0704 COMBINACIONES

Combinaciones
Trabajo a realizar de este tema:
En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas
conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis
combinatorio, 0702 Variaciones, 0703 Permutaciones y 0704 Combinaciones
que se entregará dos días después de terminar el tema 0704 Combinaciones.
El nombre del archivo deberá ser:
071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE
A mano, realizarás los problemas # y # de este tema, el cual se entregará de
acuerdo al protocolo indicado al principio de este periodo.
Se calificará de la siguiente manera:
+ Ortografía (2 puntos)
Protocolo de envío:
+ Asunto: mal anotado el 100% del trabajo
+ Nombre (1 punto)
+ Comentario (2 punto)
+ Nombre del archivo (1 punto)
+ Versión diferente a 2003 (7 puntos)
En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito:
Comentario o conclusión del trabajo
(2 punto)
Ortografía: (1 punto)
Nombre
Universidad
Carrera
Materia
Tema
Fecha
(La ausencia total o de alguna parte
restará 1 punto)
A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto
menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis.
COMBINACIONES
0704 COMBINACIONES.doc
1
Combinaciones
¿Que son las Combinaciones?
Combinaciones sin repetición
Combinaciones con repetición
¿Que son las Combinaciones?
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto
de n elementos en subconjuntos de r elementos. En las combinaciones no importa
el orden en que se colocan los elementos elegidos. Si permitimos que se repitan
los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la
agrupación.
Por ejemplo, hay tres diferentes formas de agrupar tres letras en subconjuntos de
dos letras y son las siguientes:
{a, b}
[
{a, c}
{b, c}
=COMBINAT(número, tamaño)]
Combinaciones sin repetición
Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición a los distintos
subconjuntos de r elementos tomados de un conjunto n
•
•
Cada subconjunto tenga r elementos distintos
Dos subconjuntos son distintos si difieren en algún elemento.
El número de combinaciones ordinarias de n elementos agrupados en
subconjuntos de r elementos se denota por Cn,r y se calcula:
Cn,r =
COMBINACIONES
n!
r! ( n − r )!
0704 COMBINACIONES.doc
2
Donde:
Pn
n
es el número de combinaciones posible
es el número de elementos a combinar
r es el número de elementos del subconjunto
Ejemplo:
Juanita invitó a sus amigos a cenar. Juanita tiene 12 amigos, pero solo tiene
6 lugares en su mesa, por lo que necesita formar 2 grupos de 6 personas
a. ¿Cuantos grupos diferentes puede formar?
b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos
a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ?
c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos
a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ?
d. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 8 hombres. Juanita quiere que
siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras
puede formar los grupos ?
Solución:
a. ¿Cuantos grupos diferentes puede formar?
Se calculan las combinaciones de de 12 en subconjuntos de 6.
12!
12!
C12,6 =
=
6! ( 12 − 6 )!
= 924
6! 6!
b. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos
a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ?
Del conjunto de dos casados seleccionamos a los dos, y de un conjunto
restante de 10 seleccionamos 4. Aplicamos el principio multiplicativo
2!
10!
•
C2,2 • C10,4 =
2!(2 − 2)!
COMBINACIONES
2!
=
4! (10 − 4)!
0704 COMBINACIONES.doc
10!
•
2! 0!
4! 6!
= 1 • 210 =
210
3
c. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos
a la mesa. ¿De cuantas maneras puede formar los grupos ?
Del conjunto de 2 enemigos seleccionamos 1, y del conjunto de 10 restante
seleccionamos 5. Aplicamos el principio multiplicativo
2!
10!
•
C2,1 • C10,5 =
1! (2 − 1)!
2!
=
10!
•
1! 1!
5! (10 − 5)!
5! 5!
= 2 • 252 =
504
d. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 8 hombres. Juanita quiere que
siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras
puede formar los grupos ?
Del conjunto de 4 mujeres seleccionamos 2, y del conjunto de 8 hombres
seleccionamos 4. Aplicamos el principio multiplicativo
4!
8!
•
C4,2 • C8,4 =
2! (4 − 2)!
4!
=
4! (8 − 4 )!
8!
•
2! 2!
4! 4!
= 6 • 70 =
420
Combinaciones con repetición
Combinaciones con repetición de n elementos agrupados en subconjuntos de r
elementos iguales o distintos, de forma que dos grupos se diferencian en algún
elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRn,r.
CRn,r =
( n + r − 1)!
r! ( n − 1)!
Por ejemplo, las combinaciones con repetición del conjunto A = { a, b, c } en
subconjuntos de 2 elementos se forman de manera similar a las combinaciones
sin repetición aunque con la diferencia de que se permite repetir el elemento en el
subconjunto sin importar el orden de colocación. De esta manera se obtienen 10
combinaciónes con repetición:
{a, a}
{b , b}
COMBINACIONES
{a, b}
{b , c}
0704 COMBINACIONES.doc
{a, c}
{c , c}
4
Calculando con la fórmula el número de combinaciones con repetición.
( 3 + 2 − 1)!
CR3,2 =
4!
=
= 6
2! ( 3 − 1)!
2! 2!
Ejemplos
1) ¿De cuántas formas podemos pedir que nos sirvan un cono de helado con
"dos bolitas" diferentes o iguales si en la heladería hay 5 sabores de helado?
Solución:
Como las bolitas de helado pueden ser iguales o diferentes, el número de helados
diferentes con dos bolitas es CR5,2
( 5 + 2 − 1)!
CR5,2 =
6!
=
2! ( 5 − 1)!
= 15
2! 4!
2) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se
pueden elegir 4 pasteles?.
Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces. Estamos en el caso
en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir,
son combinaciones con repetición.
( 6 + 4 − 1)!
CR6,4 =
4! ( 6 − 1)!
COMBINACIONES
9!
=
0704 COMBINACIONES.doc
= 126
4! 5!
5
Problemas
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado
por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco
iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos
entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
COMBINACIONES
0704 COMBINACIONES.doc
6
4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De
cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de
ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del
mismo tipo.
5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de
rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se
puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar
entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
COMBINACIONES
0704 COMBINACIONES.doc
7
Son
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5
rectas que no son diagonales.
7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma
un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse,
si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas
sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9. Resolver las ecuaciones combinatorias:
1.
COMBINACIONES
0704 COMBINACIONES.doc
8
2.
3.
27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones
es menor que el número de elementos.
COMBINACIONES
0704 COMBINACIONES.doc
9