Números primos y números compuestos Lista de números primos

Matemáticas - 1o ESO
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Números primos y números compuestos
Son números primos aquellos que tienen exactamente 2 divisores, ellos mismos y el 1.
Son números compuestos aquellos que tienen más 2 divisores.
El número 1 es el único que no es ni primo ni compuesto, puesto que solo tiene un divisor, el mismo.
El resto de números naturales son o primos o compuestos.
Vemos a continuación cuales de los 10 primeros números naturales son primos y cuales compuestos:
• 1 no es ni primo ni compuesto, pues solo tiene un divisor, el 1.
• 2 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (2:1=2; 2:2=1).
• 3 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (3:1=3; 3:3=1).
• 4 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2 y 4.
• 5 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (5:1=5; 5:5=1).
• 6 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 3 y 6.
• 7 es primo, ya que tiene exactamente 2 divisores, el mismo y el 1, (7:1=7; 7:7=1).
• 8 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 4 y 8.
• 9 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 3 y 9.
• 10 es compuesto, ya que tiene más de 2 divisores: 1, 2, 5 y 10.
Existe una cantidad infinita de número primos. Los primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Lista de números primos
Existe otro método algo más sencillo para saber si un número es primo que el de ir comprobando
el número de divisores.
Consiste en crear una lista de números primos partiendo de los dos primeros, (el 2 y el 3). A partir
de aquı́ vamos probando cada uno de los siguientes números, (empezarı́amos por el 4). Cada nuevo
número lo dividiremos entre cada número primo anterior a el. Si es divisible entre alguno de ellos
no es primo.
Ejemplo:
• 4 no es primo, ya que es divisible por 2.
• 5 es primo, ya que no es divisible ni por 2 ni por 3.
Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3 y el 5.
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• 6 no es primo, ya que es divisible por 2. También es divisible por 3, pero no hace falta
comprobarlo. Ya lo hemos descartado por ser divisible por 2.
• 7 es primo, ya que no es divisible ni por 2, por 3 ni por 5.
Nuestra nueva lista de primos se compone del 2, el 3, el 5 y el 7.
• ...
Podemos mejorar un poco más el proceso teniendo en cuenta tres datos.
Un número es primo si no existe ningún número natural menor que el entre el que sea divisible,
(exceptuando el 1). Y por este motivo ningún número par es primo, (excepto el 2), porque los
números pares son divisibles entre 2.
Tampoco son primos los números que terminan en 5, pues son divisibles entre 5.
Esto nos deja como posibles números primos, (a partir del 10), los que terminen en 1, en 3, en 7 o
en 9.
Además, no es necesario probar con todos los primos menores que el número en cuestión. Solo es
necesario probar hasta el primo igual o inferior a la raı́z del número dado. Veámoslo con un ejemplo:
√
Supongamos que queremos saber si 97 es primo. La raı́z de 97 es aproximadamente 9,85, ( 97 =
9, 848857...). Por tanto, solo necesitamos probar si es divisible entre primos menores a 10, (2, 3, 5
y 7). Y aquı́ pueden usarse las reglas de divisibilidad conocidas. No es par, la suma de sus dı́gitos
no es múltiplo de 3, no termina en 0 ni en 5 y 2 · 7 − 9 = 5 que no es múltiplo de 7. Por tanto es
primo. 1
1
¿Por que no es necesario probar con primos mayores?. Supongamos que probamos con el siguiente primo, el
11. Puesto que es mayor que 9,85, cuyo cuadrado es 97, (por aproximación), tendrı́a que estar multiplicado por un
número menor que 9,85, el 7 que ya hemos probado. Y si probamos con primos mayores aun, tendrı́an que estar
multiplicados por números menores aún. Por tanto no es necesario probar con ninguno mayor.
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