CORRECCI´ON DEL PRIMER PARCIAL DE ´ALGEBRA LINEAL 1

CORRECCIÓN DEL PRIMER PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL 1. AÑO 2009
CENTRO DE MATEMÁTICA. FACULTAD DE CIENCIAS
(1) (a) W = {(an ) ∈ V : limn an = 0} es un subespacio vectorial de V porque una combinación lineal de sucesiones con lı́mite 0 tiene lı́mite 0. Además es no vacı́o porque existen sucesiones con lı́mite 0; por ejemplo
el 0 de V .
(b) W = {(an ) ∈ V :6 ∃ limn an } ∪ {0} no es un subespacio vectorial ya que las sucesiones (1 + (−1)2n ) y
(1 + (−1)2n+1 ) no tienen lı́mite pero su suma es la sucesión constante (1) que no pertenece a W ya que
tiene lı́mite 1.
(c) W = {(an ) ∈ V : limn |an | = ∞} ∪ {0} no es un subespacio vectorial porque (1 + n) y (1 + (−n)) tienen
en valor absoluto lı́mite ∞ pero su suma es la sucesión constante (1).
(2) (a) Por definición se debe probar las propiedades
• idéntica: ∀x[x≡x]. Cierto, ya que x − x = 0 que es múltiplo de cualquier n.
• simétrica: ∀xy[x≡y → y≡x]. Cierto, ya que si x − y es múltiplo de n, y − x también.
• transitiva: ∀xyz[(x≡y ∧ y≡z) → x≡z]. Cierto, ya que si x − y e y − z son múltiplos de n, entonces
x − z = (x − y) + (y − z) también.
(b) Si x1 − x2 e y1 − y2 son múltiplos de n, entonces su suma (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) también lo es.
(3) (a) Si A = P BP −1 , entonces det(A) = det(P ) det(B) det(P −1 ) = det(P ) det(P −1 ) det(B) = det(id) det(B) =
det(B), justificando la segunda igualdad en que el producto del cuerpo es conmutativo. Observe que el
producto de matrices no es conmutativo y por lo tanto si se concluye A = P P −1 B = B, el razonamiento
está mal.
(b) Si A y D son semejantes, por la parte anterior det(A) = det(D). Además, el determinante de una matriz
i=n
diagonal es el producto de las entradas de la diagonal, es decir Πi=n
i=1 dii . Luego, det(A) = Πi=1 dii .
N
N
N
N
(4) (a) |Q | ≥ |2 | = |R| ya que |Q| ≥ 2. Por otra parte, |Q | = |N | ya que Q es numerable. Como las
sucesiones de naturales son algunos de los subconjuntos de N × N (los que son funciones), entonces
|NN | ≤ |2N×N | = |2N | = |R|, justificando la penúltima igualdad en que N × N es numerable.
(b) Las sucesiones de racionales que se anulan seguramente a partir de p son cordinables con Qp (son p-uplas
de racionales completadas con ceros). Como Q es numerable, entonces |Qp | = |Np | = |N|. Por otra parte,
Q<N es la unión en p de las sucesiones que se anulan seguramente a partir de p. En consecuencia, es una
unión numerable de conjuntos numerables y por lo tanto es numerable (teorema visto en el curso).
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