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Indique si el sistema [A|b] es consistente para todos los vectores b ∈ R3 si
A es la matriz:


−1
5
 −1 −3 
−2
A
Falso
B
Cierto
1
Respuesta
Deseamos ver si para cualquier vector b =< b1 , b2 , b3 > de el vector R3 la matriz
aumentada


−1
5 b1
[A |b ] =  −1 −3 b2 
−2
1 b3
representa un sistema consistente. Como razonamos en un problema anterior,
como la matriz tiene variables no debemos fiarnos en los resultados de la reducida obtenida por un ambiente CAS. Debemos solamente escalonar y aplicar la
condición de consistencia. Haciendo R3 ← R3 −2 R1 y R2 ← R2 −R1 obtenemos:




−1
5 b1
−1
5
b1
 −1 −3 b2  →  0 −8
b2 − b1 
−2
1 b3
0
y luego R3 → R3 − 89 R2 nos da:



−1
5
b1
−1
 0 −8
b2 − b1  →  0
0 −9 b3 − 2 b1
0
−9
5
−8
0 b3 −
observamos que hay consistencia si y sólo si
b3 −
b3 − 2 b1
9
7
b2 − b1 = 0
8
8

b1
b2 − b1 
9
7
8 b2 − 8 b1
e inconsistencia en otro caso. Claramente podemos escoger b1 = 1, b2 = 0 y
b3 = 0 y estos valores nos darán inconsistencia. Entonces vemos que no es cierto
que para cualquier valores de b1 , b2 y b3 el sistema [A|b] será consistente.
Una situación muy diferente hubiera resultado si la escalonada nos queda por
ejemplo


1
2
3
b1
 0 14 11
5 b1 + b2 
0
0
3 4 b1 + b2 + b3
En cuyo caso, los pivotes quedan a la izquierda y se descarta la posibilidad de
la inconsistencia. En este caso, no importan los valores de b1 , b2 y b3 se tiene
garantizada la consistencia de [A|b]