Análisis de las características de una función (Por Ej

Análisis de las características de una función (Por Ej. Función cuadrática)
La ecuación cuadrática o de segundo grado
representa gráficamente a una parábola,
cuyo dominio serán todos los reales, pero la imagen
está determinada por el vértice. En el presente
artículo nos concentraremos en las características
de las funciones como lo son: los ceros de la
función, el conjunto de positividad, negatividad,
máximo, mínimo, intervalos de crecimiento y
decrecimiento. Hablaremos de las funciones en general para, después, desarrollar
ejemplos típicos.
Comencemos con una función típica, cuya gráfica se parezca a una sonrisa y
corte al eje de las x en dos puntos, o sea que tenga dos ceros o raíces, a los que
llamaremos x1 y x2.
(x1 , 0 ) y (x2 , 0)
La imagen de x1 y de x2 es la misma, cero.
Tenemos pues el primer conjunto de elementos importantes en la parábola,
el conjunto de ceros, que al ser un conjunto finito se escribe entre llaves.
Co = {x1 , x2}
Una vez ubicados los ceros podemos buscar los
valores de x cuya imagen sea positiva,
estamos hablando del conjunto de positividad.
Ojo, no quiere decir que el valor de x sea positivo, sino que su imagen lo sea. En
la gráfica que ven al lado, se ha pintado de rojo la parte que corresponde al
conjunto de positividad, en el eje x se observa una línea verde indicando el
intervalo del dominio de la parábola que representa a todos los valores de x cuyas
imágenes son positivas, o sea el conjunto de positividad, que viene desde el
infinito de los negativos hasta el x1 y retoma en x2 hasta el infinito de los positivo.
Como son dos conjuntos se los une, (La "U" que aparece entre ambos intervalos
es el símbolo de unión entre conjuntos)
Ahora fijémonos en el signo de las imágenes de los
valores de x que se encuentran entre x1 y x2, todas
las imágenes tienen signo negativo. En el gráfico
que se encuentra a la izquierda vemos la parte
correspondiente de la parábola pintada de verde,
que representa al conjunto de negatividad, que será
el intervalo abierto que tiene a x1 y a x2 como
extremos. ¿Por qué abierto? x1 y a x2 son los ceros
y los ceros no tienen signo, así que no pueden
pertenecer a ninguno de los dos conjuntos, por lo tanto hay que escribirlos con
paréntesis.
La parábola sonríe, Posee concavidad positiva.
Esta característica deja al vértice como mínimo absoluto. No habrá valor dentro
de la imagen más chico que la componente y del vértice. El conjunto imagen,
pues, irá desde la coordenada y del vértice (que pertenece al conjunto, por lo
tanto irá con un corchete) hasta el infinito de los positivos. Imgf [vy, + ∞)
Ya lo habíamos indicado, pero vale la pena repetirlo. Como no hay problemas
respecto al valor que podemos tomar en x para realizar los cálculos, sabemos que
el dominio de la función son todos los reales. Domf : R
Cuando leemos el eje x, siempre lo hacemos desde la
izquierda hacia la derecha. Así que podemos notar
que la parábola "baja" a medida que se va acercando
a vxdesde la izquierda. Por el dibujo podemos ver
que x1es mayor que cero, pero la imagen de cero es
positiva mientras que la imagen de x1 es cero, o sea, es menor, más chica.
Tenemos que x1 > 0 pero f(x1) < f(o)
La función decrece desde el infinito de los negativos hasta la coordenada x del
vértice.
Estamos frente al intervalo de decrecimiento.
Intervalo de decrecimiento: (– ∞, 0)
Ahora, si observamos lo que ocurre a la parábola a
la derecha de la coordenada x del vértice vemos que
a medida que los valores de x van creciendo, sus
imágenes también.
Si comparamos x2 con vx, la primera es mayor que
la segunda y su imagen también es más grande.
Tenemos que x2 > vx y además f(x2) > f(vx)
Estamos frente al intervalo de crecimiento que va desde vx hasta el infinito de los
positivos.
Intervalo de crecimiento: (0, + ∞ )
Resumiendo: en una parábola que corte al eje en dos puntos y posee concavidad
positiva tenemos: