Guía No11: Funciones inversas.

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Física
Campus Talca
Álgebra
Carrera: Agronomía
o
Guía N 11: Funciones inversas.
Resolver los ejercicios de la sección 5.1 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a edición.
Ejercicios a resolver: 1 al 17, 19, 21, 23 al 42, 43.
328
CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
5.1
5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s
2
Ejer. 1-2: Si es posible, encuentre
(a) f 21(5) (b) g21(6)
x
2
4
6
x
1
3
5
f(x)
3
5
9
g(x)
6
2
6
Ejer. 17-20: Use el teorema sobre funciones inversas para
demostrar que f y g son funciones inversas una de otra y
trace las gráficas de f y g en el mismo plano de coordenadas.
x 2
17 f sxd 5 3x 2 2;
gsxd 5
3
18 f sxd 5 x 2
4; not possible
2
5, x ! 0;
t
0
3
5
t
1
2
4
19 f sxd 5 2x 2
f(t)
2
5
6
g(t)
3
6
6
20 f sxd 5 x 3 2 4;
x
f(x)
2
3
4
5
6
0
1
2
3
3, x " 0; gsxd 5 23 2 x, x ! 3
g(x)
3 (a)
(b)
y
(c)
y
y
s2#, 0d
s2#, 1d
23 f sxd 5
x
Yes
x
No
4 (a)
x
Not a function
(b)
f 21sxd 5
x
x
f 21sxd 5
29 f sxd 5
No
Yes
Not a function
Ejer. 5-16: Determine si la función f es biunívoca.
1
6 f sxd 5
Yes
5 f sxd 5 3x 2 7 Yes
x22
7 f sxd 5 x 2 2 9 No
9 f sxd 5 2x Yes
11 f sxd 5 x
No
13 f sxd 5 24 2 x2 No
15 f sxd 5
1
Yes
x
8 f sxd 5 x 2
4 No
s 2#, 29 d s 29 , # d;
s 2#, 2 19 d s 2 19 , # d
f 21sxd 5
1
3x 2 2
2x
28 f sxd 5
1
3x
3x 2
2x 2 5
1
No
x2
4x
x22
hds3d 21
(b) s f 21 g21ds3d 5
D 5 23, 3!, R 5 22, 2!; D 1 5 22, 2!, R 1 5 23, 3!
48
33 f sxd 5 2x 3 2 5
34 f sxd 5 2x 3
2
1
f 21sxd 5 sx 2 1d3
39 f sxd 5 x f 21sxd 5 x
y5x
(0, 1)
(3, 21)
(2, 4)
3
f 21sxd 5 2
22x
s21, qd
x
y5x
38 f sxd 5 sx3 1d5
3 5
f 21sxd 5 !
2x 2 1
D 5 0, 3!, R 5 21, 1!; D 1 5 21, 1!, R 1 5 0, 3!
49 (a) Demuestre que la función definida por f(x)5 ax
b
(una función lineal) para a ± 0 tiene una función inversa y encuentre f21(x).
f 21sxd 5 24 2 x 2, 0 ! x ! 2
3
37 f sxd 5 2
x
y
x
2, x " 0
36 f sxd 5 24 2 x 2, 0 ! x ! 2
(b) sg
Ejer. 45-48: Se ilustra la gráfica de una función biunívoca f.
(a) Utilice la propiedad de reflexión para trazar la gráfica
de f 21. (b) Encuentre el dominio D y la imagen R de la función f . (c) Encuentre el dominio D1 y rango R1 de la
función inversa f 21.
y
45
3
32 f sxd 5 5x 2
12 f sxd 5 3 No
16 f sxd 5
1
31 f sxd 5 2 2 3x 2, x ! 0
35 f sxd 5 23 2 x f 21sxd 5 3 2 x 2, x " 0
f ds2d 3
21
(c) sh21 g21 f ds6d 2
2x
f 21sxd 5
x24
3
10 f sxd 5 2
x Yes
14 f sxd 5 2x 3 2 4 Yes
43 (a) sg
21
44 (a) sg f 21ds21d 3
72x
2
x
x
(23, 22)
21
(c) sh21 f g21ds3d 5
1 2 3x
f 21sxd 5
x
30 f sxd 5
5x 2
f 21sxd 5
2x 2 3
(3, 2)
2x 2 7
9x 1
26 f sxd 5 7 2 2x
5
x25
3
y5x
x
3
x
y
47
s2#, 0d s0, #d;
s2#, 23d s23, #d
24 f sxd 5
s 43 , # d;
s 83 , # d
25 f sxd 5 3x
y
27 f sxd 5
x
4x 5
3x 2 8
22 f sxd 5
D 5 1, 10!, R 5 0, 9!; D 1 5 0, 9!, R 1 5 1, 10!
(2, 3)
(21, 1)
5
Ejer. 25-42: Encuentre la función inversa de f.
(c)
y
y
s 2#, 43 d
s 2#, 83 d
s0, #d;
s1, #d
x
(1, 0)
(3, 5)
Ejer. 21-24: Determine el dominio y el rango de f 21 para la
función dada sin hallar en realidad f 21. Sugerencia: Primero encuentre el dominio e imagen de f.
2
21 f sxd 5 2
x21
(10, 9)
4
3; not possible
Ejer. 3-4: Determine si la gráfica corresponde a una función
biunívoca.
y5x
1
21
329
y
Ejer. 43-44: Sea h(x) 5 4 2 x. Use h, la tabla y la gráfica
para evaluar la expresión.
gsxd 5 2 2x 2 5, x " 5
3
x
gsxd 5 2
46
9
3, x ! 2 f 21sxd 5 22 2x
42 f sxd 5 x 2 2 4x
1
2x
41 f sxd 5 x 2 6x, x " 3 f sxd 5 3
Ejercicios
21
(b) ¿Una función constante tiene inversa? Explique.
40 f sxd 5 2x f 21sxd 5 2x
D 5 21, 2!, R 5
1
2,
4 !; D 1 5
1
2,
4 !, R 1 5 21, 2!
No; not one-to-one
Obs.: Una función biunívoca es una que tiene inversa, es decir, si satisface el test de la recta horizontal. Otra forma de verificarlo
es encontrando la función inversa.
Ayuda:
Ejercicios 5 al 16: Trate de resolver la ecuación y = f(x), o bien dibuje el gráfico de la función y use el test de la recta horizontal.
Ejercicios 17 al 20: Compruebe que f ◦ g(y) = y y que g ◦ f(x) = x.
Ejercicios 21 al 24: Es mejor encontrar f −1 (x) y luego calcular los dominios de f y f −1 .
Ejercicios 25 al 42: Resuelva la ecuación y = f(x).
Ejercicio 43: Note que si f(2) = −1 entonces f −1 (−1) = 2.
4
12
x
Capítulo 5
EJERCICIOS 5.1 Respuestas a ejercicios impares
1 (a) 4
! 1 si x 5 6.1 , y
1 si x 5 6.2
5 Sí
(b) No
7 No
(c) No es función
9 Sí
11 No
13 No
15 Sí
Ejer. 17-20: Demuestre que f sgsxdd 5 x 5 gs f sxdd.
2 x 2d
y
17
0 cuando 0 ! x ! l.
) y t 5 16 2 4 26
(b) No es posible
3 (a) Sí
y
19
6.2020
x
x
ma rapidez a la que el hígado puede
hol del torrente sanguíneo.
0 millones y C(90) 5 $2.5 millones
A30
U E"d;
S T s2",
A S A1dE J Es1,
R C"d
ICIOS SELECCIONADOS
21
s2", R0dE S Ps0,
23 s 2#, 3 d
s 43 , # d; s 2#, 83 d
4
s 83 , # d
25 f 21sxd 5
x25
3
27 f 21sxd 5
29 f21sxd 5
5x 2
2x 2 3
31 f 21sxd 5 2
33 f 21sxd 5
%
3
37 f 21sxd 5 sx 2 1d3
43 (a) 3
9
22x
3
!212, 12" por !28, 8"
59 (a) 805 pies3 min
1
x. Dada una circula
35
cúbicos por minuto, V21(x) calc
de personas que deben estar en
tiempo.
(b) V21sxd 5
(b) 21
(c) 5
(b) D 5 !21, 2";
y
(2, 4)
s21, qd
3x
39 f 21sxd 5 x
2x
45 (a)
1
35 f 21sxd 5 3 2 x 2, x " 0
2
41 f 21sxd 5 3
2x
%
5
x
f 21s
57
R5
f
(4, 2)
f 21
s
d
1
,4
2
1
,4 ;
2
R1 5 !21, 2"
(c) D1 5
x
q, 21
# $
# $
(c) 67
EJERCICIOS 5.2
1 5
11 (a)
3 21, 3
4
99
52
y
7
18
5
(b)
y5x
47 (a)
(b) D 5 !23, 3";
y
R 5 !22, 2"
y5x
f 21
(2, 3)
(23, 22)
R1 5 !23, 3"
(3, 2)
f
x
(c) D1 5 !22, 2";
f
x
f 21
(c)
(22, 23)
y
(d)
49 (a) Como f es biunívoca, existe una inversa;
x2b
a
(b) No; no es biunívoca
x
f 21sxd 5
51 (c) La gráfica de f es simétrica alrededor de la recta y 5 x.
Así, f sxd 5 f 21sxd.
(e)
53 Sí
55
(a) !20.27, 1.22"
(b) !20.20, 3.31";
!20.27, 1.22"
y
(f )