Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional

Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Computación / Matemáticas
MA2006
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
El concepto de la probabilidad condicional
Imagine la probabilidad de que un hombre presente cáncer
pulmonar antes de los 70 años.
Imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer
pulmonar antes de los 70 años, dado que fuma.
Imagine la probabilidad de que tal hombre presente cáncer
pulmonar antes de los 70 años, dado que fuma y que su padre
fumaba y tuvo cáncer pulmonar antes de los 70 años.
Por otro lado, imagine la probabilidad de que tal hombre presente
cáncer pulmonar antes de los 70 años dado que tal hombre nunca
ha fumado y hace deporte 4 dı́as de la semana.
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional
Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B) > 0, la probabilidad
condicional de A dado que (cuando) B ha ocurrido se define como:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B ∩ A)
=
P(B)
P(B)
de donde
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Suponga que P(X ) = 0.2, P(Y ) = 0.3 y que P(X ∩ Y ) = 0.1.
Determine
1) P(Y |X )
2) P(X 0 |Y )
3) P(Y |X 0 )
4) P(Y 0 |X 0 )
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Supóngase que de todos los individuos que compran cierta cámara
digital, 60% incluyen una tarjeta de memoria opcional en su
compra, 40% incluyen una baterı́a extra y 30% incluyen tanto una
tarjeta como una baterı́a. Considere seleccionar al azar un
comprador y sea A = {tarjeta de memoria adquirida} y B =
{baterı́a adquirida}. Entonces, P(A) = 0.60, P(B) = 0.40 y
P(ambas adquiridas) = P(A ∩ B) = 0.30. Obtenga y verbalice las
probabilidades condicionales
1
P(A|B)
2
P(B|A)
3
P(A0 |B)
4
P(B 0 |A)
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Considere el experimento de seleccionar al azar un estudiante en cierta
universidad y que A represente el evento en que el individuo seleccionado
tenga una tarjeta de crédito Visa y que B represente el evento análogo
para la tarjeta de crédito AMEX. Suponga que
P(A) = 0.2
P(B) = 0.19
P(A ∩ B) = 0.14
Determine la probabilidad de que un estudiante elegido al azar. . .
1) tenga Visa dado que no tiene AMEX.
2) tenga AMEX dado que tiene al menos una de las tarjetas.
3) no tenga AMEX dado que tiene al menos una de las tarjetas.
4) tenga AMEX dado que no tiene Visa.
5) no tenga Visa dado que tiene al menos una de las tarjetas.
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
Defina
Ri el evento donde la bola i es roja
Bi el evento donde la bola i es azul
15 , P(R |R ) = 24 , P(R |B ) = 25 y P(B |B ) = 14 .
Ası́ P(R1 ) = 25
, P(B1 ) = 40
2 1
2 1
2 1
40
39
39
39
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
P(R1 ∩ R2 ) = P(R2 |R1 ) · P(R1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
Defina
Ri el evento donde la bola i es roja
Bi el evento donde la bola i es azul
15 , P(R |R ) = 24 , P(R |B ) = 25 y P(B |B ) = 14 .
Ası́ P(R1 ) = 25
, P(B1 ) = 40
2 1
2 1
2 1
40
39
39
39
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
P(R1 ∩ R2 ) = P(R2 |R1 ) · P(R1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
P(B1 ∩ R2 ) = P(R2 |B1 ) · P(B1 ) =
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
Defina
Ri el evento donde la bola i es roja
Bi el evento donde la bola i es azul
15 , P(R |R ) = 24 , P(R |B ) = 25 y P(B |B ) = 14 .
Ası́ P(R1 ) = 25
, P(B1 ) = 40
2 1
2 1
2 1
40
39
39
39
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
P(R1 ∩ R2 ) = P(R2 |R1 ) · P(R1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
P(B1 ∩ R2 ) = P(R2 |B1 ) · P(B1 ) =
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
Use R2 = (B1 ∩ R2 ) ∪ (R1 ∩ R2 ) y que (B1 ∩ R2 ) y (R1 ∩ R2 ) son mutumente excluyentes pues
B1 ∩ R1 = ∅:
P(R2 ) = P(B1 ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 )
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
Defina
Ri el evento donde la bola i es roja
Bi el evento donde la bola i es azul
15 , P(R |R ) = 24 , P(R |B ) = 25 y P(B |B ) = 14 .
Ası́ P(R1 ) = 25
, P(B1 ) = 40
2 1
2 1
2 1
40
39
39
39
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una urna contiene 25 bolas rojas y 15 bolas azules. Dos bolas son
seleccionadas al azar, una después de otra y sin reemplazo.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
P(R1 ∩ R2 ) = P(R2 |R1 ) · P(R1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja dado
que la primera es azul?
P(B1 ∩ R2 ) = P(R2 |B1 ) · P(B1 ) =
3
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
Use R2 = (B1 ∩ R2 ) ∪ (R1 ∩ R2 ) y que (B1 ∩ R2 ) y (R1 ∩ R2 ) son mutumente excluyentes pues
B1 ∩ R1 = ∅:
P(R2 ) = P(B1 ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 )
4
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola sea roja?
P(R1 ∪ R2 ) = P(R1 ) + P(R2 ) − P(R1 ∩ R2 ) =
Defina
Ri el evento donde la bola i es roja
Bi el evento donde la bola i es azul
15 , P(R |R ) = 24 , P(R |B ) = 25 y P(B |B ) = 14 .
Ası́ P(R1 ) = 25
, P(B1 ) = 40
2 1
2 1
2 1
40
39
39
39
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7
hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los
nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno
después de otro.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres?
2
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
3
¿Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer?
Defina Wi el evento en el cual se escoge una mujer en la selección
i; Mi el evento en e cual se escoge hombre en la selección i
(i = 1, 2).
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7
hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los
nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno
después de otro.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres?
2
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
3
¿Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer?
Defina Wi el evento en el cual se escoge una mujer en la selección
i; Mi el evento en e cual se escoge hombre en la selección i
(i = 1, 2).
3
7
Ası́ P(W1 ) = 10
, P(M1 ) = 10
, P(W2 |W1 ) = 29 , P(W2 |M1 ) = 39 ,
6
P(M2 |M1 ) = 9 , P(M2 |W1 ) = 79
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7
hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los
nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno
después de otro.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres?
P(W2 ∩ W1 ) = P(W2 |W1 ) · P(W1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
3
¿Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer?
Defina Wi el evento en el cual se escoge una mujer en la selección
i; Mi el evento en e cual se escoge hombre en la selección i
(i = 1, 2).
3
7
Ası́ P(W1 ) = 10
, P(M1 ) = 10
, P(W2 |W1 ) = 29 , P(W2 |M1 ) = 39 ,
6
P(M2 |M1 ) = 9 , P(M2 |W1 ) = 79
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7
hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los
nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno
después de otro.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres?
P(W2 ∩ W1 ) = P(W2 |W1 ) · P(W1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
P(M2 ∩ M1 ) = P(M2 |M1 ) · P(M1 ) =
3
¿Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer?
Defina Wi el evento en el cual se escoge una mujer en la selección
i; Mi el evento en e cual se escoge hombre en la selección i
(i = 1, 2).
7
3
, P(M1 ) = 10
, P(W2 |W1 ) = 29 , P(W2 |M1 ) = 39 ,
Ası́ P(W1 ) = 10
P(M2 |M1 ) = 96 , P(M2 |W1 ) = 79
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Un grupo de 10 semifinalistas para un trabajo consiste de 7
hombres y tres mujeres. Como todos son igualmente calificados los
nombres de los dos finalistas son seleccionados al azar, uno
después de otro.
1
¿Cuál es la probabilidad de que ambos finalistas sean mujeres?
P(W2 ∩ W1 ) = P(W2 |W1 ) · P(W1 ) =
2
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
P(M2 ∩ M1 ) = P(M2 |M1 ) · P(M1 ) =
3
¿Cuál es la probabilidad de que sean hombre y mujer?
P(M2 ∩ W1 ∪ W2 ∩ M1 )
Defina Wi el evento en el cual se escoge una mujer en la selección
i; Mi el evento en e cual se escoge hombre en la selección i
(i = 1, 2).
7
3
, P(M1 ) = 10
, P(W2 |W1 ) = 29 , P(W2 |M1 ) = 39 ,
Ası́ P(W1 ) = 10
P(M2 |M1 ) = 96 , P(M2 |W1 ) = 79
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Regla del Producto para más Experimentos
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A3 |A1 ∩ A2 ) · P(A1 ∩ A2 )
= P(A3 |A1 ∩ A2 ) · P(A2 |A1 ) · P(A1 )
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ley de la Probabilidad Total
Sean A1 , A2 ,. . . ,Ak eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos. Entonces para cualquier otro evento B:
P(B) = P(B|A1 ) · P(A1 ) + · · · + P(B|Ak ) · P(Ak )
Pk
=
i=1 P(B|Ai ) · P(Ai )
¿exhaustivos?: Cuya unión es el espacio muestra
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak = S
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Teorema de Bayes
Sean A1 , A2 ,. . . ,Ak eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos
con probabilidades P(Ai ). Entonces para cualquier otro evento B
para el cual P(B) > 0 y para cada j = 1, 2 . . . , k:
P(Aj |B) =
P(B|Aj ) · P(Aj )
P(Aj ∩ B)
= Pk
P(B)
i=1 P(B|Ai ) · P(Ai )
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Considere una prueba médica referente a una enfermedad que
tienen 4 personas de cada 1000. Suponga que el porcentaje de
falsos positivos de la prueba médica (casos donde la prueba indica
que sı́ se tiene la enfermedad cuando realmente no se tiene) es 2
por ciento y que el porcentaje de falsos negativos (casos donde la
prueba indica que no se tiene la enfermedad cuando realmente sı́
se tiene) es 5 por ciento.
1) Determina la probabilidad de que una persona seleccionada al
azar tenga la enfermedad cuando la prueba indica que la
tiene.
2) Determina la probabilidad de que una persona seleccionada al
azar no tenga la enfermendad cuando la prueba indica que no
la tiene.
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Eventos y datos: considerando una persona al azar en la
población:
A1 = la persona sale positiva en la prueba, A2 = A01
B1 = la persona efectivamente tiene la enfermedad, B2 = B10
P(B1 ) = 4/1000 → P(B2 ) = 1 − P(B1 ) = 996/1000
Falsos positivos P(A1 |B2 ) = 2/100 → P(A2 |B2 ) = 1 − P(A1 |B2 ) = 98/100
Falsos negativos P(A2 |B1 ) = 5/100 → P(A1 |B1 ) = 1 − P(A2 |B1 ) = 95/100
Piden:
1)
P(B1 |A1 )
=
P(A1 |B1 )·P(B1 )
P(A1 |B1 )·P(B1 )+P(A1 |B2 )·P(B2 )
P(B2 |A2 )
=
P(A2 |B2 )·P(B2 )
P(A2 |B1 )·P(B1 )+P(A2 |B2 )·P(B2 )
2)
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Ejemplo
Suponga que una urna contiene 5 bolitas rojas y 6 bolitas blancas
y que una segunda urna contiene 7 bolitas rojas y 5 bolitas
blancas. Una bolita se selecciona primero escogiendo una urna al
azar y después escogiendo una bolita de esa urna. Si la bolita
saliente es roja, indique la probabilidad de que tal bolita haya sido
sacada de la primera urna.
Evento: A la bola seleccionada es roja
Evento: B1 la bola seleccionada salió de la urna 1
Evento: B2 la bola seleccionada salió de la urna 2
P(A|B1 ) =
P(B1 ) =
P(A|B2 ) =
P(B2 ) =
P(A ∩ B1 ) =
P(A ∩ B2 ) =
P(A) =
P(B1 |A) =
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Sólo 1 de cada 1000 adultos padece de una enfermedad rara para
la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal
que cuando se aplica a un individuo que realmente tiene la
enfermedad un resultado positivo en la prueba se presentará en
99% de las veces, mientras que cuando se aplica a un individuo sin
la enfermedad el examen será positivo el 2% de las veces. Si se
somente un individuo de la población al azar y el resultado es
positivo, ¿cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Sólo 1 de cada 1000 adultos padece de una enfermedad rara para
la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La prueba es tal
que cuando se aplica a un individuo que realmente tiene la
enfermedad un resultado positivo en la prueba se presentará en
99% de las veces, mientras que cuando se aplica a un individuo sin
la enfermedad el examen será positivo el 2% de las veces. Si se
somente un individuo de la población al azar y el resultado es
positivo, ¿cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
Sea
A1 = {el individuo sı́ tiene la enfermedad}
A2 = A01 = {el individuo no tiene la enfermedad}
B = {el individuo da positivo en el diagnóstico},
entonces
P(A1 ) = 0.001
P(A2 ) = 1 − P(A1 ) = 0.999
P(B|A1 ) = 0.99
P(B|A2 ) = 0.02
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de
sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado
antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos. Suponga
que sólo se desea el tipo 0+ y sólo uno de los cuatro tiene ese
tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan en orden aleatorio
para determinar su tipo de sangre, ¿cuál es la probabilidad de que
por los menos tres individuos tengan que ser examinados para
deteminar su tipo de sangre y obtener el tipo deseado?
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de
sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado
antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos. Suponga
que sólo se desea el tipo 0+ y sólo uno de los cuatro tiene ese
tipo. Si los donadores potenciales se seleccionan en orden aleatorio
para determinar su tipo de sangre, ¿cuál es la probabilidad de que
por los menos tres individuos tengan que ser examinados para
deteminar su tipo de sangre y obtener el tipo deseado?
Si A={primero no O+}, B={segundo no 0+}, C = {por lo menos tres
fueron examinados}
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional
Una cadena de tiendas de video vende tres marcas diferentes de
reproductores de DVD. De sus ventas de reproductores de DVD,
50% son de la marca 1 (la menos cara), 30% son de la marca 2 y
20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece 1 año de garantı́a
en las partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los
reproductores de DVD de la marca 1 requieren trabajo de
reparación dentro del periodo de garantı́a, mientras que los
porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%,
respectivamente.
¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al
azar haya adquirido un reproductor de DVD marca 1 que
necesitará reparación mientras se encuentra dentro de
garantı́a?
¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al
azar haya comprado un reproductor de DVD que necesitará
reparación mientras se encuentra dentro de garantı́a.
Si un cliente regresa a la tienda con un reproductor de DVD
que necesita reparación dentro de garantı́a, ¿cuál es la
probabilidad de que sea un reproductor de DVD marca 1?
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Probabilidad Condicional