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Fisicoquímica Molecular Básica
Cuarto Semestre
Carrera de Químico
Tema 3
Clase en Titulares
Q
Q
Q
Q
Q
La ecuación de ondas monodimensional
Soluciones de la ecuación de ondas
Soluciones oscilatorias
Modos normales de vibración
Ecuaciones de ondas en más dimensiones.
FQMB-2006
Tema 3
2
1
Ondas en una dimensión
Q
De Broglie determinó que
las partículas tenían
asociadas ondas, o,
mejor dicho, que las
partículas elementales
(i.e. el electrón) se
comportaban a veces
exhibiendo propiedades
de partícula y a veces de
onda, dependiendo del
experimento
FQMB-2006
Tema 3
3
Ondas en una dimensión
Q
Q
Consecuentemente, es
necesario que repasemos
los conceptos ya
aprendidos sobre ondas
para aplicarlos a los
fenómenos atómicos
Empecemos por definir
nuestro sistema
unidimensional en la
forma que se muestra en
la figura
FQMB-2006
Cuerda fija
por ambos
extremos
u(x,t)
0
Tema 3
x
l
4
2
Ondas en una dimensión
Q
Q
Recordemos que el
máximo desplazamiento
de la cuerda en la
direcció
dirección perpendicular a
x es llamada amplitud
La funció
función u(x,t)
u(x,t) mide el
desplazamiento del punto
x de la cuerda (entre los
extremos 0 y l) al tiempo
t
FQMB-2006
Cuerda fija
por ambos
extremos
u(x,t)
0
x
Tema 3
l
5
u(x,t)
Ecuación de ondas
Q
0
l
x
La ecuación que determina el comportamiento de la
cuerda es una ecuació
ecuación diferencial a derivadas
parciales (EDP) que tiene la forma
∂2u(x,t
∂2u(x,t
1 _______
u(x,t))
u(x,t))
_______
__
=
v2
∂x2
∂t2
Q
Q
(1)
donde v es la velocidad con que la perturbación se
propaga en la cuerda
La EDP tiene dos variables independientes x y t
Es una EDP lineal y a variables separables
FQMB-2006
Tema 3
6
3
Ecuación de ondas
Q
La ecuación
∂2u(x,t
∂2u(x,t
1 _______
u(x,t))
u(x,t))
_______
__
=
v2
∂x2
∂t2
(1)
debe cumplir además con las condiciones de contorno
u(0,t) = 0
u(l,t)
u(l,t) = 0
≤t
(2)
dado que la cuerda tiene fijos sus extremos y, por lo
tanto, la amplitud de movimiento ahí es nula
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Tema 3
7
Solución de la ecuación de
ondas
La ecuación de ondas es a variables separables. Podemos entonces
buscar la solución como
u(x,t)
u(x,t) = X(x)
X(x) T(t)
T(t)
(3)
Tendremos así que la ecuación de ondas
∂2u(x,t
∂2u(x,t
1 _______
u(x,t))
u(x,t))
_______
__
=
v2
∂x2
∂t2
(1)
d2T(t)
d2X(x)
1 _______
_______
__
X(x)
X(x)
T(t)
=
T(t)
2
2
2
v
dx
dt
(4)
se transforma en
FQMB-2006
Tema 3
8
4
Solución de la ecuación de
ondas
Podemos ahora dividir ambos lados de la ecuación por
u(x,t)
u(x,t) = X(x)
X(x) T(t)
T(t)
y obtenemos
X−1(x)
(3)
d2X(x)
1 _______
d2T(t)
_______
__
T−1(t)
=
2
v
dx2
dt2
(5)
Ambos lados de la igualdad dependen de distintas variables (x y t)
que, a su vez, son independientes entre sí. Por lo tanto, cada lado de
la ecuación puede variar independientemente del otro. La única forma
en que la igualdad sea siempre válida, para cualquier valor de x y t es
que ambos miembros sean iguales a una constante (es decir, una
función que no depende ni de x ni de t)
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Tema 3
9
Solución de la ecuación de
ondas
Es decir
X−1(x)
d2X(x)
1 _______
d2T(t)
_______
__
T−1(t)
=K= 2
v
dt2
dx2
(6)
donde K es la constante de separación. Obsérvese entonces que
tenemos dos ecuaciones ahora, que tienen respectivamente la forma
d2X(x)
_______
− K X(x)
X(x) = 0
dx2
(7)
d2T(t)
_______
− K v2 T(t)
T(t) = 0
dt2
(8)
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Tema 3
10
5
Solución de la ecuación de
ondas
Las ecuaciones (7) y (8) son ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO),
lineales (las funciones y sus derivadas están sólo a la potencia 1) y a
coeficientes constantes (los coeficientes son 1, -K y -Kv2 , ninguno de
ellos depende de las variables x y t)
Nótese que, en general, la solución de EDOs como la (7) y la (8) va a
depender del valor de la constante K. Por eso, vamos a discutir las
soluciones para estas ecuaciones en función del valor de la constante de
separación. Consideremos primero el caso en que K=0
d2X(x)
d2T(t)
_______
_______
=
0
=
dx2
dx2
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Tema 3
(9)
11
Solución de la ecuación de
ondas
Obviamente, las soluciones de las ecuaciones (9) son
X(x)
X(x) = a1x + b1
T(t)
T(t) = a2t +b2
(10)
Ahora bien, no es difícil de demostrar que para que se cumplan las
condiciones de contorno de las ecuaciones (2), todos los coeficientes en
las ecuaciones (10) deben ser nulos. Obtenemos entonces que, si K=0,
la única solución de las ecuaciones (7) y (8) es la así llamada solució
solución
trivial
X(x)
X(x) = 0
T(t)
T(t) = 0
≤ x,t
(11)
Esto, evidentemente, no nos sirve de mucho
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Tema 3
12
6
Solución de la ecuación de
ondas
Si, por el contrario, K > 0, entonces ambas ecuaciones tienen la forma
d2Y(y)
_______
− k2 Y(y)
Y(y) = 0
dy2
(12)
La solución general de una ecuación con esta forma, es siempre
Y(y)
Y(y) = c1 e ky + c2 e −ky
(13)
lo que puede comprobarse por sustitución directa. Nótese que cada uno
de los términos en el lado derecho de la ecuación, satisfacen la EDO
(12) por sí mismos. El hecho de que la EDO es lineal posibilita que la
combinació
combinación lineal de ambos términos sea también una solución
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Tema 3
13
Solución de la ecuación de
ondas
Veamos que pasa, para la función X(x), cuando aplicamos las
condiciones de contorno (2)
X(0) = 0 = c1 + c2
(14)
X(l)
X(l) = 0 = c1 e kl + c2 e −kl
(15)
Manipulando en la ecuación (15) introduciendo la ecuación (14) tenemos
X(l)
X(l) = 0 = c1 e kl + c2 e −kl = c1 (e kl - e −kl )
≤t
(16)
Esta condición puede satisfacerse sólo si C1=0, de donde surge, por la
ecuación (14), que C2=0, es decir ... tenemos nuevamente la solución
trivial. Desilusionante, no?
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Tema 3
14
7
Soluciones oscilatorias
El caso mas interesante es cuando K es negativo. Tenemos entonces
d2Y(y)
_______
+ k2 Y(y)
Y(y) = 0
dy2
Atención
(17)
La solución general es similar a la anterior
Y(y)
Y(y) = c1 e iky + c2 e −iky
(18)
Estas soluciones son funciones complejas,
complejas donde interviene el símbolo
___
i = ª −1
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(19)
Tema 3
15
Disgresión por los números
complejos
Recordemos que un número complejo puede siempre escribirse como
z=x+iy
x = Re(z)
Re(z)
y = Im(z)
Im(z)
(20)
donde x e y son números reales que se acostumbran llamar parte real y
parte imaginaria del número complejo. Reglas importantes son
z* = x − i y
complejo conjugado de z (21)
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
z1 z2 = x12 − y12 + i (x1y2 + y1x2)
z1/z2 = z1 z2* / z2 z2*
FQMB-2006
adició
adición (22)
multiplicació
multiplicación (23)
divisió
división (24)
Tema 3
16
8
Disgresión por los números
complejos
Algo muy importante es lo que pasa al multiplicar un complejo y su
conjugado
z z* = x2 + y2 + i (xy
(xy - yx)
yx) = x2 + y2
(25)
Generalmente se escribe
||z|| = z z* = x2 + y2
norma de z
|z| = ||z||½ = (x2 + y2) ½ módulo de z
(26)
(27)
La importancia de estas definiciones surgirá mas adelante
FQMB-2006
Tema 3
17
Digresión por los números
complejos
Im(z)
Im(z)
.
(x,y)
x,y)
r
θ
Los nú
números complejos pueden representarse
como vectores en un plano definido por las
componentes reales e imaginarias del nú
número
complejo. Este plano se llama el plano complejo
Fijá
Fijándonos en la figura, tenemos
r = |z|
(28)
tan θ = Re(z)/
Im(z))
Re(z)/Im(z
(29)
lo que implica
z = x + iy = r cos θ + r sen θ =
Re(z)
Re(z)
= r (cos θ + i senθ) = r e iθ
FQMB-2006
Tema 3
(30)
18
9
Soluciones oscilatorias
Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones (6(6-8)
cuando K = −β2 (escrito así
así para que sea evidente que K es negativo).
Tenemos
d2X(x)
d X(x)
_______
+ β2 X(x)
X(x) = 0
dx2
d2T(t)
_______
+ β2v2 T(t)
T(t) = 0
dt2
(31)
(32)
Escribiendo la solució
solución en la forma (18) y usando la relació
relación (30)
X(x)
X(x) = c1 e iβx + c2 e −iβx = A cos βx + B sen βx
(33)
T(t)
T(t) = c3 e iβvt + c4 e −iβvt = C cos ωt + D sen ωt
(34)
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Tema 3
ω=βv
19
Soluciones oscilatorias
Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la ec.
ec. (2)
X(0) = A cos β0 + B sen β0 = A = 0
(35)
X(l)
X(l) = A cos βl + B sen βl = B sen βl = 0
(36)
La ecuació
ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) nos
dejarí
dejaría únicamente la solució
solución trivial. PERO,
PERO, la ec.
ec. (36) se satisface
tambié
también si
βl=nπ
n = 1, 2, 3, ...
(37)
No incluí
incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solució
solución trivial. Las
condiciones de contorno provocan la cuantizació
cuantización de β.
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Tema 3
20
10
Soluciones oscilatorias
La solució
solución general para X(x)
X(x) es entonces
Xn(x)
nπ x
(x) = B sen __
n=1,2,3,...
l
(38)
Tenemos que resolver ahora la ecuació
ecuación (32) que tiene la forma
d2T(t)
_______
+ ωn2 T(t)
T(t) = 0
dt2
n=1,2,3,...
(39)
donde introdujimos la ecuació
ecuación (37) en la forma
ωn = βnv = n π v / l
FQMB-2006
n=1,2,3, ...
Tema 3
(40)
21
Soluciones oscilatorias
La solució
solución general es simplemente
Tn(t)
(t) = D cos ωnt + E sen ωnt
n=1,2,3,...
(41)
Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y E (las
(las
constantes de integració
integración), por lo que lo dejaremos entonces así
así. Con
(38) y (41) podemos entonces escribir
un(x,t)
nπx {D cos ωnt + E sen ωnt} =
(x,t) = Xn(x)Tn(t)
(t) = B sen ___
l
nπx
= {a
{an cos ωnt + bn sen ωnt} sen ___
l
n=1,2,3,...
FQMB-2006
Tema 3
(42)
22
11
Soluciones oscilatorias
Acá
Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado que las
condiciones iniciales para cada solució
solución (con n diferente) podrí
podrían ser
diferentes. Dado que cada una de las ecuaciones (42) es una soluci
ón
solució
de la ecuació
ecuación diferencial lineal (1), la solució
solución má
más general posible es
la suma de todas las soluciones individuales
∞
u(x,t)
u(x,t) =
Σ u (x,t)
(x,t) =
n=1
n
∞
=
Σ (a
n=1
n
cos ωnt + bn sen ωnt) sen ___
nπx
n=1,2,3,... (43)
l
FQMB-2006
Tema 3
23
Modos Normales de Vibración
Una simplificació
simplificación trigonomé
trigonométrica simple nos permite escribir
u(x,t)
u(x,t) =
∞
∞
Σ u (x,t)
(x,t) = Σ A
n=1
n
n=1
n
cos (ωnt + φn) sen ___
nπx
l
n=1,2,3,...
(44)
Los An será
serán las amplitudes de cada solució
solución, mientras que los φn se
llaman ángulos de fase de cada solució
(x,t)
solución. Cada solució
solución un(x,t)
representa un movimiento armó
armónico de diferente frecuencia y se llama
modo normal de vibració
vibración. El modo normal con n=1 se llama
fundamental o primer armó
armónico , para n=2 tenemos el segundo
armó
armónico o primer sobretono,
sobretono, etc. En la siguiente grá
gráfica se muestran
algunos de los armó
armónicos.
FQMB-2006
Tema 3
24
12
Modos Normales
nodos
FQMB-2006
Tema 3
25
Modos Normales
Q
Q
Q
Q
Los puntos de la cuerda que permanecen fijos
durante el movimiento de ésta, se llaman nodos
Nótese que para el nn-ésimo sobretono hay nn-1 nodos
(el estado fundamental no tiene nodos)
Las ondas (fundamental y sobretonos)
sobretonos) que se
obtienen en la forma de la ecuació
ecuación (44) se llaman
ondas estacionarias,
estacionarias, justamente porque la posició
posición
de los nodos está
está fija en el tiempo
Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y abajo
(como un fundamental con menor distancia!)
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Tema 3
26
13
Ondas Viajeras
El segundo armó
armónico
oscila dos veces má
más
rápido que el
primero, por lo que
cuando se suman
esto provoca la tí
típica
onda viajera, donde
hay dos má
máximos de
diferente altura,
dando la imagen de
que la onda “se
mueve”
mueve”, p.ej.
p.ej. una ola
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Tema 3
27
Superposición de ondas
Dos ondas de
distinta frecuencia
viajando en el
mismo sentido se
interfieren
Una superposició
superposición
de ondas que viajan
en direcció
dirección opuesta
suman sus amplitudes
Dos ondas de
frecuencias
ligeramente
diferentes viajando
en el mismo sentido
producen pulsos
(paquetes de ondas)
Dos ondas de
la misma frecuencia
viajando en
direcciones opuestas
producen una onda
estacionaria
FQMB-2006
Tema 3
28
14
Ondas en más dimensiones
Los principios que rigen a las
ondas en más dimensiones son
los mismos que ya vimos.
La analogía en 2 dimensiones
con la cuerda fija en sus
extremos es una membrana
vibrante que toma vida en los
tambores del carnaval.
FQMB-2006
Tema 3
29
Ondas en 2 dimensiones
Q
La generalizació
generalización de la ecuació
ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene
la forma
∂2u(x,y,t
∂2u(x,y,t
∂2u(x,y,t
1 ________
u(x,y,t)) ________
u(x,y,t))
u(x,y,t))
________
__
+
= 2
v
∂x2
∂y 2
∂t2
Q
(45)
Esta podrí
podría ser la ecuació
ecuación de ondas de una membrana de lados a y b
respectivamente, tal que está
está fija a lo largo de todo su perí
perímetro
u(0,y,t
u(0,y,t)) = u(a,y,t)
u(a,y,t) = 0
a
u(x,0,t)
u(x,0,t) = u(x,b,t)
u(x,b,t) = 0
0
(46)
b
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Tema 3
30
15
Ondas en 2 dimensiones
Q
Aplicamos nuevamente el mé
método de separació
separación de variables y
tenemos
u(x,y,t)
u(x,y,t) = F(x,y)
F(x,y) T(t)
T(t)
Q
Sustituyendo la expresió
expresión (47) en la ecuació
ecuación (45) y dividiendo por
F(x,y)T(t)
F(x,y)T(t) tenemos
1
d2 T(t)
T(t)
_____
______
=
2
v T(t)
T(t) dt2
Q
(47)
1
_____
F(x,y)
F(x,y)
(
∂ 2F
____
+
∂ x2
∂ 2F
____
∂ y2
)
(48)
Esta ecuació
ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual
obtenemos las dos ecuaciones
FQMB-2006
Tema 3
31
Ondas en 2 dimensiones
2 T(t)
d
T(t)
_____
dt2
∂ 2F
____
+
∂ x2
Q
Q
+ v2 β2 T(t)
T(t) = 0
∂ 2F
____
∂ y2
+
β2 F(x,y)
F(x,y) = 0
(49)
(50)
La ecuació
ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En
el caso de la ecuació
ecuación (50) nos encontramos con otra ecuació
ecuación a dos
variables, pero haciendo F(x,y)
F(x,y) = X(x)Y(y)
X(x)Y(y) podemos hacer nuevamente
una separació
separación de variables.
Habiendo separado las variables con constantes de separació
separación p y q
respectivamente, obtenemos
FQMB-2006
Tema 3
32
16
Ondas en 2 dimensiones
u(x
u(x,t)
,t) =
∞
Σu
m,n=1
m,n=1
,t) =
nm(x,t)
∞
ΣA
m,n=1
m,n=1
nm
cos (ωnmt + φnm) sen ___
nπx sen ___
mπy
a
x = (x,y
(x,y))
Q
a
(51)
Nótese que la forma de esta ecuació
ecuación es completamente similar a la de
la ecuació
ecuación en 1 dimensió
dimensión, excepto que ahora tenemos dos nú
números
“cuá
cuánticos”
nticos” n y m que etiquetan el estado. Las frecuencias de
vibració
vibración, en este caso, dependen de ambos nú
números n y m
ωnm = vπ ( n2/a2 + m2/b2)1/2
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Tema 3
(52)
33
Modos normales en 2
dimensiones
Q
Q
Q
Algunos de los modos normales en el caso bibi-dimensional pueden
verse en la siguiente figura.
Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las
dos direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma
forma
que tení
tenía la cuerda cuando n=1)
Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si
modificamos ambos nú
números obtenemos la figura de la siguiente
diapositiva.
FQMB-2006
Tema 3
34
17
Modos normales en 2
dimensiones
Q
En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. Por
ejemplo u12 y u21
FQMB-2006
Tema 3
35
Ondas en dos dimensiones
Q
Q
Si el desplazamiento es só
sólo en
la direcció
dirección X tenemos ondas
longitudinales
Si el desplazamiento es en las
dos direcciones tenemos
fenó
fenómenos como el de las olas
marinas
Q
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Tema 3
Si el desplazamiento es só
sólo en
la direcció
dirección Y tenemos ondas
transversales
36
18
Modos normales en 2
dimensiones
Q
Resolvamos las ecuaciones en funció
función del tiempo para un par de
oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)
Mathematica)
FQMB-2006
Tema 3
37
19