caso a);
por tanto, el intervalo es más amplio.
9. Como la media muestral, x– = 750 horas, no
está dentro de (760,46; +@), la zona de aceptación, rechazamos H0: µ Ó 800. Es decir, habría
que rechazar el lote por no cumplir la garantía.
10. Como la media muestral, x– = 12,85, está
fuera de la zona de aceptación, (– @; 11,76),
rechazamos H0: µ Ì 11. Es decir, aceptamos
que las pastillas de jabón duran más de 11 días.
11. Como la media muestral, x– = 6,5 años, pertenece al intervalo de aceptación, (–@; 6,8225),
no podemos rechazar H0: µ Ì 6. Es decir,
aceptamos que el tiempo medio es menor o
igual que 6 años.
12. a) Como la media muestral, x– = 28,1 años,
está fuera del intervalo de aceptación,
(28,301; +@), rechazamos H0: µ Ó 29. Es
decir, aceptamos que la media de edad ha
disminuido.
b) • El error de tipo I consiste en rechazar H0
siendo verdadera. En el contexto de este
problema sería aceptar que la media ha
disminuido, siendo falso.
• El error de tipo II consiste en aceptar H0
siendo falsa. En este problema sería aceptar que la media no ha disminuido, siendo
falso.
13. Como la proporción muestral, pr = 50/200 = 0,25,
está dentro del intervalo de aceptación:
(0,247; +@), no podemos rechazar H0: p Ó 0,30.
Es decir, aceptamos que, al menos, el 30% de
las familias posee ordenador.
14. Como la proporción muestral, pr = 12/120 = 0,1,
está dentro del intervalo de aceptación:
(0,093; +@), no podemos rechazar H0: p Ó 0,15.
Según estos datos, las campañas no han sido
efectivas y esta afirmación la hacemos con un
nivel de significación del 4%.
15. Como la proporción muestral, pr = 18/225 = 0,08,
pertenece a la zona de aceptación:
(0,0671; + @), aceptamos H0: p Ó 0,1. Es decir,
no hay suficiente evidencia para refutar la afirmación de que al menos el 10% de los habitantes de la población hablan alemán.
PÁGINA 325
16. a) Como la proporción muestral, pr =
del 1% podemos aceptar que la proporción
de personas que leen el periódico La Ciudad
ha aumentado.
18. La proporción muestral, pr = 34/120 › 0,283,
pertenece a la zona de aceptación, (–@; 0,30).
Es decir, se puede aceptar, con una significación del 10%, que la proporción de partos de
madres de más de 33 años sigue siendo, como
mucho, del 25%.
19. El error que consiste en rechazar H0 cuando
esta es verdadera se llama error de tipo I. La
probabilidad de cometerlo es precisamente a,
el nivel de significación. En este caso concreto,
a = 0,0512.
20. La probabilidad pedida es 0,0643.
AUTOEVALUACIÓN
1. a) Zona de aceptación: (19; 19,8)
x– = 18,6 è (19; 19,8). Se rechaza la hipótesis.
b) Zona de aceptación: (497, +@)
x– = 495 è (497, +@). Se rechaza la hipótesis.
c) Zona de aceptación: (0,084; 0,316)
pr = 0,17 é (0,084; 0,316). Se acepta la hipótesis.
d) Zona de aceptación: (–@; 0,748)
50
= 0,125,
400
no está en la zona de aceptación:
(0,0753; 0,1247), no podemos aceptar la hipótesis de partida.
pr = 0,703 é (–@; 0,748). Se acepta la hipótesis.
b) Ahora, la proporción muestral sí está en la
zona de aceptación, (0,065; 0,135). Con un
nivel de significación de 0,2, podemos aceptar la hipótesis de partida.
2. La proporción muestral, pr = 30/250 = 0,12, no
está dentro de la zona de aceptación:
(0,122; +@), por lo que rechazamos H0: p Ó 0,16.
Es decir, con un nivel de significación del 5%
aceptamos que el servicio ha mejorado con la
nueva empresa.
65
› 0,29,
225
no está en la zona de aceptación, (0,298; +@),
no podemos aceptar, con a = 0,05, que la
proporción de personas que leen dicho
periódico ha aumentado.
3. a) Como la media muestral, x– = 128, no pertenece a la zona de aceptación, (–@; 125,12),
no se puede aceptar, con un nivel de significación del 10%, la afirmación de partida.
b) En este caso, la media muestral, x– = 128,
b) En este caso, la proporción muestral sí que
pertenece a la zona de aceptación:
(0,276; + @). Con un nivel de significación
pertenece a la zona de aceptación:
(–@; 129,32). Es decir, podemos aceptar la
afirmación de partida con un nivel de significación del 1%.
17. a) Como la proporción muestral, pr =
95
6. a) Se espera que tengan teléfono móvil 980
alumnos.
BLOQUE III. ESTADÍSTICA
Y PROBABILIDAD
b) 0,7881
PÁGINA 330
c) 0,5319
1. P [A « B] = 0,9
P [A » B] = 0,5
1
2
2. a)
3.
b)
5
12
c)
1
12
d)
11
12
39
80
4. a) Deberíamos utilizar un muestreo aleatorio
estratificado.
b) Tendríamos que seleccionar a 30 trabajadores de personal, a 90 de ventas, a 40 de
contabilidad y a 20 de atención al cliente.
5. a) Intervalo de confianza:
(481,39; 518,61)
b) 0,2266
96
7. a) Como la media muestral, 4 120 euros, no
está en la zona de aceptación:
(3 894,8; 4 105,2), rechazamos la hipótesis
nula, H0: µ = 4 000. Con un nivel de significación del 5%, podemos decir que la aportación media de los contribuyentes ha variado.
b) Como la media muestral, 4 120 euros, está
en la zona de aceptación, (3 861,8; 4 138,2),
aceptamos la hipótesis nula, H0: µ = 4 000.
Con un nivel de significación del 1%, podemos decir que la aportación media de los
contribuyentes no ha variado.
21
8. a) La proporción de la muestra, pr =
= 0,07,
300
está en la zona de aceptación, (–@; 0,092).
Por tanto, podemos aceptar la afirmación de
la marca con un nivel de significación del 1%.
b) Se necesita una muestra de tamaño n Ó 2 500.