Ejercicios propuestos capítulo 4

Ejercicios Propuestos
Inducción Electromagnética.
1. Un solenoide de 2� 5 [��] de diámetro y 30 [��] de longitud tiene 300 vueltas y lleva
una intensidad de corriente de 12 [A]. Calcule el flujo a través de la superficie de un
disco de 5 [��] de radio que está colocado de forma perpendicular y centrado al eje
del solenoide.
2. Una espira circular de alambre de radio R se coloca en un campo magnético uniforme
� y entonces se impulsa para que gire con una velocidad ω alrededor de un eje a
B
través de su diámetro. Determine el flujo magnético a través de la espira como función
del tiempo si el eje de rotación está:
�
(a) Perpendicular a B.
�
(b) Paralelo a B.
3. Se coloca una espira plana en un campo magnético uniforme cuya dirección es
perpendicular al plano de la espira. Si el área de la espira aumenta a razón de
0� 04 [�2 /�] se induce una fem de 0� 16 [V ], ¿cuál es la magnitud del campo magnético?.
4. Una bobina circular tiene un diámetro de 16� 7 [��] y 24 vueltas. El campo magnético
es perpendicular al plano de las espiras. Si el campo aumenta linealmente de 2 [µT ] a
8 [µT ] en un tiempo de 0� 6 [�], ¿cuál es la fem inducida?.
5. Un campo magnético uniforme y constante B = 0� 5 [T ] pasa a través de una bobina
plana circular de alambre de 16 vueltas, donde cada una de las espiras tiene un
área de 4� 8 [��2 ]. Si la bobina gira sobre un eje que pasa por su diámetro con una
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
velocidad angular ω = 60π [���/�], calcule la fem inducida como función del tiempo, si
inicialmente en � = 0 [�] el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina.
6. Una bobina de N vueltas y área A está situada en el interior de un solenoide
coaxialmente (el eje del solenoide coincide con el de la bobina). El solenoide tiene
� vueltas por metro, y por él circula una corriente variable en el tiempo de acuerdo a
la expresión I = I0 (1 − exp −α�). Calcule la fem inducida en la bobina.
7. Existe un campo magnético a través de una bobina circular de radio R y N vueltas de
alambre; la dirección del campo es perpendicular al plano de la bobina. La magnitud
del campo en el plano de la espira es B = B0 (1 − �/2R) cos(ω�), donde � es medida
desde el centro de la espira. Determine la fem inducida en la espira.
8. Un solenoide largo de radio � y longitud L de N vueltas tiene a su alrededor una espira
de radio R coaxial al solenoide. Con una resistencia variable se hace que la intensidad
de corriente disminuya linealmente de 10 [A] hasta 5� 6 [A] en 1� 5 [�]. Si � = 4� 5 [��],
L = 2 [�] y N = 4000 vueltas, calcule la fem inducida en la espira circular.
9. Una corriente que varía en el tiempo de acuerdo a la expresión I = 5 exp −0� 4� [A],
donde � está en segundos, circula por un solenoide circular de radio 4 [��] que tiene
2500 vueltas/metro. Calcule la magnitud del campo eléctrico inducido a una distancia
de 8 [��] del eje del solenoide en el instante � = 3 [�].
10. Una barra de longitud L se mueve sobre dos rieles con una velocidad constante. Los
rieles están conectados en uno de sus extremos por una resistencia R, como muestra
la figura 4.33, y un campo magnético uniforme de 352 [T ] está dirigido hacia dentro
de la página. Suponiendo que R = 8� 6 [Ω] y L = 120 [��], ¿con qué velocidad debería
moverse la barra para producir una intensidad de corriente de 0� 5[A] en la resistencia?.
Figura 4.33: (Problema 10).
Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
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11. Dos rieles conductores forman un ángulo θ en donde se unen sus extremos. Una barra
conductora en contacto con los rieles y formando un triángulo isósceles con ellos
empieza a moverse en el vértice en el instante � = 0 y se mueve a rapidez contante ν
hacia la derecha, como muestra la figura 4.34. Un campo magnético uniforme B apunta
hacia fuera de la página. Encuentre la fem inducida como función del tiempo.
Figura 4.34: (Problema 11).
12. Una espira rectangular de área A y resistencia R se coloca en una región donde el
campo magnético es perpendicular al plano de la bobina. La magnitud del campo varía
como función del tiempo de acuerdo a la expresión B = B0 exp −�/τ, donde B0 y τ son
constantes positivas. El campo tiene una magnitud de B0 para � ≤ 0.
(a) Encuentre la magnitud y dirección de la intensidad de corriente inducida en la
espira.
(b) Obtenga el valor numérico de la intensidad de corriente para � = 4 [�] cuando
A = 0� 45 [�2 ], R = 0� 4 [Ω], B0 = 659 [�T ] y � = 5 [�].
13. En un campo magnético uniforme B se deja caer una espira rectangular de masa 200[�],
resistencia 1 [Ω] y dimensiones 50 [��] de base y 2 [�] de altura. Note que las partes
de los lados verticales dentro del campo son de igual longitud. La espira se acelera
hasta alcanzar su velocidad terminal 3 [�/�] (velocidad constante). Calcule la magnitud
de B.
14. Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobina rectangular de
50 [��] por 20 [��], situada por completo dentro de un campo magnético uniforme de
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
magnitud 3� 5 [�T ]. Calcule el valor máximo de la fem inducida cuando gira la bobina
a razón de 1200 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicular al campo.
15. Un alambre conductor con una longitud de 60 [�] puede ser enrollado en N vueltas
cuadradas y usado como la armadura de un generador de C A de frecuencia 60 [H�].
Si se usa un campo magnético de 1� 23 [T ], ¿cuál debe ser la longitud del lado del
cuadrado de la armadura para generar una fem máxima de 155� 56 [V ]?.
16. Un alambre rígido doblado en forma semicircular de radio 4� 4 [��] gira con una
frecuencia de 120 [H�], dentro de un campo magnético uniforme de magnitud 2� 5 [T ],
como muestra la figura 4.35. Calcule el valor máximo de la fem inducida en el conductor.
Figura 4.35: (Problema 16).
17. Considere un inductor con núcleo de aire de una longitud de 28 [��] y 78� 54 [��2 ] de
área de sección transversal. ¿Cuántas vueltas por metro debe tener el inductor para
tener una inductancia de 77 [µH]?.
18. Una intensidad de corriente de 45 [�A] circula por un solenoide con núcleo de aire de
450 vueltas y 14 [�H]. Calcule el flujo magnético a través del solenoide.
19. Por un solenoide de 1� 53 [�H] pasa una intensidad de corriente que varía con el
tiempo de acuerdo a la expresión I(�) = (2� 3 − 5� 2 + 3� + 6)A, donde � está medido en
segundos.
(a) Calcule la magnitud de la fem inducida en � = 2 [�] y � = 4 [�].
(b) ¿Para qué valor del tiempo la fem será cero?.
Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
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20. Tres inductores de 400, 200 y 100 vueltas están conectados en serie y separados por
una gran distancia. Los tres inductores tienen el mismo radio (0� 5 [��]) y la misma
longitud (6 [��]). ¿Cuál es la inductancia equivalente de las 700 vueltas cuando los
inductores se conectan en serie?.
21. Dos inductores L1 y L2 están conectados en paralelo y separados por una gran
distancia. Calcule la inductancia equivalente.
22. Un toroide de sección transversal circular, con núcleo de aire, con N vueltas, radio
interior R y radio de la sección transversal �. Si R � �, el campo magnético
en el interior del toroide es básicamente igual al de un solenoide muy largo,
el cual ha sido doblado para formar un circulo de radio R. Utilizando el campo
uniforme de un solenoide largo, muestre que la autoinductancia del toroide está dada
(aproximadamente) por L = µ0 N 2 A/2πR.
23. Dos alambres paralelos largos, cada uno de radio �, cuyos centros están separados
por una distancia �, conducen corrientes iguales en dirección contraria. Despreciando
el flujo en los alambres mismo, calcule la inductancia de una longitud � de tal par de
alambres.
24. Un solenoide largo consta de N1 vueltas con un radio R1 . Un segundo solenoide,
con N2 vueltas de radio �2 , tiene la misma longitud que el primero y se encuentra
completamente dentro de este, con sus ejes coincidentes.
(a) Suponiendo que por el solenoide 1 circula una intensidad de corriente I, calcule
la inductancia mutua.
(b) Ahora suponga que por el solenoide 2 circula la misma intensidad de corriente I (y
no circula corriente por el solenoide 1). Calcule la inductancia mutua. ¿Se obtiene
el mismo resultado?.
25. Una intensidad de corriente de 5 [A] circula por un solenoide de 120 vueltas, 7 [��] de
largo y 1� 5 [��] de diámetro. Una espira de radio 4 [��] tiene su centro en el eje del
solenoide; el plano de la espira es perpendicular al eje del solenoide y pasa por el
centro de éste. Calcule la inductancia mutua de los dos, si el plano de la espira pasa
por el centro del solenoide.
26. Dos espiras de alambre circulares con centro común y que están en el mismo plano
tiene radios R y �, con R � �.
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
(a) Encuentre la inductancia mutua.
(b) Calcule la inductancia mutua para � = 1 [��] y R = 15 [��].
27. Considere un inductor de núcleo de aire de 5980 vueltas, 8 [��] de radio y 1� 2 [�] de
longitud. Por el solenoide circula una intensidad de corriente de 3� 43 [A]. Determine
la energía almacenada en el campo magnético.
28. Se tiene un solenoide con núcleo de aire de 1220 vueltas por metro perfectamente
enrollado. Encuentre la densidad de energía magnética cerca del centro si por el
solenoide circula una intensidad de corriente de 5 [A].
29. Un tramo de alambre de cobre recto de diámetro 2� 5 [��] consume una corriente
de 10 [A], distribuida uniformemente. Calcule la densidad de energía magnética a una
distancia de 5 [��] del eje del alambre.
30. En un circuito como se muestra en la figura 4.36, con una fem de 36 [V ], L = 5� 98 [H]
y R = 7 [Ω], el interruptor se cierra en � = 0.
(a) Calcule la rapidez con la cual se almacena energía en el inductor después de que
ha transcurrido un tiempo igual a dos veces la constante de tiempo del circuito.
(b) ¿Con qué rapidez se disipa energía en forma de calor por efecto Joule en la resistencia en este tiempo?.
(c) ¿Cual es la energía total almacenada en el inductor en este tiempo?.
Figura 4.36: (Problema 30).
31. Considere el circuito de la figura 4.37 con L = 104 [�H], R = 5� 98 [Ω], ε = 12 [V ].
Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
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(a) Si el interruptor se cierra en el punto � (conectando la batería), ¿cuánto tiempo
pasa antes de que la intensidad de corriente alcance los 130 [�A]?.
(b) ¿Cuál es la intensidad de corriente que circula por el inductor 0� 1 [�] después de
que éste se cierra?.
(c) Después de un tiempo considerablemente largo, el interruptor se mueve rápidamente de � a �. ¿Cuánto tiempo debe pasar antes de que la intensidad de corriente
disminuya a 250 [�A]?.
Figura 4.37: (Problema 31).
32. Vamos a usar la figura 4.36 con L = 5 [H], R = 6 [Ω], ε = 12 [V ].
(a) Si en � = 0 se cierra el interruptor, calcule el cociente de la diferencia de potencial a través del resistor a la del inductor cuando la intensidad de corriente en el
circuito es igual a 1� 5 [A].
(b) Calcule el voltaje a través del inductor cuando I = 2 [A].
33. Considere el circuito de la figura 4.38.
(a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en el circuito en un tiempo suficientemente
grande después de haber posicionado el interruptor en el punto A?.
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
(b) Ahora el interruptor se pasa rápido de A a B. Calcule el voltaje a través de cada
resistor y del inductor.
(c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el voltaje a través del inductor caiga a 12 [V ]?.
Calcule la inductancia.
Figura 4.38: (Problema 33).
34. Un circuito LC en serie, donde C = 5 [µF ], oscila a una frecuencia de 100 [H�]. Calcule
la inductancia.
35. Un circuito LC en serie, donde L = 119 [�H], C = 12� 5 [µF ], donde el capacitor tiene
una carga inicial de 150 [µC ].
(a) Encuentre la frecuencia (en Hz) de la oscilación resultante.
(b) En el instante � = 1 [��], encuentre la carga en el capacitor y la intensidad de
corriente en el circuito.
36. En un circuito LC circula una intensidad de corriente que oscila con un periodo T . Si
en � = 0 la carga en el capacitor es máxima, ¿en qué tiempo la energía almacenada
en el campo eléctrico del capacitor será igual a la energía almacenada en el campo
magnético del inductor? (Exprese su respuesta en fracciones de T ).
37. Un inductor de 12� 6 [�H] y un capacitor de 1� 15 [µF ] se conectan en serie con un
resistor. ¿Cuál es el valor máximo del resistor que permitirá al circuito continuar
oscilando?.
38. Considere un circuito RLC en serie que consta de un capacitor de 14� 4 [µF ], conectado
a un inductor de 36 [�H] y a un resistor R. Calcule la frecuencia de las oscilaciones
(en H�) para los siguientes valores de R:
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(a) R = 0 [Ω] (sin amortiguamiento).
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(b) R = 20 [Ω] (bajo amortiguamiento).
(c) R = 100 [Ω] (amortiguamiento critico).
(d) R = 200 [Ω] (sobre amortiguamiento).
39. Un inductor tiene una reactancia de 45� 2 [Ω] a 50 [H�]. ¿Cuál será la corriente Peak si
el inductor se conecta a una fuente de 60 [H�] que entrega un voltaje de 100 [V ]?.
40. Un inductor de 452 [�H] se conecta a un generador de corriente alterna que tiene un
voltaje Peak de 120 [V ].
(a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia del generador para que la reactancia del inductor
sea igual a 38 [Ω]?.
(b) Calcule el valor Peak de la corriente en el circuito a esta frecuencia.
41. La reactancia de un capacitor de 25 [µF ] tiene que ser menor que 377 [Ω].
(a) ¿Cuál es el rango de frecuencias para lograr esto?.
(b) Dentro de este rango de frecuencias, ¿cuál sera la reactancia de un capacitor de
35 [µF ]?.
42. Un circuito de corriente alterna puramente capacitivo con C = 27[µF ], V (�) = V� sin ω�
con V� = 91� 3 [V ], � = 100 [H�], ¿cuál es la intensidad de corriente instantánea en el
circuito a � = 0� 0004 [�]?.
43. Un circuito RLC en serie tiene R = 51� 2 [Ω], L = 980 [�H], C = 1� 93 [µF ] y un
generador con V� = 313 [V ] que opera a 60 [H�].
(a) Calcule la reactancia inductiva.
(b) Calcule la reactancia capacitiva.
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
(c) Calcule la impedancia total del circuito.
(d) Calcule la corriente Peak.
(e) Calcule el ángulo de fase.
44. Un inductor de 19� 3 [�H] y un resistor de 7� 47 [Ω] se conectan en serie a una fuente
de corriente alterna de frecuencia variable. ¿A qué frecuencia el voltaje a través de la
bobina se adelantará a la corriente en 60◦ ?.
45. Un circuito RLC en serie tiene R = 512 [Ω], L = 193 [�H], C = 19� 3 [µF ], con un
generador de corriente alterna a 70 [H�] que entrega al circuito una corriente Peak de
313 [�A].
(a) Calcule el voltaje Peak requerido Vm.
(b) Determine el ángulo con el cual la corriente en el circuito se adelanta o atrasa
respecto al voltaje aplicado.
46. Un circuito de corriente alterna conectado en serie tiene una resistencia R, un inductor
L, un capacitor C y un generador V (�) = V� cos(ω�) que opera a una frecuencia ω.
(a) Usando Ley de Kirchhoff, demuestre que la impedancia total del circuito está dada
por
�
�
1
Z̄ = Z exp �φ = R + � ωL −
�
(4.231)
ωC
(b) Grafique en el plano complejo la impedancia, especificando R, χL, χC , Z , φ.
(c) Defina el factor de calidad de la frecuencia de resonancia. Demuestre que si
√
tomamos valores de ω para los cuales la corriente máxima cae a 1/ 2 de su
valor máximo, entonces


∆ω
ω − ω0
1  1 
≡
=±
(4.232)
ω0
ω0
Q 1 + ω0
ω
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47. Calcule la potencia promedio entregada al circuito RLC en serie descrito en el
problema 43.
48. Un inductor de 17� 2 [�H], un capacitor de 6� 23 [µF ], un resistor de 45� 2 [Ω] y un
generador cuya salida está dada por V (�) = 31� 4 sin(350�) [V ] se colocan en serie.
(a) Encuentre la potencia promedio entregada al circuito por la fuente de poder.
(b) Encuentre la potencia promedio disipada por la resistencia.
49. En un circuito RLC en serie, C = 122 [µF ] y L = 193 [�H]. Calcule su frecuencia de
resonancia.
50. Para sintonizar una estación de radio F M que transmite a 97� 7 [MH�] se utiliza un
circuito RLC en serie. El resistor en este circuito es de 8� 2 [Ω] y el inductor es de
1� 2 [�H]. ¿Qué capacitancia debemos utilizar?.
51. Un resistor de 75 [Ω], un inductor de 120 [�H] y un capacitor de 15 [µF ] se conectan en
serie con un generador de corriente alterna de voltaje máximo 120 [V ] y de frecuencia
variable.
(a) Calcule la frecuencia de resonancia del circuito.
(b) Calcule el factor de calidad del circuito.
52. Un generador suministra 150 [V ] (efectivos) al enrollado primario de un transformador
ideal de 282 vueltas. El enrollado secundario tiene 920 vueltas. ¿Cuál es el voltaje
efectivo de salida?.
53. Considere un transformador ideal con N1 y N2 vueltas en el primario y en el secundario,
respectivamente. Demuestre que un transformador de subida (uno con N2 > N1 ) reduce
la corriente a la salida en un factor N1 /N2 .
54. Un transformador ideal de subida tiene un voltaje a través del secundario de 330 [V ]
(efectivos) cuando el voltaje de entrada es de 100 [V ] (efectivos).
(a) Si la bobina del primario tiene 100 vueltas, ¿cuántas vueltas tiene el secundario?.
(b) Si una resistencia de carga a través del secundario consume una corriente de 10[A],
¿cuál debe ser la corriente en el primario?.
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Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
55. En el circuito RC de la figura 4.39 con R = 282 [Ω] y C = 6 [µF ] calcule el cociente
entre Vsalida /Ventrada para:
(a) ω = 30 [���/�].
(b) ω = 3 × 106 [���/�].
Figura 4.39: (Problema 55).
56. Considere el circuito de la figura 4.40. Encuentre Vsalida /Ventrada si el voltaje de salida
se toma entre los puntos:
(a) � y �.
(b) � y �.
(c) � y �.
Figura 4.40: (Problema 56).
Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.
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57. Demuestre que dos filtros RC consecutivos con los mismos valores de R y C como se
muestra en la figura 4.41 entregan la siguiente ganancia:
Vsalida
1
=
Ventrada
1 + (RC ω)2
(4.233)
Figura 4.41: (Problema 57).
58. El fragmento de circuito que se muestra en la figura 4.42 se conoce como divisor de
voltaje.
(a) Si Rload no está conectado al circuito muestre que
�
�
R2
V��� = V
R1 + R2
(4.234)
(b) Si R1 = R2 = 10 [�Ω], ¿cuál es el menor valor de R���� que puede ser usado de
manera que el voltaje de salida V��� disminuya menos que un 10 % de su valor sin
R���� ? (V��� es medido con respecto a tierra).
Figura 4.42: (Problema 58).
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