ensayo2__andrea - ANDREA - UTPL

UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE
LOJA
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
ENSAYO N°2
DOCENTE: Ing. Patricio Puchaicela
ALUMNA: Andrea C. Puchaicela G.
CURSO: 4to. Ciclo de Electrónica y Telecomunicaciones
AÑO LECTIVO:
2008-2009
CAPITULO 2
ALGUNAS LEYES DE PROBABILIDAD
Introducción
Existen algunas leyes que son fundamentales para el estudio de la probabilidad y por
ende útiles en la resolución de problemas relacionados con la misma.
Marco Teórico
2.1 Axiomas de probabilidad
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.
P(S) = 1
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos,
disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:
.
Regla general de la adición: Si A y B son dos eventos que no son
mutuamente excluyentes, P(A
B) se calcula con la siguiente fórmula:
P (A
B) = P (A) + P (B) - P (A
B)
Ejemplo:
En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un MP4, 200 dijeron tener
un celular y 100 dijeron tener ambos:
Si un estudiante cualquiera es seleccionado, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga un MP4 o un celular?
• Primero calculamos la probabilidad de que tenga sólo un MP4, sólo un
celular y uno de cada uno?
P (M) = 320 /500 = 0.64
P(C) = 200 /500 = 0.40
P (M C) = 100 /500 = 0.20
• Y luego la probabilidad de que tenga uno de los dos objetos:
P(S
2.2
T) = P(S) + P (T) - P(S T)
= 0.64 +0.35 - 0.20 = 0.79
Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que
otro ya ocurrió. El operador de la probabilidad condicional es el signo |.
Ejemplo:
Queremos extraer aleatoriamente dos canicas de una bolsa que contiene 5
canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda
canica extraída sea roja, si la primera lo fue?
•
Cuando extraemos la primer canica, en la bolsa hay 5 canicas rojas de un
total de 10, por lo que la probabilidad es:
P(A) =
•
5
= 0.5
10
Al extraer la segunda canica, en la bolsa hay 4 canicas rojas de un total de 9,
por lo que la probabilidad condicional de que la segunda sea roja dado que la
primera fue roja es:
P(B|A) =
2.3
4
9
= 0.44
Independencia y la Regla de la Multiplicación
Eventos independientes: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia
de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro. La regla especial se
escribe: P(A y B) = P(A) * P (B).
Ejemplo:
Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que
el inventario A aumente su valor el próximo año es 0 .5. La probabilidad de que
el B aumente el suyo es 0.7.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?
P (A B) = (0.5) (0.7) = 0.35
Regla de la multiplicación: La regla general de multiplicación se utiliza para
determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos. Si tenemos dos
eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra
multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado
que A ya ocurrió.
La probabilidad conjunta, P(A
P(A
B) es:
B) = P (B) * P (A|B)
Ejemplo:
Un departamento de la UTPL está compuesto por 8 hombres y 4 mujeres, de
entre ellos se va elegir al nuevo jefe del departamento, para lo cual se
entrevistará a dos de ellos. Si todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.
¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas entrevistadas sean mujeres?
A = {“el primer entrevistado es mujer”}
B = {“el segundo entrevistado es mujer”}
La probabilidad de que suceda el evento A= {“el primer entrevistado es mujer”}
es:
4
P(A) = = 0.33
12
La probabilidad de que suceda el evento B = {“el segundo entrevistado es
mujer”} dado que ya sucedió A, y solo hay tres mujeres de 11 elementos:
P(B|A) =
3
11
= 0.27
La probabilidad de que los dos eventos ocurran es:
P(A
2.4
B) = P(A) P (B|A) = (0.33) (0.27) = 0.089
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes trata de determinar la probabilidad de las causas a partir de
los efectos que han podido ser observados.
La fórmula del teorema de Bayes es:
P(A1|B) =
P(A1)P(B|A1)
P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)
Ejemplo:
Don Pepe tiene una tienda, en el trabajan 3 cajeras, Andrea, Diana y Liliana.
Andrea realiza el 50% de los cobros, Diana el 30% y Liliana el 20%. Cuando
cobra Andrea hay un 1% de probabilidad de que lo haga mal, cuando lo hace
Diana hay un 2% de que cobre mal, y si cobra Liliana hay un 3% de
probabilidad de que se equivoque.
Un cliente se quejó con Don Pepe porque le cobraron mal. ¿Cuál es la
probabilidad de que el mal cobro lo hizo Andrea?
Los eventos son:
M = {se hizo un mal cobro}
A= {el cobro fue hecho por Andrea}
D= {el cobro fue hecho por Diana}
L= {el cobro fue hecho por Liliana}
De los eventos obtenemos las siguientes probabilidades:
P (A)=0.5
P (D)=0.3
P (L)=0.2
P (M|A)=0.01
P (M|D)=0.02
P (M|L)=0.03
Utilizamos el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que el cobro lo
hizo Andrea dado que fue un mal cobro:
P(A|M) =
P(A)P(M|A)
P(A)P(M|A) + P(D)P(M|D) + P(L)P(M|L)
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A|M) =
(0.5)(0.01)
(0.5)(0.01)+(0.3)(0.02)+(0.2)(0.03)
=
0.005
0.005+0.006+0 .006
=0.2941
Conclusiones:
Debemos tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas para el cálculo de
probabilidades de una manera más sencilla.
Los Axiomas de Probabilidad son las condiciones mínimas, las cuales deben
verificarse para que una función que definimos sobre un suceso o fenómeno,
determine los valores exactos de probabilidad sobre dichos sucesos.