Cálculos previos

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En una estructura de hormigón armado prefabricado, se desea calcular
la armadura necesaria (longitudinal y transversal) de una viga biapoyada de 5
m de luz y de sección rectangular (b x h = 300 x 450 mm) que está sometida a
una carga uniformemente repartida de 50 kN/m.
Realizar las comprobaciones de flexión, cortante y fisuración. Además,
determinar si es necesario realizar la comprobación a flecha.
Datos: Límite elástico del acero (fyk) = 510 N/mm2. Resistencia
característica del hormigón: (fck) = 35 N/mm2.
50 kN/m
5m
450 mm
+
300 mm
RA
RB
Cálculos previos
Al ser una viga isostática, es sencillo calcular el flector y el cortante
máximo, así como conocer las secciones que soportan estos máximos:
1
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Mmáx
q ⋅ l2 50 ⋅ 52
=
=
= 156.25 m ⋅ kN
8
8
R A = Rb =
q ⋅ l 50 ⋅ 5
=
= 125 kN
2
2
Como el enunciado no nos hace referencia a ninguna limitación de
ambiente, consideramos que la viga se encuentra en un Ambiente IIb
(Exteriores, en ausencia de cloruros, expuestos a lluvia en zonas con
precipitación media anual inferior a 600 mm) y los recubrimientos que
adoptamos, suponiendo que el diámetro de los redondos de tracción va a ser
20 mm y que la armadura transversal va a estar constituida por barras de
diámetro 8 mm, serán:
rnom = ∆r + rmin = 0 + 25 = 25 mm
Al tratarse de hormigón prefabricado, suponemos un control de
ejecución intenso, por lo que hemos utilizado un margen de recubrimiento ∆r de
0 mm
d′ = rnom + φ c +
1
1
φ = 25 + 8 + 20 = 43 mm
2
2
d = h − d' = 450 − 43 = 407 mm
Cálculos a flexión
Obtenemos el momento límite con objeto de saber si es necesario
colocar armadura de compresión en el centro del vano desde el punto de vista
estricto de cálculo.
0.85⋅f
cd
RC
Mlim
ylim
d
h
σ1· A1
2
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y 

Mlim = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y lim ⋅  d − lim 
2 

Alargamiento
Acortamiento
εc2
3,5‰
0,259· d
10‰
xlim
εy
εs1
Por la ecuación de compatibilidad de las deformaciones,
ε yd
d − x lim
=
εc 2
x lim
fyk
Como εc 2 = 3.5 ‰ y ε yd
x lim =
510
γ
=
= s = 1.155 = 2.22 ‰, calculamos xlim
E
E
2 ⋅ 10
fyd
3 .5
εc 2
⋅d =
⋅ 407 = 249 mm
2.22 + 3.5
ε yd + εc 2
y lim = 0.8 ⋅ x lim = 199.2 mm
Mlim = 0.85 ⋅
35
199.2 

⋅ 300 ⋅ 199.2 ⋅  407 −
 = 364.3 m ⋅ kN
1 .5
2 

M d = γ f ⋅ M = 1.6 ⋅ 156.25 = 250 m ⋅ kN
Al ser Md < Mlim , comprobamos que no es necesaria la armadura de
compresión.
0.85⋅fcd
RC
Md
y
d
σ1· A1
3
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Para calcular la armadura, aplicamos las ecuaciones de la Estática:
∑ MA 1 = 0
y

Md − 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y ⋅  d −  = 0
2

250 ⋅ 106 − 0.85 ⋅
35
y

⋅ 300 ⋅ y ⋅  407 −  = 0
1 .5
2

y

250 ⋅ 106 − 5950 ⋅ y ⋅  407 −  = 0
2

250 ⋅ 10 6 − 2421650 ⋅ y + 2975 ⋅ y 2 = 0
y1 = 121.3 mm
y 2 = 692.7 mm
Por tanto, y = 121.3 mm
∑ FN = 0
σ1 ⋅ A1 = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y
σs
fyd
35
σ1 ⋅ A 1 = 0.85 ⋅
⋅ 300 ⋅ 121.3 = 721.735 N
1 .5
x=
y
121.3
=
= 151.6 mm
0 .8
0 .8
E
εyd
εs
10‰
0.259 ⋅ d = 105.4 mm
Por tanto, 0.259 ⋅ d < x < x lim , por lo que la sección se encuentra en el
dominio 3. En este dominio, σ 1 = f yd , de modo que:
4
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A1 =
721735
= 1627.4 mm 2
510
1.15
Si elegimos barras de diámetro 20, obtendremos:
1627.4
= 5.2 → 6 φ20
20 2
π⋅
4
Comprobamos que caben en la sección:
6φ20 :
25 + 8 + 6 ⋅ 20 + 5 ⋅ 20 + 8 + 25 = 286 mm < b
Cuantía mecánica mínima:
A S ≥ 0.04 ⋅ A c ⋅
AS = 6 ⋅ π ⋅
fcd
f yd
202
= 1885 mm 2
4
A C = 450 ⋅ 300 = 135000 mm 2
35
0.04 ⋅ 135000 ⋅
1.5 = 284.1 mm 2
510
1.15
Cuantía geométrica mínima:
Según la EHE, para vigas y acero B 500S es 2.8‰
A 1CGM = 2.8 ⋅
450 ⋅ 300
= 378 mm 2
1000
A 2CGm = 30% ⋅ A 1CGM = 113.4 mm 2
5
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Por tanto, adoptamos:
A1 = 6φ20
A2 = 2φ16
Vamos, antes de seguir con los esquemas de armado, a determinar los
puntos de momento mitad:
Mmáx = 156.25 m ⋅ kN
Mmáx
q⋅l
q ⋅ x2
= 78.125 =
⋅x−
2
2
2
78.125 = 125 ⋅ x − 25 ⋅ x 2
x1 = 0.73 m
25 ⋅ x 2 − 125 ⋅ x + 78.125 = 0
x 2 = 4.27 m
125 m⋅kN
125 m⋅kN
250 m⋅kN
0.73 m
3.54 m
0.73 m
6
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Longitudes de anclaje
Cara superior:
lbII = 1.4 ⋅ m ⋅ φ 2 </
fck = 35
B 500S
f yk
14
⋅φ

 m = 12

1.4 ⋅ 12 ⋅ 1.6 2 = 43 cm
510
⋅ 1.6 = 58.3 cm
14
lbneta = lb ⋅ β ⋅





l bII,φ16 = 58.3 cm
As
A s,real
β =1
As
113.4
=
= 0.28
A s,real 402.1
2φ16 = 2 ⋅ π ⋅
162
= 402.1
4
lbneta = 58.3 ⋅ 0.28 = 16.3 cm → 20 cm
Cara inferior
En este caso, las barras de la cara inferior se encuentran en Posición I, y
la longitud de anclaje será:
lbI = m ⋅ φ 2 </
f yk
20
φ
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12 ⋅ 22 = 48 cm
510
⋅ 2 = 51 cm
20
lbneta = lb ⋅ β ⋅


 lbI,φ20 = 51 cm


As
1627.4
= 51⋅ 1⋅
= 44 cm
A s,real
1885.0
Como no hemos tenido en cuenta el decalaje de los momentos
máximos, adoptamos como distancia de seguridad Sd la expresión simplificada:
S d = 0.85 ⋅ d = 0.85 ⋅ 407 = 346 mm
Por tanto, en la cara superior dispondremos 2φ16 de principio a fin,
doblando hacia abajo en los extremos una distancia de 20 cm.
En la cara inferior, las tres barras que forman la armadura en los
extremos se anclarán una distancia 44+34.6 = 78.6 cm, por lo que se adopta
una longitud de anclaje de 80 cm. Obviamente esta longitud exige que la barra
se doble hacia arriba y, al llegar a la cara superior, doblarse de nuevo hacia el
interior del vano.
También en la cara inferior, las barras del tramo central que se cortan a
73 cm de los apoyos, se prolongarán de lado a lado y se levantarán 10 cm en
los apoyos.
Comprobación a esfuerzo cortante
V = 125 kN
Vd = γ f ⋅ V = 1.6 ⋅ 125 = 200 kN
Vu1 = 0.30 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ d
Vu1 = 0.30 ⋅
35
⋅ 300 ⋅ 407 = 854.7 kN
1 .5
8
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1
Vu1 =
5
2
Vu1 =
3
1
⋅ 854.7 = 170.9 kN
5
2
⋅ 854.7 = 569.8 kN
3
1
2
Vu1 < Vd < Vu1
5
3
0.60 ⋅ d = 0.6 ⋅ 407 = 244.2 mm
S t ≤ 15 ⋅ φ min = 15 ⋅ 16 = 240 mm
φ>
1
φ máx = 4 mm
4
Teniendo en cuenta estos condicionantes, hemos adoptado cercos de φ8
separados 240 mm.
Vu 2 = Vcu + Vsu
Vcu = 0.10 ⋅ ξ ⋅ (100 ⋅ ρ 1 ⋅ f ck )
1/ 3
ξ = 1+
ρ1 =
⋅b ⋅d
200
200
= 1+
= 1.70
407
d
As
>/ 0′02
b⋅d
Al anclar la armadura de tracción se comprueba que en toda la sección
va a haber 6φ20, por lo que se obtiene:
As = 6 ⋅
ρ1 =
π ⋅ 202
= 1885 mm 2
4
1885
= 1.54 ⋅ 10 − 2
300 ⋅ 407
(
Vcu = 0.10 ⋅ 1.70 ⋅ 100 ⋅ 1.54 ⋅ 10 − 2 ⋅ 35
)
1
3
⋅ 300 ⋅ 407 = 78408 N
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Para comprobar si la separación entre cercos cumple todas las
limitaciones de la EHE, vamos a ver la condición impuesta de la fisuración por
esfuerzo cortante.
Fisuración por esfuerzo cortante:
Vd − 3 ⋅ Vcu
⋅ senα
Aα ⋅ d
Vd − 3 ⋅ Vcu = 200 − 3 ⋅ 78.4 = −35.2 kN
Por lo tanto, la limitación de St ≤ 300 mm se cumple.
Vsu = A 90 ⋅ f y 90,α ⋅ 0.90 ⋅ d
A 90 =
π ⋅ 82
4 = 0.42
240
2⋅
Vsu = 0.42 ⋅
510
⋅ 0.90 ⋅ 407 = 68227 N
1.15
Vu 2 = Vcu + Vsu = 78408 + 68227 = 146635 N
Vu 2 < Vd
por lo que no es admisible.
Si decidimos mantener como armadura transversal 2φ8, vamos a
comprobar la separación que nos exige este esfuerzo cortante.
Vd − Vcu = 200000 − 78408 = 121592 N
121592 = A 90 ⋅
510
⋅ 0.90 ⋅ 407
1.15
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A 90
π ⋅ 82
2⋅
4
= 0.75 =
S
S = 134 mm.
Por tanto, adoptamos una separación entre cercos de 130 mm en la
zona más solicitada a cortante, es decir, en las proximidades de los apoyos.
A una distancia de 1.25 m de los apoyos, el esfuerzo cortante vale la
mitad, Vd =100 kN. Una separación de 240 mm permite absorber con seguridad
estos esfuerzos. Esta separación se mantiene en los 2.5 m centrales de la viga.
Comprobación a fisuración
Wk ≤ Wmáx
Al der hormigón prefabricado, la anchura máxima de fisura vale:
Wmáx = 0.2mm
La anchura característica de fisura viene dada por la expresión:
Wk = β ⋅ s m ⋅ ε sm
β = 1 .7
s m = 2 ⋅ c + 0 .2 ⋅ s + 0 .4 ⋅ k 1 ⋅
φ ⋅ A c,eficaz
As
s es la distancia entre ejes de la armadura longitudinal en la sección de
estudio. En este caso, la sección más desfavorable corresponde al vano
central, donde la armadura traccionada es 6φ20.
300 − 2 ⋅ 25 − 2 ⋅ 8 − 2 ⋅ 20 = 194 mm
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194 − 4 ⋅ 20 = 114 mm
114
= 22.8 mm
5
s = 22.8 + 20 = 42.8 < 15 ⋅ φ
k1 = 0.125
7.5 ⋅ φ = 7.5 ⋅ 20 = 150
A c ,eficaz = b ⋅ (7.5 ⋅ φ + c ) = 300 ⋅ (150 + 25 ) = 52500 mm 2
sm = 2 ⋅ 25 + 0.2 ⋅ 42.8 + 0.4 ⋅ 0.125 ⋅
ε sm
σ
σ 
= s ⋅ 1 − k 2 ⋅  sr
Es 
 σs

σs =
M
=
0 .8 ⋅ d ⋅ A s



2
20 ⋅ 52500
= 86.4 mm
π ⋅ 202
6⋅
4

σ
 </ 0.4 s
Es

156.25 ⋅ 10 6
= 254.6 N/mm 2
20 2
0.8 ⋅ 407 ⋅ 6 ⋅ π ⋅
4
Ε s = 2 ⋅ 10 5 N/mm 2
σs
= 1.27 ⋅ 10 −4
Εs
k 2 = 0 .5
fctm = 0.30 ⋅ 3 fck2 = 3.210
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σ sr fctm ⋅ b ⋅ h 2 3.210 ⋅ 300 ⋅ 450 2
=
=
= 1.248
M
σs
156.25 ⋅ 10 6
[
]
ε sm = 1.27 ⋅ 10 −4 ⋅ 1 − 0.5 ⋅ 1.248 2 = 2.81⋅ 10 −5 < 0.4 ⋅
0 .4 ⋅
σs
Es
σs
= 5.1⋅ 10 −5
Εs
WK = 1.7 ⋅ 86.4 ⋅ 5.1⋅ 10 −5 = 0.0075 < 0.2 mm
Admisible a fisuración.
Flecha
Debemos establecer cuanto vale la relación L/d que exime calcular la
flecha. Para ello, en primer lugar, debemos determinar si nos encontramos ante
un elemento débil o fuertemente armado, teniendo en cuanta que el límite de la
cuantía geométrica es del 1.2‰
π ⋅ 202
6⋅
A
4 = 1.54 %
ρ= s =
b ⋅ d 300 ⋅ 407
Por lo tanto es un elemento fuertemente armado. Como nos
encontramos que es una viga biapoyada, la relación entre la luz y el canto útil
L/d ha de ser menor o igual que 14.
L 5000
=
= 12.29
d
407
Como es menor que 14, no es necesario realizar la comprobación a
flecha.
13