Axiomas de orden

Axiomas de orden
Esta basado en los siguientes axiomas:
01) Tricotomı́a: ∀ a, b ∈ R, se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones: a = b, a <
b, o b < a.
02) Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c.
03) Preserva Orden bajo Adición: Si a < b entonces a + c < b + c ∀ c ∈ R.
04) Preserva Orden bajo Multiplicación (0 < c): Si 0 < c y a < b entonces ac < bc.
Notación:
a − b := a + (−b)
a > b significa que a − b ∈ P
a < b significa que b > a
a ≥ b significa que a > b o a = b
a ≤ b significa que a < b o a = b
Teorema.- a + c < b + c ⇒ a < b
Ley de Cancelación para la Adición en Desigualdades.
1
Dem: (La idea es iniciar en a+c < b+c, y llegar a a < b, mediante una cadena de implicaciones).
a + c < b + c ⇒ (a + c) + (−c) < (b + c) + (−c) (Por (03) Axioma de orden)
⇒ a + (c + (−c)) < b + (c + (−c)) (Por (A3) Asociativa)
⇒ a + 0 < b + 0 (Por (A5) Inverso Aditivo)
⇒ a < b (Por (A4) Neutro Aditivo)
∴ a < b.
Teorema.- Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.
Suma de Menores, es menor que Suma de Mayores
Dem: (La idea es construir una cantidad z, tal que a + c < z < c + d)
Por Hipótesis: a < b ⇒ a + c < b + c (Por (03) Axioma de Orden)
Por Hipótesis: c < d ⇒ b + c < b + d (Por (03) Axiona de Orden)
Por estas dos desigualdades y por el (02) Axioma de Orden
∴ Si a < b y c < d ⇒ a + c < b + d.
Teorema.- Si a < b, entonces −b < −a.
2
⇒ a+c<b+d
Los inversos aditivos invierten la Desigualdad
Dem: (La idea es sumar z, talque a + z = −b y b + z = −a)
Por Hipótesis: a < b
⇒
a + ((−a) + (−b)) < b + ((−a) + (−b)) (Por (03) Axioma de
Orden)
⇒ a + ((−a) + (−b)) < b + ((−b) + (−a)) (Por (A2) Conmutativa)
⇒ (a + (−a)) + (−b) < (b + (−b)) + (−a) (Por (A3) Asociativa)
⇒ 0 + (−b) < 0 + (−a) (Por (A5) Inverso Aditivo)
∴
− b < −a (Por (A4) Neutro Aditivo).
Teorema.- Sea c < 0. Si a < b, entonces ac < bc.
Dem: Primero pruebo que 0 = −0
0 = 0 + 0 = 0 + (0 + (−0)) = (0 + 0) + (−0) = 0 + (−0) = −0.
(La idea es usar que c < 0 ⇒
Por Hipótesis: c < 0 ⇒
− c > 0.
− c > 0 (Por Teo. Anterior y que 0 = −0)
Por Hipótesis: a < b ⇒ a(−c) < b(−c) (Por (1) y (04) Axioma de Orden)
⇒
− (ac) < −(bc) (Por Teo. Anterior)
3
∴ ac > bc (Por Teo. Anterior)
Teorema.- Si 0 < c y ac < bc entonces a < b
Dem: Primero probaremos que si 0 < c ⇒ c−1 > 0.
Sup. c−1 < 0 ⇒
∴
0
− c−1 · c > 0
− c−1 > 0, por hipotesis, c > 0
⇒
c−1 > 0
⇒
f (−1)c−1 · c > 0
........CONTRADICCION
∴ c−1 > 0
Por Hipotesis: 0 < c ⇒ 0 < c−1
Por lo tanto ac < bc ⇒ (ac)c−1 < (bc)c−1
⇒ a(c c−1 ) < b(c c−1 ) ⇒ a · 1 < b · 1 ⇒ a < b
4
⇒
−1·1 > 0
⇒
−1 >