Matematicas y Medicina - Diarium

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Matemáticas y Medicina
Ángel Martín del Rey
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Salamanca
[email protected]
Bachillerato de Inves1gación, I.E.S. “Vaguada de la Palma”, 18 de diciembre de 2013
Introducción
• Las Matemáticas son de gran utilidad en múltiples disciplinas de la
Medicina:
‣ Epidemiología (propagación de enfermedades infecciosas).
‣ Farmacocinética.
‣ Diseño de prótesis.
‣ Planificación y evaluación de planes de control y prevención.
‣ Control y análisis de experimentos clínicos.
‣ Impacto económico de las medidas sanitarias.
‣ Etc.
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Ángel Mar1n del Rey, 2013
Introducción
• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas
de mayor uso en Medicina.
• Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática
es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de
fenómenos de todo tipo.
Interpretación
Problema
existente en el
mundo real
Resultados y
Conclusiones
Simplificación
Modelo de
Trabajo
Simulación
Representación
Modelo
Computacional
Modelo
Matemático
3
Implementación
Ángel Mar1n del Rey, 2013
Introducción
• ¿Qué buscamos con un modelo matemático?
‣ Representación matemática de un determinado fenómeno de tal
forma que su análisis teórico y numérico proporcione información
para entender mejor los mecanismos que lo rigen.
‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.
• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?
‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del
modelo y sus implicaciones.
‣ Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que
permita predecir comportamientos y tomar decisiones de control.
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Aplicaciones: Cardiología
Simulación del flujo sanguíneo por venas y arterias.
Determinación de la mejor forma de redireccionar
el flujo sanguíneo ante una obstrucción arterial
Simulación de la actividad eléctrica en el corazón
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Aplicaciones: Oncología
• Análisis de los niveles de los biomarcadores
cancerígenos en sangre.
• Simulación del crecimiento de tumores.
• Planificación de la medicación anticancerígena.
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Aplicaciones: Diseño de prótesis
• Simulación y construcción de superficies 3D:
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Aplicaciones: Imágenes Médicas
• Procesamiento digital de imágenes médicas
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa
del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulen la
propagación de las enfermedades infecciosas.
• La modelización matemática de la propagación de enfermedades
infecciosas trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:
‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?
‣¿Cuál será el efecto de las medidas de
prevención y de control tomadas?
‣¿Qué medida tomada será más eficiente y
eficaz?
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en
1760 y es debido a Daniel Bernoulli.
• Estudiaba la propagación de la viruela.
• Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
(
)
⎧ u '(t) = − λ (t) + µ (t) u(t)
⎪
⎨
⎪⎩ w'(t) = 1 − c(t) λ (t)u(t) − µ (t)w(t)
(
)
u(0) = 1
w(0) = 0
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para
estudiar la propagación del sarampión.
‣ Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa
de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la
enfermedad y los individuos infectados con capacidad de
transmitirla (individuos infecciosos).
‣ Este principio de acción de masas establece que la
incidencia (número de nuevos casos por unidad de
tiempo) es proporcional al producto de la densidad
de individuos susceptibles por la densidad de
individuos infecciosos.
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Ángel Mar1n del Rey, 2013
Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en
ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un
brote infeccioso de malaria.
• En dicho modelo se explica la relación entre el número de mosquitos
y la incidencia de la malaria en humanos.
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Se puede afirmar que la Epidemiología Matemática
moderna surge en 1927 con el trabajo de W.O.
Kermack y A.G. McKendrick en el que se presenta
un modelo matemático que simula la propagación
de la peste bubónica acaecida en Londres desde
1665 a 1666 y que se saldó con la muerte del 20%
de la población.
• Está basado en el uso de un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
• La gran mayoría de los modelos propuestos desde
entonces se basan en el paradigma establecido por
Kermack y McKendrick.
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Su característica fundamental es que se trata del primer modelo
compartimental en el que la población es dividida en tres clases
diferentes:
‣ Individuos Susceptibles.
‣ Individuos Infecciosos.
‣ Individuos Recuperados
• Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la
introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un
brote infeccioso se convierte en epidémico.
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• El modelo de Kermack-McKendrick es un modelo SIR:
Suscep'ble
Infectado
Recuperado
S(t) : Individuos susceptibles en el instante t,
I (t) : Individuos infectados en el instante t,
R(t) : Individuos recuperados en el instante t.
• La población se mantiene constante a lo largo del tiempo:
S(t) + I (t) + R(t) = N .
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• En el modelo se tienen en cuenta sólo dos parámetros:
‣ Tasa de infección: a (probabilidad de que un individuo susceptible
se infecte al entrar en contacto con un infectado).
‣ Tasa de recuperación: b = 1/T (T: tiempo promedio de infección) .
Suscep'ble
a
Infectado
b
Recuperado
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Las ecuaciones (discretizadas en el tiempo) del modelo son las
siguientes:
S ( t + 1) = S ( t ) − a ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t )
Individuos susceptibles que se han infectado
en el instante de tiempo t
(Principio de acción de masas)
I ( t + 1) = I ( t ) + a ⋅ S ( t ) ⋅ I ( t ) − b ⋅ I ( t )
R ( t + 1) = R ( t ) + b ⋅ I ( t )
Individuos infectados que se han recuperado
en el instante de tiempo t
S ( 0 ) > 0, I ( 0 ) > 0, R ( 0 ) = 0.
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Teorema Umbral: Existe un valor umbral de S(0) por encima del
cual el número de individuos infectados crece, produciéndose una
epidemia:
‣ Si S(0) < b/a entonces el número de individuos infectados
decrecerá progresivamente y el brote desaparecerá (no se producirá
epidemia).
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• El Teorema Umbral permite definir el número reproductivo básico:
a
R0 = ⋅ S(0).
b
‣ Si R0 < 1 no se producirá un brote epidémico.
‣ Si R0 > 1 se producirá un brote epidémico.
• El número reproductivo básico se puede definir
como el número de nuevos casos infecciosos
que un único individuo infectado genera en una
población enteramente susceptible durante el
tiempo de duración de la enfermedad (número
de infecciones secundarias).
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Ejemplo: Desarrollo de un brote de gripe en un internado escolar en
1978 en el que convivían N = 763 estudiantes y los parámetros
asociados eran a = 0.00218, b = 0.4404.
personas
���
�
700
600
����������������������������������
��
�
�
�
�
�
500
�
400
�
S(0) = 762,
I (0) = 1,
a S(0)
R0 =
= 3.77193 > 1.
b
�
��
�
�� �
200
�
� �
100
�� � �
�� ��
��
����
�������
����������������������������������
�
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���������������������������� horas
��
��
10
20
30
40
50
300
20
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Aplicaciones: Epidemiología Matemática
• Ejemplo (continuación):
personas
Susceptibles
�������������������������������������������������
700
600
500
400
300
200
100
Recuperados
a = 0.00055,
b = 0.4404,
S(0) = 762,
I (0) = 1,
a S(0)
R0 =
= 0.951635 < 1.
b
��������������������������������������������� horas
�������������������������������������������������
����
10
20
30
40
50
Infectados
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¡Muchísimas gracias por vuestra atención!
¿Alguna pregunta?
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