Matemáticas I - Grupo 2 Tema 7: Optimización con restricciones

Matemáticas I - Grupo 2
Tema 7: Optimización con restricciones.
Extremos condicionados
Motivación
Supongamos que f : Ω ⊆ R2 → R es la función que nos proporciona la altura de cada punto
con respecto al nivel del mar. Es decir, la gráfica correspondiente a la función representa el perfil
de un terreno o de una ciudad. Supongamos que el origen de coordenadas (0, 0) representa el
centro de una determinada ciudad donde se quiere instalar una antena de radio. Por motivos
de alcance y de seguridad la antena ha de situarse a 10 km. del centro de la ciudad, y para
maximizar su eficacia es conveniente situarla en el punto de mayor altitud. Por tanto, debemos
plantearnos la siguiente pregunta: ¿qué punto de los que se encuentran a 10 km. del centro de
la ciudad se encuentra a mayor altitud?
Ω
y
10km
(0, 0)
x
Figure 1: Ejemplo.
Si formulamos el ejemplo anterior matemáticamente, nuestro problema serı́a hallar el máximo
de la función altura f de entre todos los puntos (x, y) ∈ Ω que cumplan
d((x, y), (0, 0)) = 10.
O, equivalentemente,
x2 + y 2 − 100 = 0.
(1)
La función f que queremos maximizar (o minimizar) se conoce como función objetivo. A la
ecuación (1) se le llama ecuación de ligadura o restricción y al máximo (o mı́nimo) que buscamos
se le llama máximo (o mı́nimo) condicionado.
1
Definición 1. Máximos y mı́nimos condicionados. Extremos condicionados.
Sean f, g : Ω ⊆ R2 → R. Se llama extremo condicionado de f sujeto a la restricción g = 0 al
que se alcanza condicionado por la ecuación de ligadura g(x, y) = 0. Se denota:
Máx.
s.a
f (x, y)
g(x, y) = 0
o
Mı́n.
s.a
f (x, y)
.
g(x, y) = 0
Observación 1. Como en todos los conceptos explicados en este tema y en los temas anteriores,
la definición anterior se puede extender a funciones de más de 2 variables (f, g : Ω ⊆ Rn → R).
También se puede extender al caso en que tengamos varias restricciones o ecuaciones de ligadura.
Método de los multiplicadores de Lagrange para el estudio de los extremos condicionados.
Cuando nuestras funciones se comporten bien, es decir, sean continuas y tengan derivadas
parciales continuas, podemos hallar los extremos condicionados mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
Sean f, g : Ω ⊆ R2 → R dos funciones continuas y con derivadas parciales también continuas.
f será la función objetivo que queremos optimizar y g la función que determina la ecuación de
ligadura. Se define la función de Lagrange como
L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y).
λ se conoce como multiplicador de Lagrange.
Podemos buscar los puntos crı́ticos de la función de Lagrange. Es decir, los puntos que
verifiquen
∂L
∂L
∂L
∇L(x, y, z) =
(x, y, λ),
(x, y, λ),
(x, y, λ) = (0, 0, 0).
∂x
∂y
∂λ
Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema
∂L
∂x (x, y, λ)
∂L
∂y (x, y, λ)
∂L
∂λ (x, y, λ)

= 0 

= 0


= 0
∂f
∂g
∂x (x, y) + λ ∂x (x, y)
∂f
∂g
∂y (x, y) + λ ∂y (x, y)
⇔
⇔
⇔
g(x, y)

= 0 

.
= 0


= 0
El sistema anterior se conoce como sistema de Lagrange. Los candidatos a extremos relativos
condicionados de f con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0 son los puntos crı́ticos de
la función de Lagrange. Dicho de otra manera, una condición necesaria para que (x, y) sea un
extremo relativo condicionado de f con respecto a g(x, y) = 0 es que exista un valor λ de modo
que (x, y, λ) sea un punto crı́tico de la función de Lagrange.
El método anterior nos proporciona puntos candidatos a extremos relativos condicionados,
pero no nos ayuda a decidir si esos candidatos son máximos relativos condicionados, mı́nimos
relativos condicionados, o ninguna de las dos cosas. Para ello, existe una condición suficiente
que involucra a las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrange.
Sean f, g : Ω ⊆ R2 → R dos funciones continuas con derivadas parciales de segundo orden
también continuas. Supongamos que (x0 , y0 , λ0 ) es un punto crı́tico de la función de Lagrange
2
L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y), y definamos ∆ como el determinante
∂g
∂g
0
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
2
∂g
∂2L
(x0 , y0 ) ∂∂xL2 (x0 , y0 , λ0 ) ∂x∂y
(x0 , y0 , λ0 )
∆ = ∂x
2
2
∂g
∂ L
∂y (x0 , y0 ) ∂x∂y
(x0 , y0 , λ0 ) ∂∂yL2 (x0 , y0 , λ0 )
.
Entonces, si ∆ > 0, en el punto (x0 , y0 ) la función f alcanza un máximo relativo condicionado con
respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0. Si ∆ < 0, el punto (x0 , y0 ) es un mı́nimo relativo
condicionado de la función f con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0. Sin embargo,
si ∆ = 0 el criterio no decide la naturaleza del punto. Este criterio sólo sirve para clasificar
extremos relativos condicionados. En caso de que el criterio no decida, o de que queramos
determinar los extremos absolutos, debemos estudiar la naturaleza del punto mediante otros
métodos:
1. Interpretando geométricamente el enunciado.
2. Despejando una de las incógnitas de la ecuación de ligadura y sustituyéndola en f (x, y).
De este modo, habremos reducido el problema al de optimizar una función de una variable
y podremos utilizar los métodos ya conocidos en este caso. Hay que tener en cuenta que el
problema que nos puede surgir en este caso es que, al sustituir la ecuación de ligadura en
f (x, y) podemos obtener una expresión bastante más complicada que la original. Por otro
lado, si sustituimos una variable, tenemos que estar atentos del dominio de la variable que
quede.
3. Razonando que toda función continua en un conjunto compacto alcanza al menos un
máximo y un mı́nimo absoluto. Por tanto, si tenemos una relación de todos los puntos
candidatos a extremos en un conjunto compacto, para hallar los máximos y mı́nimos
absolutos nos bastará con hallar el valor de la función f en todos esos puntos. El valor más
alto (más bajo respectivamente) que obtengamos corresponderá con el máximo (mı́nimo)
absoluto.
Anexo: Conjuntos compactos.
La noción de conjunto compacto es un concepto matemático que requiere técnicas abstractas
de una rama de las matemáticas conocida como Topologı́a. No vamos a estudiarlo con detalle,
pero si quiero daros una definición intuitiva de un conjunto compacto en R2 para que los podáis
reconocer.
Definición 2. Conjunto compacto.
Un conjunto A ⊂ R2 es un conjunto compacto si es un conjunto cerrado y acotado.
Un conjunto A ⊂ R2 es un conjunto acotado si existe un disco abierto o cerrado D de modo
que A ⊆ D, es decir, si se puede “meter dentro de una bola”.
Por otro lado, intuitivamente un conjunto es cerrado si contiene a toda su frontera. Es decir,
si todos los puntos que están en la frontera del conjunto pertenecen al conjunto. Ası́, de los
conjuntos representados en las Figuras 2 y 3, A1 , A4 , A5 y A7 son conjuntos cerrados. Hay
3
D
D
A1
A2
A3
D
A4
D
Figure 2: Ejemplos de conjuntos acotados.
A5
A7
D
D
A6
D
Figure 3: Ejemplos de conjuntos no acotados.
que tener presente que esto sólo es una definición intuitiva, la noción de conjunto cerrado es en
realidad mucho más compleja y abstracta.
Por tanto, los únicos conjuntos compactos de las Figuras 2 y 3 son A1 y A4 . Observemos
que A1 es un conjunto 2-dimensional: la región de plano encerrada por una elipse junto con la
propia elipse, mientras que A4 es una curva, un objeto 1-dimensional.
Ejemplos
Ejemplo 1. Calcular los extremos relativos de la función f (x, y) = x+y sobre la elipse x2 +2y 2 =
1.
En notación matemática, el problema que se nos plantea es:
Máx.
s.a
x+y
x2 + 2y 2 = 1
y
Mı́n.
s.a
x+y
.
x2 + 2y 2 = 1
Para resolver el ejemplo siguiendo la teorı́a anterior, definiremos g(x, y) = x2 + 2y 2 − 1. En
primer lugar, tenemos que considerar la función de Lagrange
2
2
L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)
1 = x + y + λ(x + 2y − 1),
y hallar sus puntos crı́ticos. Estos puntos crı́ticos son la solución del sistema de ecuaciones:
∂L
∂x (x, y, λ)
∂L
∂y (x, y, λ)
∂L
∂λ (x, y, λ)

= 0 

.
=
1 + 4yλ
= 0


= x2 + 2y 2 − 1 = 0
=
1 + 2xλ
4
1
Con
un cálculo
estándar podemos
que las soluciones del sistema anterior son (x, y, λ) =
√comprobar
√ √
√ √ √ 6
6
6
6
6
6
y (x, y, λ) = − 3 , − 6 , 4 .
3 , 6 ,− 4
Por tanto, los candidatos
relativos
y) = x + y sobre la elipse x2 + 2y 2 = 1
√de f (x,
√ a√extremos
√ son los puntos (x, y) = 36 , 66 y (x, y) = − 36 , − 66 . Para determinar la naturaleza de
dichos puntos calculamos el determinante:
∂g
∂g
0
0 2x0 4y0 ∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
2
∂g
∂2L
(x0 , y0 ) ∂∂xL2 (x0 , y0 , λ0 ) ∂x∂y
(x0 , y0 , λ0 ) = 2x0 2λ0 0 ∆(x0 , y0 , λ0 ) = ∂x
2L
2L
∂g
∂
∂
0 4λ0 ∂y (x0 , y0 ) ∂x∂y (x0 , y0 , λ0 ) ∂y2 (x0 , y0 , λ0 ) 4y0
= − 16λ0 (x20 + 2y02 ) = −16λ0 ,
puesto que x20 +2y02 = 1 por ser (x0 , y0 ) un punto de la elipse. Sustituyendo en los puntos crı́ticos
obtenidos vemos que
√ √
√ !
√
6 6
6
∆
,
,−
= 4 6 > 0,
3 6
4
y
√
√ √ !
√
6
6 6
∆ −
,−
,
= −4 6 < 0.
3
6 4
√
√ √ √ Por tanto en 36 , 66 se alcanza un máximo relativo condicionado y en − 36 , − 66 un mı́nimo
relativo condicionado.
Ejemplo 2. Justificar la existencia y hallar los extremos absolutos de la función f (x, y) = xy 2
sobre el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}.
La función f (x, y) = xy 2 es una función continua por ser polinómica y el conjunto A es
y
(0, 1)
A
x2 + y 2 = 1
x=0
(1, 0)
(0, 0)
y=0
x
Figure 4: Conjunto A.
compacto como podemos observar en la Figura 4 (es un conjunto cerrado y acotado). Por tanto
f alcanza sobre A al menos un máximo y un mı́nimo absoluto. Para hallar el máximo y el mı́nimo
5
absoluto basta con encontrar todos los puntos candidatos a extremos y evaluar la función en
dichos puntos. Debemos distinguir tres tipos de puntos: puntos en el interior del recinto, puntos
en la frontera y por último los puntos dónde la frontera deja de ser diferencialbe o “vértices”:
1. Puntos en el interior del recinto. Hallaremos estos puntos calculando los puntos crı́ticos
de f (x, y) = xy 2 sin restricciones y quedándonos con los que efectivamente pertenezcan al
interior. Los puntos crı́ticos de f (x, y) = xy 2 son las soluciones del sistema:
∂f
∂x (x, y)
∂f
∂y (x, y)
y2
=
= 0
)
= 2xy = 0
.
La única solución al sistema es el punto (x, y) = (0, 0), que es un vértice del conjunto tal
y como podemos observar en la Figura 4, luego no pertenece al interior.
2. Puntos en la frontera. Tenemos que distinguir tres tramos distintos en la frontera: x = 0,
y = 0 y x2 +y 2 = 1. En cada caso, hallaremos los puntos candidatos a extremos resolviendo
el correspondiente problema de extremos condicionados, y quedándonos con los puntos que
pertenezcan al recinto.
(a) Tramo de la frontera x = 0. En este caso tenemos g(x, y) = x, luego la función de
Lagrange es
L(x, y, λ) = xy 2 + λx.
Sus puntos crı́ticos son las soluciones al sistema
∂L
∂x (x, y, λ)
∂L
∂y (x, y, λ)
∂L
∂λ (x, y, λ)

= y2 + λ = 0 

.
= 2xy
= 0


=
x
= 0
Es decir, todos los puntos del tipo (x, y, λ) = (0, y, −y 2 ). Estos puntos representan
todo el tramo de frontera cuando 0 ≤ y ≤ 1. Observemos también que sobre estos
puntos la función f se anula.
(b) Tramo de la frontera y = 0. En este caso tenemos g(x, y) = y, luego
L(x, y, λ) = xy 2 + λy.
Sus puntos crı́ticos son las soluciones al sistema
∂L
∂x (x, y, λ)
∂L
∂y (x, y, λ)
∂L
∂λ (x, y, λ)
y2

= 0 

.
= 2xy + λ = 0


=
y
= 0
=
Es decir, todos los puntos del tipo (x, y, λ) = (x, 0, 0). De nuevo estos puntos representan todo el tramo de frontera cuando 0 ≤ x ≤ 1, y sobre ellos la función f se
anula.
(c) Tramo de la frontera x2 + y 2 = 1. En este caso g(x, y) = x2 + y 2 − 1, y por tanto
L(x, y, λ) = xy 2 + λ(x2 + y 2 − 1).
6
Sus puntos crı́ticos son las soluciones de
∂L
∂x (x, y, λ)
∂L
∂y (x, y, λ)
∂L
∂λ (x, y, λ)
y 2 + 2λx

= 0 

.
= 2xy + 2λy = 0


= x2 + y 2 − 1 = 0
=
De la segunda ecuación deducimos que y = 0 o λ = −x. Si y = 0, sustituyendo en
las otras ecuaciones obtenemos que x = ±1 y λ = 0. El único punto que pertenece al
recinto es el (1, 0), aunque es un vértice. El valor de λ es indiferente, no lo necesitamos
y no nos aporta información adicional. Por otro lado, si √λ =√ −x, √con
un cálculo
3
6
3
estándar podemos obtener los puntos crı́ticos (x, y, λ) = 3 , 3 , − 3 , (x, y, λ) =
√ √ √ √
√
√
√ √ √ 3
6
3
3
6
3
3
6
3
,
−
,
−
,
(x,
y,
λ)
=
−
,
,
y
(x,
y,
λ)
=
−
,
−
3
3
3
3
3
3 , 3 . El único
3√ 3√ punto que pertenece al recinto es el 33 , 36 (ignorando el valor de λ).
3. Vértices. Son los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1), aunque los tres puntos han aparecido ya en
los apartados a) y b)
Juntando
lo que hemos visto hasta ahora tenemos como candidatos a extremos absolutos el
√ todo
√ 3
6
punto 3 , 3 , y los tramos de frontera {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} y {(0, y) : 0 ≤ y ≤ 1}. Evaluando
la función f en dichos puntos tenemos:
√ √ !
√
3 6
2 3
f
,
=
3 3
9
y
f (x, 0) = f (0, y) = 0
√
√
∀x, y ∈ R.
Por tanto, en 33 , 36 la función f alcanza sobre A su máximo absoluto y sobre los tramos de
frontera {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} y {(0, y) : 0 ≤ y ≤ 1} su mı́nimo absoluto.
7