Efectos De La Viscosidad En La Evolución De La Inestabilidad En

Revista Colombiana de Física, Vol. 43, No. 2 de 2011.
Efectos De La Viscosidad En La Evolución De La Inestabilidad En La
Interfase Entre Dos Fluidos
Effects Of Viscosity On The Evolution Of Instability In The Interface Between Two Fluids
R. D. Suaza a, C. E. Jácome * a, J. F. González a
a
Grupo de Física Teórica y Desarrollo de Software, Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá. Colombia.
Recibido 01.04.10; Aceptado 28.05.11; Publicado en línea 04.09.11.
Resumen
En este trabajo es estudiado el caso que atañe a dos fluidos newtonianos, no ideales y de diferentes densidades, en lo que
se refiere al comportamiento de la interfase entre ellos, en donde el fluido más denso se encuentra encima del menos
denso bajo la acción del campo gravitacional. En tal situación, se desarrolla una solución para el comportamiento de la
interfase, la que conlleva un régimen de inestabilidad en la misma, en la que además de los efectos generados por la
tensión superficial, se consideran y analizan aquellos producidos por la viscosidad de los fluidos. Para ello, es considerado
un balance de esfuerzos dentro del formalismo de las ecuaciones constitutivas, a través del cual se explican los
mecanismos que conducen a la inestabilidad y cómo ésta evoluciona.
Palabras clave: Inestabilidad; Interfase; Viscosidad; Rayleigh-Taylor.
Abstract
In this work it is studied the case that concerns to two Newtonian fluids, non ideal and with different densities, referring
to the behavior of the interface among them where the denser fluid is above the less dense both under the action of the
gravitational field. In this situation, a solution is developed for the behavior of the interface, which leads to an instability
behavior in it, in which besides the effects generated by the surface tension, we consider and analyze those produced by
the viscosity of the fluids. In order to do it, a balance of strengths is considered inside the formalism of the constituent
equations, through which the mechanisms that lead to the instability and how it evolves are explained.
Keywords: Instability; Interface; Viscosity; Rayleigh-Taylor.
PACS: 47.10-g; 47.10A-; 47.20-k; 47.20Gv
© 2011 Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
Al vaciar un fluido más ligero en un recipiente con un
fluido más denso, el primero flotará hacia arriba, formando
una interfase horizontal entre los dos fluidos y resulta
evidente de nuestra experiencia cotidiana que el fluido más
denso siempre quedara debajo del más ligero. Ahora bien,
si se invierte un recipiente lleno a la mitad con agua y aire,
el agua siempre fluye hacia el fondo, pues jamás se
observaran esos fluidos invertidos de cabeza pues la
interfase de un fluido denso sobre uno menos denso es
dinámicamente inestable, al igual que lo es un alfiler que
* [email protected]
se balancea sobre su punta. En fluidos las situaciones que
presentan inestabilidad se manifiestan de una forma
espectacular a pesar de que los mecanismos físicos
inherentes fundamentales al desarrollo de tal inestabilidad
no sean frecuentemente intuitivos, hecho que no se
presenta en sistemas mecánicos para los cuales situaciones
de equilibrio inestable son más comunes. La inestabilidad
que se presenta cuando un fluido denso reposa sobre un
fluido menos denso y ambos bajo la acción del campo
gravitacional es conocida como la inestabilidad de
Rayleigh-Taylor [1]. Se presenta un modelo basado en la
ecuación de movimiento para los fluidos; con éste se
R. D. Suaza, C. E. Jácome, J. F. González: Efectos De La Viscosidad En La Evolución De La Inestabilidad En La
Interfase Entre Dos Fluidos
ߩ
pretenden explicar los mecanismos que conducen al
comportamiento inestable de la interfase y el papel que
desempeñan cada una de las fuerzas participantes en ella,
esto se hace estudiando el comportamiento de la razón de
crecimiento de la perturbación que se le aplica a la
interfase como una función del número de onda.
߲݁
߲ܲ
‫ݑܦ‬
݀‫ = ݒ‬−
݀‫ ݒ‬+ 2ߤ
݀‫ ݒ‬,
‫ݐܦ‬
߲‫ݔ‬
߲‫ݔ‬
donde se sustituye ‫ ݌‬− ߩ݃ ‫ ݖ‬por la presión modificada ܲ
y
es la fuerza por unidad de volumen que se encuentra
೔
disponible para acelerar el elemento de fluido [3].
Integrando la ecuación y aplicando el teorema de la
divergencia se encuentra que
2. Planteamiento
නߩ
‫ݑܦ‬
݀‫ = ݒ‬− න ܲ݀‫ ܣ‬+ න 2ߤ݁ ݀‫ ܣ‬.
‫ݐܦ‬
(4)
Ahora bien, el movimiento de la interfase se describe
por una ecuación de la forma
ߦ = ߦሺ‫ݔ‬, ‫ݐ‬ሻ,
la cual describe el desplazamiento de la interfase desde el
plano ‫ = ݕ‬0 en el cual yace cuando los fluidos están sin
perturbar, la superficie se mueve hacia arriba o abajo, pero
se sabe que para seguir el movimiento de tales partículas,
la razón de cambio de ߦ es [1]
Fig. 1: Interfase perturbada entre los fluidos 1 y 2.
߲ߦ
‫ߦ߲ ߦܦ‬
=
+ ‫ݑ‬
.
߲‫ݔ‬
‫ݐ߲ ݐܦ‬
Se presentan dos fluidos newtonianos e incompresibles
con una superficie de contacto inicialmente en ‫ = ݕ‬0; el
fluido mas denso ߩ se encuentra sobre un fluido de menor
densidad ߩ , los fluidos están expuestos al campo
gravitacional y presentan diferentes fuerzas entre la
interfase como lo muestra la fig.1. Para estudiar el
comportamiento de la interfase entre los fluidos utilizamos
la ecuación de Cauchy
ߩ
߲߬
‫ݑܦ‬
= ߩ݃ +
,
‫ݐܦ‬
߲‫ݔ‬
Dado que se consideran ondas cuya amplitud es
infinitesimal entonces se descartan los términos de
segundo orden lo cual conlleva a que
‫ߦ߲ ߦܦ‬
≈
,
‫ݐ߲ ݐܦ‬
de manera que la ec. (4) se puede escribir como
‫ߦܦ‬ሶ
නߩ
݀‫ = ݒ‬− න ܲ݀‫ ܣ‬+ න 2ߤ݁ ݀‫ ܣ‬,
‫ݐܦ‬
(1)
que es la ecuación que relaciona la aceleración y la fuerza
neta en un punto para un fluido. En esta la fuerza neta
está dada por las fuerzas de cuerpo ߩ݃ y las fuerzas de
superficie
೔ೕ
ೕ
y usando el mismo hecho de pequeñas amplitudes se llega
a la segunda ley de Newton aplicada a la interfase, de
manera que se tiene las fuerzas que actúan sobre la
superficie de la interfase debida a cada fluido, por lo que
la ec. (5) se puede escribir como
por unidad de volumen, ߬ es el tensor de
esfuerzos el cual para un
incompresible esta dado por
fluido
newtoniano
߬ = −‫ ߜ݌‬+ 2ߤ݁ ,
e
݉ߦሷ = ෍ ‫ ܨ‬,
(2)
con ݁ el tensor taza de deformación que se relaciona con
el campo de velocidades por ݁ = ൬
೔
ೕ
+
ೕ
೔
ߩ
߲݁
‫ݑܦ‬
߲‫݌‬
= ߩ݃ −
ߜ + 2ߤ
.
‫ݐܦ‬
߲‫ݔ‬
߲‫ݔ‬
(6)
donde no se permite flujo de masa a través de la interfase.
Ahora se puede aplicar esta ecuación para estudiar el
problema que nos interesa y define el papel que
desempeñan las fuerzas en la evolución de la interfase.
൰ y ߤ la
viscosidad del fluido. Al sustituir la ec. (2) en ec. (1)
obtiene
(5)
se
3. Fuerzas sobre la interfase
(3)
La interfase entre los fluidos es inicialmente plana por
lo que existe equilibrio y los elementos inmediatamente
arriba y abajo de la interfase tiene la misma presión
‫ ݌ = ݌ = ݌‬. Si se perturba la interfase (ver fig.1) tal que
los elementos son trasladados a una nueva posición ‫ߦ = ݕ‬,
El carácter conservativo de la fuerza de cuerpo permite
que esta se pueda escribir como el gradiente de un
potencial dado por ߩ݃ ‫ ݕ‬de manera que al multiplicar por
el diferencial de volumen se tiene que la ec. (3) es
251
Rev.Col.Fís., Vol. 43, No. 2 de 2011.
de manera que la presión en cada lado de la interfase
trasladada es
‫ ݌ = ´݌‬+ ߩ ݃ߦ ,
luego la fuerza total debida únicamente a los efectos
viscosos es ‫ ݂( = ܨ‬+ ݂ )‫ܣ‬, de manera que al sustituir
el tensor razón de deformación con ‫ ݒ‬, las
correspondientes componentes de la velocidad del fluido, y
si se consideran las direcciones de las normales tal que
݊ = −݊ se tiene que la fuerza viscosa es
‫ ݌ = ´݌‬+ ߩ ݃ߦ ,
por lo que se crea una diferencia de presión a través de la
interfase ∆‫ ´݌ = ݌‬− ‫ = ´݌‬ሺߩ − ߩ ሻ݃ߦ, de manera que
si ‫ ܣ‬es el área de la interfase esta fuerza está dada por
∆‫ܣ ݌‬,
∆‫ = ܣ ݌‬ሺߩ − ߩ ሻ݃ߦ‫ ܣ‬.
‫ = ܨ‬2ߤ
(7)
‫=ݎ‬
‫ ݁ ∝ ݒ ݕ ݁ ∝ ݒ‬,
donde q es el numero de onda longitudinal. Esa forma para
el campo de velocidades puede ser dada sin perder
generalidad, porque, como en el método de modos
normales alguna perturbación lineal general puede ser
escrita como una combinación de esas perturbaciones
simples con diferente número de onda ݇, estas son
justamente las componentes de Fourier de una perturbación
arbitraria [1,4]. En principio, el número de onda
longitudinal ‫ ݍ‬debe ser consistentemente calculado desde
las ecuaciones de conservación de la masa, el momentun y
la energía. Simplificaciones considerables pueden ser
llevadas a cabo al asumir que el campo de velocidades
puede ser tomado como uno correspondiente a un fluido
inviscido. Así ‫݇ ≈ ݍ‬, de manera que al realizar las
derivadas con respecto a ‫ ݕ‬de la velocidad se tiene que la
ec. (11) [4] es
య/మ
(/)మ el radio de curvatura de la
మ / మ
superficie de la interfase. Si se aplica una perturbación
sinusoidal ߦ ∝ ‫ )ݔ݇݅(݌ݔܧ‬con ݇ el número de onda y se usa
el hecho de que la amplitud de la perturbación sea mucho
menor que su longitud de onda ݇ߦ ≪ 1 se tiene que
‫ ≈ ݎ‬− మ , de manera que la fuerza debida al efecto de la
tensión superficial es
‫ = ܨ‬−ߪ݇ ߦ ‫ܣ‬.
(8)
Ahora observemos la naturaleza de la fuerza viscosa
por unidad de área entre la interfase de los fluidos de
viscosidad dinámica ߤ y ߤ . Este caso se centra el cálculo
de 2ߤ݁ , de manera que si se define una dirección ࢔
normal a la interfase de tal suerte que ݊ es la j-ésima
componente del vector unitario ࢔, y ya que los índices ݅, ݆
denotan las direcciones de coordenadas ݅, ݆ = ‫ݔ‬, ‫ݕ‬,
entonces se tiene que la fuerza por unidad de área debida a
los esfuerzos sobre la interfase es
݂ = 2ߤ ݁ ݊ ,
‫ = ܨ‬−2ߤ ݇‫ ܣ ݒ‬− 2ߤ ݇‫ܣ ݒ‬.
‫ = ܨ‬−2(ߤ + ߤ )݇ߦሶ‫ ܣ‬.
(9)
(13)
Ahora bien, ya calculadas las fuerzas ec. (7), ec. (8) y
ec. (13) se sustituyen estas en la ec. (6) de manera que se
obtiene
݂ = 2ߤ ݁ ݊ ,
݉ߦሷ = ((ߩ − ߩ )݃ − ߪ݇ )ߦ‫ ܣ‬− 2(ߤ + ߤ )݇ߦሶ ‫ ܣ‬,
donde el índice ‫ = ݒ(ݒ‬1,2) denota el fluido y ݊ es la ݆
componente del vector unitario ࢔ dirigido hacia afuera a
lo largo de la normal a la interfase. Por tanto si se
consideran perturbaciones bidimensionales y se escribe
݅ = ‫ ݔ‬, ݆ = ‫ݕ‬, la fuerza vertical por unidad de área debida
a cada fluido es
݂ = 2ߤ ݁
݊ − 2ߤ ݁
݊ .
(12)
Si se usa el hecho de que las velocidades en ‫ = ݕ‬0
coinciden con la velocidad de la interfase entonces
‫ ݒ‬ሺ‫ = ݕ‬0ሻ = ‫ ݒ‬ሺ‫ = ݕ‬0ሻ = ߦሶ , de manera que la ec. (12) se
reduce a
por lo que para cada fluido se tiene que
݂ = 2ߤ ݁
݊ ,
(11)
Para completar el cálculo de esta fuerza se asume un
campo de velocidades perturbado de la forma
Ahora, si el coeficiente de tensión superficial entre los
fluidos es ߪ, la fuerza debida a la presencia de la tensión
superficial ‫ ܣ ݌∆ = ܨ‬entre la interfase de los fluidos está
dada por
ߪ
‫ ܣ = ܣ ݌∆ = ܨ‬,
‫ݎ‬
con
߲‫ݒ‬
߲‫ݒ‬
‫ ܣ‬− 2ߤ
‫ܣ‬.
߲‫ݕ‬
߲‫ݕ‬
(14)
ya que ݉ es la masa de las partículas de fluido
involucradas en el movimiento. Para calcular esa masa se
asume la perturbación induce modos de superficie que
decaen desde la interfase como ‫(݌ݔܧ‬−݇‫ )ݕ‬donde ݇ =
2ߨ/ߣ es el número de onda y ߣ es la longitud de onda de
la perturbación. Por tanto, la masa total efectiva que
participa en el movimiento es la masa contenida dentro de
la distancia que existe en la longitud de onda dividida su
periodo, esto es ߣ/2ߨ de manera que esa es la mínima
longitud en la que se divide la interfase, y la masa está
dada por
(10)
En el régimen lineal ݊ ~݇ߦ ≪ 1 y ห݊ ห ≈ 1, por lo que el
último término en ec. (10) es despreciable y la fuerza
vertical se vuelve
݂ = 2ߤ ݁
݊ ,
252
R. D. Suaza, C. E. Jácome, J. F. González: Efectos De La Viscosidad En La Evolución De La Inestabilidad En La
Interfase Entre Dos Fluidos
݉ = ݉ + ݉ = ߩ
‫ܣ‬
‫ܣ‬
+ ߩ .
݇
݇
Este comportamiento es debido a que cuando se
introduce la perturbación sobre la interfase, los elementos
originalmente en ‫ = ݕ‬0 son trasladados a una nueva
posición ‫ߦ = ݕ‬, y ya que la presión en un fluido
incompresible
incrementa
linealmente
con
el
desplazamiento, los elementos en una posición más
profunda (ߦ > 0) deben sentir una presión mucho más
grande que ‫ ; ݌‬también se sabe que la presión incrementa
proporcionalmente a la densidad del fluido por lo que para
ߦ > 0 la presión incrementa más en el lado del fluido con
densidad mayor, de manera que la diferencia de presión
creada a través de la interfase tiende a deformar ésta para
todo numero de onda ݇ > 0 de la perturbación.
(15)
Al sustituir la ec. (15) en la ec. (14) se obtiene la ecuación
que describe el movimiento de la interfase
ߦሷ = ቈ
ߩ − ߩ
ߪ݇ ߤ + ߤ ݃݇ −
቉ߦ − 2
݇ ߦሶ .
ߩ + ߩ
ߩ + ߩ
ߩ + ߩ
(16)
4. La Razón de Crecimiento
Dado que el desplazamiento ߦ = ߦ(‫ݔ‬, ‫ )ݐ‬es de la forma
ߦ ∝ ‫݌ݔܧ‬ሺ݅݇‫ݔ‬ሻ, la ec. (16) describe el crecimiento
exponencial asintótico de la amplitud de la perturbación
con una razón de crecimiento ߱[ߦ ∝ ‫݌ݔܧ‬ሺ߱‫ݐ‬ሻ] dada por
߱ + 2
భ మ
మ భ
݇߱ − ቂ
మ భ
మ భ
݃݇ −
య
మ భ
ቃ= 0.
Ahora al caso anterior se le adiciona el efecto de la
tensión superficial de manera que la ecuación de
movimiento nuevamente, tiene solución analítica y la
razón de crecimiento está dada por
(17)
Las raíces de este polinomio de segundo orden son las que
describen el comportamiento de la interfase, es decir, si la
interfase presenta comportamiento estable o inestable: si
las raíces de la ecuación son reales se dice que el
comportamiento de la interfase es inestable, de otra parte,
si las raíces son complejas se presenta un comportamiento
estable y la amplitud presenta un desarrollo sinusoidal.
Para observar mejor el comportamiento de la razón de
crecimiento ilustremos ésta gráficamente como función del
número de onda de los modos de perturbación. Para tal fin
consideremos el caso en el cual los fluidos son inviscidos y
no se presenta tensión superficial entre ellos; para este caso
la ecuación de movimiento presenta solución analítica y la
razón de crecimiento de la interfase está dada por
ߩ − ߩ
߱ −
݃݇ = 0
ߩ + ߩ
߱ − ቈ
ߩ − ߩ
ߪ݇ ݃݇ −
቉=0
ߩ + ߩ
ߩ + ߩ
y presenta solución real para cierto rango de longitudes de
onda como lo muestra la fig.2. Se observa de la figura que
se restringieron los valores de ݇ para los cuales el
comportamiento de la interfase es inestable; estos puntos
son los puntos de corte de la curva con el eje ݇ y
matemáticamente son aquellos para los cuales ݇ = ݇ y
están dados por
ߩ − ߩ
݇ = ට
݃,
ߪ
de manera que la interfase presenta un comportamiento
inestable para el rango 0 < ݇ < ݇ y estable para todo
݇ > ݇ . De la fig. 2 se puede observar que además existe
un punto de máxima inestabilidad y según la razón de
crecimiento este punto está dado por
y presenta solución real para todas las longitudes de onda
con ݇ > 0 como lo muestra la fig.2.
݇=ට
మ భ
݃=
೎
√
.
La presencia de la tensión superficial entre la interfase
hace que esta actúe como una fuerza restauradora
permitiendo que la interfase soporte ondas de gravedad,
aún cuando sus efectos sean mucho más pequeños que los
causados por la gravedad. Por último, consideremos los
efectos que causa la presencia de viscosidad entre los
fluidos que comparten la interfase, de manera que se
considera el caso en el cual solamente la presencia de la
gravedad y la viscosidad son importantes, por lo que la
razón de crecimiento está dada por
ߤ + ߤ ߩ − ߩ
߱ + 2
݇ ߱−
݃݇ = 0.
ߩ + ߩ
ߩ + ߩ
Fig. 2: ߱ሺ݇ሻ, sin tensión superficial ni viscosidad (línea delgada),
sin viscosidad (línea gruesa), con viscosidad y sin tensión
superficial (línea punteada, ejes superior y derecho). Los valores
de ߩଵ , ߩଶ , ߤଵ , ߤଶ , ߪ son 789, 1000, 0.0012, 0.001,0.1 en unidades
MKS.
Esta razón de crecimiento presenta solución real para todos
los valores de ݇ pero con la característica de que ߱ → 0
conforme ݇ → ∞ como lo muestra la fig.2.
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Rev.Col.Fís., Vol. 43, No. 2 de 2011.
inestabilidad. Estos resultados para los valores de ݇
coinciden con la experiencia: cuando se tiene un gotero
con un fluido y se invierte de manera que la interfase en
ese caso es estable, esto debido a las dimensiones de la
boquilla del gotero que sería el caso de una longitud de
onda pequeña y por tal la tensión superficial restaura la
interfase.
Observemos que la gráfica presenta de igual manera un
punto de máxima inestabilidad. Por otra parte se observa
que el efecto de la viscosidad sobre la interfase es
amortiguar la inestabilidad provocando que la razón de
crecimiento decaiga, de tal suerte que la amplitud no
cambie bruscamente pero siempre el término gravitacional
será mucho más apreciable en la inestabilidad
provocándola para todo ݇. Ahora observemos el caso en el
que hay presencia de todas las fuerzas: en este la razón de
crecimiento está dada por la ec. (16) y su representación
gráfica es la misma que en la fig. 2 para la tensión
superficial. Eso es debido al hecho de que el efecto de la
viscosidad en este caso se hace apreciable para ݇ ≫ ݇ por
lo que esto no afecta para nada el comportamiento de la
interfase.
6. Agradecimientos
Este trabajo se realizó en el marco del proyecto de
investigación “hidrodinámica de flujos con vorticidad”
apoyado por el centro de investigaciones y desarrollo
científico (CIDC) de la Universidad Distrital Francisco
José de Caldas.
5. Conclusiones
Referencias
El entendimiento de los mecanismos físicos que causan
la evolución inestable de la interfase, en este caso
gravitacionales, se perciben de una manera más clara por el
método usado en este artículo que basados en el método de
los modos normales, pues ese método se centra más en el
andamiaje matemático y dada su rigurosidad estos
mecanismos son menos intuitivos. Los resultados
obtenidos para la ecuación de movimiento y la razón de
crecimiento son una muy buen aproximación a los
resultados obtenidos por el método de los modos normales
[2], hecho que se evidencia en la fig. 2, que deja ver los
valores para los cuales ݇ permite estabilidad o
[1] T. E. Faber. Fluid dynamics for physicists. Cambridge
University Press, 1995. 293 p.ISBN 0 521 41943 3
[2] S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and Hydromantic
Stability. Oxford: Oxford at the Clarendon press, 1961. 428
p.
[3] J. A. Fay. Mecánica de Fluidos. CECSA, 1998.
[4] A. R. Piriz, O. D. Cortázar, and J.J. López. The RayleighTaylor instability. En: Am.J.Phys.Vol 74, No.12 (dec, 2006);
1095-1098 p.
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