k-cores - Grupo de Redes complejas y comunicación de datos

Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Analizando Sistemas Complejos mediante
la descomposición en k -núcleos (k -cores)
J. Ignacio Alvarez-Hamelin∗
∗ CONICET
y Facultad de Ingeniería UBA.
http://cnet.fi.uba.ar
Instituto Balseiro :: 11 de junio del 2008
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
Analizando Sistemas Complejos con k -núcleos
Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
Analizando Sistemas Complejos con k -núcleos
Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
k -arista-conectividad y k -núcleos
Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Definición
Dado un grafo no dirigido G = {V , E}, donde V y E son los
conjuntos de los nodos y los ejes, respectivamente.
Definición [Seidman 1983 ; Wasserman and Faust 1994] :
Un subgrafo H = (C, E|C) inducido por el conjunto C ⊆ V es
un k -núcleo o un núcleo de orden k sii ∀v ∈ C : (g(v ) ≥ k )H , y
H es el máximo subgrafo con esta propiedad.
Entonces, un grado mínimo k es impuesto al núcleo de
orden k .
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Definición
Dado un grafo no dirigido G = {V , E}, donde V y E son los
conjuntos de los nodos y los ejes, respectivamente.
Definición [Seidman 1983 ; Wasserman and Faust 1994] :
Un subgrafo H = (C, E|C) inducido por el conjunto C ⊆ V es
un k -núcleo o un núcleo de orden k sii ∀v ∈ C : (g(v ) ≥ k )H , y
H es el máximo subgrafo con esta propiedad.
Entonces, un grado mínimo k es impuesto al núcleo de
orden k .
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
árbol : 1-núcleo
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
árbol : 2-núcleo ?
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
h
h(
((
h
h?
árbol : (
2-núcleo
h
(
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
árbol : 1-núcleo
ciclo : 2-núcleo
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Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
árbol : 1-núcleo
ciclo : 2-núcleo
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clique n : (n − 1)-núcleo
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Descomposición en k -núcleos
Ejemplos
Un grafo :
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Ejemplos
Un grafo :
2−core
1−core
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3−core
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Ejemplos
Un grafo :
2−core
1−core
3−core
Definición
Un nodo i tiene shell index s, si dicho nodo pertenece al
s-núcleo pero no al (s + 1)-núcleo.
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Complejidad de la descomposición en k -núcleos
G es representado por la lista de sus nodos, donde cada nodo
posee la lista de sus vecinos.
1
Realizar un vector ordenado de listas, donde cada lista
está compuesta por los nodos del mismo grado :
O(n), done n es el número de nodos.
2
Calcular cada k -núcleo comenzando por los nodos de
grado mínimo kmin , hasta que ningún nodo quede en el
grafo :
O(e), donde e es el número de ejes.
En general, la complejidad es O(n + e) [also Batagelj and
Zaversnik [1]]
⇒ muy útil para grandes redes.
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k -arista-conectividad y k -núcleos
Descomposición en k -núcleos
Complejidad de la descomposición en k -núcleos
G es representado por la lista de sus nodos, donde cada nodo
posee la lista de sus vecinos.
1
Realizar un vector ordenado de listas, donde cada lista
está compuesta por los nodos del mismo grado :
O(n), done n es el número de nodos.
2
Calcular cada k -núcleo comenzando por los nodos de
grado mínimo kmin , hasta que ningún nodo quede en el
grafo :
O(e), donde e es el número de ejes.
En general, la complejidad es O(n + e) [also Batagelj and
Zaversnik [1]]
⇒ muy útil para grandes redes.
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Descomposición en k -núcleos
Complejidad de la descomposición en k -núcleos
G es representado por la lista de sus nodos, donde cada nodo
posee la lista de sus vecinos.
1
Realizar un vector ordenado de listas, donde cada lista
está compuesta por los nodos del mismo grado :
O(n), done n es el número de nodos.
2
Calcular cada k -núcleo comenzando por los nodos de
grado mínimo kmin , hasta que ningún nodo quede en el
grafo :
O(e), donde e es el número de ejes.
En general, la complejidad es O(n + e) [also Batagelj and
Zaversnik [1]]
⇒ muy útil para grandes redes.
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Complejidad de la descomposición en k -núcleos
G es representado por la lista de sus nodos, donde cada nodo
posee la lista de sus vecinos.
1
Realizar un vector ordenado de listas, donde cada lista
está compuesta por los nodos del mismo grado :
O(n), done n es el número de nodos.
2
Calcular cada k -núcleo comenzando por los nodos de
grado mínimo kmin , hasta que ningún nodo quede en el
grafo :
O(e), donde e es el número de ejes.
En general, la complejidad es O(n + e) [also Batagelj and
Zaversnik [1]]
⇒ muy útil para grandes redes.
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Complejidad de la descomposición en k -núcleos
G es representado por la lista de sus nodos, donde cada nodo
posee la lista de sus vecinos.
1
Realizar un vector ordenado de listas, donde cada lista
está compuesta por los nodos del mismo grado :
O(n), done n es el número de nodos.
2
Calcular cada k -núcleo comenzando por los nodos de
grado mínimo kmin , hasta que ningún nodo quede en el
grafo :
O(e), donde e es el número de ejes.
En general, la complejidad es O(n + e) [also Batagelj and
Zaversnik [1]]
⇒ muy útil para grandes redes.
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Temario
1
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k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
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k -arista-conectividad y k -núcleos
k -arista-conexidad
k -arista-conexidad es menos fuerte que k -conexidad
como cada AS es una colección de ruteadores, podemos
considerar entonces útil la k -arista-conexidad
las aristas entre ASes pueden desconectarse o pueden
tener distinta QoS
Teorema [8]
Considere un grafo G = (V , E) y su descomposición en
k -núcleos {Ckmax ⊂ Ckmax −1 ⊂ · · · ⊂ Ckmin } Si el máximo núcleo
kmax es k -arista-conexo o tiene diámetro 2, y cada cluster en la
s-shell está conectada al (s + 1)-núcleo con al menos s aristas,
siendo estos clusters también s-arista-conexos, entonces cada
k -núcleo de al menos k -arista-conexo.
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k -arista-conexidad
k -arista-conexidad es menos fuerte que k -conexidad
como cada AS es una colección de ruteadores, podemos
considerar entonces útil la k -arista-conexidad
las aristas entre ASes pueden desconectarse o pueden
tener distinta QoS
Teorema [8]
Considere un grafo G = (V , E) y su descomposición en
k -núcleos {Ckmax ⊂ Ckmax −1 ⊂ · · · ⊂ Ckmin } Si el máximo núcleo
kmax es k -arista-conexo o tiene diámetro 2, y cada cluster en la
s-shell está conectada al (s + 1)-núcleo con al menos s aristas,
siendo estos clusters también s-arista-conexos, entonces cada
k -núcleo de al menos k -arista-conexo.
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k -arista-conectividad y k -núcleos
k -arista-conexidad
k -arista-conexidad es menos fuerte que k -conexidad
como cada AS es una colección de ruteadores, podemos
considerar entonces útil la k -arista-conexidad
las aristas entre ASes pueden desconectarse o pueden
tener distinta QoS
Teorema [8]
Considere un grafo G = (V , E) y su descomposición en
k -núcleos {Ckmax ⊂ Ckmax −1 ⊂ · · · ⊂ Ckmin } Si el máximo núcleo
kmax es k -arista-conexo o tiene diámetro 2, y cada cluster en la
s-shell está conectada al (s + 1)-núcleo con al menos s aristas,
siendo estos clusters también s-arista-conexos, entonces cada
k -núcleo de al menos k -arista-conexo.
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k -arista-conexidad
kmax -núcleo es
k -arista-conexo (o tiene
diámetro 2)
cluster en la s-shell es
s-arista-conexo y tiene
al menos s aristas al
(s + 1)-núcleo.
(k −2)−shell
(k −3)−shell
(k −1)−shell
k max−core
entonces, el grafo es
núcleo-conexo
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2
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Visualización
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3
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Análisis utilizando redes
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
¿Qué es Internet ?
Internet no es una aplicación : Web, e-mail, etc
Internet es una red de transmisión de datos, compuesta
por :
ruteadores
enlaces de transmisión
servidores y clientes
Internet no está centralizada, su administración es
distribuida
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¿Qué es Internet ?
Internet no es una aplicación : Web, e-mail, etc
Internet es una red de transmisión de datos, compuesta
por :
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servidores y clientes
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¿Qué es Internet ?
Internet no es una aplicación : Web, e-mail, etc
Internet es una red de transmisión de datos, compuesta
por :
ruteadores
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servidores y clientes
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distribuida
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por :
ruteadores
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servidores y clientes
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distribuida
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¿Qué es Internet ?
Internet no es una aplicación : Web, e-mail, etc
Internet es una red de transmisión de datos, compuesta
por :
ruteadores
enlaces de transmisión
servidores y clientes
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distribuida
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Granularidad de Internet
Esta red, representada por un grafo, puede ser vista en
diferentes niveles de granularidad
Nivel de ruteadores (R) :
nodos ⇒ ruteadores, ejes ⇒ enlaces
Nivel de sistemas autónomos :
nodos ⇒ sistemas autónomos, ejes ⇒ relaciones
peer-to-peer
Sistema Autónomo (AS) : es una subred, administrada
de forma centralizada, reagrupando varios ruteadores y
enlaces. Ej : la red de la UBA.
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Granularidad de Internet
Esta red, representada por un grafo, puede ser vista en
diferentes niveles de granularidad
Nivel de ruteadores (R) :
nodos ⇒ ruteadores, ejes ⇒ enlaces
Nivel de sistemas autónomos :
nodos ⇒ sistemas autónomos, ejes ⇒ relaciones
peer-to-peer
Sistema Autónomo (AS) : es una subred, administrada
de forma centralizada, reagrupando varios ruteadores y
enlaces. Ej : la red de la UBA.
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Granularidad de Internet
Esta red, representada por un grafo, puede ser vista en
diferentes niveles de granularidad
Nivel de ruteadores (R) :
nodos ⇒ ruteadores, ejes ⇒ enlaces
Nivel de sistemas autónomos :
nodos ⇒ sistemas autónomos, ejes ⇒ relaciones
peer-to-peer
Sistema Autónomo (AS) : es una subred, administrada
de forma centralizada, reagrupando varios ruteadores y
enlaces. Ej : la red de la UBA.
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Granularidad de Internet
Esta red, representada por un grafo, puede ser vista en
diferentes niveles de granularidad
Nivel de ruteadores (R) :
nodos ⇒ ruteadores, ejes ⇒ enlaces
Nivel de sistemas autónomos :
nodos ⇒ sistemas autónomos, ejes ⇒ relaciones
peer-to-peer
Sistema Autónomo (AS) : es una subred, administrada
de forma centralizada, reagrupando varios ruteadores y
enlaces. Ej : la red de la UBA.
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Modelos de redes
Mapas de Internet
Se encuentran disponibles diversos mapas de Internet
(R) Mercartor : traceroute + source_routing, un
sólo origen
(R) CAIDA : skitter (tipo traceroute) 23 orígenes y destinos
(R) Dimes : tipo seti@home 5000 orígenes en octubre
2005
(AS) Oregon Routers View : tablas BGP 11 ruteadores
(AS) CAIDA : skitter 23 orí. y dest., resolución IP-AS
(AS) Dimes : 5000 orígenes en 09/2005, resolución IP-AS
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(R) Mercartor : traceroute + source_routing, un
sólo origen
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(R) Dimes : tipo seti@home 5000 orígenes en octubre
2005
(AS) Oregon Routers View : tablas BGP 11 ruteadores
(AS) CAIDA : skitter 23 orí. y dest., resolución IP-AS
(AS) Dimes : 5000 orígenes en 09/2005, resolución IP-AS
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Se encuentran disponibles diversos mapas de Internet
(R) Mercartor : traceroute + source_routing, un
sólo origen
(R) CAIDA : skitter (tipo traceroute) 23 orígenes y destinos
(R) Dimes : tipo seti@home 5000 orígenes en octubre
2005
(AS) Oregon Routers View : tablas BGP 11 ruteadores
(AS) CAIDA : skitter 23 orí. y dest., resolución IP-AS
(AS) Dimes : 5000 orígenes en 09/2005, resolución IP-AS
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Aplicando la descomposición en k -núcleos
a los grafos de Internet
Obtuvimos la descomposición en k -núcleos de los mapas de
Internet AS e IR,
luego, calculamos los siguientes parámetros por cada
k -núcleo :
tamaño en función de k
la distribución acumulativa de grados
el coeficiente de clustering promedio en función del grado
del vértice
el promedio del grado de los vecinos en función del grado
del vértice
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a los grafos de Internet
Obtuvimos la descomposición en k -núcleos de los mapas de
Internet AS e IR,
luego, calculamos los siguientes parámetros por cada
k -núcleo :
tamaño en función de k
la distribución acumulativa de grados
el coeficiente de clustering promedio en función del grado
del vértice
el promedio del grado de los vecinos en función del grado
del vértice
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Modelos de redes
Grafos
Sea G = (V , E) un grafo, donde V representa el conjunto de
nodos y E representa al conjunto de ejes.
b
a
c
El grado de un nodo es número
de vecinos. Ej., grado de los
nodos a y d : g(a) = 3, g(d) = 5.
f
La distancia es el número de
hops entre dos nodos. Ej. :
d(a, h) = 3, d(f , b) = 2.
h
El diámetro de un grafo es
DG = max d(i, j)
∀i 6= j, i j ∈ V
d
nodos
g
eje
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Grafos
Sea G = (V , E) un grafo, donde V representa el conjunto de
nodos y E representa al conjunto de ejes.
b
a
c
El grado de un nodo es número
de vecinos. Ej., grado de los
nodos a y d : g(a) = 3, g(d) = 5.
f
La distancia es el número de
hops entre dos nodos. Ej. :
d(a, h) = 3, d(f , b) = 2.
h
El diámetro de un grafo es
DG = max d(i, j)
∀i 6= j, i j ∈ V
d
nodos
g
eje
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Modelos de redes
Coeficiente de clustering
El coeficiente de clustering es
b
a
c
d
f
g
h
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ci =
evecinos
g(i) · g(i) − 1 /2
Para el nodo b, tenemos
g(b) = 2, entonces
cb =
1
=1
2 · (2 − 1)/2
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Coeficiente de clustering
El coeficiente de clustering es
b
a
c
d
f
g
h
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ci =
evecinos
g(i) · g(i) − 1 /2
Para el nodo b, tenemos
g(b) = 2, entonces
cb =
1
=1
2 · (2 − 1)/2
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Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Coeficiente de clustering
El coeficiente de clustering es
b
a
c
d
f
g
h
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ci =
evecinos
g(i) · g(i) − 1 /2
Para el nodo d, tenemos
g(d) = 5, entonces
cd =
1
2
=
5 · (5 − 1)/2
5
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Ejemplo de parámetros medidos
Coeficiente de clustering medio en función del grado :
X
1
hci(g) =
ci
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
Grado medio de los vecinos en función del grado :
X
1
hgv i(g) =
hdv(i) i
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
donde, hdv(i) i representa el valor medio del los grados de los
vecinos del nodo i.
La distribución acumulativa de grados :
ng(i)>g
P> (g) = P(g(i) > g) =
n
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Ejemplo de parámetros medidos
Coeficiente de clustering medio en función del grado :
X
1
hci(g) =
ci
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
Grado medio de los vecinos en función del grado :
X
1
hgv i(g) =
hdv(i) i
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
donde, hdv(i) i representa el valor medio del los grados de los
vecinos del nodo i.
La distribución acumulativa de grados :
ng(i)>g
P> (g) = P(g(i) > g) =
n
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Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Ejemplo de parámetros medidos
Coeficiente de clustering medio en función del grado :
X
1
hci(g) =
ci
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
Grado medio de los vecinos en función del grado :
X
1
hgv i(g) =
hdv(i) i
ng(i)=g
∀i/g(i)=g
donde, hdv(i) i representa el valor medio del los grados de los
vecinos del nodo i.
La distribución acumulativa de grados :
ng(i)>g
P> (g) = P(g(i) > g) =
n
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Tamaño del k -núcleo (número de vértices) en función de k
Aplicando k -núcleos a los mapas de Internet
6
10
AS_OregonRV 04/2005
AS_CAIDA 04/2005
AS_Dimes 05/2005
IR_OregonRV 2001
IR_CAIDA 2003
IP_Dimes 2005
5
| k-core |
10
4
10
3
10
2
10
0
10
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
1
10
k
2
10
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Distribución acumulativa de grados
ASes
P> (d / <d>)
10
10
10
-1
-3
10
P> (d / <d>)
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
-2
10
10
10
0
0
RV
10
0
10
1
10
2
1-core
6-core
13-core
18-core
25-core
10
10
0
10
1
10
2
-3
10
10
10
3
0
CAIDA
10
10
0
10
1
10
2
1-core
3-core
7-core
11-core
15-core
10
10
10
1
10
d / <d>
Routers
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
2
-3
10
10
10
3
0
Dimes
10
0
10
1
10
2
10
3
10
3
1-core
8-core
17-core
26-core
35-core
-1
-2
10
0
1-core
5-core
10-core
15-core
20-core
-1
3
10
CAIDA
0
-2
10
-1
-3
10
10
-2
10
d / <d>
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
-1
3
10
Mercator
0
-2
10
-1
-3
10
10
-2
10
10
-3
Dimes
10
0
10
1
10
d / <d>
2
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Promedio del grado de los vecinos en función del grado
dnn (d) / <dnn>
ASes
10
10
dnn (d) / <dnn>
10
RV
-2
10
10
10
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
-1
10
10
0
0
10
1
10
10
2
0
10
3
10
1-core
6-core
13-core
18-core
25-core
-2
10
0
10
1
CAIDA
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
-1
-2
10
10
-1
0
10
0
10
d / <d>
2
1
10
10
2
0
10
3
10
1-core
3-core
7-core
11-core
15-core
-1
-2
10
0
10
1
Dimes
1-core
5-core
10-core
15-core
20-core
-2
10
10
0
10
Routers
2
10
3
10
10
1
10
2
10
3
10
3
0
1-core
4-core
8-core
17-core
26-core
-1
CAIDA
d / <d>
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
0
-1
10
Mercator
10
3
10
10
10
-2
10
0
10
1
Dimes
10
d / <d>
2
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Coeficiente de clustering promedio en función del grado
c (d) / <c>
10
10
10
10
c (d) / <c>
RV
-1
10
1
10
10
10
-2
10
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
0
10
10
1
10
0
10
1
10
2
Mercator
0
-1
-2
10
0
10
1
d / <d>
2
10
10
10
-2
10
3
10
1-core
4-core
7-core
10-core
14-core
0
10
3
10 1
10
10
10
CAIDA
-1
10
1-core
6-core
13-core
18-core
25-core
ASes
1
10
0
10
1
10
2
1-core
3-core
7-core
11-core
15-core
CAIDA
0
-1
10
0
10
1
10
d / <d>
2
Routers
J.I.Alvarez-Hamelin :: Intituto Balseiro
Dimes
1-core
5-core
10-core
15-core
20-core
0
-1
-2
10
3
10 1
10
10
0
10
1
10
10
10
3
10
2
10
3
1-core
8-core
17-core
26-core
35-core
Dimes
10
-2
1
0
-1
-2
10
0
10
1
10
d / <d>
2
10
3
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
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Visualización
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Modelos de redes
Principales características
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
cada k -núcleo tiene una componente
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Modelos de redes
Principales características
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
cada k -núcleo tiene una componente
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Principales características
shell index
kmax
kmax−1
degree
3
kmin+1
kmin
10
d_max
algunos k -núcleos tiene múltiples componentes
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Visualización
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Modelos de redes
Principales características
shell index
kmax
kmax−1
degree
3
kmin+1
kmin
10
d_max
algunos k -núcleos tiene múltiples componentes
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Correlación del grado
The degree is strongly correlated
with the shell index.
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
altamente correlacionado
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Redes reales
Modelos de redes
Correlación del grado
The degree is strongly correlated
with the shell index.
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
altamente correlacionado
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Modelos de redes
Correlación del grado
Degree and shell index are correlated
but with large fluctuations.
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
menos correlacionado
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Correlación del grado
Degree and shell index are correlated
but with large fluctuations.
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
menos correlacionado
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Modelos de redes
Vecinos
Node y has more neighbors in
the higher cores than node x.
shell index
kmax
node x
node y
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
The thickness of the shell depends on
the neighbors with higher coreness.
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Modelos de redes
Tamaño de las componentes
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
The diameter of the component is proportional
to the shell index and to the number of nodes.
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Modelos de redes
Clusters
shell index
kmax
kmax−1
kmin+1
degree
3
kmin
10
d_max
Isolated nodes
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Clusters: nodes connected with
nodes in the same shell.
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Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
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3
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Análisis utilizando redes
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Fingerprints de redes
AS_Oregon_RV [7] 2001, 11 ruteadores BGP
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Fingerprints de redes
AS_Oregon_RV [7] 2001, 11 ruteadores BGP
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Visualización
Redes reales
Modelos de redes
Fingerprints de redes
IR_Mercartor [1] 2001, 1 fuente + source_routing
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IR_Mercartor [1] 2001, 1 fuente + source_routing
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Fingerprints de redes
Comparación entre IR y AS (Oregon Routers View)
Oregon Routers View
Grafo de Sistemas Autónomos
Grafo de Ruteadores
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Fingerprints de redes
AS_CAIDA [6] 04/2005, 23 orígenes y destinos
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IR_CAIDA [6] 2003, 23 orígenes y destinos
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Comparación entre IR y AS (CAIDA)
CAIDA
Grafo de Sistemas Autónomos
Grafo de Ruteadores
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Fingerprints de redes
AS_Dimes [8] 08/2005, 5000 orígenes
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IR_Dimes [8] 08/2005, 5000 orígenes
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Comparación entre IR y AS (Dimes)
Dimes
Grafo de Sistemas Autónomos
Grafo de Ruteadores
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Fingerprints de redes
Web (' www.***.fr)
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Fingerprints de redes
Web (' www.***.fr)
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1
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k -arista-conectividad y k -núcleos
2
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3
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Análisis utilizando redes
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Erdös Renyi [7], hgi = 10
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Fingerprints de redes
Erdös Renyi [7], hgi = 10
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Fingerprints de redes
Barabási-Albert [5], m = 2
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Fingerprints de redes
Barabási-Albert [5], m = 2
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Fingerprints de redes
Barabási-Albert, m = random(10)
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Barabási Albert, m = random(10)
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Extensión de HOT (FKP) [6]
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Extensión de HOT (FKP) [6]
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Competición y adaptación [4]
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Fingerprints de redes
Competición y adaptación [4]
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Análisis utilizando redes
Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
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Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
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Analizando Sistemas Complejos con k -núcleos
Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
Sistema granular
El sistema está compuesto por
106 discos duros inelásticos,
coeficiente de restitución α = 0.9,
y en una caja de 3163 × 3163 unidades (diámetro) con
fronteras periódicas.
Se inicializa
en una configuración homogénea,
con velocidades vectoriales aleatorias tal que
Tg (0) ≡ hvi2 (0)/2i = 1,
y con una fase de termalización : colisiones elásticas.
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Sistema granular
El sistema está compuesto por
106 discos duros inelásticos,
coeficiente de restitución α = 0.9,
y en una caja de 3163 × 3163 unidades (diámetro) con
fronteras periódicas.
Se inicializa
en una configuración homogénea,
con velocidades vectoriales aleatorias tal que
Tg (0) ≡ hvi2 (0)/2i = 1,
y con una fase de termalización : colisiones elásticas.
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
Variación de la temperatura
10
0
A
-1
10
-2
Tg
10
-3
10
10
-4
-5
10
0
10
1
10
2
10
3
t
10
4
10
5
10
negro : Tg , rojo : ley de Haff ( Tg ∝ t −2 ), verde : Tg ∝ t −1
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Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
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Sistema inhomogéneo
Visualización parcial de sistema : superficie de 200 × 200
A
B
C
A : termalización, B : 100 cpp, C : 200 cpp.
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Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
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Temario
1
Descomposición en k -núcleos (k -cores)
k -arista-conectividad y k -núcleos
2
Análisis de Internet usando k -núcleos
Visualización
Redes reales
Modelos de redes
3
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
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Red de colisiones
A
B
nc
colliding disks
collision network
0
a
b
1
a
b
2
a
b
a
b
c
7th
5th
6th
3rd
d
4th
1st
e
2nd
8th
f
3
a
b
4
a
b
5
a
6
a
7
8
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c
d
e
000 111
111
000
000
111
000
111
d
e
111
000
111
000
000 111
111
000 f
000 111
111
000
0001111
111
0000
0001111
111
00001111
0000
000
111
0000
1111
0000
1111
c
d
e 0000
000
111
0000
1111
f
0001111
111
00001111
0000
1111
0001111
111
00001111
0000
000
111
000
0001111
111
0000 111
000 111
000
111
000
111
0000
1111
000
111
000
111
c
d
e
000
111
0000
1111
000
111
f
000
111
0001111
111
0000 111
000 111
000
0001111
111
0000 111
000 111
000
c
111
000
000
111
c
000
111
000
111
000
111
d
e
111 000
000
111
000
111
000
111
b
c
000
111
000
111
000 111
111
000 000
111
000
111
d
e
d
e
1111
0000
0000
1111
b
0000
1111
0000
1111
0000
1111
1111 111
0000
000
0000
1111
000
111
a
b
0000
1111
000
111
0000 111
1111
0000 000
1111
000
111
000
111
0001111
111
0000
000
111
0000
1111
a 1111
b
000
111
0000
0001111
111
0000
0001111
111
0000
legend
f
c
c
d
e
c
d
e
111
000
000
111
f
000
111
000
111
000
111
111
000
000
111
f
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
f
000
111
000
111
000
111
x
particle in 0−shell
111
000
000
111
000
111
x particle
000
111
000
111
000
111
in 1−shell
x
particle in 2−shell
x
particle in 3−shell
particles in 3−core
particles in 2−core
particles in 1−core
particles in 0−core
111
000
000
111
f
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
f
000
111
000
111
000
111
Analizando Sistemas Complejos con k -núcleos
Descomposición en k -núcleos (k-cores)
Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
Análisis utilizando redes
Red de colisiones : distribución de grados
5
number of particles (sites)
10
10cpp
4
10
30cpp
50cpp
3
10
2
10
1
10 0 10 20 30 40
5
10
30
60
200cpp
150cpp
100cpp
4
10
50 100 150 200
90
3
10
2
10
1
10 0
500
1000 0
700
1400
0
1000
2000
number of collisions (links)
Distribución para un sistema elástico (Tg ∝ t −2 , línea segmentada) y
un sistema inelástico (Tg ∝ t −1 , línea sólida).
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Análisis utilizando redes
Red de colisiones : distribución de k -shells
B
number of particles (sites)
6
105
104
10 3
102
10 1
100
10 0
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
10cpp
5
10
15
25 30 35 40
2
3
10
50 60 70 80 90100
200cpp
150cpp
100cpp
10
50cpp
30cpp
2
10
3
10
2
10
3
10
shell index
Distribución para un sistema elástico (Tg ∝ t −2 , línea segmentada) y
un sistema inelástico (Tg ∝ t −1 , línea sólida) ; exponente −3.
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Análisis utilizando redes
Estadísticas y separación por shells
4
10
3
10
2
10
1
10
10
10
A
total number of collisions
-5
B
-6
-7
dissipated energy per collision
10
-3
10
-4
10
-5
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
10
0
total dissipated energy
energy per particle
C
D
total energy
500
1000
1500
2000
shell index
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Análisis utilizando redes
Visualización de un sistema homogéneo
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Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
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Visualización de un sistema inhomogéneo
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Descomposición en k -núcleos (k-cores)
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
http ://xavier.informatics.indiana.edu/lanet-vi/
Análisis de sistemas granulares utilizando redes.
http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
http ://xavier.informatics.indiana.edu/lanet-vi/
Análisis de sistemas granulares utilizando redes.
http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
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Análisis de sistemas granulares utilizando redes.
http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
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http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
http ://xavier.informatics.indiana.edu/lanet-vi/
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http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
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Análisis de sistemas granulares utilizando redes.
http ://cnet.fi.uba.ar
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Conclusiones
Descomposición en k -núcleos
Dada la baja complejidad O(e + n), es aplicable a redes
de gran tamaño, e.g. Internet.
La visualización mediante k -núcleos obtiene las
fingerprints de las redes, útil para validar modelos y para
comparar diferentes mapas.
Auto-similaridad de los k -núcleos en las distribuciones
(acumulativa de grados, promedio de los grados de los
vecinos y del clustering)
Herramienta de visualización pública :
http ://xavier.informatics.indiana.edu/lanet-vi/
Análisis de sistemas granulares utilizando redes.
http ://cnet.fi.uba.ar
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Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
V. Batagelj and M. Zaversnik.
Generalized Cores.
CoRR, cs.DS/0202039, 2002.
S. B. Seidman.
Network structure and minimum degree.
Social Networks 5, 269–287, 1983.
M. Baur, U. Brandes, M. Gaertler, and D. Wagner.
Drawing the AS Graph in 2.5 Dimensions.
In "12th International Symposium on Graph Drawing, Springer-Verlag editor", pages 43–48, 2004.
J. I. Alvarez-Hamelin, L. Dall’Asta, A. Barrat, and A. Vespignani.
k -core decomposition : a tool for the visualization of large scale networks.
arxiv.org, cs.NI/0504107, 2005.
LArge NETwork VIsualization tool.
http ://xavier.informatics.indiana.edu/lanet-vi/.
Router-Level Topology Measurements" "Cooperative Association for Internet Data Analysis.
http ://www.caida.org/tools/measurement/skitter/ router_topology/.
University of Oregon Route Views Project.
http ://www.routeviews.org/.
"Distributed Internet MEasurements and Simulations".
http ://www.netdimes.org.
Jared Winick and Sugih Jamin.
Inet-3.0 : Internet topology generator.
Technical Report UM-CSE-TR-456-02, Department of EECS, University of Michigan, 2002.
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Análisis de Internet usando k -núcleos
Análisis de un sistema granular de discos inelásticos
R. Govindan and H. Tangmunarunkit.
Heuristics for Internet Map Discovery.
In IEEE INFOCOM 2000, pages 1371–1380, Tel Aviv, Israel, March 2000. IEEE.
M. E. J. Newman.
Scientific collaboration networks. I. Network construction and fundamental results.
Phys. Rev. E, 64 :016131, 2001.
M. E. J. Newman.
Scientific collaboration networks. II. Shortest paths, weighted networks, and centrality.
Phys. Rev. E, 64 :016132, 2001.
M. A. Serrano, M. Boguña and A. Díaz-Guilera.
Competition and Adaptation in an Internet Evolution Model.
Phys. Rev. Letters, 94 :038701, 2005.
R. Albert and A.-L. Barabási.
Statistical mechanics of complex networks.
Rev. Mod. Phys., 74 :47–, 2000.
J. I. Alvarez-Hamelin and N. Schabanel.
An Internet Graph Model Based on Trade-Off Optimization.
Eur. Phys. J. B, special issue on “Applications of networks”, 38(2) :231–237, march II 2004.
P. Erdös and A. Rényi.
On random graphs I.
Publ. Math. (Debrecen), 6 :290–297, 1959.
J. I. Alvarez-Hamelin, J. R. Busch.
Edge connectivity in graphs : an expansion theorem.
[math.GM], arXiv :0803.3057v1, 2008.
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