3.3 Raíces reales múltiples de D(s) Para hallar los coeficientes asociados a los términos generados por una raíz múltiple de multiplicidad σ, se multiplican ambos lados de la identidad por la raíz múltiple elevada a la σ–ésima potencia. La K que aparece sobre el factor elevado a la σ–ésima potencia se determina calculando ambos lados de la identidad en la raíz múltiple. Para encontrar los (σ-1) coeficientes restantes, se diferencian ambos lados de la identidad (σ-1) veces. Al final de cada diferenciación se calculan ambos lados de la identidad en la raíz múltiple. El lado derecho de la identidad siempre es la K deseada y el lado izquierdo siempre es su valor numérico. Por ejemplo: F (s) = K3 K K K4 180(s + 30 ) = 1+ 2 + + 2 s s + 5 (s + 3)2 (s + 3) s(s + 5)(s + 3) Se hallan K1 y K2 como se describió antes, es decir: K1 = K2 = 180(s + 30 ) (s + 5)(s + 3)2 = s=0 180(30 ) = 120 5⋅9 180(s + 30 ) 180(25) = = −225 2 s (s + 3) s = −5 (− 5) ⋅ 4 Para hallar K3 se multiplican los dos lados por (s + 3)2 y luego se calculan ambos lados en s=-3. 180(s + 30 ) K (s + 3) = 1 s (s + 5) s = −3 s 2 K3 = K 2 (s + 3) s+5 2 + s = −3 + K 3 + K 4 (s + 3) s = −3 s = −3 180(27 ) = −810 (− 3)(2) Para encontrar K4 primero hay que multiplicar por (s + 3)2 ambos lados de la igualdad. Después se deriva ambos lados una vez con respecto a s y se calcula en s=-3. 2 2 d 180(s + 30 ) d K (s + 3) d K (s + 3) d d = 1 + 2 + [K 3 ]s = −3 + [K 4 (s + 3)]s = −3 ds s(s + 5) s = −3 ds s ds s 5 ds ds + s = −3 s = −3 tenemos: s(s + 5) − (s + 30 )(2 s + 5) = 105 K 4 = 180 2 s 2 (s + 5) s = −3 luego: 180(s + 30 ) 120 225 810 105 = − − + 2 s s + 5 (s + 3)2 (s + 3) s(s + 5)(s + 3) y la transformada inversa: 180(s + 30) f (t ) = ! −1 = 120 − 225e − 5t − 810te − 3t + 105e − 3t 2 s (s + 5)(s + 3) (Hacer os ejercicios 16.14 y 16.22)