CONTROL IV (versión B)

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C.C.
Asignatura: Cálculo I, Módulo Básico Ingenieria
Primer Semestre 2012
CONTROL IV (versión B)
Problema 1. (20 pts.) Un alambre de b [m] de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla
para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un circulo. Si la suma de las
areas encerradas por cada parte es mı́nima, ¿Cuales son las dimensiones de cada parte?
Problema 2. (20 pts.) Grafique una función dos veces derivable y = f (x) con las siguientes
propiedades.
x
x<2
2
2<x<4
4
4<x<6
6
x>6
y
Derivadas
y′
1
4
7
y′
y′
y′
y′
y′
y′
<0
=0
>0
>0
>0
=0
<0
,
,
,
,
,
,
,
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
>0
>0
>0
=0
<0
<0
<0
Problema 3. (20 pts.) Usted hace una video grabación de una carrera de automóviles desde
m
una tribuna ubicada a 40 [m] de la pista; sigue un automóvil que se desplaza a 80 [ seg
], como
se ilustra en la figura ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo θ de su cámara cuando el automóvil
esté justo enfrente de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después?
PAUTA CONTROL IV (versión B)
Problema 1. (20 pts.) Un alambre de b [m] de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla
para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un circulo. Si la suma de las
areas encerradas por cada parte es mı́nima, ¿Cuales son las dimensiones de cada parte?
Consideramos los cortes del alambre con longitudes de 3x (para el triángulo equilátero) y
b − 3x (para el circulo), como se muestra en la figura.
b
b-3x
3x
Con esto obtenemos un triángulo equilátero de lados igual a x, y una circunferencia de
perı́metro p = 2πr = (b − 3x) ⇒ r = b−3x
2π .
El area que se desea minimizar esta dada por
√
(
)
3 2
b − 3x 2
A(x) =
+π
x
2π
| 4{z }
|
{z
}
Area triangulo
A(x) =
=
=
=
Area circulo
√
(
)
3 2
b − 3x 2
x +π
4
2π
√
2
3 2 b − 6bx + 9x2
x +
4π
√4
3πx2 + b2 − 6bx + 9x2
4π √
2
b − 6bx + (9 + 3π)x2
4π
Derivamos e igualamos a cero para obtener valores crı́ticos.
√
−6b + 2(9 + 3π)x
′
A (x) =
4π √
−3b + (9 + 3π)x
=
2π
A′ (x) = 0
⇔
x=
3b
√
9 + 3π
√
Por otro lado, la segunda derivada es A′′ (x) = 9+2π3π > 0, por el criterio de la segunda
derivada tenemos que, el valor obtenido minimiza el área del problema.
Finalmente, las dimensiones son:
9b
√
3x =
9 + 3π
;
√
3πb
√
b − 3x =
9 + 3π
Problema 2. (20 pts.) Grafique una función dos veces derivable y = f (x) con las siguientes
propiedades.
x
x<2
2
2<x<4
4
4<x<6
6
x>6
y
Derivadas
y′
1
4
7
y′
y′
y′
y′
y′
y′
Con las respectivas justificaciones, el gráfico es
<0
=0
>0
>0
>0
=0
<0
,
,
,
,
,
,
,
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
y ′′
>0
>0
>0
=0
<0
<0
<0
Problema 3. (20 pts.) Usted hace una video grabación de una carrera de automóviles desde
m
una tribuna ubicada a 40 [m] de la pista; sigue un automóvil que se desplaza a 80 [ seg
], como
se ilustra en la figura ¿Qué tan rápido cambiará el ángulo θ de su cámara cuando el automóvil
esté justo enfrente de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después?
Consideremos la figura (a).
q
q
40
40
El ángulo en este
instante es
q = p = 45°
4
x
40
(a)
(b)
x
La relación entre el ángulo, θ, y la variable x es: tan θ = 40
. Derivando con respecto al
tiempo se obtiene:
dθ
1 dx
dθ
cos2 θ dx
sec2 θ ·
=
⇔
=
dt
40 dt
dt
40 dt
m
Donde dx
dt = 80 [ seg ].
Cuando el automóvil esté justo enfrente, se tendrá θ = 0, entonces
[
]
dθ rad
cos2 0
· 80 = 2
=
dt θ=0
40
seg
m
Medio segundo después, el automóvil habrá avanzado una distancia x = 80 [ seg
] · 12 [seg] = 40[m].
Entonces tendremos la geometrı́a descrita en la figura (b). Por lo tanto
[
]
1
cos2 π4
dθ rad
2
=
· 80 =
· 80 = 1
dt θ= π4
40
40
seg