3.3 Raíces reales múltiples de D(s)
Para hallar los coeficientes asociados a los términos generados por una raíz múltiple de multiplicidad σ, se multiplican ambos lados de
la identidad por la raíz múltiple elevada a la σ–ésima potencia. La K que aparece sobre el factor elevado a la σ–ésima potencia se
determina calculando ambos lados de la identidad en la raíz múltiple. Para encontrar los (σ-1) coeficientes restantes, se diferencian
ambos lados de la identidad (σ-1) veces. Al final de cada diferenciación se calculan ambos lados de la identidad en la raíz múltiple. El
lado derecho de la identidad siempre es la K deseada y el lado izquierdo siempre es su valor numérico. Por ejemplo:
F (s) =
K3
K
K
K4
180(s + 30 )
= 1+ 2 +
+
2
s s + 5 (s + 3)2 (s + 3)
s(s + 5)(s + 3)
Se hallan K1 y K2 como se describió antes, es decir:
K1 =
K2 =
180(s + 30 )
(s + 5)(s + 3)2
=
s=0
180(30 )
= 120
5⋅9
180(s + 30 )
180(25)
=
= −225
2
s (s + 3) s = −5 (− 5) ⋅ 4
Para hallar K3 se multiplican los dos lados por (s + 3)2 y luego se calculan ambos lados en s=-3.
180(s + 30 )
K (s + 3)
= 1
s (s + 5) s = −3
s
2
K3 =
K 2 (s + 3)
s+5
2
+
s = −3
+ K 3 + K 4 (s + 3) s = −3
s = −3
180(27 )
= −810
(− 3)(2)
Para encontrar K4 primero hay que multiplicar por (s + 3)2 ambos lados de la igualdad. Después se deriva ambos lados una vez con
respecto a s y se calcula en s=-3.
2
2
d 180(s + 30 )
d K (s + 3)
d K (s + 3)
d
d
= 1
+ 2
+ [K 3 ]s = −3 + [K 4 (s + 3)]s = −3
ds s(s + 5) s = −3 ds
s
ds
s
5
ds
ds
+
s = −3
s = −3
tenemos:
s(s + 5) − (s + 30 )(2 s + 5)
= 105
K 4 = 180
2
s 2 (s + 5)
s = −3
luego:
180(s + 30 )
120 225
810
105
=
−
−
+
2
s
s + 5 (s + 3)2 (s + 3)
s(s + 5)(s + 3)
y la transformada inversa:
180(s + 30)
f (t ) = ! −1
= 120 − 225e − 5t − 810te − 3t + 105e − 3t
2
s (s + 5)(s + 3)
(Hacer os ejercicios 16.14 y 16.22)
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