DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
PÉNDULO SIMPLE
Antonio J. Barbero / Mariano Hernández Puche / Alfonso Calera / Pablo Muñiz / José A. de Toro / Peter Normile
Dpto. Física Aplicada UCLM
1
M
e
c
á
n
i
c
a
Péndulo simple
T
O
O
Y
X
M
e
c
á
n
i
c
a
L


T
L
mg  sen 

mg
mg  cos
mg  sen 
mg
El momento MO tiende a restaurar la
posición de equilibrio
M O  L  mg  sen 
2
Péndulo simple (cont.)
Momento de inercia de m respecto a O
I O  m  L2
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación:
Suma de los momentos
de las fuerzas externas
=
Momento
de inercia

O
Aceleración
angular
(tomando el mismo punto como referencia, O en este caso)
M O  IO 

M
e
c
á
n
i
c
a
L
d 2
 2
dt
 L  mg  sen  I O    m  L2  
d 2
 L  mg  sen   mL
dt 2
2
d 2 g
 sen   0
2
L
dt
mg  sen 
M O  L  mg  sen 
3
Péndulo simple (cont.)
Compárese
d 2 g
 sen   0
2
L
dt
con
d 2x k
 x0
2
m
dt
Péndulo simple
Resorte
M
e
c
á
n
i
c
a
Para ángulos pequeños sen   
Entonces
d 2 g
 sen   0
2
L
dt
Forma de la solución:
Periodo:
puede sustituirse por
 (t )  A cos(t   )
T
2
L
 2

g
d 2 g
  0
dt 2 L

g
L
4
Péndulo simple (cont.)
¿Qué son ángulos pequeños?
R
R
Longitud del arco
s
R
1 rad
R
 (º)
0
2
5
8
10
12
15
18
20
22
25
28
30
32
35
 (rad)
0.0000
0.0349
0.0873
0.1396
0.1745
0.2094
0.2618
0.3142
0.3491
0.3840
0.4363
0.4887
0.5236
0.5585
0.6109

sin 
0.0000
0.0349
0.0872
0.1392
0.1736
0.2079
0.2588
0.3090
0.3420
0.3746
0.4226
0.4695
0.5000
0.5299
0.5736
<1%
Radio
Ángulo (radianes)
R
dif %
0.0
0.0
0.1
0.3
0.5
0.7
1.1
1.6
2.0
2.4
3.1
3.9
4.5
5.1
6.1
s   R
ángulos pequeños <15º

 (t )  A cos(t   )
g
L
2%
<5%
Periodo:
T
2
L
 2

g
5
M
e
c
á
n
i
c
a
Péndulo simple (cont.)
Materiales:
1.
2.
Péndulo simple constituido por un hilo inextensible y pequeña pesa (masa puntual).
Montaje sobre un soporte desde el cual pueda desenrollarse hilo para variar la longitud.
Cronómetro y cinta métrica.
Procedimiento (a):
1.
2.
3.
M
e
c
á
n
i
c
a
Desenrollar una longitud de hilo de aproximadamente un metro, medir dicha longitud y
medir el tiempo invertido en 10 oscilaciones (a partir de aquí deberá obtenerse el
periodo).
Desenrollar más hilo (aproximadamente 20 cm) y medir la nueva longitud y el tiempo
invertido en 10 0scilaciones).
Repetir sucesivamente hasta obtener 8-10 medidas con longitudes diferentes.
Procedimiento (b):
Igual que el procedimiento (a), pero ahora deberá medirse de 4 a 6 veces distintas el tiempo
invertido en 10 oscilaciones para cada una de las longitudes. El objetivo es comparar a la hora
del tratamiento de datos los errores cometidos en uno y otro caso.
Errores en procedimiento (a): para cada longitud se mide una sola vez el tiempo invertido en N
oscilaciones. ¿Cuál debe ser el error que atribuimos a la determinación del periodo?.
Errores en procedimiento (b): para cada longitud se mide varias veces el tiempo invertido en N
oscilaciones. ¿Cuál debe ser ahora el error atribuido al periodo?. En el informe de prácticas debe
discutirse esta cuestión.
6
Péndulo simple: medida de la aceleración de la gravedad
PARTE EXPERIMENTAL
TRATAMIENTO DE DATOS
MEDIDAS
Representación gráfica L frente a T2
L  distancia desde el punto de suspensión al CM
t  tiempo invertido en n oscilaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
DATOS EXPERIMENTALES.
L en m, t en s
DL
L
t
0,90
0,02
39,10
1,16
0,02
42,93
1,46
0,02
48,10
1,78
0,02
54,19
2,10
0,02
57,89
2,25
0,02
59,92
2,39
0,02
62,36
2,65
0,02
65,90
T  2
L
g
g
4
L 
2
T
2
T (s)
1,955
2,147
2,405
2,710
2,895
2,996
3,118
3,295
T

t
n
DT
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
Dt
DT 
n
exp

g
4
Pendiente
experimental
(n = 20 oscilaciones)
Dt
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
m
2
2
T (s )
3,82
4,61
5,78
7,34
8,38
8,98
9,72
10,86
2
D(T )
0,10
0,11
0,12
0,14
0,14
0,15
0,16
0,16
L (m)
0,90
1,16
1,46
1,78
2,10
2,25
2,39
2,65
DL
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
 
D T 2  2T DT
Tiempo de respuesta
del experimentador
7
2
M
e
c
á
n
i
c
a
Péndulo simple: medida de la aceleración de la gravedad
TRATAMIENTO GRÁFICO DE DATOS. PARÁMETROS DEL AJUSTE
mexp 
mexp 
N
D
mexp
Dmexp 
N
1.80
 0.24658 m/s 2
7.30
DN 
mexp
D
DD 
N  N1  N 2  2.70  0.90  1.80 m
1
N
DN   2 DD
D
D
D  D1  D2  11.00  3.70  7.30 s 2
(exceso decimales)
¿Cómo estimamos DN, DD?
* El numerador N es diferencia de
longitudes L que nosotros hemos M
medido; sabemos que
e
DL = 0.02 m.
3,0
L (m)
 11.00, 2.70
N1
DN  DN1  DN 2  0.02  0.02  0.04 m
2,5
•El denominador D son las
diferencias de los cuadrados de los
periodos, los cuales no hemos
medido directamente, así que su
error se calcula como
2,0
mexp  0.247  0.008  m/s 2
N
1,5
 
D T 2  2T DT
Dmexp  0.008 m/s 2
mexp
3.70, 0.90
1,0
Error en la pendiente:
N2
D
D2
0,5
D1
Dmexp 
DD  DD1  DD2  2  3.295  1.955 0.025  0.07 s 2
1
1.80
 0.04  
 0.07
7.30
7.30 2
T 2 (s 2 )
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8
c
á
n
i
c
a
Péndulo simple: medida de la aceleración de la gravedad
TRATAMIENTO GRÁFICO DE DATOS. PARÁMETROS DEL AJUSTE
mexp 
mexp 
N
D
mexp
Dmexp 
N
1.80
 0.24658 m/s 2
7.30
DN 
mexp
D
DD 
N  N1  N 2  2.70  0.90  1.80 m
1
N
DN   2 DD
D
D
(exceso decimales)
D  D1  D2  11.00  3.70  7.30 s 2
Cálculo de la gravedad con su error
3,0
L (m)
m exp 
 11.00, 2.70
N1
DN  DN1  DN 2  0.02  0.02  0.04 m
2,5
g  4
g
4
2
M
e
c
á
n
i
c
a
2
m exp
2,0
mexp  0.247  0.008  m/s 2
g  9.7  0.3 m/s 2
N
1,5
Dmexp  0.008 m/s 2
mexp
3.70, 0.90
1,0
N2
D
D2
0,5
D1
DD  DD1  DD2  2  3.295  1.955 0.025  0.07 s 2
T 2 (s 2 )
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
TRATAMIENTO GRÁFICO DE DATOS. PROGRAMA DE MÍNIMOS CUADRADOS
3
L (m)
2,5
y
2
1,5
y  mx  b
1
m 
g
4
2
Ajustando decimales:
0,5
g  9.8  0.2  m/s 2
T 2 (s 2 )
0
0
2
4
6
8
10
12
x
Pendiente
m=
Dm =
Ordenada en origen
0,2469
0,0058
b=
Db =
0,0006
0,0456
r=
0,998573369
g (m/s2) =
Dg (m/s2) =
9,75
0,23
10
Coeficiente de correlación
M
e
c
á
n
i
c
a