Notas Capítulo 1 - Universidad Autónoma de Madrid

MecánicayOndasII
(curso2015-2016)
Prof.JuanCarlosCuevas
(DepartamentodeFísicaTeóricadela
MateriaCondensada)
1
2
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Índice
Lista de Figuras
5
1.
1
La Teorı́a de la Relatividad
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
Relatividad newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los postulados de la relatividad . . . . . . . . . . . . . .
Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . .
Dilatación del tiempo y contracción de la longitud . . .
El efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformación de las velocidades y aceleraciones . . . .
Paradojas relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadrivectores y espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . .
Diagramas de Minkowski y causalidad . . . . . . . . . .
Tiempo propio y cuadrivelocidad . . . . . . . . . . . . .
Momento lineal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energı́a relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadrivector energı́a-momento . . . . . . . . . . . . . .
Algunas consecuencias de los principios de conservación
Colisiones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El concepto de fuerza en mecánica relativista . . . . . .
Formulación lagrangiana de la relatividad especial . . .
Introducción a la relatividad general . . . . . . . . . . .
1.18.1 El principio de equivalencia . . . . . . . . . . . .
1.18.2 Desviación de la luz por un campo gravitatorio .
1.18.3 Lentes gravitatorias . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.4 El corrimiento al rojo gravitacional . . . . . . .
1.18.5 Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.6 Ondas gravitatorias . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografı́a recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios del Capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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3
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9
12
16
19
20
24
28
29
32
36
37
42
45
50
52
52
53
55
56
59
60
60
62
4
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Apéndice A
El experimento de Michelson y Morley
87
Apéndice B
Relatividad y electromagnetismo
91
B.1
B.2
B.3
Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Electrodinámica y relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
93
96
Lista de Figuras
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
Sistemas de referencia inerciales moviéndose a velocidad constante el uno
con respecto al otro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo de las consecuencias de los postulados de la relatividad especial.
Relatividad de la simultaneidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dilatación del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dacaimiento de los muones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El efecto Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La ley de Hubble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La paradoja de los gemelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paradoja de la pértiga y el pajar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas de Minkowski I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas de Minkowski II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas de Minkowski III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas de Minkowski IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Colisión clásica entre dos partı́culas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Colisión relativista entre dos partı́culas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Creación de un par electrón-positrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El principio de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La desviación de la luz por un campo gravitatorio. . . . . . . . . . . . .
Desviación de la luz por acción del Sol. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación esquemática de una lente gravitatoria. . . . . . . . . . .
Lentes gravitatorias detectadas por el telescopio Hubble. . . . . . . . . .
Origen del corrimiento al rojo gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación esquemática del corrimiento al rojo gravitacional. . . . .
Agujero negro detectado por el telescopio Hubble. . . . . . . . . . . . .
Periodo de revolución del sistema binario PSR 1913+16. . . . . . . . . .
Problema 1.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
4
5
5
9
12
13
15
17
19
20
25
26
27
28
29
31
38
40
48
53
54
55
55
56
57
58
59
60
65
6
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
1.37.
1.46.
1.48.
1.38.
1.58.
1.71.
1.71.
1.84.
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Autor: Juan Carlos Cuevas.
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71
71
73
76
77
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A.1 Interferómetro de Michelson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Interferómetro de Michelson con viento de éter. . . . . . . . . . . . . . .
88
89
Capı́tulo 1
La Teorı́a de la Relatividad
En este capı́tulo analizaremos en gran detalle la teorı́a de la relatividad de Albert Einstein. En particular, nos centraremos en la llamada relatividad especial y
haremos una pequeña incursión en la relatividad general o teorı́a relativista de la
gravitación. A menudo repasaremos primero conceptos y fenómenos ya descritos en
la asignatura de Fundamentos de Fı́sica III para a continuación profundizar en ellos
con una formulación más avanzada desde el punto de vista matemático. Además
haremos hincapié en diversos aspectos de la teorı́a que no se abordaron en detalle
en el curso anterior como la interpretación geométrica de la relatividad especial y su
formulación en términos de cuadrivectores, el concepto de fuerza en relatividad especial, la conexión entre relatividad especial y el electromagnetismo y la formulación
lagrangiana de la relatividad especial.
1.1
Relatividad newtoniana
Para entender la novedad del concepto de relatividad desarrollado por Albert Einstein es bueno empezar repasando su significado en la mecánica clásica de Newton.
Dicha mecánica se resume en las conocidas leyes de Netwon. Recordemos en particular la segunda de ellas:
d~v
F~ = m
= m~a,
dt
(1.1)
donde d~v /dt = ~a es la aceleración de la masa m cuando sobre ella se ejerce una
fuerza total F~ . La ec. (1.1) contiene a su vez a la primera ley de Newton, o ley
de inercia. Esta ley nos dice que en ausencia de fuerzas, la masa m se mueve con
velocidad constante (tanto en módulo como en dirección).
Como todos sabemos, las leyes de Newton no son válidas en todos los sistemas
de referencia. Tan sólo lo son en los sistemas de referencia inerciales, es decir, en
aquellos en los que se cumple la ley de inercia. Las leyes de Newton también tienen
la propiedad de permanecer invariantes, es decir, no cambian, en cualquier sistema
de referencia que se mueva con una velocidad constante con respecto a un sistema
inercial. De este modo, todos los sistemas de referencia son equivalentes.
1
2
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Consideremos dos sistemas inerciales (ver Fig. 1.1) que se mueven el uno con
respecto del otro con una velocidad ~v en la dirección x y cuyos orı́genes coinciden
en el instante t = 0.
y
y’
v
x
x’
S
z
S’
z’
Fig. 1.1 Dos sistemas de referencia inerciales S and S 0 moviéndose con velocidad relativa constante. En concreto, S 0 se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x con respecto a S.
La transformación de coordenas de S a S 0 es lo que se conoce con el nombre de
transformación de Galileo:
x0 = x − vt
y0 = y
z 0 = z.
(1.2)
Nótese que no necesitamos considerar cómo se transforma el tiempo t ya que es
considerado como absoluto en la mecánica de Newton, es decir, no cambia de un
sistema de referencia a otro. La correspondiente transformación de las velocidades,
conocida como ley de adición de velocidades, se obtiene derivando las expresiones
anteriores con respecto al tiempo:
u0x = ux − v
u0y = uy
u0z = uz .
(1.3)
Derivando la ec. (1.3) tenemos la relación entre las correspondientes aceleraciones:
~a0 = ~a,
(1.4)
ya que dv/dt = 0. De este modo, F~ 0 = m~a0 = m~a = F~ . Esta es la invarianza a la
que hacı́amos referencia anteriormente. Generalizando este resultado:
“Cualquier sistema de referencia que se mueva con velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial
también es un sistema inercial. Por tanto, las leyes de Netwon
son invariantes ante las transformaciones de Galileo”.
Como es bien sabido, la velocidad de una onda (con respecto al medio en el
que se propaga) depende de las propiedades del medio en el que se propaga y no
de la velocidad del foco emisor de ondas. Por ejemplo, la velocidad del sonido
respecto al aire en reposo depende de la temperatura del aire. La luz y otras ondas
electromagnéticas (ondas de radio, rayos X, etc.) se propagan a través del vacı́o
con una velocidad c ≈ 3 × 108 m/s, predicha por las ecuaciones de Maxwell. Pero,
¿respecto a qué se refiere esta velocidad? ¿Cuál es el equivalente del aire en reposo
La Teorı́a de la Relatividad
3
para las ondas electromagnéticas? El medio que se propuso para la propagación de
la luz se llamó éter y se supuso que el éter estaba extendido por todo el espacio.
Se supuso que la velocidad de la luz relativa al éter era la velocidad predicha (c)
por las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de cualquier objeto relativa al éter se
consideró como velocidad absoluta.
Albert Michelson y Edward Morley (1887) decidieron medir la velocidad de
la Tierra con respecto al éter mediante un ingenioso experimento en el cual la
velocidad de la luz respecto a la Tierra se comparaba en dos haces luminosos, uno
en la dirección del movimiento de la Tierra relativo al Sol y otro perpendicular
a la dirección del movimiento terrestre. Los experimentos no mostraron ninguna
diferencia, poniendo de manifiesto que el movimiento de la Tierra respecto al éter
no puede ser detectado. Los detalles de este experimento se describen en el apéndice
A.
1.2
Los postulados de la relatividad
En 1905 Albert Einstein publicó un artı́culo con el extraño tı́tulo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” en el presentó las bases de su teorı́a de
la relatividad especial. En este artı́culo postulaba que el movimiento absoluto no
podrı́a medirse mediante ningún experimento. Es decir, el éter no existı́a. Su teorı́a
estaba basada en los siguientes dos postulados:
Postulado 1. Las leyes de la fı́sica son las mismas en todos los sistemas de
referencia inerciales.
Postulado 2. La velocidad de la luz es independiente del movimiento de la
fuente. Es decir, todo observador mide el mismo valor c para la velocidad de la luz.
El postulado 1 es una extensión del principio de relatividad newtoniano para
incluir todos los fenómenos fı́sicos (y no sólo aquellos relacionados con la mecánica).
Este postulado implica que ningún sistema de referencia es diferente de otro y,
por tanto, el movimiento absoluto no puede detectarse. El postulado 2 describe
la constancia de la velocidad en el vacı́o, es decir, su independencia del estado de
movimiento de la fuente luminosa, que corresponde a la predicción de las ecuaciones
de Maxwell del electromagnetismo.
Es obvio que algunas de las implicaciones de estos postulados contradicen nuestro
sentido común. Veamos un ejemplo. Consideremos un foco luminoso S y dos
observadores, R1 en reposo relativo a S y R2 moviéndose hacia S con velocidad
v (ver Fig. 1.2). La velocidad de la luz en R1 es c = 3 × 108 m/s. ¿Cuál es
la velocidad para R2 ? La repuesta no es c + v, como esperarı́amos en mecánica
newtoniana. Según el segundo postulado, ambos han de medir la misma velocidad.
Este ejemplo demuestra que, en particular, la ley de adición de velocidades de la
mecánica newtoniana no es compatible con los postulados de Einstein.
4
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
(a)
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(b)
Fig. 1.2 (a) Foco luminoso en reposo S y observador en reposo R1 , con un segundo observador R2
moviéndose hacia el foco con velocidad v. (b) En el sistema de referencia en el que está en reposo
el observador R2 , el foco luminoso S y el observador R1 se mueven hacia la derecha con velocidad
v. Si no puede detectarse el movimiento absoluto, los dos puntos de vista son equivalentes. Como
la velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente, el observador R2 mide el mismo
valor para dicha velocidad que el observador R1 .
Relatividad de la simultaneidad
Los postulados de la relatividad nos conducen a una serie de predicciones acerca
de las medidas hechas por observadores en sistemas de referencia inerciales que
nos van a parecer paradójicas. La mayor parte de estas paradojas se resuelven
comprendiendo la relatividad de la simultaneidad, que se expresa como
“Dos sucesos (o eventos) separados espacialmente que aparecen como simultáneos en un sistema de referencia no son, en
general, simultáneos en otro sistema de referencia inercial que
se mueve con respecto al primero”.
Un corolario de este hecho es:
“Relojes sincronizados en un sistema de referencia, no lo están,
en general, en otro sistema inercial que se mueva con respecto
al primero”.
Esto significa que según la relatividad especial, el tiempo no es absoluto, sino que
depende del observador, lo cual parece contradecir nuestro sentido común. Vamos
a demostrar esta conclusión sorprendente haciendo uso de un ejemplo propuesto
por el propio Einstein. Supongamos que un tren se está moviendo con velocidad
v con respecto al andén de una estación (ver Fig. 1.3(a)). Tenemos observadores
colocados en A0 , B 0 y C 0 en las partes delantera, trasera y en el medio del tren.
Consideraremos que el tren está en reposo en el sistema de referencia S 0 y el andén
en S. Ahora suponemos que el tren y el andén son sacudidos o golpeados por dos
rayos en las partes delantera y trasera del tren. Suponemos que estos dos sucesos
son simultáneos en S. De este modo, un observador colocado en C a mitad de
camino de los puntos A y B (donde golpean los rayos) observa los dos flashes al
mismo tiempo. Como C 0 está en el medio del tren, estos dos sucesos son simultáneos
en S 0 sólo si el reloj en C 0 mide los flashes al mismo tiempo. Sin embargo, el reloj
en C 0 mide el flash de la parte delantera antes que el flash trasero. En el sistema
S, cuando la luz del flash delantero alcanza C 0 , el tren se ha movido una distancia
hacia A, de manera que el flash trasero aún no ha alcanzado C 0 (ver Fig. 1.3(b)). De
este modo, el observador en C 0 concluye que estos dos sucesos no son simultáneos.
La Teorı́a de la Relatividad
5
Fig. 1.3 Dos rayos golpean las partes delantera y trasera del tren (S 0 ) cuando éste se mueve con
respecto al andén (S) con una velocidad v. (a) Los golpes son simultáneos en S, alcanzando al
observador en C, situado a medio camino entre los eventos, al mismo tiempo de acuerdo con su
reloj, como se muestra en (c). En S 0 el flash de la parte delantera es medido por el reloj en C 0 ,
situado en el medio del tren, antes que el de la parte trasera del tren (b y c). De este modo, el
observador en C 0 concluye que los golpes no fueron simultáneos.
Nótese que en esta discusión hemos usado la definición operativa de simultaneidad siguiente: dos sucesos son simultáneos en un sistema de referencia si las señales
de luz de los eventos alcanzan un observador a mitad de camino entre ellos al mismo
tiempo, tal y como mide un reloj en esa posición (reloj local).
1.3
Las transformaciones de Lorentz
Vamos a abordar ahora una consecuencia importante de los postulados de la relatividad como es la relación entre las coordenadas espacio-temporales entre los dos
sistemas de referencia inerciales que se mueven con una velocidad constante el uno
con respecto al otro. Por simplicidad consideraremos el caso en el que esa velocidad está dirigida a lo largo del eje x y los sistemas de coordenadas coinciden en el
instante t = t0 = 0 (ver Fig. 1.4).
Fig. 1.4 Sistemas de referencia S y S 0 moviéndose con velocidad relativa v. En ambos sistemas
existen observadores con reglas y relojes que son idénticos cuando se comparan en reposo.
Recordemos que en la fı́sica newtoniana, la relación entre las coordenadas viene
dada por la transformación de Galileo:
x0 = x − vt; y 0 = y; z 0 = z; t0 = t
(1.5)
x = x0 + vt; y = y 0 ; z = z 0 ; t = t0 .
(1.6)
6
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Como ya ha quedado claro anteriormente, estas transformaciones no son compatibles con los postulados de la relatividad especial. Las correspondientes transformaciones en relatividad especial se conocen con el nombre de transformaciones
de Lorentz y pasamos ahora a derivarlas.
Supongamos que la ecuación para x0 es de la forma
x0 = γ(x − vt),
(1.7)
donde γ es una constante que puede depender de v y c, pero no de las coordenadas.
Como esta ecuación se debe reducir a la relación clásica cuando v c, esto implica
que γ → 1 cuando v/c → 0. La transformación inversa ha de tener la siguiente
forma
x = γ(x0 + vt0 ).
0
(1.8)
0
Está claro que en nuestro ejemplo y = y y z = z, ya que no hay movimiento en
esas dos direcciones. Sin embargo, t0 6= t (¿sabrı́as decir por qué?).
Supongamos ahora que un rayo de luz parte del origen de S en t = 0. Ya que
t = t0 = 0, el rayo también estará en el origen de S 0 en t0 = 0. El rayo se expande
desde el origen como una onda esférica. La ecuación para el frente de onda para el
observador en S será
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
(1.9)
(x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = c2 (t0 )2 ,
(1.10)
y para el observador en S 0 será
donde ambas ecuaciones son consistentes con el segundo postulado de la relatividad.
Para satisfacer el primer postulado, la transformación que estamos buscando ha de
convertir la ec. (1.9) en la ec. (1.10) y viceversa. Recordemos que
(1 − γ 2 ) x
,
(1.11)
x0 = γ(x − vt); t0 = γ t +
γ2
v
donde la segunda relación se obtiene substituyendo la ec. (1.7) en la ec. (1.8) y
despejando t0 .
Consideremos ahora la ec. (1.10):
2
(1 − γ 2 ) x
2
2
2
2
2 2
γ (x − vt) + y + z = c γ t +
.
(1.12)
γ2
v
Es fácil convencerse de que para recuperar la ec. (1.9) ha de satisfacerse:
γ=q
1
1−
(1.13)
v2
c2
Por tanto, las transformaciones de Lorentz adoptan la siguiente forma definitiva:
vx x0 = γ(x − vt); y 0 = y; z 0 = z; t0 = γ t − 2
(1.14)
c
La Teorı́a de la Relatividad
7
y la transformación inversa
vx0
x = γ(x + vt ); y = y ; z = z ; t = γ t + 2
(1.15)
c
p
A menudo usaremos la notación: β ≡ v/c, con lo cual γ = 1/ 1 − β 2 .
Ejemplo 1.1: La llegada de dos muones (µ) procedentes de rayos cósmicos se
detecta en el laboratorio, uno en el instante ta y posición xa y el otro en (tb , xb ).
¿Cuál es el intervalo de tiempo entre esos dos sucesos en un sistema S 0 que se mueve
con velocidad v con respecto al sistema del laboratorio?
0
Solución.
se obtiene
0
0
0
0
Usando la ecuación para la transformación temporal en la ec. (1.14),
vxa γv
vxb t0b − t0a = γ tb − 2 − γ ta − 2 = γ(tb − ta ) − 2 (xb − xa ).
c
c
c
De este modo, vemos que el intervalo de tiempo medido en S 0 depende no sólo
del correspondiente intervalo temporal en S, sino también de la separación de los
relojes en S. Esto es simplemente una manifestación del hecho de que los relojes
no están sincronizados.
• Caso 1 : Si xa = xb , entonces tb −ta se llama intervalo de tiempo propio.
En este caso: t0b −t0a = γ(tb −ta ) > (tb −ta ). Es decir, el intervalo de tiempo
propio es el intervalo de tiempo mı́nimo que puede medirse entre dos eventos
(o sucesos).
• Caso 2 : ¿Es posible que estos dos sucesos ocurran de manera simultánea
en un sistema de referencia inercial? La respuesta es sı́:
γv
v
tb − ta
t0b − t0a = 0 ⇒ γ(tb − ta ) = 2 (xb − xa ) ⇒ β = =
c.
c
c
xb − xa
Las transformaciones de Lorentz definen una transformación lineal entre las coordenadas espaciales y temporales en los sistemas de referencia S y S 0 . Dicha
transformación se puede expresar de una forma más compacta haciendo uso del
álgebra matricial. Para ello definimos primero un vector columna de cuatro componentes x = (ct, x, y, z)T para el sistema de referencia S y de forma equivalente
x0 = (ct0 , x0 , y 0 , z 0 )T . Con esta notación, las transformaciones de Lorentz se pueden
escribir como:


γ −γβ 0 0
 −γβ γ 0 0 
.
x0 = Λ̂x, donde Λ̂(v) = 
(1.16)
 0
0 1 0
0
0 01
La matriz 4 × 4 Λ̂(v), que depende exclusivamente de la velocidad relativa v,
tiene las siguientes propiedades:
• Λ̂(v) es una matriz simétrica: Λ̂T (v) = Λ̂(v).
8
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
• det Λ̂(v) = 1.
• Su inversa viene dada por: Λ̂−1 (v) = Λ̂(−v).
Por otra parte, la matriz Λ̂(v) se puede reescribir de otra forma definiendo un
“ángulo” φ como γ = cosh φ. Usando que γβ = senh φ, tenemos que


cosh φ −senh φ 0 0
 −senh φ cosh φ 0 0 
.
(1.17)
Λ̂ = 

0
0
1 0
0
0
01
Esta expresión no sólo es conveniente en algunos cálculos, sino que además sugiere
que las transformaciones de Lorentz se pueden ver como una rotación en un espacio cuadridimensional. Esta idea será elaborada en detalle más adelante en este
capı́tulo.
Ejemplo 1.2: Demostrar que la cantidad (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 es un invariante
Lorentz, es decir, que adopta el mismo valor en todos los sistemas de referencia.
Solución. Tenemos que demostrar que (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 = (ct0 )2 − (x0 )2 −
(y 0 )2 − (z 0 )2 . Para ello hacemos uso de las transformaciones de Lorentz:
ct0 = (ct) cosh φ − x senh φ
x0 = −(ct) senh φ + x cosh φ.
De este modo, es trivial demostrar que (ct)2 − x2 = (ct0 )2 − (x0 )2 , lo que nos lleva
inmediatamente a la relación que querı́amos demostrar.
Por completitud, acabaremos esta sección derivando las transformaciones de
Lorentz para el caso más general en el que el sistema de referencia inercial S 0 se
mueve con respecto a S con una velocidad ~v constante arbitraria (no necesariamente dirigida a lo largo del eje x). Para ello escribimos la parte espacial de las
transformaciones de la ec. (1.14) para ~v dirigida según el eje x en la forma
~v
(1.18)
~x0 = ~x + [γ(x − vt) − x] ,
v
donde ~x = (x, y, z). La aparición explı́cita de x se puede elimimar utilizando la
relación ~v · ~x = vx, que conduce a
~x0 = ~x + (~v · ~x)
~v
(γ − 1) − γ~v t.
v2
(1.19)
Usando la notación β~ = ~v /c, obtenemos que
~x0 = ~x +
~ · ~x)β~
(β
~
(γ − 1) − γ βct
β2
(1.20)
La forma correspondiente de la ecuación de transformación del tiempo es
ct0 = γ(ct − β~ · ~x)
(1.21)
La Teorı́a de la Relatividad
9
Estas transformaciones más generales se pueden escribir de forma matricial de
acuerdo a la ec. (1.16) con


γ
−γβx
−γβy
−γβz
 −γβx 1 + (γ − 1)βx2 /β 2 (γ − 1)βx βy /β 2 (γ − 1)βx βz /β 2 

Λ̂(~v ) = 
 −γβy (γ − 1)βy βx /β 2 1 + (γ − 1)β 2 /β 2 (γ − 1)βy βz /β 2  . (1.22)
y
−γβz (γ − 1)βz βx /β 2 (γ − 1)βz βy /β 2 1 + (γ − 1)βz2 /β 2
1.4
Dilatación del tiempo y contracción de la longitud
Dilatación del tiempo
Consideremos el siguiente ejemplo. En la Fig. 1.5(a) se muestra un observador A0 a
una distancia D de un espejo. El observador y el espejo están en una nave espacial
que está en reposo en el sistema S 0 . El observador produce un destello y mide el
intervalo de tiempo ∆t0 entre el destello original y el momento en que ve el destello
que retorna reflejado del espejo. Como la luz viaja con velocidad c, este tiempo es
∆t0 =
(a)
2D
.
c
(1.23)
(b)
(c)
Espejo
Espejo
Fig. 1.5 (a) El observador A0 y el espejo están dentro de una nave espacial en el sistema S 0 . El
tiempo que tarda el destello luminoso en llegar al espejo y regresar, según la medida realizada por
A0 , resulta ser 2D/c. (b) En el sistema S, la nave se está moviendo hacia la derecha con velocidad
v. Si la velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas, el tiempo que tarda la luz en llegar al
espejo y regresar es más largo que 2D/c en S porque la distancia recorrida es mayor que 2D. (c)
Triángulo rectángulo que sirve para calcular el tiempo ∆t en el sistema S.
Consideremos a continuación estos dos mismos sucesos, el destello luminoso
original y la recepción del destello reflejado, según se observarı́an en el sistema de
referencia S, en el que el observador A0 y el espejo se están moviendo hacia la
derecha con velocidad v, como se indica en la figura. Los sucesos se producen en
dos lugares diferentes x1 y x2 en el sistema S. Durante el intervalo de tiempo ∆t
(según se mide en S) entre el destello original y el de retorno, el observador A0 y su
nave espacial han recorrido una distancia horizontal v∆t. En la Fig. 1.5(b) podemos
ver que el trayecto recorrido por la luz es más largo en S que en S 0 . Sin embargo,
según los postulados de Einstein, la luz se propaga con la misma velocidad c en el
sistema S y en el S 0 . Como la luz recorre una longitud mayor en S a la misma
10
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
velocidad, debe emplear más tiempo en llegar al espejo y regresar. El intervalo de
tiempo en S es, pues, más largo que en S 0 . A partir del triángulo de la Fig. 1.5(c)
se tiene
2
2
2D
c∆t
v∆t
2D
1
p
=
= D2 +
⇒ ∆t = √
.
(1.24)
2
2
c
c2 − v 2
1 − v 2 /c2
Haciendo uso de ∆t0 = 2D/c, se obtiene
∆t = p
∆t0
1 − v 2 /c2
= γ∆t0 ≡ γτ
(1.25)
donde τ ≡ ∆t0 es el intervalo de tiempo propio. La ec. (1.25) describe la dilatación
del tiempo, es decir, nos dice que el observador en el sistema de referencia S
siempre mide un intervalo de tiempo entre dos eventos mayor que el correspondiente
intervalo medido en el reloj localizado en ambos eventos en el sistema donde ocurren
en la misma posición. De este modo, observadores en S concluyen que el reloj en A0
en S 0 va más lento ya que el reloj mide un intervalo de tiempo más pequeño entre
los dos sucesos.
Nota importante: recuérdese que el mismo reloj debe estar colocado en ambos
eventos para que ∆t0 sea el intervalo de tiempo propio τ .
El resultado que acabamos de obtener se puede derivar mucho más fácilmente
haciendo uso de las transformaciones de Lorentz. Llamando evento 1 al flash inicial
y 2 al flash final:
vx0
vx0
(1.26)
∆t = t2 − t1 = γ t02 + 22 − γ t01 + 21 ,
c
c
γv
γv 0
(x − x01 ) ⇒ ∆t = γ∆t0 + 2 ∆x0 .
(1.27)
c2 2
c
De este modo, si ∆x0 = 0, esto implica que ∆t = γ∆t0 , que es precisamente el
resultado de la ec. (1.25).
Ejemplo 1.3: Los astronautas de una nave espacial que se aleja de la Tierra a
v = 0.6c interrumpen su conexión con el control espacial, diciendo que van a dormir
una siesta de 1 hora y luego volverán a llamar. ¿Cuál es la duración de su siesta
según se mide en la Tierra?
⇒ ∆t = γ(t02 − t01 ) +
Solución.
Usamos la expresión
∆t = γτ
(τ = tiempo propio = 1 hora).
Teniendo en cuenta que γ(v = 0.6c) = 1.25, tenemos que ∆t = 1.25 h.
(1.28)
Contracción de la longitud
La longitud de un objeto medida en el sistema de referencia en que dicho objeto se
encuentra en reposo se denomina longitud propia Lp . En un sistema de referencia
en el que el objeto se está moviendo, la longitud medida es más corta que su longitud
La Teorı́a de la Relatividad
11
propia. Consideremos una varilla en reposo en el sistema S 0 con un extremo en x02
y el otro en x01 . La longitud de la varilla en reposo en este sistema S 0 es su longitud
propia Lp = x02 − x01 . Para hallar la longitud de la varilla en el sistema S hay que
tener cierto cuidado. En este sistema la varilla se está moviendo hacia la derecha
con velocidad v, que es la velocidad de S 0 . Se define la longitud de la varilla en
el sistema S como L = x2 − x1 , en donde x2 es la posición de un extremo en un
cierto instante t2 , y x1 es la posición del otro extremo en el mismo instante t1 = t2 ,
medidos en el sistema S. Para calcular x2 −x1 en un cierto instante t es conveniente
utilizar la ec. (1.14)
x02 = γ(x2 − vt2 ); x01 = γ(x1 − vt1 ).
(1.29)
Como t2 = t1 , tenemos
x02 − x01 = γ(x2 − x1 ) ⇒ x2 − x1 =
1 0
(x − x01 ).
γ 2
(1.30)
Por tanto,
L=
p
Lp
= Lp 1 − v 2 /c2 < Lp
γ
(1.31)
La longitud de la varilla es, pues, más corta cuando se mide desde un sistema
respecto al cual se está movimiendo. Por razones históricas, esta contracción se
conoce como la contracción de Lorentz-FitzGerald.
Ejemplo 1.4: Una regla tiene una longitud propia de 1 m y se mueve en una
dirección a lo largo de su longitud con velocidad relativa v respecto a un observador.
Este mide la longitud de la regla y su resultado es 0.914 m. ¿Cuál es la velocidad
v?
Solución.
L = Lp
q
p
1 − v 2 /c2 ⇒ v = c 1 − L2 /L2p = 0.406c.
Dacaimiento de los muones
Un ejemplo interesante de dilatación del tiempo o de contracción de longitudes lo
proporciona la aparición de muones como radiación secundaria de rayos cósmicos.
Los muones se desintegran de acuerdo con la ley estadı́stica de la radiactividad
N (t) = N0 e−t/τ ,
(1.32)
en donde N0 es el número inicial de muones en el instante t = 0, N (t) es el número
que queda en el instante t y τ es la vida media, que vale ∼ 2 µs en el caso de los
muones en reposo. Puesto que los muones se crean (a partir de la desintegración
de los piones) a gran altura en la atmósfera, normalmente a varios miles de metros
por encima del nivel del mar, pocos de estos muones deberı́an alcanzar el nivel del
mar. Un muón tı́pico que se mueve con una velocidad de 0.9978c recorrerá 600 m
12
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
(a)
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(b)
Fig. 1.6 Aunque los muones se crean a una gran altura de la atmósfera y su vida media es sólo de
unos 2 µs cuando están en reposo, muchos aparecen en la superficie de la Tierra. (a) En el sistema
de referencia terrestre un muón tı́pico que se mueve a 0.9978c tiene una vida media de 30 µs y
recorre 9000 m en este tiempo. (b) En el sistema de referencia del muón, la distancia recorrida
por la Tierra es de sólo 600 m durante los 2 µs de vida media del muón.
en ∼ 2 µs. Sin embargo, la vida media del muón medida en el sistema de referencia
terrestre debe incrementarse en el factor γ:
s
1
γ=
≈ 15.
(1.33)
1 − v 2 /c2
Por tanto, la vida media en el sistema de referencia de la Tierra es 30 µs, y un
muón con una velocidad de 0.9978c recorre del orden de 9000 m en este tiempo (ver
Fig. 1.6(a)). Desde el punto de vista del muón, éste sólo vive 2 µs, pero la atmósfera
está moviéndose con respecto a él a la velocidad de 0.9978c. La distancia de 9000
m en el sistema terrestre se encuentra ası́ contraı́da a sólo 600 m en el sistema del
muón (ver Fig. 1.6(b)).
Ejemplo 1.5: Supóngase que observamos 108 muones a una altitud de 9000 m
en un cierto intervalo de tiempo con un detector de muones. ¿Cuántos serı́an de
esperar que se observaran al nivel del mar en el mismo intervalo de tiempo según
las predicciones clásica y relativista?
Solución.
En el caso no relativista:
9000 m
t=
≈ 30 µs ⇒ N (t) = N0 e−t/τ = 108 e−15 = 30.6.
0.9978c
En el caso relativista, la distancia contraı́da es 600 m y t = 2 µs. Por tanto,
N (t) = 108 e−1 = 3.68 × 107 .
1.5
El efecto Doppler relativista
Para la luz u otras ondas electromagnéticas en el vacı́o no podemos distinguir entre
los movimientos de la fuente y el receptor. Por lo tanto, las expresiones clásicas
no pueden aplicarse correctamente a la luz. La razón es que en su deducción uno
supone que los intervalos de tiempo medidos en los sistemas de referencia de la
fuente y el receptor son los mismos.
Consideremos una fuente de luz que se mueve hacia un receptor A con una
velocidad relativa v, como se muestra en la Fig. 1.7. La fuente está emitiendo un
La Teorı́a de la Relatividad
13
Fig. 1.7 Una fuente luminosa se acerca a un observador A y se aleja de un observador B con una
velocidad v.
tren de ondas hacia los recepteros A y B mientras se aproxima a A y se aleja de B.
Consideremos primero el tren de ondas dirijido hacia A. Durante el tiempo ∆t en
el que la fuente emite N ondas, la primera onda habrá viajado una distancia c∆t y
la fuente misma habrá recorrido una distancia v∆t. Estas distancias están medidas
desde el sistema del receptor. De este modo, el receptor (u observador) A medirá
una longitud de onda:
c∆t − v∆t
N
(1.34)
c
cN
1 N
=
=
,
λ
(c − v)∆t
1 − β ∆t
(1.35)
λ=
y la frecuencia f = c/λ será:
f=
donde β = v/c. Por su parte, la frecuencia de la fuente f0 (llamada frecuencia
propia) está dada por f0 = c/λ0 = c/(c∆t0 /N ) = N/∆t0 , donde ∆t0 está medido en
un sistema en reposo con respecto a la fuente. El intervalo ∆t0 es el intervalo de
tiempo propio y por tanto,
∆t = γ∆t0 .
(1.36)
De este modo,
f=
1 f0 ∆t0
f0 1
=
,
1 − β ∆t
1−β γ
(1.37)
o de otra manera
p
f=
1 − β2
f0 =
1−β
s
1+β
f0
1−β
(aproximación)
(1.38)
Esta expresión sólo difiere de la clásica en el factor de dilatación del tiempo. Nótese
que f > f0 para este caso, como es lógico. Por tanto, la frecuencia aumenta y se
dice que la luz ha sufrido un corrimiento al azul.
Cuando el foco y el receptor se mueven alejándose entre sı́, un análisis similar
muestra que:
s
1−β
f=
f0 (alejamiento)
(1.39)
1+β
14
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Nótese que f < f0 y en este caso se dice que la luz ha sufrido un corrimiento al
rojo.
En el caso en el que v c (β 1), como a menudo ocurre para fuentes
luminosas moviéndose en la Tierra, se puede obtener para el caso de acercamiento
la siguiente aproximación:
1
1 2
1
3 2
1/2
−1/2
f = f0 (1 + β) (1 − β)
= f0 1 + β − β + · · ·
1 + β + β + ···
2
8
2
8
f
≈ 1 + β (aproximación)
f0
De modo similar, se obtiene que
f
≈ 1 − β (alejamiento)
f0
En ambos casos se tiene que
|∆f /f0 | ≈ β
donde ∆f ≡ f0 − f.
(1.40)
(1.41)
(1.42)
Nota: esta relación proporciona una forma de obtener la velocidad de la fuente a
partir del conocimiento de ∆f .
Ejemplo 1.6: La longitud de onda más larga emitida por el hidrógeno en la
serie de Balmer tiene un valor de λ0 = 656 nm. En la luz procedente de una galaxia
lejana, el valor medido es λ = 1458 nm. Hallar la velocidad de alejamiento de dicha
galaxia respecto a la Tierra.
Solución.
s
f=
1 − (λ0 /λ)2
1−β
f0 ⇒ β =
= 0.664.
1+β
1 + (λ0 /λ)2
Ejemplo 1.7: El Sol rota alrededor de su eje una vez cada 25.4 dı́as. El Sol
tiene un radio de 7 × 108 m. Calcular el efecto Doppler que se observa entre los
bordes izquierdo y derecho del Sol cerca del ecuador para la luz de longitud de onda
λ = 550 nm (luz amarilla). ¿Se corre al rojo o al azul?
Solución.
La velocidad de los bordes es
2πR
2π(7 × 108 ) m
v=
=
= 2000 m/s.
T
25.4 × 24 × 3600 s
Como v c, tenemos que
∆f
v
c
≈ β = ⇒ ∆f ≈ βf0 = β
= 3.64 × 109 Hz.
f0
c
λ0
Como f0 = c/λ0 = 5.45 × 1014 Hz, tenemos que
∆f
≈ 10−5 .
f0
El corrimiento es hacia el rojo para el borde que se aleja y hacia el azul para el
borde que se aproxima.
La Teorı́a de la Relatividad
15
La ley de Hubble
En 1929 E.P. Hubble estableció mediante la medida de la frecuencia de diversas
lı́neas espectrales de diferentes galaxias que existı́a una relación lineal entre el corrimiento al rojo (z = (f0 − f )/f ) de dichas lı́neas, que siempre era positivo, y la
distancia a la que se encuentran las galaxias de nosotros. En virtud de nuestra
discusión sobre el efecto Doppler, esto le llevó a concluir que todas las galaxias se
alejan de nosotros con una velocidad de recesión v que es proporcional a la distancia
r a la que se encuentran (ley de Hubble):
v = H0 r
(1.43)
donde H0 es la constante de Hubble. El valor aceptado de esta constante es de
H0 = 67.80 ± 0.77 km/(s·Mpc), donde 1 pc = 1 parsec = 3.26 años-luz. Nótese que
H0 tiene las dimensiones de tiempo a la menos uno. La cantidad 1/H0 recibe el
nombre de tiempo de Hubble y es igual a aproximadamente 1.44 × 1010 años. Esto
corresponderı́a a la edad del universo si la atracción gravitatoria sobre las galaxias
pudiera ser ignorada. La correcta interpretación de la ley de Hubble se hace con
ayuda de la relatividad general y ésta nos dice que en realidad es el espacio-tiempo
el que se está expandiendo.
Fig. 1.8 La ley de Hubble nos dice que la velocidad de recesión de las galaxias es proporcional a
la distancia a la que se encuentran.
16
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
1.6
Transformación de las velocidades y aceleraciones
Ley de adición de velocidades
Se puede hallar la forma en la que se transforman las velocidades de un sistema de
referencia a otro derivando las ecuaciones de transformación de Lorentz. Supongamos que una partı́cula tiene una velocidad u0x = dx0 /dt0 en el sistema S 0 que se está
moviendo hacia la derecha con velocidad v con respecto al sistema S. Su velocidad
en el sistema S es ux = dx/dt. A partir de las transformaciones de Lorentz:
dx = γ(dx0 + vdt0 ) y dt = γ(dt0 + vdx0 /c2 ).
(1.44)
La velocidad en S es pues
u0x + v
dx
γ(dx0 + vdt0 )
dx0 /dt0 + v
=
.
(1.45)
ux =
=
=
0
vu0
dt
γ(dt0 + vdx0 /c2 )
1 + cv2 dx
1 + c2x
dt0
Si una partı́cula tiene componentes de la velocidad a lo largo de los ejes y o z,
podemos utilizar la misma relación entre dt y dt0 con dy y dy 0 , y dz y dz 0 :
u0
dy
dy 0
dy 0 /dt0
y 0 ,
uy =
(1.46)
=
=
0 =
v
dx
0
0
2
vu
dt
γ(dt + vdx /c )
γ 1 + c2 dt0
γ 1 + 2x
c
uz =
u0z
γ 1+
vu0x
c2
.
(1.47)
La transformación relativista completa de velocidades es
ux =
u0x + v
1+
vu0x
c2
; uy =
u0y
γ 1+
vu0x
c2
; uz =
u0z
γ 1+
vu0x
c2
(1.48)
La transformación inversa se obtiene reemplazando v por −v. Nótese que en el
lı́mite de bajas velocidades, ec. (1.48) se reduce al resultado conocido (γ → 1):
ux = u0x + v; uy = u0y ; uz = u0z .
(1.49)
Ejemplo 1.8: Supongamos que dos protones se aproximan a la Tierra desde
lados opuestos (ver Fig. 1.9). Las velocidades relativas a la Tierra son v1 = 0.6c y
v2 = −0.8c. ¿Cuál es la velocidad de la Tierra relativa a cada protón? ¿Cuál es la
velocidad de cada protón relativa al otro?
Solución.
La velocidad de la Tierra relativa a cada protón es obviamente:
0
00
vx,Tierra
= −0.6c; vx,Tierra
= 0.8c.
0
Si llamamos u2x a la componente x de la velocidad del protón 2 con respecto al
protón 1, usando la ec. (1.48) llegamos a
−0.8c − 0.6c
−1.4c
= −0.95c.
u02x =
=
(−0.6c)(−0.8c)
1.48
1+
c2
Por su parte, la componente x de la velocidad del protón 1 con respecto al protón
2, u001x , vendrá dada por
0.6c + 0.8c
1.4c
u001x =
= 0.95c = −u02x .
=
(0.6c)(0.8c)
1.48
1+
2
c
La Teorı́a de la Relatividad
proton 1
v1
17
v2
Tierra
y’
y
proton 2
y’’
x’
x
S’
x’’
S’’
S
z’
z’’
z
Fig. 1.9
Ejemplo 1.8.
Ejemplo 1.9: Un fotón se mueve a lo largo del eje x en el sistema S 0 con
velocidad u0x = c. ¿Cuál es su velocidad en el sistema S?
Solución.
ux =
u0x + v
1+
vu0x
c2
=
c+v
= c.
1 + vc
c2
Por tanto, la velocidad en S viene dada por c en ambos sistemas, independientemente de v. Esto está de acuerdo con el segundo postulado de Einstein.
Ley de adición de aceleraciones
Podemos fácilmente extender el análisis anterior para describir la ley de composición
de las aceleraciones en la relatividad especial. Para ello consideramos un objeto que
se mueve con una velocidad arbitraria ~u0 con respecto al sistema de referencia S 0 .
La correspondiente velocidad ~u en el sistema S viene dada por la ley de adición de
velocidades que acabamos de derivar. En particular, hemos visto la componente ux
viene dada por
ux =
u0x + v
,
1 + vu0x /c2
(1.50)
donde v es la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia. Para obtener
la correspondiente relación entre las componentes x de las aceleraciones, tan sólo
tenemos que diferenciar la expresión anterior
du0x
u0x + v
vdu0x
dux =
−
.
(1.51)
1 + vu0x /c2
(1 + vu0x /c2 )2 c2
Reagrupando términos llegamos a
dux =
du0x
,
γ 2 (1 + vu0x /c2 )2
(1.52)
p
donde como de costumbre γ = 1/ 1 − v 2 /c2 . Ahora usamos las transformaciones
de Lorentz para obtener
dt = γ(dt0 + vdx0 /c2 ) = γ(1 + vu0x /c2 )dt0 .
(1.53)
18
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Por tanto,
ax =
a0x
dux
du0x /dt0
= 3
.
= 3
0
2
3
dt
γ (1 + vux /c )
γ (1 + vu0x /c2 )3
(1.54)
De modo similar, podemos derivar las correspondientes relaciones entre las aceleraciones a lo largo de los ejes y y z. Dichas relaciones vienen dadas por
a0y
ay =
γ 2 (1
az =
γ 2 (1
2
+ vu0x /c2 )
a0z
2
+ vu0x /c2 )
−
−
(vu0y /c2 )a0x
γ 2 (1 + vu0x /c2 )
(vu0z /c2 )a0x
γ 2 (1 + vu0x /c2 )
3
(1.55)
3.
(1.56)
Estas expresiones muestran que, contrariamente a lo que ocurre en la mecánica
newtoniana, en relatividad especial las aceleraciones cambian de un sistema de referencia inercial a otro, es decir, no son invariantes. Lo mismo le ocurre lógicamente
a las fuerzas, como veremos más adelante. En el siguiente ejercicio haremos uso de
las relaciones que acabamos de derivar para comprender las peculiaridades de un
movimiento uniformemente acelerado en relatividad especial.
Ejemplo 1.10: Un astronauta experimenta una aceleración continua g en su
sistema en reposo instantáneo. Si parte del reposo desde la Tierra, ¿qué distancia
ha recorrido al cabo de un tiempo terrestre t? ¿Cuánto tarda en alcanzar una
velocidad c/2? ¿Es posible que supere la velocidad de la luz al cabo de un cierto
tiempo?
Solución. Supongamos que el sistema S está en reposo con respecto a la Tierra y
el S 0 es el sistema en reposo momentáneo con el astronauta. De este modo, ec. (1.54)
nos da la relación entre las aceleraciones del astronauta, a0x = g, y la de la Tierra,
ax (t), que depende del tiempo t, sin más que hacer u0x = 0:
3/2
v2
g
ax (t) = 3 = g 1 − 2
,
γ
c
donde v(t) es la velocidad del astronauta con respecto a la Tierra en el instante t.
El siguiente paso es obtener la velocidad v en el instante t integrando la ecuación
anterior que se puede reescribir como
3/2
v2
dv
dv
=g 1− 2
⇒ gdt =
.
ax =
3/2
dt
c
(1 − v 2 /c2 )
Integrando,
Z
0
t
gdt0 =
Z
0
v
dv 0
(1 −
3/2
(v 0 )2 /c2 )
⇒ gt =
v
(1 − v 2 /c2 )
Despejamos ahora la velocidad:
v(t) = p
c
1 + c2 /(g 2 t2 )
gt
=p
.
1 + g 2 t2 /c2
1/2
.
La Teorı́a de la Relatividad
19
De esta expresión podemos ver que cuando t → ∞ entonces v → c, es decir, la
velocidad de la luz no se puede superar.
Para obtener la distancia, x, que ha recorrido el astronauta al cabo de un tiempo
terrestre t tenemos que integrar la expresión de la velocidad:
Z
x
0
Z
dx =
0
0
t
gt0 dt0
p
1 + g 2 (t0 )2 /c2
⇒ x(t) =
c2 p
1 + g 2 t2 /c2 − 1 .
g
Finalmente, para determinar cuanto tarda el astronautra en alcanzar la velocidad c/2, invertimos la expresión de la velocidad para despejar t en función de v:
v
c
t= p
⇒ t(v = c/2) = √ .
2
2
g 3
g 1 − v /c
1.7
Paradojas relativistas
La paradoja de los gemelos
Homero y Ulises son gemelos idénticos. Ulises realiza un viaje a una velocidad muy
elevada hacia un planeta más allá del sistema solar y vuelve a la Tierra mientras
Homero permanece en ella (ver Fig. 1.10). Cuando se reunen de nuevo, ¿cuál es
el gemelo más viejo, o son ambos de la misma edad? La respuesta correcta es que
Homero, el gemelo que permaneció en su casa es más viejo. ¿Sabrı́as explicar por
qué?
Fig. 1.10 Paradoja de los gemelos. La Tierra y un planeta lejano están fijos en el sistema S.
Ulises vuela en el sistema S 0 hacia el planeta y luego regresa a la Tierra en S 00 . Su gemelo
Homero permanece en la Tierra. Cuando Ulises regresa es más joven que su gemelo. Los papeles
que desempeñan los gemelos no son simétricos. Homero permanece en un sistema de referencia
inercial, pero Ulises ha de acelerar si quiere volver a casa.
20
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
La paradoja de la pértiga y el pajar
Un corredor lleva una pértiga de 10 m de largo y se dirige hacia la puerta abierta
de un pajar de 5 m de largo. Un granjero está de pie cerca del pajar de manera que
puede ver tanto la puerta del pajar como la parte trasera del mismo (ver Fig. 1.11).
El corredor entra en el pajar llevando la pértiga con una velocidad v, y en el instante
en el que el granjero ve que la pértiga está completamente dentro del pajar cierra la
puerta y de este modo, ha conseguido introducir una pértiga de 10 m en un pajar
de 5 m. La velocidad mı́nima que se necesita para realizar esta operación se calcula
fácilmente:
Lp
1
10
=
γ=p
=
⇒ v = 0.866c.
(1.57)
L
5
1 − v 2 /c2
La paradoja surge cuando la situación es vista desde el sistema de referencia
del corredor. Para él la pértiga tiene su longitud
p propia de 10 m. Sin embargo,
para el corredor el pajar mide L = Lp /γ = 5 1 − v 2 /c2 = 2.5 m. ¿Cómo es
posible introducir una pértiga de 10 m en un pajar de 2.5 m? La respuesta se deja
como ejercicio. Digamos como pista que la respuesta está en la relatividad de la
simultaneidad.
1.8
Cuadrivectores y espacio-tiempo
Las transformaciones de Lorentz mezclan el espacio y el tiempo, en el sentido de que
las ecuaciones para x0 y t0 involucran tanto x como t. El matemático ruso-alemán
Hermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein en Zurich, sugirió en 1908 que
Fig. 1.11
La paradoja de la pértiga y el pajar.
La Teorı́a de la Relatividad
21
esta mezcla de espacio y tiempo implica que el tiempo debe ser combinado con las
tres coordenadas espaciales para formar un espacio-tiempo de cuatro dimensiones
(conocido también como espacio de Minkowski ) en el que las transformaciones de
Lorentz actuarı́an como una especie de rotación. Antes de examinar esta idea,
es conveniente repasar algunas cuestiones fundamentales sobre las rotaciones en el
espacio ordinario de tres dimensiones.
Rotaciones en tres dimensiones
En el espacio convencional de tres dimensiones el vector de posición viene dado por
tres components referidas a unos ejes coordernados predeterminados: ~x = (x, y, z)T .
Si ahora consideramos otro sistema de ejes que esté rotado con respecto al anterior,
las componentes del vector de posición cambiarán de modo que el nuevo vector de
posición ~x0 = (x0 , y 0 , z 0 )T estará relacionado con ~x del siguiente modo:
~x0 = R̂~x,
(1.58)
donde R̂ es una matriz 3 × 3 de rotación. Para que nuestra discusión no sea muy
abstracta pensemos en una rotación alrededor del eje z con ángulo θ. Es muy fácil
demostrar (se deja como ejercicio) que la matriz de rotación correspondiente viene
dada por


cos θ sen θ 0
R̂z (θ) =  −sen θ cos θ 0  .
(1.59)
0
0 1
Una propiedad fundamental de las rotaciones es que dejan invariantes las longitudes. Esto significa, en particular, que el módulo al cuadrado del vector de posición
~x · ~x = x2 + y 2 + z 2 preserva su valor después de una rotación, es decir,
~x · ~x = x2 + y 2 + z 2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = ~x0 · ~x0 .
(1.60)
Esto se puede comprobar explı́citamente en el caso de la rotación alrededor del eje
z definida por ec. (1.59). Esta invariancia implica que
~x0 · ~x0 = (~x0 )T ~x0 = ~xT R̂T R̂~x = ~xT ~x ⇒ R̂T R̂ = 1̂,
(1.61)
es decir, que R̂T = R̂−1 . A una matriz que cumple que su transpuesta es igual
a su inversa se le llama matriz ortogonal. Ası́ pues, concluimos que las matrices de rotación han de ser matrices ortogonales, algo que se puede comprobar
explı́citamente en el caso de R̂z (θ) de la ec. (1.59). Digamos también que el conjunto de matrices de rotación en el espacio tridimensional forma un grupo conocido
como SO(3).
De forma general, podemos definir un vector tridimensional ~a = (a1 , a2 , a3 )T
como un conjunto de tres números que se transforman en una rotación del mismo
modo que lo hacen las componentes del vector de posición, es decir,
~a0 = R̂~a ⇒ a0i =
3
X
j=1
Rij aj .
(1.62)
22
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
De la discusión anterior, es obvio que cualquier rotación conservará el módulo al
cuadrado de un vector que vendrá definido por ~a ·~a = ~aT ~a = a21 + a22 + a23 . De forma
más general, podemos definir el producto escalar entre dos vectores ~a = (a1 , a2 , a3 )T
y ~b = (b1 , b2 , b3 )T como
~a · ~b = ~aT ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
(1.63)
Es obvio que el producto escalar es invariante bajo rotaciones:
~a0 · ~b0 = (~a0 )T ~b0 = ~aT R̂T R̂~b = ~aT ~b = ~a · ~b,
(1.64)
donde hemos hecho uso del hecho de que R̂ es una matriz ortogonal.
La importancia de la notación vectorial en la mecánica newtoniana es enorme.
Cualquier ley de la mecánica que se exprese en términos de vectores, como por ejemplo la segunda ley de Newton o la conservación del momento lineal, si es válida en
un sistema de referencia inercial, lo será en todos los sistemas que estén conectados
con este via una rotación espacial. Esto es muy fácil de entender. Supongamos que
tenemos una ley que se expresa en un sistema de referencia como la igualdad entre
dos vectores p~ y ~q (~
p podrı́a ser el momento lineal total de un sistema de partı́culas
antes de una colisión y ~q el correspondiente momento después de la colisión), es
decir,
p~ = ~q.
(1.65)
Entonces es obvio que dicha ley será válida en cualquier sistema que esté rotado
con respecto al primero, es decir,
p~0 = ~q0 .
(1.66)
Esto se puede ver sin más que aplicar R̂ en ambos lados de la ec. (1.65):
R̂~
p = R̂~q ⇒ p~0 = ~q0 .
(1.67)
Ası́ por ejemplo, es completamente trivial demostrar la invariancia de las leyes de
Newton bajo rotaciones ya que estas leyes están expresadas en términos de vectores.
Las transformaciones de Lorentz como rotaciones en el espaciotiempo: cuadrivectores
Ahora vamos a proceder por analogı́a con la discusión anterior. En primer lugar, podemos definir un vector de posición con cuatro componentes combinando el
tiempo con las coordenadas espaciales. Ası́ por ejemplo, el vector de posición x en
el espacio-tiempo vendrá dado en el sistema de referencia S por
 
ct
x
 = ct .
x=
(1.68)
y
~x
z
La Teorı́a de la Relatividad
23
Nótese que de ahora en adelante vamos a usar negrita para denotar a los vectores
en el espacio-tiempo y reservaremos la flechita para los vectores en el espacio tridimensional convencional.
Como hemos aprendido, el vector de posición x se transforma en un cambio de
sistema de referencia de acuerdo a las transformaciones de Lorentz, es decir,
x0 = Λ̂x,
0
0
0
0
(1.69)
0 T
donde x = (ct , x , y , z ) y Λ̂ es la matriz 4 × 4 de Lorentz dada por la ec. (1.16).
Es evidente que la comparación de la expresión de la ec. (1.17) para la matriz Λ̂ con
la expresión de la rotación tridimensional de la ec. (1.59) nos sugiere que podemos
ver las transformaciones de Lorentz como rotaciones en el espacio-tiempo o espacio
de Minkowski. Para hacer esta analogı́a más formal, nos podemos preguntar si las
transformaciones de Lorentz dejan invariante el módulo del vector de posición x.
Es fácil mostrar que la cantidad (ct)2 + x2 + y 2 + z 2 no es invariante Lorentz, lo
que sugiere a primera vista que no podemos desarrollar la analogı́a. Sin embargo,
hemos visto en el Ejemplo 1.2 que la cantidad (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 sı́ es un invariante
Lorentz, lo cual sugiere una redefinición del módulo de un vector y, en general, del
producto escalar de vectores. De este modo, vamos a definir el módulo al cuadrado
del vector de posición cuadridimensional como
x · x ≡ (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 ,
(1.70)
cantidad que no cambia en una transformación de Lorentz, es decir,
x · x = (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 = (ct0 )2 − (x0 )2 − (y 0 )2 − (z 0 )2 = x0 · x0 .
(1.71)
Es importante recordar que esta invarianza es sencillamente una consecuencia de la
invarianza de la velocidad de la luz.
Lo primero que debemos hacer notar es que con esta definición del módulo del
vector de posición, que es una medida de la longitud de un trayecto en el espaciotiempo, esta cantidad puede tener cualquier signo (positivo, negativo o cero), algo a
lo que nos debemos acostumbrar. Por otra parte, es obvio que no podemos utilizar la
notación matricial de la manera habitual para describir este nuevo producto escalar,
es decir, x · x 6= xT x. Para solventar este problema vamos a introducir la matriz
4 × 4 Ĝ, conocida como métrica, que viene dada por


1 0 0 0
 0 −1 0 0 

Ĝ = 
(1.72)
 0 0 −1 0  .
0 0
0 −1
Con esta definición x · x se puede escribir en notación matricial como
x · x = xT Ĝx.
(1.73)
Anteriormente vimos que las matrices de rotación son ortogonales. ¿Qué tipo de
matrices pueden describir una transformación de Lorentz? Para responder a esta
pregunta hacemos uso de la invarianza Lorentz del módulo del vector de posición:
x0 · x0 = (x0 )T Ĝx0 = xT Λ̂T ĜΛ̂x = xT Ĝx = x · x,
(1.74)
24
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
lo cual implica que
Λ̂T ĜΛ̂ = Ĝ.
(1.75)
Siguiendo con la analogı́a con el caso tridimensional, podemos definir un vector
en el espacio-tiempo o cuadrivector a = (a0 , a1 , a2 , a3 )T como un conjunto de cuatro
números que se transforman en un cambio de sistema de referencia inercial del
mismo modo que lo hacen las componentes del vector de posición en el espacio de
Minkowski, es decir,
0
a = Λ̂a ⇒
a0i
=
3
X
Λij aj .
(1.76)
j=0
De nuevo, es obvio que cualquier transformación de Lorentz conservará el módulo al
cuadrado de un cuadrivector que vendrá definido por a·a = aT Ĝa = a20 −a21 −a22 −a23 .
De forma más general, podemos definir el producto escalar entre dos cuadrivectores
a = (a0 , a1 , a2 , a3 )T y b = (b0 , b1 , b2 , b3 )T como
a · b = aT Ĝb = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 .
(1.77)
Es obvio que este producto escalar entre cuadrivectores es invariante Lorentz:
a0 · b0 = (a0 )T Ĝb0 = aT Λ̂T ĜΛ̂b = aT Ĝb = a · b,
(1.78)
donde hemos usado la ec. (1.75).
La notación cuadrivectorial tiene una gran importancia en la relatividad especial.
Si una ley es expresada en términos de cuadrivectores, es obvio que si es válida en
un sistema de referencia inercial, lo será en todos los sistemas. Supongamos que
tenemos una ley que se expresa en un sistema de referencia inercial como
p = q,
(1.79)
donde p y q son dos cuadrivectores. Entonces es obvio que dicha ley será válida en
cualquier sistema de referencia inercial, es decir,
p0 = q0 .
(1.80)
Esto se puede ver sin más que aplicar Λ̂ en ambos lados de la ec. (1.79):
Λ̂p = Λ̂q ⇒ p0 = q0 .
(1.81)
Esta idea será muy útil cuando discutamos, por ejemplo, las leyes de conservación
de la energı́a y el momento lineal.
1.9
Diagramas de Minkowski y causalidad
Como hemos visto en la sección anterior, la relación ı́ntima entre espacio y tiempo en
relatividad especial nos conduce de manera natural al concepto de espacio-tiempo
cuadridimensional. En esta sección profundizaremos en esta idea y discutiremos el
La Teorı́a de la Relatividad
25
concepto de concepto de causalidad. Para ello haremos uso de los llamados diagramas espacio-temporales o diagramas de Minkowski introducidos por el matemático
Hermann Minkowski. En estas discusiones, y por simplicidad, nos restringiremos al
movimiento espacial de una partı́cula en una dimensión a lo largo del eje x.
Un ejemplo de diagrama espacio-tiempo o diagrama de Minkowski se muestra
en la Fig. 1.12. Este diagrama describe la historia completa o lı́nea de mundo de
un movimiento unidimensional en el sistema de referencia S. Nótese que en este
diagrama el eje de ordenadas (vertical) representa la cantidad ct (con dimensiones
de longitud), mientras que en el eje de las abscisas (horizontal) se representa la
coordenada x. En este diagrama, la lı́nea de mundo de una señal luminosa dada
por x = ct es simplemente una lı́nea recta con pendiente igual a uno, es decir, es una
lı́nea que forma un ángulo de 45o con el eje x. El punto E en la Fig. 1.12 corresponde
a un evento descrito por las coordenadas (x, ct) en el sistema de referencia S. Como
de costumbre, los eventos y las lı́neas de mundo se pueden describir desde otros
sistemas de referencia (S 0 ). Curiosamente, estos otros sistemas de referencia tienen
ejes ct0 y x0 que no son ortogonales, como se muestra en la Fig. 1.12. ¿Sabrı́as decir
por qué y decir qué pendiente tienen esos ejes? Para encontrar las coordenadas
espacio-temporales de un evento E en un sistema de referencia dado, debemos
pintar lı́neas paralelas a los ejes del sistema de referencia y medir las intersecciones
con los ejes de ese sistema, tal y como se muestra en la figura. Nótese también que
la velocidad de una partı́cula ux es inversamente proporcional a la pendiente de su
Fig. 1.12 Diagrama espacio-temporal o diagrama de Minkowski que muestra la posición de una
partı́cula en una dimensión en diversos instantes. La trayectoria que muestra la historia completa
de la partı́cula se llama lı́nea de mundo de la partı́cula. Un evento E tiene coordenadas (x, t) en
el sistema S y coordenadas (x0 , t0 ) en S 0 .
26
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Fig. 1.13
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Dos eventos E1 y E2 con coordenadas (x1 , t1 ) y (x2 , t2 ) en el sistema S.
lı́nea de mundo ya que ux = c∆x/∆ct = c/pendiente.
En la Fig. 1.13 se muestra un diagrama de Minkowski con dos eventos E1 y E2
que están descritos por las coordenadas (ct1 , x1 ) y (ct2 , x2 ) en el sistema S y por las
coordenadas (ct01 , x01 ) y (ct02 , x02 ) en el sistema S 0 . Como hemos visto en la sección
anterior, ni el intervalo de tiempo ni el de espacio son absolutos en la relatividad
especial, pero sı́ que lo es el intervalo ∆s definido como
(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = (c(t2 − t1 ))2 − (x2 − x1 )2 ,
(1.82)
donde ∆s tiene dimensiones de longitud y se conoce como intervalo espacio-temporal
entre dos eventos. La invarianza Lorentz de este intervalo espacio-temporal junto
con los diagramas de Minkowski se pueden utilizar para clasificar todo el universo
de espacio-tiempo y para clarificar si un evento puede ser la causa de otro. La
Fig. 1.14 muestra un diagrama de Minkowski para una dimensión con los ejes de
dos sistemas de referencia inerciales distintos S y S 0 , que comparten un origen
común O en x = x0 = 0 y t = t0 = 0. Las rectas x = ±ct son las lı́neas de mundo
de pulsos de luz que pasan por el origen y se desplazan en la dirección x positiva o
negativa. Las regiones identificadas como pasado y futuro corresponden a valores
negativos y positivos del tiempo, según se juzga a partir del momento presente (el
ahora), que ocurre en el origen. Las regiones identificadas como “en otras partes”
no pueden ser alcanzadas por ningún objeto cuya lı́nea de mundo pase por O, ya
que para llegar a ellas se requiere una pendiente espacio-temporal menor que 1, es
decir, una velocidad superior a c.
La cantidad (∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2 puede usarse para clasificar el intervalo
entre dos eventos y determinar si un evento puede ser provocado por otro. Para
comprobar esto, consideremos los tres pares de eventos que se muestran en la figura
Fig. 1.15, donde para facilitar las cosas se ha considerado que los eventos V , A y C
La Teorı́a de la Relatividad
27
Fig. 1.14 Clasificación del espacio-tiempo unidimensional en regiones de pasado, futuro y en otras
partes. Una partı́cula con una lı́nea de mundo que pase por O no puede alcanzar regiones marcadas
como “en otras partes”.
coinciden con el origen. Para los dos eventos V y W , (∆s)2 > 0 ya que c∆t > |∆x|.
El evento V podrı́a ser la causa del evento W debido a que alguna señal o influencia
podrı́a cubrir la distancia ∆x desde V hasta W a una velocidad inferior a c y
conectar los dos eventos. El intervalo entre V y W se denomina de tipo tiempo.
Es importante observar que como (∆s)2 es invariante, si V es la causa de W en
el sistema de referencia S, también es la causa de W en cualquier otro sistema de
referencia inercial. Ası́, eventos vinculados causalmente en un sistema de referencia
también lo están en todos los demás sistemas de referencia inerciales.
Para los eventos A y B, (∆s)2 = 0 ya que c∆t = |∆x|. En este caso la lı́nea
de mundo de un pulso de luz une a los eventos puntuales A y B, y se dice que el
intervalo espacio-temporal ∆s es de tipo luz.
Finalmente, en el caso final de los eventos C y D, (∆s)2 < 0 ya que c∆t < |∆x|.
Esto significa que incluso una señal que se propaga a la velocidad de la luz es incapaz
de cubrir la distancia |∆x| entre los eventos C y D, de modo que C no puede ser la
causa de D en ningún sistema de referencia inercial.
Ası́ pues, de esta discusión se desprende que el concepto de causalidad en relatividad especial está sólidamente definido y, por tanto, la relatividad especial excluye la
posibilidad de viajes en el tiempo y de que puedan tener lugar fenómenos extraños
del estilo de que un hijo pueda nacer antes que su madre, contrariamente a lo que
se cree popularmente.
28
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.15 Tres pares de eventos en el espacio-tiempo: V y W , A y B y C y D. El evento V no
puede ser la causa del evento D.
1.10
Tiempo propio y cuadrivelocidad
Antes de pasar a discutir cantidades dinámicas como el momento lineal o la energı́a,
es conveniente introducir dos nuevas cantidades cinemáticas. Como hemos visto en
secciones anteriores un desplazamiento espacio-tiempo infinitesimal (al cuadrado)
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 de una partı́cula adopta el mismo valor en todos los
sistemas de referencia inerciales. Ası́ pues, si lo evaluamos en el sistema de referencia
en reposo momentáneo con la partı́cula, dicho desplazamiento será ds2 = c2 dτ 2 ,
donde τ es el tiempo propio, es decir, es el tiempo medido por los relojes en reposo
relativo con la partı́cula. De este modo, vemos que el tiempo propio es un invariante
Lorentz (no es de extrañar que todos los sistemas de referencia se pongan de acuerdo
en lo que miden los relojes en reposo con la partı́cula). Además, tendremos que
p
dt
,
(1.83)
c2 dτ 2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ⇒ dτ = dt 1 − u2 /c2 =
γ(u)
donde u es el módulo de la velocidad de la partı́cula en ese instante. Nótese que
la expresión anterior no es más que la expresión de la dilatación del tiempo que
obtuvimos en la sección 1.4.
Vimos en la sección 1.6 que la velocidad tridimensional ~u de un cuerpo se transforma de una forma bastante complicada de un sistema de referencia a otro. La
razón para ello es fácil de entender. La velocidad ~u = d~x/dt es el cociente de un
vector tridimensional d~x y dt, que es la primera componente de un cuadrivector.
Ası́ que no es de extrañar. Uno puede “resolver” este problema definiendo lo que
se conoce con el nombre de cuadrivelocidad o velocidad propia del siguiente modo:
T
dx
dt d~x
η=
= c ,
,
(1.84)
dτ
dτ dτ
La Teorı́a de la Relatividad
29
donde τ es el tiempo propio. De este modo, la velocidad propia es el cociente de
un cuadrivector y de una cantidad invariante (o escalar Lorentz) y, por tanto, es un
cuadrivector. Haciendo uso de la expresión del tiempo propio, la velocidad propia
se puede escribir como
T
dt d~x
η=γ c ,
= γ(c, ~u)T .
(1.85)
dt dt
Nótese que la parte espacial de este cuadrivector no es exactamente la velocidad
ordinaria, ~u, y sólo se reduce a ella en el lı́mite de bajas velocidades (u c).
Como η es un cuadrivector, su módulo es un invariante Lorentz:
η · η = η T Ĝη = γ 2 c2 − γ 2 u2 = c2 .
(1.86)
Además, sus componentes se transforman de un sistema de referencia inercial S a
otro S 0 que se mueva con velocidad relativa v (a lo largo del eje x) de igual modo
que las coordenadas, es decir,
vη1 vη0 η00 = γ η0 −
; η10 = γ η1 −
; η20 = η2 ; η30 = η3
(1.87)
c
c
Aquı́,
p ηi denota la componente i = 0, 1, 2, 3 de la velocidad propia y γ =
1/ 1 − v 2 /c2 .
1.11
Momento lineal relativista
Conservación no relativista del momento lineal
Antes de considerar el momento lineal y la energı́a en mecánica relativista, es instructivo revisar algunas ideas acerca de la conservación no relativista del momento
lineal.
Consideremos la colisión que se muestra en la siguiente figura desde el punto de
vista de dos sistemas de referencia que se mueven el uno con respecto al otro con
velocidad β = v/c a lo largo del eje x, ver Fig. 1.16.
Fig. 1.16 Colisión entre dos partı́culas vista desde dos sistemas de referencia S y S 0 que se
mueven con velocidad relativa v a lo largo del eje x. Nótese que hemos supuesto que las masas de
las partı́culas pueden cambiar durante el choque.
Supongamos que se conserva el momento en S 0 :
0
0
0
0
ma vax
+ mb vbx
= md vdx
+ me vex
0
ma vay
+
0
mb vby
=
0
md vdy
+
0
me vey
.
(1.88)
(1.89)
30
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Utilizando la transformación no relativista de las velocidades:
0
0
vay
= vay ; vby
= vby ; etc.
(1.90)
ma vay + mb vby = md vdy + me vey .
(1.91)
obtenemos que
Esta ecuación expresa simplemente la conservación del momento lineal en el sistema
de referencia S, es decir, nos dice que si el momento se conserva en un sistema de
referencia inercial, se conserva en todos.
En el párrafo anterior sólo consideramos la componente y. Sin embargo, el
resultado es general. La dirección elegida para los ejes x o y es por completo
arbitraria.
Utilizemos la expresión para la transformación de la velocidad en la dirección x:
0
vax
= vax − v; etc.
(1.92)
Substituyendo estas expresiones en la conservación del momento en la dirección x
en S 0 :
ma (vax − v) + mb (vbx − v) = md (vdx − v) + me (vex − v),
(1.93)
o lo que es lo mismo
ma vax + mb vbx − md vdx − me vex − v(ma + mb − md − me ) = 0.
(1.94)
Como v es una velocidad arbitraria, la única posibilidad para que se satisfaga
esta ecuación es que
ma vax + mb vbx = md vdx + me vex y ma + mb = md + me .
(1.95)
Esto quiere decir que si la conservación del momento lineal debe ser una ley no
relativista válida, es decir, una ley válida en todos los sistemas inerciales, no sólo el
momento debe conservarse en una colisión, sino que también la suma de las masas
antes y después del choque debe ser la misma, es decir, la masa debe conservarse.
Este razonamiento nos muestra que la ley de conservación de la masa se puede
deducir a partir de la conservación del momento y del principio de relatividad.
¿Cómo escogemos una expresión para el momento relativista?
Las fórmulas de adición de las velocidades que resultan adecuadas cuando éstas son
grandes se deducen de las transformaciones de Lorentz y no de las de Galileo que
hemos utilizado en la discusión anterior. En este sentido, serı́a sorprendente que
la expresión clásica del momento lineal, masa por velocidad, pasara sin ninguna
modificación a la mecánica relativista.
Para “adivinar” la nueva expresión del momento lineal vamos a analizar una
colisión rasante entre un objeto que se mueve rápidamente y otro de igual masa que
se mueve con una pequeña velocidad (ver Fig. 1.17).
La Teorı́a de la Relatividad
31
Fig. 1.17 (a) En esta colisión, un objeto se acerca por la parte de arriba con una gran velocidad
u y se hace rebotar simétricamente con otro objeto de igual masa que se acerca desde abajo
verticalmente con velocidad v. Dado que el choque es simétrico, el segundo objeto rebota hacia
abajo con velocidad v. (b) El mismo choque visto en S 0 , que se mueve con velocidad u cos θ hacia
la derecha con respecto a S.
En esta colisión un objeto de masa m se acerca por la parte de arriba con gran
velocidad ~u y se hace rebotar simétricamente con una velocidad ~v . Dado que el
choque es simétrico, el segundo objeto rebota de nuevo hacia abajo con velocidad
−~v . Se considera un choque muy rasante porque si bien u puede ser grande, si θ es
muy pequeño, v puede ser tan pequeño que el momento lineal del objeto inferior se
puede tratar clásicamente.
Supongamos que el objeto que se mueve rápidamente tiene un momento p~. Si
el momento lineal ha de conservarse en esta colisión, deberá tenerse
2p senθ = 2mv ⇒ p senθ = mv.
(1.96)
Por otra parte, la componente horizontal del momento se conserva por simetrı́a.
Desde el sistema S 0 , que se mueve con velocidad u cos θ hacia la derecha con
respecto a S, la masa de arriba se mueve verticalmente con una velocidad u0 . Dicha
velocidad viene dada por la fórmula relativista de adición de velocidades1
q
2
2θ
u senθ 1 − u cos
u senθ
c2
0
(1.97)
u =
=q
u
u
2
2
1 − c cos θ c cos θ
1 − u cos θ
c2
Sin embargo, la simetrı́a de la colisión nos dice que u0 = v. Por tanto,
p senθ = mv = mu0 = m q
u senθ
1−
,
(1.98)
u2 cos2 θ
c2
lo que a su vez conduce a
p= q
mu
1−
.
(1.99)
u2 cos2 θ
c2
Para llegar a esta expresión fue necesario suponer que θ era pequeño a fin de
que la colisión dejara uno de los objetos con una velocidad tan pequeña que se
1 Aquı́
hemos usado la expresión
uy
,
γ(1 − vux /c2 )
donde ux = u cos θ, uy = u senθ y v = u cos θ.
u0y =
32
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
pudiera tratar clásicamente. Por tanto, si tomamos θ = 0, obtenemos la expresión
relativista para el momento lineal:
mu
p= p
= γmu ⇒ p~ = γm~u
1 − u2 /c2
(1.100)
Nótese que para velocidades bajas esta expresión se reduce a la relación clásica
p~ = m~u.
Conservación relativista del momento lineal
Vamos a comprobar que la expresión del momento de la ec. (1.100) se conserva en
una colisión en todos los sistemas inerciales, si se conserva en alguno. Consideremos
de nuevo el choque de la Fig. 1.16. Supongamos que se conserva el momento lineal
en la dirección y en S 0 :
p0ay + p0by = p0dy + p0ey ,
(1.101)
es decir,
0
ma vay
p
1 − (va0 )2 /c2
+p
0
mb vby
1 − (vb0 )2 /c2
=p
0
md vdy
1 − (vd0 )2 /c2
+p
0
me vey
1 − (ve0 )2 /c2
.
(1.102)
Ahora debemos comprobar que esto nos lleva a la conservación del momento en
el sistema S. Para ello debemos escribir las velocidades con prima en función de las
velocidades sin prima, es decir, en el sistema de referencia S.
Ejemplo 1.11: Demostrar que
0
viy
p
1−
(vi0 )2 /c2
=p
viy
1 − (vi )2 /c2
(i = a, b, d, e).
(1.103)
Solución. Este resultado es obvio de la ley de transformación de la velocidad
propia de la ec. (1.87): η20 = η2 .
Usando el resultado del Ejemplo 1.11 se llega a que
ma vay
p
1 − va2 /c2
+p
mb vby
md vdy
me vey
=p
+p
1 − vb2 /c2
1 − vd2 /c2
1 − ve2 /c2
(1.104)
que supone la conservación de la componente y del momento relativista en el sistema
S. Como la elección de los ejes coordenados ha sido arbitraria, esto implica que el
momento lineal se conserva en todas las direcciones.
1.12
Energı́a relativista
Una vez deducida la conservación del momento lineal, vamos a analizar como dos
observadores describirı́an la conservación del momento a lo largo de la dirección de
su movimiento relativo, la dirección x.
La Teorı́a de la Relatividad
33
El observador en S 0 escribirı́a la conservación del momento en la dirección x
como sigue:
0
0
0
0
p0ax + p0bx = p0dx + p0ex ⇒ ma ηax
+ mb ηbx
= md ηdx
+ me ηex
,
(1.105)
p
0
0
donde ηax
= vax
/ 1 − (va0 )2 /c2 , etc.
Usando las leyes de transformación de la velocidad propia, ver ec. (1.87), se tiene
que
!
v
0
ηax
= γ ηax − p
; etc.
(1.106)
1 − va2 /c2
Utilizando estas relaciones podemos escribir la ec. (1.105) como
−vγ
γ (ma ηax + mb ηbx − md ηdx − me ηex ) (1.107)
!
mb
md
me
ma
p
+p
=0.
−p
−p
1 − vb2 /c2
1 − vd2 /c2
1 − va2 /c2
1 − ve2 /c2
La primera lı́nea es igual a cero por la conservación de la componente x del momento lineal en el sistema de referencia S. Sin embargo, si el momento lineal debe
conservarse en ambos sistemas de referencia, la expresión que figura en el segundo
paréntesis debe también ser cero. Ello significa que
ma
p
1 − va2 /c2
+p
mb
md
me
=p
+p
2
2
1 − vb /c2
1 − vd /c2
1 − ve2 /c2
(1.108)
p
En otras palabras, la cantidad m/ 1 − v 2 /c2 = γm sumada a todas las partı́culas
debe conservarse. Esta cantidad se reduce a la masa de la partı́cula para velocidades
bajas. Por esta razón, a la cantidad γm se la suele llamar masa de la partı́cula
en movimiento:
m
= γm (masa en movimiento)
M≡p
1 − v 2 /c2
(1.109)
donde m es la masa en reposo. La masa en movimiento (M ) también está
ı́ntimamente relacionada con la energı́a. De hecho, si multiplicamos la ec. (1.108)
por c2 obtemos la conservación de la cantidad:
E≡p
mc2
1 − v 2 /c2
= M c2 = γmc2 (energı́a relativista)
(1.110)
Ası́ pues, llegamos a la conclusión de la conservación de la energı́a, donde ésta está
definida como en ec. (1.110).
Si hacemos un desarrollo de Taylor en la ec. (1.110) para velocidades pequeñas
(v c), obtenemos que
1
E ≈ mc2 + mv 2 + · · · .
2
(1.111)
34
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
El primer término, mc2 , se conoce como energı́a en reposo, mientras que el
segundo corresponde a la expresión clásica de la energı́a cinética. En general, para
velocidades arbitrarias, la energı́a cinética relativista se define como:
K ≡ E − mc2 = (γ − 1)mc2 (energı́a cinética relativista)
(1.112)
Nótese que denotaremos la energı́a cinética K.
Hoy en dı́a es costumbre dar la masa de una partı́cula en unidades de energı́a.
Casi todas las tablas de partı́culas elementales dan sus masas en MeV, es decir, la
energı́a que un electrón adquiere cuando es acelerado por una diferencia de potencial
de 1 millón de voltios. Ası́, el protón tiene una masa de 1.673 × 10−27 kg y, por
tanto, mp c2 = (1.673 × 10−27 kg) × (2.998 × 108 m/s)2 = 1.504 × 1010 J. Usando
que 1 eV = 1.602 × 10−19 J, tenemos finalmente que mp = 938 MeV/c2 . En el caso
del electrón, su masa es me = 0.511 MeV/c2 .
Relación entre la energı́a y el momento lineal
En aplicaciones prácticas, en lugar de la velocidad suele conocerse el momento lineal
o la energı́a de una partı́cula. Para eliminar la velocidad v, podemos combinar
E=p
mc2
1−
v 2 /c2
y p~ = p
m~v
1 − v 2 /c2
,
(1.113)
de manera que
E 2 = (pc)2 + (mc2 )2
(1.114)
Para partı́culas sin masa (m = 0), como el fotón, se tiene que E = pc.
Ejemplo 1.12: Una partı́cula de masa 2 MeV/c2 y energı́a cinética 3 MeV
choca contra una partı́cula en reposo de masa 4 MeV/c2 . Después del choque las
dos partı́culas quedan unidas. Hallar (a) el momento lineal inicial del sistema, (b)
la velocidad final del sistema de dos partı́culas y (c) la masa de dicho sistema.
Solución. (a) El momento lineal inicial del sistema es igual al momento de la
partı́cula en movimiento, que llamaremos 1. Usando la relación entre energı́a y
momento lineal:
q
E12 = p21 c2 + (m1 c2 )2 ⇒ p1 c = E12 − (m1 c2 )2 .
Como E1 = 3 MeV + 2 MeV = 5 MeV y m1 c2 = 2 MeV, tenemos que p1 = 4.58
MeV/c.
(b) La velocidad se puede calcular a partir del cociente entre el momento lineal
y la energı́a:
v
pc
= .
c
E
De la conservación de la energı́a tenemos que:
Ef = Ei = E1 + E2 = 5 MeV + 4 MeV = 9 MeV.
La Teorı́a de la Relatividad
35
De la conservación del momento lineal tenemos que: pf = pi = 4.58 Mev/c. Por
tanto,
pf c
4.58 MeV
vf
=
=
= 0.509.
c
Ef
9 MeV
(c) La masa final la hallamos a partir de la relación:
Ef2 = p2f c2 + (mf c2 )2 ⇒ mf = 7.75 MeV/c2 .
Nótese que la masa del sistema aumenta de 6 MeV/c2 a 7.75 MeV/c2 . Este aumento
multiplicado por c2 es igual a la pérdida de energı́a cinética del sistema.
Ejemplo 1.13: Un mesón π + (también llamado pión) es una partı́cula responsable de la fuerza nuclear fuerte entre protones y neutrones. Se observa que un
mesón decae (se desintegra) en reposo convirtiéndose en un antimuón µ+ y un neutrino ν. Como el neutrino no tiene carga y tiene muy poca masa, no deja traza
en una cámara de burbujas. (Una cámara de burbujas es una cámara llena de
hidrógeno lı́quido que muestra el paso de las partı́culas cargadas creando una serie
de pequeñas burbujas.) Sin embargo, la traza del antimuón es visible cuando pierde
energı́a cinética y se para. Si la masa del antimuón es de 106 MeV/c2 y su energı́a
cinética se mide y resulta ser 4.6 MeV (por la longitud de su traza), encontrar la
masa del π + .
Solución. El decaimiento que nos ocupa se describe como: π + −→ µ+ + ν.
Usando la conservación de la energı́a:
q
Eπ = Eµ + Eν ⇒ mπ c2 = (mµ c2 )2 + (pµ c)2 + pν c,
donde hemos usado el hecho de que la masa del neutrino es despreciable. Usamos
ahora la conservación del momento lineal: pµ = pν , ya que pπ = 0. De este modo,
tenemos que
q
mπ c2 = (mµ c2 )2 + (pµ c)2 + pµ c.
Para obtener pµ , hacemos uso del valor de su energı́a cinética Kµ :
Eµ2 = p2µ c2 + (mµ c2 )2 ,
p2µ c2 = Eµ2 − (mµ c2 )2 = (Kµ + mµ c2 )2 − (mµ c2 )2 = Kµ2 + 2Kµ mµ c2 .
Substituyendo, obtenemos finalmente
q
q
mπ c2 = m2µ c4 + Kµ2 + 2Kµ mµ c2 + Kµ2 + 2Kµ mµ c2 .
Usando mµ c2 = 106 MeV y Kµ = 4.6 MeV, obtenemos mπ ≈ 140 MeV/c2 .
36
1.13
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Cuadrivector energı́a-momento
La energı́a y el momento lineal se pueden combinar para formar el cuadrivector
energı́a-momento o cuadrimomento, p, del siguiente modo:
T T
E
E
p=
, px , py , pz
=
, p~
= mη.
(1.115)
c
c
Como p es simplemente el producto de la masa en reposo (un escalar Lorentz)
por el cuadrivector velocidad propia, es obvio que es un cuadrivector. Como tal
cuadrivector, su módulo es un invariante Lorentz:
E2
(1.116)
p · p = 2 − p2 = m2 c2 .
c
Por otra parte, p se transformará de un sistema de referencia a otro de acuerdo a
las transformaciones de Lorentz, es decir, p0 = Λ̂p y, por tanto,
E 0 = γ (E − vpx ) ; p0x = γ px − vE/c2 ; p0y = py ; p0z = pz
(1.117)
p
donde v es la velocidad del sistema S 0 con respecto a S y γ = 1/ 1 − v 2 /c2 . Estas
relaciones se pueden invertir para obtener
E = γ (E 0 + vp0x ) ; px = γ p0x + vE 0 /c2 ; py = p0y ; pz = p0z
(1.118)
En las secciones anteriores tuvimos que demostrar que si el momento lineal y
la energı́a se conservan en un sistema de referencia inercial, lo hacen en todos.
Con el uso del cuadrivector energı́a-momento, esa demostración es trivial ya que si
tenemos que pinicial = pfinal en un sistema de referencia inercial, esa igualdad entre
dos cuadrivectores se mantendrá en cualquier sistema de referencia inercial.
Ejemplo 1.14: Usar las ecuaciones de transformación energı́a-momento para
derivar las expresiones que describen el efecto Doppler relativista. Usar para ello la
relación de Einstein que nos dice que la energı́a de un fotón viene dada por E = hf ,
donde h es la constante de Planck y f la frecuencia del fotón.
Solución. (a) Vamos a hallar la relación entre la frecuencia f 0 medida por un
observador (sistema S 0 ) que se aleja de una fuente (sistema S) que emite con una
frecuencia f . Para ello, usamos la ley de transformación de la energı́a
E 0 = γ(E − vpx ).
Teniendo en cuenta la relación de Einstein (E 0 = hf 0 y E = hf ) y el hecho de que
para un fotón moviéndose a lo largo del eje x tenemos que px = E/c, entonces
s
1−β
v
0
= hf
,
hf = γ(hf − vhf /c) = γhf 1 −
c
1+β
donde β = v/c. Ası́ pues,
s
0
f =
1−β
f,
1+β
que es exactamente el resultado que derivamos en la sección 1.5.
La Teorı́a de la Relatividad
1.14
37
Algunas consecuencias de los principios de conservación
Procesos inelásticos en fı́sica nuclear
Una de las predicciones más sorprendentes de la teorı́a de la relatividad es la no
conservación de la masa en reposo. Dicho de otra forma, la masa de un sistema
no tiene por qué ser igual a la suma de las masas de sus partes. La fı́sica nuclear
proporciona ejemplos de este hecho. Por ejemplo, es bien conocido que la energı́a en
las estrellas se produce por fusión nuclear en sus núcleos. En concreto, nuestro Sol
produce energı́a mediante el proceso de fusión nuclear conocido como cadena protónprotón. En esta reacción, de forma neta cuatro protones (o núcleos de hidrógeno)
se convierten en un núcleo de 4 He. La masa en reposo de los 4 núcleos de hidrógeno
es igual a 4 × 938.3 MeV/c2 = 3.7532 GeV/c2 , mientras que la masa en reposo del
núcleo de 4 He es igual a 3.7284 GeV/c2 . De este modo, en esta reacción de fusión la
masa en reposo se reduce en ≈ 25 MeV/c2 . Esta reducción de energı́a en reposo se
traduce en una energı́a liberada que es la que finalmente nos llega hasta la Tierra.
La creación y aniquilación de partı́culas
Quizás una de las posibilidades más notables entre todas las que sugiere la equivalencia masa-energı́a es la creación de partı́culas nuevas, si se dispone de una cantidad
adecuada de energı́a. Para crear una partı́cula de masa en reposo m se necesita una
energı́a de al menos mc2 . En la práctica debe emplearse una energı́a superior a
ésta, y en una gran cantidad de casos una energı́a muchı́simo mayor. El motivo de
ello es doble:
(1) Existen leyes de conservación fundamentales que hacen que en muchos casos sea
imposible la creación de una partı́cula nueva mediante un proceso de choque.
La ley más conocida de éstas es la que se refiere a la conservación de la carga
eléctrica. Por ejemplo, el primero de los procesos que se descubrió fue la creación
de una pareja electrón-positrón a partir de la energı́a de un fotón de rayos γ
(ver Fig. 1.18):
γ −→ e− + e+ .
(1.119)
Aunque basándonos en consideraciones energéticas, cabrı́a pensar que un rayo γ
de 0.511 MeV fuese suficiente para obtener la energı́a en reposo de un electrón,
el único tipo de proceso permitido en la naturaleza requiere, al menos, el doble
de esta cantidad.
(2) La otra razón es de carácter práctico. Surge del hecho de que el proceso de
creación tiene lugar normalmente a partir de choques de alta energı́a entre
partı́culas preexistentes. Ası́ por ejemplo, los mesones cargados positivamente
(piones) pueden obtenerse mediante bombardeo de un blanco de hidrógeno con
38
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Fig. 1.18
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Creación de un par electrón-positrón.
protones de elevada energı́a:
p1 + p2 −→ p + n + π + .
(1.120)
Los protones que intervienen en el choque, p1 y p2 , dan origen a un protón,
un neutrón y un pión. Puesto que el neutrón y el protón poseen una masa
en reposo casi igual, la única energı́a en reposo nueva que se necesita es la del
pión, de unos 140 MeV. Pero si p2 se encuentra en reposo inicialmente y p1
posee una gran cantidad de movimiento, interviene en el citado movimiento de
todo el sistema una gran cantidad de energı́a cinética, la cual no está disponible
para la conversión en masa en reposo de partı́culas nuevas. Está claro que si
p1 y p2 chocasen entre sı́ con un momento igual, pero opuesto, toda la energı́a
cinética estarı́a disponible para la creación de partı́culas. Estas cuestiones serán
discutidas en cierta profundidad en la sección 1.15 dedicada a las colisiones
relativistas.
Absorción de fotones
Supongamos que una partı́cula en reposo, por ejemplo un átomo o un núcleo, con
una masa en reposo m es alcanzada por un fotón de energı́a Q, el cual es completamente absorbido. El sistema ası́ formado poseerá una masa (en movimiento) M 0 y
retrocederá con una velocidad v. Podemos determinar esta velocidad haciendo uso
de los principios de conservación:
mc2 + Q = E (conservación de la energı́a),
(1.121)
Q
= p (conservación del momento),
(1.122)
c
donde E y p son la energı́a y el momento lineal del átomo o nucleo después de
absorber el fotón. Combinando estas dos ecuaciones llegamos a que:
β=
v
pc
Q
=
=
c
E
mc2 + Q
(1.123)
Observar que cuando Q mc2 resulta simplemente que β ≈ Q/mc2 , lo cual corresponde al tipo de cálculo newtoniano en donde un cuerpo con una masa invariable
m recibe un impulso de valor Q/c del fotón.
La Teorı́a de la Relatividad
39
Emisión de fotones
Considérese un átomo en reposo con una masa en reposo m que emite un fotón de
energı́a Q. Este caso es más complicado que el anterior ejemplo, puesto que el átomo
emisor experimenta un retroceso. Supongamos que el átomo que retrocede posee
una masa M 0 (y una masa en reposo m0 ) y una velocidad v. Entonces, aplicando
los principios de conservación:
E = mc2 = E 0 + Q (conservación de la energı́a),
p = 0 = p0 −
Q
(conservación del momento),
c
(1.124)
(1.125)
es decir, E 0 = mc2 − Q y p0 c = Q.
Despejamos Q de estas ecuaciones haciendo uso de la relación entre E 0 y p0 para
el átomo que retrocede:
(m0 c2 )2 = (E 0 )2 − (p0 c)2 = (mc2 − Q)2 − Q2 = (mc2 )2 − 2Qmc2 .
(1.126)
Ahora bien, mc2 y m0 c2 , energı́as en reposo del átomo en sus estados inicial y final,
poseen ciertos valores definidos y la diferencia entre ellos es una energı́a fija bien
definida. Si definimos Q0 como la diferencia de energı́as en reposo antes y después
de la emisión, es decir,
Q0 = mc2 − m0 c2 ,
(1.127)
(m0 c2 )2 = (mc2 )2 − 2Q0 mc2 + Q20 .
(1.128)
tenemos que
Ası́ finalmente,
Q = Q0
Q0
1−
2mc2
(1.129)
Como la energı́a del fotón es proporcional a la frecuencia, el retroceso producido
en la emisión tiene como consecuencia una redución de la frecuencia del fotón emitido (o un aumento de su longitud de onda). Únicamente si se puediera impedir
de alguna manera que el átomo emisor retrocediese, se transmitirı́a ı́ntegramente la
energı́a total desprendida, Q0 .
El efecto Compton
De todos los fenómenos que ponen de relieve las propiedades corpusculares de la
radiación electromagnética, el efecto Compton es quizás el más directo y el más
convincente. Este efecto consiste en el choque de un fotón con un electrón libre, lo
que en la práctica significa un electrón que se encuentra poco ligado a un átomo. El
choque es elástico, en el sentido de que no existe trasvase alguno de energı́a cinética
a otras formas. En esta colisión el electrón retrocede y, como consecuencia, el fotón
40
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.19 El efecto Compton. La dispersión de la luz por un electrón puede considerarse como
el choque de un fotón de momento lineal h/λ0 y un electrón en reposo. El fotón dispersado posee
menos energı́a y por lo tanto mayor longitud de onda.
dispersado posee una energı́a menor y, por tanto, una longitud de onda mayor que
la del fotón incidente. El estudio sistemático de este fenómeno que a lo largo de los
años 1919-1923 llevó a cabo A.H. Compton, con el empleo de fotones de rayos X,
le valió el premio Nobel de fı́sica en 1927.
El proceso de dispersión Compton es, en esencia, un proceso de choque relativista, como viene descrito en la Fig. 1.19. En dicha figura podemos ver como un
fotón de energı́a Q0 incide sobre un electrón a lo largo de la dirección descrita por
el vector unitario n̂0 . Después del choque el fotón es dispersado con un ángulo θ
(medido con respecto a la dirección incidente) y posee una energı́a Q. Por su parte,
el electrón retrocede formando un ángulo φ con la dirección del fotón incidente,
posee una energı́a total E y un momento lineal p~e .
Nuestro objetivo es obtener una expresión para la variación de la longitud de
onda del fotón como función del ángulo θ y de la masa en reposo del electrón m.
Para ello aplicaremos los principios de conservación:
Q0 + mc2 = E + Q (conservación de la energı́a),
(1.130)
Q
Q0
= n̂ + p~e (conservación del momento),
(1.131)
c
c
donde n̂ es el vector unitario que describe la dirección del fotón dispersado. Como
nos interesa el fotón que se dispersa, reagrupamos las dos ecuaciones anteriores del
siguiente modo:
n̂0
(Q0 − Q) + mc2 = E,
(1.132)
(n̂0 Q0 − n̂Q) = p~e c.
(1.133)
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones
(Q0 − Q)2 + (mc2 )2 + 2(Q0 − Q)mc2 = E 2 ,
Q20
2
+ Q − 2Q0 Q cos θ =
p2e c2 .
(1.134)
(1.135)
La Teorı́a de la Relatividad
41
Restando ambas ecuaciones,
2Q0 Q(1 − cos θ) − 2(Q0 − Q)mc2 = 0
(1.136)
Por lo cual,
1
1
1
(1 − cos θ).
(1.137)
−
=
Q Q0
mc2
Si la energı́a cuántica es Q, la longitud de onda viene dada por la relación de
De Broglie:
hc
Q = hf =
,
(1.138)
λ
−34
donde h = 6.626068 × 10
J·s es la constante de Planck. Entonces, la variación
de la longitud de onda del fotón dispersado en el efecto Compton puede escribirse
como:
λ − λ0 = λC (1 − cos θ)
(1.139)
donde λC = h/mc es la longitud de onda de Compton y para el caso de los electrones vale 0.02426 Å. Lo que Compton hizo fue verificar experimentalmente que la
longitud de onda de rayos X dispersados por diversos cristales satisfacı́a la expresión
anterior.
Es instructivo repetir el cálculo que acabamos de hacer usando el lenguaje de
cuadrivectores. En este lenguaje, la conservación del cuadrimomento se escribe
como
pe,0 + pγ0 = pe + pγ ,
T
(1.140)
T
T
donde pe,0 = me c(1, 0, 0, 0) , pγ0 = (Q0 /c)(1, n̂0 ) , pe = (E/c, p~e )
(Q/c)(1, n̂)T . Ahora, despejamos pe en la ecuación anterior
y pγ =
pe,0 + (pγ0 − pγ ) = pe ,
(1.141)
y elevamos al cuadrado (multiplicando un vector escalarmente por sigo mismo)
pe,0 · pe,0 + (pγ0 − pγ ) · (pγ0 − pγ ) + 2pe,0 · (pγ0 − pγ ) = pe · pe ,
(1.142)
Ahora usamos que
pe,0 · pe,0 = pe · pe = (mc)2 ,
(pγ0 − pγ ) · (pγ0 − pγ ) = pγ0 · pγ0 + pγ · pγ + 2pγ0 · pγ = 2pγ0 · pγ ,
para obtener
pγ0 · pγ = pe,0 · (pγ0 − pγ ).
(1.143)
Usando las expresiones de los diversos cuadrimomentos, la ecuación anterior se
convierte en
Q0 Q(1 − cos θ) = mc2 (Q0 − Q),
(1.144)
donde hemos usado que n̂0 · n̂ = cos θ. Esta ecuación coincide con la ec. (1.136) y
el resto de la derivación es idéntica. Este cálculo muestra la útilidad y elegancia
del formalismo de cuadrivectores, pero también ha de quedar claro que no contiene
fı́sica nueva.
42
1.15
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Colisiones relativistas
De la sección anterior es obvio que las leyes de conservación de la energı́a y del
momento lineal juegan un papel fundamental en el análisis de colisiones. En esta
sección vamos a profundizar en esta cuestión con la discusión de varios ejemplos de
colisiones relativistas donde haremos uso de la maquinaria de cuadrivectores.
Ejemplo 1.15: Una partı́cula relativista con masa ma , energı́a Ea y velocidad
~va choca con otra partı́cula en reposo y de masa mb . Si las dos masas se fusionan en
una sola después de la colisión, ¿cuál es la masa m y la velocidad ~v de la partı́cula
compuesta?
Solución. Para encontrar la masa final, vamos a hacer uso del hecho de que el
módulo al cuadrado del cuadrimomento es invariante e igual a m2 c2 . Si denotamos
el cuadrimomento final como pf , entonces pf · pf = m2 c2 . Por conservación de
energı́a y momento tendremos que pf = pi , donde pi es el cuadrimomento total
inicial, es decir, pi = pa + pb , de donde se deduce que
pi · pi = (pa + pb ) · (pa + pb ) = pa · pa + pb · pb + 2pa · pb = m2a c2 + m2b c2 + 2Ea mb ,
donde el último término surge del hecho de que pb = (mb c, 0, 0, 0)T . Como pf ·pf =
m2 c2 y pf = pi , llegamos a
q
m = m2a + m2b + 2Ea mb /c2 .
Para determinar la velocidad final, hacemos uso de la relación ~v = p~f c2 /Ef . Por
conservación del cuadrimomento, podemos reemplazar las componentes de pf por
las de pi para llevar a
γa ma~va
p~a c2
=
,
2
Ea + mb c
γa ma + mb
donde γa corresponde al factor γ para la partı́cula a. Nótese que para va c, este
resultado se reduce al resultado no relativista ~v = ma~va /(ma + mb ).
~v =
En mecánica no relativista, el concepto de sistema de referencia del centro de
masas (CM) es muy útil. Este sistema de referencia se caracteriza por que el moP
mento lineal total es cero, P~ =
p~ = 0. Esta definición es igualmente válida
en la mecánica relativista, lo que significa que siempre podemos encontrar un sistema de referencia (el del CM) donde el momento tridimensional total se anula. De
P
este modo, el cuadrimomento total en el sistema CM P =
p adopta la forma
P = (P0 , 0, 0, 0)T .
Ocurre a menudo que un problema de colisiones es muy fácil de resolver en el
sistema de referencia CM. De este modo, si necesitamos resolver el mismo problema
en otro sistema de referencia S, lo que podemos hacer es transformar de S a CM,
resolver el problema, y transformar de vuelta al sistema S, como ilustramos en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.16: Consideremos una colisión frontal entre un proyectil con masa
ma y velocidad ~va y un objetivo estacionario con masa mb . Supongamos además
La Teorı́a de la Relatividad
43
que las dos partı́culas se mueven después de la colisión a lo largo de la dirección en
la que incide el proyectil. Calcular la velocidad final ~vb de la partı́cula b.
Solución. Denotemos con S el sistema de referencia del laboratorio en el que
tiene lugar el experimento (con b inicialmente en reposo) y tomemos la dirección
de la velocidad incidente como el eje x. Para resolver el problema directamente en
S, deberı́amos escribir las ecuaciones de conservación de la energı́a y el momento
y resolverlas para determinar la velocidad final ~vb . Esto es ciertamente posible,
pero es un tanto tedioso y vamos a ver como el uso del sistema de referencia CM
simplifica las cosas. En el sistema CM los dos momentos tridimensionales incidentes
son iguales y opuestos y es fácil mostrar que después de la colisión invierten su signo.
De este modo, el procedimiento que vamos a seguir es el siguiente: (i) transformar
pb al sistema CM, (ii) cambiar el signo de su parte espacial p~b y (iii) transformar de
vuelta a S y calcular la velocidad. Antes de hacer todo esto, necesitamos encontrar
la velocidad del CM relativa a S. Como el cuadrimomento total es
T
Ea + mb c2
, p~a
,
P=
c
~ = ~v /c que hay transformar al CM es
la velocidad (adimensional) en cuestión β
β~ =
p~a c
.
Ea + mb c2
Ahora podemos seguir los tres pasos que describı́amos antes. En el sistema S
del laboratorio, el cuadrimomento inicial del objetivo b es
pib = (mb c, 0, 0, 0)T .
~ tenemos que el corAplicando las transformaciones de Lorentz con la velocidad β,
respondiente cuadrimomento en el sistema CM es
p0bi = γmb c(1, −β, 0, 0)T .
En el sistema CM la colisión simplemente invierte los signos de las componentes
espaciales de este cuadrimomento. De esta manera, el correspondiente cuadrimomento final es
p0bf = γmb c(1, β, 0, 0)T .
Finalmente, transformando de vuelta al sistema S, tenemos que
pfb = γ 2 mb c(1 + β 2 , 2β, 0, 0)T .
Por tanto, la correspondiente velocidad final de la partı́cula b viene dada por
~vb =
~
2β
c.
1 + β2
44
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Energı́a unmbral en reacciones de fı́sica de partı́culas
La mayor parte de las partı́culas elementales que han sido descubiertas se encontraron cuando fueron producidas en colisiones de otras partı́culas. Por ejemplo, el
pión negativo π − se puede producir en una colisión entre un protón y un neutrón
p + n −→ p + p + π − .
(1.145)
De forma similar, el primer antiprotón que se observó se produjo en una colisión
protón-protón en la reacción
p + p −→ p + p + p + p̄ .
(1.146)
Una cantidad crucial en fı́sica de partı́culas es la energı́a umbral, definida como
la energı́a mı́nima de las partı́culas iniciales para que la reacción de creación de
nuevas partı́culas se produzca. Consideremos una reacción de la forma
a + b −→ d + · · · + g.
(1.147)
Tı́picamente, en un experimento una de las partı́culas originales (digamos la b) está
en reposo en el sistema del laboratorio. De este modo, el problema es conocer la energı́a umbral para una reacción de este tipo en el sistema del laboratorio. A primera
vista esto parece un problema sencillo. La energı́a mı́nima posible de las partı́culas
P
finales es simplemente su energı́a en reposo mf c2 . Ası́ que da la impresión de que
P
la energı́a umbral es simplemente
mf c2 . Sin embargo, este argumento es incorrecto. El problema es que en el sistema del laboratorio el momento tridimensional
inicial total no es cero. Por tanto, la conservación del momento lineal (tridimensional) requiere que el correspondiente momento final sea también distinto de cero
y, de este modo, las partı́culas no pueden estar todas en reposo. Ası́ pues, la energı́a
P
en reposo debe ser mayor que
mf c2 . ¿Cuál es entonces?
La forma más sencilla de responder esta pregunta es darse cuenta de que en el
sistema CM, donde el momento tridimensional total es cero, todas las partı́culas
P
pueden estar en reposo. Ası́ pues, ECM ≥
mf c2 y la igualdad aquı́ es posible
cuando todas las partı́culas estén en reposo. Ahora podemos encontrar la energı́a
umbral en el sistema del laboratorio comparando los cuadrimomentos totales en
ambos sistemas de referencia. En el CM el cuadrimomento total tiene la forma
PCM = (ECM /c, 0, 0, 0)T . En el laboratorio Plab = pa +pb , donde pa = (Ea /c, p~a )T
y pb = (mb c, 0, 0, 0)T son los cuadrimomentos de las dos partı́culas originales.
Ahora, la invariancia del producto escalar, PCM · PCM = Plab · Plab , nos lleva
a
2
ECM
/c2 = (pa + pb ) · (pa + pb ) = pa · pa + pb · pb + 2pa · pb = m2a c2 + m2b c2 + 2Ea mb ,
(1.148)
y despejando Ea tenemos que
Ea =
2
ECM
− m2a c4 − m2b c4
.
2mb c2
(1.149)
La Teorı́a de la Relatividad
45
P
Insertando el valor mı́nimo para ECM , es decir, ECM =
mf c2 , obtenemos que la
energı́a mı́nima para el proyectil a en el sistema del laboratorio viene dada por
Eamin
P
( mf )2 − m2a − m2b 2
=
c
2mb
(1.150)
Un famoso ejemplo del uso de esta ecuación fue el diseño del experimento para
verificar la existencia del antiprotón en la reacción de la ec. (1.146). En esta reacción
P
mf = 4mp , mientras que ma = mb = mp , de modo que la energı́a umbral
es 7mp c2 . Por tanto, la mı́nima energı́a cinética de los protones para producir
antiprotones en la reacción de la ec. (1.146) fue de 6mp c2 ≈ 5600 MeV. La reacción
en cuestión se produjo por primera vez en Berkeley, usuando protones acelerados
a esta energı́a por un acelerador conocido como Bevatron, que habı́a sido diseñado
especı́ficamente para acelerar protones hasta unos 6000 MeV, lo suficiente para
producir la reacción mencionada.
Una caracterı́stica importante de la ec. (1.150) es que el término dominante es
P
proporcional a ( mf )2 . De este modo, si la partı́cula que uno espera producir es
muy pesada, Eamin puede ser prohibitivamente grande. Por ejemplo, la partı́cula
conocida como ψ (o J/ψ) tiene una masa de unos 3100 MeV/c2 y fue descubierta
en la reacción e+ + e− −→ ψ, donde el positrón y el electrón tienen masas de unos
0.5 MeV/c2 . Esto significa según la ec. (1.150) que la energı́a umbral deberı́a ser
formidable (del orden de 107 MeV), que sólo hoy en dı́a empieza a ser posible.
La forma de solventar este problema es colisionar haces de estas partı́culas, con
los electrones y los positrones incidiendo los unos sobre los otros con momentos
aproximadamente iguales y de signo contrario. De este modo, el experimento se
realiza en el sistema de referencia CM donde la energı́a umbral es de tan sólo 3100
MeV. Este experimento ilustra claramente las ventajas de los colisionares frente a
los aceleradores de partı́culas convencionales.
1.16
El concepto de fuerza en mecánica relativista
Puede sorprender que no hayamos introducido todavı́a el concepto de fuerza en
relatividad, ya que es el concepto central en la mecánica no relativista. Una de
las razones para ello es que el concepto de fuerza juega un papel mucho menos
importante en la mecánica relativista. Ello se debe principalmente al hecho de que
no es una cantidad invariante bajo las transformaciones de Lorentz, como es evidente
de nuestra discusión de las aceleraciones. Otra complicación es que al igual que la
masa o la velocidad, la fuerza se puede definir de varias formas. Una dificultad más
está relacionada con el hecho de que la masa en reposo de un objeto puede cambiar,
por ejemplo, en colisiones inelásticas. A continuación, eludiremos hablar de esos
casos y sólo prestaremos atención a fuerzas que no cambian las masas en reposo
de los objetos sobre los que actúan. Afortunadamente, esto incluye muchas fuerzas
46
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
importantes en relatividad especial como por ejemplo la fuerza de Lorentz
~ + ~v × B),
~
F~ = q(E
(1.151)
~ y un campo
donde una carga q se mueve en presencia de un campo eléctrico E
~
magnético B.
Probablemente la definición más útil de fuerza (tridimensional) en relatividad
es la siguiente:
d~
p
F~ =
dt
(1.152)
donde p~ es el momento lineal relativista p~ = γm~u (~u es aquı́ la velocidad de la
partı́cula). Con esta definición, el concepto de fuerza relativista está de acuerdo
con el de la mecánica no relativista cuando u c. Otra propiedad que recomienda
la definición anterior es que los experimentos muestran que con esta definición la
fuerza que aparece sobre una carga q en un campo electromagnético es la fuerza
de Lorentz de la ec. (1.151). Otro motivo importante para escoger esta definición
es que nos lleva hasta el teorema que relaciona el trabajo con el cambio de la
energı́a cinética. Esto se puede demostrar del siguiente modo. Recordemos que en
relatividad E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 . Diferenciando en ambos lados con respecto al
tiempo, vemos que
E
d~
p
dE
= p~c2 ·
= p~c2 · F~ .
dt
dt
(1.153)
Dividiendo ahora ambos miembros por E y recordando que p~c2 /E = ~u,
dE
= ~u · F~ .
dt
(1.154)
Multiplicando ambos lados por dt tenemos que
dE = F~ · d~x,
(1.155)
donde d~x denota el desplazamiento d~x = ~udt. Finalmente, ya que E = mc2 + K y
como estamos suponiendo que m no cambia, encontramos que
dK = F~ · d~x,
(1.156)
que es precisamente la generalización del teorema trabajo-energı́a cinética al caso
relativista.
Ejemplo 1.17: Una partı́cula cargada se mueve a lo largo de una lı́nea recta
en un campo elétrico uniforme E con velocidad v. Si el movimiento y el campo
eléctrico están en la dirección x, demostrar que el módulo de la aceleración de la
carga q está dada por
3/2
dv
qE
v2
a=
=
1− 2
.
dt
m
c
La Teorı́a de la Relatividad
47
Solución. La componente x de la versión relativista de la segunda ley de Newton
se escribe como
!
d
d
mv
p
Fx = qE =
(γmv) =
dt
dt
1 − v 2 /c2
p
p
1 − v 2 /c2 + (v 2 /c2 )/ 1 − v 2 /c2
⇒ qE = mdv/dt
1 − v 2 /c2
3/2
mdv/dt
ma
dv
qE
v2
⇒ qE =
.
=
⇒
a
=
=
1
−
3/2
3/2
dt
m
c2
(1 − v 2 /c2 )
(1 − v 2 /c2 )
En definitiva, la partı́cula cargada seguirı́a un movimiento acelerado similar al del
astronauta en el ejemplo 1.10.
Ejemplo 1.18: Recordemos que la fuerza magnética ejercida sobre una carga q
~ es igual a q~v × B.
~ Si una
en movimiento con velocidad ~v en un campo magnético B
partı́cula cargada se mueve en una órbita circular con una velocidad constante v en
presencia de un campo magnético constante, demostrar que la frecuencia angular
de su movimiento orbital es
1/2
v2
qB
1− 2
.
ω=
m
c
¿Cuál serı́a el correspondiente resultado no relativista?
Solución. Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, dicha fuerza no realiza
trabajo y, por tanto, no cambia la energı́a cinética, lo que significa en la práctica
que el módulo de la velocidad permanece constante. De este modo, la componente
centrı́peta de la segunda ley de Newton se escribirá en este caso como
mv 2 /r
qvB = γmaN = p
,
1 − v 2 /c2
donde r es el radio de la órbita. Si expresamos la velocidad en función de la
frecuencia angular, ω, como v = ωr, tendremos que
1/2
qB
v2
ω=
1− 2
.
m
c
En el caso no relativista (v c), la expresión anterior se reduce a ω = qB/m,
que es independiente de la velocidad. Este resultado tiene consecuencias muy importantes en el contexto de los aceleradores de partı́culas.
Ejemplo 1.19: Demostrar que el momento lineal de una partı́cula con carga
e moviéndose en un cı́rculo de radio R en un campo magnético B está dado por
p = 300BR, donde p está en MeV/c, B en teslas y R en metros.
Solución.
Del análisis del ejemplo anterior se deduce que
evB = γmv 2 /R = pv/R ⇒ p = eBR.
Ahora, para expresar el momento lineal en MeV/c, hacemos lo siguiente:
c MeV
BR = 300BR MeV/c,
p = eBR =
MV c
donde el campo magnético está expresado en teslas y el radio en metros.
48
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Ejemplo 1.20: El kaón K 0 es un mesón neutro que se desintegra en dos piones
cargados de acuerdo con K 0 −→ π + + π − . Los piones tienen cargas opuestas y
masas idénticas e iguales a mπ = 140 MeV/c2 . Supongamos que el K 0 se desintegra
en reposo en una cámara de burbujas en presencia de un campo magnético de 2.0
T (ver Fig. 1.20). Si el radio de curvatura de los piones es 34.4 cm, calcular los
momentos lineales y las velocidades de los piones y la masa del mesón K 0 .
Fig. 1.20
Solución.
Ejemplo 1.20.
Por conservación del momento lineal se tiene que
pπ+ = pπ− ≡ pπ .
Por su parte, usando la relación del apartado (a) tenemos que
pπ = 300BR = 300 × 2 × 0.344 MeV/c = 206.4 MeV/c.
Para determinar el módulo de la velocidad de los piones (el mismo para ambos),
calculamos primero la correspondiente energı́a
p
Eπ = (pπ c)2 + (mπ c2 )2 = 249.17 MeV,
de donde se deduce que la velocidad es igual a
vπ
pπ c
=
= 0.828.
c
Eπ
Por otra parte, para determinar la masa en reposo del kaón usamos la conservación de la energı́a:
mK 0 c2 = 2Eπ ⇒ mK 0 = 498.35 MeV/c2 .
Energı́a potencial
Puede ocurrir que, al menos en un sistema de referencia S, la fuerza F~ sobre un
objeto sea el gradiente de una función U (~x), es decir, F~ = −∇U (~x) y la fuerza es
conservativa. Este es el caso, por ejemplo, en el cual una carga q moviéndose en un
campo electrostático. Cuando esto ocurre, el trabajo hecho sobre el objeto cuando
La Teorı́a de la Relatividad
49
se desplaza una cantidad d~x es F~ · d~x = −∇U · d~x = −dU . Combinando esto con
el teorema trabajo-energı́a cinética de la ec. (1.156), encontramos que dK = −dU
o d(K + U ) = 0, es decir, encontramos que como en mecánica no relativista, si la
fuerza que actúa sobre el objeto es conservativa, K + U se conserva.
Cuadrifuerza
La fuerza F~ = d~
p/dt no es la parte espacial de un cuadrivector. El problema es que
mientras d~
p es la parte espacial de un cuadrivector, dt no es un escalar. En este
sentido, la fuerza F~ es como la velocidad ordinaria ~v = d~x/dt, y sus ecuaciones de
transformación de un sistema de referencia a otro son complejas. De este modo,
nos podemos preguntar si es posible construir un cuadrivector que esté relacionado
con el concepto de fuerza. La respuesta es afirmativa y se puede construir esta
cuadrif uerza sin más que derivar el momento lineal relativista con respecto al
tiempo propio, τ , es decir,
K=
dp
dτ
(1.157)
(No hay notación ampliamente aceptada para la cuadrifuerza, pero K es una de
las más usadas. Esperemos que no se confunda con la energı́a cinética.) Como dp
es un cuadrivector y dτ es un escalar, es obvio que K es un cuadrivector. Como
dτ = dt/γ, podemos escribir K como
T
p
1 dE d~
T
~
,
= γ(F~ · ~u/c, F~ )T ,
(1.158)
K = (K0 , K) = γ
c dt dt
donde ~u es la velocidad de la partı́cula y la última igualdad se deduce de la
ec. (1.154). Vemos que la parte espacial de la cuadrifuerza es γ veces la fuerza
tridimensional F~ .
Como de costumbre, las ventajas del uso de una caudrifuerza tienen que ver con
el hecho de que es un cuadrivector y, por tanto, se transforma de forma sencilla
de acuerdo a las transformaciones de Lorentz (ver siguiente ejemplo). La principal
desventaja de la cuadrifuerza es que da la derivada del momento con respecto al
tiempo propio, mientras que la fuerza convencional da la derivada con respecto al
tiempo en el sistema de referencia correspondiente. Como normalmente estamos
interesados en el movimiento de un objeto en términos del tiempo en un sistema de
referencia determinado, la fuerza tridimensional es, en este sentido, más útil.
Ejemplo 1.21: (a) Demostrar que las leyes de transformación relativistas de
las componentes de la fuerza F~ = (Fx , Fy , Fz )T vienen dadas por
Fx0 =
Fy /γ
Fz /γ
Fx − (v/c2 )(F~ · ~u)
; Fy0 =
; Fz0 =
1 − vux /c2
1 − vux /c2
1 − vux /c2
(1.159)
donde ~u es la velocidad de la partı́cula en sistema de referencia S y v esp
la velocidad
relativa del sistema S 0 con respecto a S (a lo largo del eje x) y γ = 1/ 1 − v 2 /c2 .
50
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(b) Particularizar estas relaciones al caso en el que el sistema S es el sistema en
reposo instantáneo con la partı́cula.
Solución. (a) La idea más sencilla es hacer uso del concepto de cuadrifuerza y
de que esta cantidad se transforma como un cuadrivector, es decir,
~


 ~0 0  
γ −γβ 0 0
F · ~u/c
F · ~u /c


 Fx0   −γβ γ 0 0 
 γ(u)  Fx  ,
 
K0 = Λ̂(v)K ⇒ γ(u0 ) 


 F0  =  0
0 10
Fy 
y
0
0 01
Fz
Fz0
p
p
0
2 2
2 2
donde
p γ = 1/ 1 − v /c , β = v/c, γ(u) = 1/ 1 − u /c y γ(u ) =
0
2
2
1/ 1 − (u ) /c . Si ahora hacemos uso de
γ(u0 )
dt0
=
= γ(1 − vux /c2 ),
γ(u)
dt
es sencillo llegar a las expresiones de la ec. (1.159).
(b) Si S es el sistema en el que la partı́cula está en reposo instantáneo, entonces
~u = 0. De este modo, la ec. (1.159) se reduce a
Fx0 = Fx ; Fy0 = Fy /γ; Fz0 = Fz /γ.
1.17
Formulación lagrangiana de la relatividad especial
En esta sección discutiremos brevemente cómo se puede describir la dinámica relativista desde un punto de vista de una formulación lagrangiana. Para hacerlo
recurriremos al principio de Hamilton y simplemente buscaremos una función L
para la cual las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenidas del principio variacional
Z t2
δS = δ
Ldt = 0,
(1.160)
t1
estén de acuerdo con las ecuaciones de movimiento relativista que hemos derivado
en la sección anterior.
Un lagrangiano relativista para una partı́cula que está sometida a fuerzas conservativas independientes de la velocidad viene dada por
p
(1.161)
L = −mc2 1 − β 2 − U,
donde U es la función energı́a potencial, que sólo depende de la posición, y β = v/c,
donde v es la velocidad de la partı́cula en el sistema de referencia que estemos
considerando. Veamos que efectivamente este lagrangiano nos lleva a las ecuaciones
de movimiento correctas. Para ello escribimos primero las ecuaciones de Lagrange:
d ∂L
∂L
−
= 0.
(1.162)
dt ∂vi
∂xi
La Teorı́a de la Relatividad
51
Como el potencial es independiente de la velocidad, tenemos que
∂L
mvi
= pi .
=p
∂vi
1 − β2
Por tanto, las ecuaciones de Lagrange adoptan la forma
!
d
∂U
mvi
p
=−
= Fi ,
2
dt
∂x
i
1−β
(1.163)
(1.164)
lo que está de acuerdo con la ec. (1.152). Nótese que el langrangiano relativista ya
no es igual a K − U , pero la derivada parcial de L con respecto a la velocidad es
igual al momento. Por otra parte, es obvio que podemos extender el lagrangiano
de la ec. (1.161) al caso de sistemas de muchas partı́culas y cambiar las coordenadas cartesianas por coordenadas generalizadas q. Los momentos canónicos, p, se
seguirı́an definiendo como
pi =
∂L
.
∂ q̇i
(1.165)
Además, si L no depende explı́citamente del tiempo, entonces existe una constante
del movimiento
X
H=
q̇i pi − L.
(1.166)
i
Usando la ec. (1.161), tenemos que
p
mv 2
mc2
H=p
+ mc2 1 − β 2 + U = p
+ U = K + U + mc2 = E. (1.167)
1 − β2
1 − β2
Ası́ pues, podemos identificar esta constante del movimiento H como la energı́a
total E.
Ejemplo 1.22: Usar la formulación lagrangiana para derivar la ecuación de
movimiento de una partı́cula relativista sometida a una fuerza constante.
Solución. Sin pérdida de generalidad podemos tomar el eje x como la dirección
de la fuerza constante. De este modo, el lagrangiano viene dado por
p
L = −mc2 1 − β 2 + max,
donde β = ẋ/c y a es una constante que determina la magnitud de la fuerza por
unidad de masa. La ecuación de movimiento será obviamente
!
d
β
a
p
= .
2
dt
c
1−β
Una primera integración nos da
β
at + α
at + α
p
=
⇒β= p
,
c
c2 + (at + α)2
1 − β2
52
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
donde α es una constante de integración. Una segunda integración sobre t desde 0
hasta t y sobre x desde x0 hasta x nos da
Z t
(at0 + α)dt0
p
,
x − x0 = c
c2 + (at + α)2
0
nos conduce a la solución completa
i
p
c hp 2
x − x0 =
c + (at + α)2 − c2 + α2 .
a
Si la partı́cula comienza en reposo desde el origen tenemos que x0 = 0 y v0 = 0 = α,
entonces la solución anterior se reduce a
2
c4
c2
− c2 t2 = 2 ,
x+
a
a
que es la ecuación de una hipérbola en el plano x, t. Recordemos que bajo las
mismas condiciones, el movimiento no relativista corresponde a una parábola. El
lı́mite no relativista se obtiene de la solución completa considerando que (at + α)
es pequeño frente a c.
1.18
Introducción a la relatividad general
La generalización de la relatividad a sistemas de referencia no inerciales fue llevada
a cabo por Albert Einstein en 1915 y se conoce como la teorı́a general de la relatividad. Dicha teorı́a puede considerarse como una generalización de la teorı́a de
la gravedad de Newton. Desgraciadamente, la teorı́a de la relatividad general es
considerablemente más complicada desde el punto de vista matemático que la relatividad especial. Sin embargo, debido a su importancia en áreas como la astrofı́sica
o la cosmologı́a, es interesante hacer aquı́ una primera aproximación a este hermosa
teorı́a. La descripción detallada de la relatividad general requiere el uso de análisis
tensorial y geometrı́a diferencial y, por tanto, está fuera del alcance de nuestro curso.
Lo que haremos a continuación es introducir el principio de equivalencia, en el que
se fundamenta la relatividad general, y después repasaremos de forma cualitativa
algunas de las predicciones básicas de esta teorı́a.
1.18.1
El principio de equivalencia
El fundamento de la teorı́a general de la relatividad es el principio de equivalencia, que nos dice:
“Un campo gravitatorio homogéneo es completamente equivalente a
un sistema de referencia uniformemente acelerado”.
Este principio surge en la mecánica newtoniana debido a la igualdad entre la
masa inercial y la masa gravitatoria. Para entender mejor el significado del principio
de equivalencia, consideremos un compartimento situado en el espacio, alejado de
toda materia y que se encuentra sometido a una acelaración uniforme ~a, tal y
La Teorı́a de la Relatividad
53
Fig. 1.21 Los resultados de los experimentos en un sistema de referencia uniformemente acelerado
no pueden distinguirse de los realizados en un campo gravitatorio uniforme (b) si la aceleración ~a
y el campo gravitatorio ~g tienen el mismo módulo.
como se muestra en la Fig. 1.21(a). No se puede llevar a cabo ningún experimento
mecánico en el interior del compartimento que permita distinguir si éste se encuentra
acelerando en el espacio o se encuentra en reposo (o moviéndose con velocidad
constante) en presencia de un campo gravitatorio uniforme ~g = −~a, como se muestra
en la Fig. 1.21(b). Si dentro del compartimento se sueltan algunos objetos, caerán
hacia el “suelo” con una aceleración ~g = −~a. Si una persona está sobre una balanza
de muelle, leerá que su “peso” tiene un valor ma.
Einstein supuso que el principio de equivalencia se aplica a todas las ramas de
la fı́sica y no sólo a la mecánica. Supuso que no podı́a existir ningún experimento
que distinguiese entre un movimiento uniformemente acelerado y la presencia de un
campo gravitatorio.
Como el principio de equivalencia establece que un sistema en presencia de un
campo gravitatorio se asemeja a un sistema acelerado, esto significa que la relatividad especial no se aplica a sistemas bajo la acción de la gravedad. Esto le llevó a
Einstein a desarrollar una teorı́a de la gravitación compatible con los postulados de
la relatividad especial. Esta teorı́a introducida en 1916 se conoce con el nombre de
teorı́a de la relatividad general. En las próximas subsecciones discutiremos algunas
de las predicciones fundamentales de esta teorı́a.
1.18.2
Desviación de la luz por un campo gravitatorio
Una de las consecuencias más importantes del principio de equivalencia es la
desviación de la luz en un campo gravitatorio. Para entender este hecho, consideremos la Fig. 1.22 que nos muestra un rayo de luz que entra en un compartimento
que está acelerando con aceleración ~a. En esta figura se muestran varias posiciones
54
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.22 (a) Haz de luz moviéndose en lı́nea recta a través de un compartimento que experimenta
una aceleración uniforme. La posición del haz se muestra a intervalos iguales de tiempo t1 ,
t2 , t3 y t4 . (b) En el sistema de referencia del compartimento la luz describe una trayectoria
parabólica como lo harı́a una pelota si fuera lanzada horizontalmente. Para mayor claridad, los
desplazamientos verticales en (a) y (b) están muy exagerados.
sucesivas a intervalos de tiempo iguales. Como el compartimento se está acelerando,
la distancia que recorre en cada intervalo de tiempo se incrementa con el tiempo.
El camino del rayo de luz, tal y como se observa desde dentro del compartimento,
es por tanto una parábola. Pero de acuerdo con el principio de equivalencia, no
hay forma de distinguir entre un compartimento acelerado y uno con velocidad constante en un campo gravitatorio uniforme. Por tanto, podemos concluir que el rayo
de luz se acelerará en un campo gravitatorio como cualquier objeto con masa en
reposo. Ası́ por ejemplo, cerca de la superficie de la Tierra la luz caerá con un
aceleración de 9.8 m/s2 . Esto es difı́cil de observar debido a la enorme velocidad
de la luz. Por ejemplo, en una distancia de 3000 km, que es recorrida por la luz en
0.01 s, un rayo de luz deberı́a caer unos 0.5 mm. Einstein señaló que la desviación
de la luz en un campo gravitatorio podrı́a observarse cuando la luz de una estrella
lejana pasase cerca del Sol.
Einstein calculó en su artı́culo original (1915) el ángulo de deflexión α que sufre
un haz de luz procedente de una estrella al pasar por las inmediaciones del Sol, ver
Fig. 1.23, y obtuvo como resultado
α=
4GM
Rc2
(1.168)
donde R es la distancia mı́nima al centro Sol, M es la masa del Sol (M = 1.99×1030
kg) y G es la constante de gravitación universal. Suponiendo que el rayo pasa justo
por la superficie del Sol, entonces R = 6.96 × 108 m, lo cual da α = 1.75 segundos
de arco. En realidad, como se muestra en uno de los problemas avanzados al final
de este capı́tulo, este resultado (salvo un factor 2) se puede obtener clásicamente
suponiendo que un fotón posee una masa en reposo igual a p/c, donde p es su
momento lineal. La predicción de la ec. (1.168) fue comprobada en 1919 por el
astrónomo británico Eddington.
La Teorı́a de la Relatividad
55
Fig. 1.23
Desviación (muy exagerada) de un haz de luz debido a la atracción gravitatoria del Sol.
1.18.3
Lentes gravitatorias
La desviación de la luz por parte de un campo gravitatorio juega hoy en dı́a un
papel crucial en la astronomı́a y la astrofı́sica a través del fenómeno conocido como
efecto de lente gravitatoria (gravitational lensing). Este fenómeno, predicho
por Einstein en 1936 [A. Einstein, Science 84, 506 (1936)], consiste en la distorsión
y amplificación de la imagen de objetos lejanos (como galaxias) producida por la
desviación de la luz por parte de objetos como estrellas o galaxias, que actúan de
forma similar a como lo hace una lente ordinaria. El principio de lente gravitatoria
se ilustra de forma esquemática en la Fig. 1.24.
Fig. 1.24 Lentes gravitatorias que curvan la luz procedente de objetos distantes. Las flechas
naranjas indican la posición aparente de los objetos, mientras que las blancas indican el camino
que la luz ha seguido realmente.
56
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.25 “Anillos de Einstein” captados por el telescopio Hubble. Galaxias elı́pticas situadas a
unos 2000-4000 millones de años-luz actúan como lentes gravitatorias deformando la imagen de
otras galaxias situadas a una distancia dos veces más grande.
El propio Einstein era bastante escéptico acerca de la posibilidad de observar este
fenómeno y durante muchos años fue considerado como una curiosidad académica.
La situación cambió a finales de los años 1970 cuando D. Walsh y sus colaboradores
descubrieron en 1979 una doble imagen del quasar QSO 0957. Desde entonces, se
han observado miles de ejemplos del efecto de lente gravitatoria. En la Fig. 1.25
mostramos algunos ejemplos de los llamados “anillos de Einstein” captados por el
telescopio espacial Hubble. Esta deformación lumı́nica se produce cuando la fuente,
la lente y el observador están completamente alineados; de no ser ası́, el anillo
es parcial. Las lentes gravitatorias han cobrado una importancia capital para los
astrónomos ya que proporcionan un método ideal para estudiar la existencia y la
naturaleza de la materia oscura en el universo.
1.18.4
El corrimiento al rojo gravitacional
Otra predicción importante de la relatividad general está relacionada con el efecto
que tiene un campo gravitatorio sobre el ritmo de los relojes y sobre las frecuencias
de la luz. De nuevo, esto es una consecuencia directa del principio de equivalencia,
como pasamos a demostrar. Consideremos dos fuentes de luz idénticas (A y A0 )
situadas en dos naves espaciales idénticas (S y S 0 ), como se ilustra en la Fig. 1.26.
La nave S 0 en la Fig. 1.26(b) está situada lejos de cualquier masa. En el instante
t = 0, S 0 comienza a acelerar, y simultáneamente un átomo en la fuente A0 emite
un pulso de luz con una frecuencia f0 . Durante el tiempo t = h/c que necesita la
La Teorı́a de la Relatividad
57
Fig. 1.26 (a) Sistema de referencia S en reposo en el campo gravitatorio de un planeta. (b) Nave
espacial S 0 , lejos de cualquier masa, que acelera con ~a = −~g .
luz para viajar de A0 a B 0 , B 0 adquiere una velocidad v = at = gh/c, y el detector
B 0 , que retrocede con respecto a la posición original de A0 , mide una frecuencia
de la luz incidente igual a f que está corrida al rojo por una fracción dada por
(f0 − f )/f0 ≈ β para v c (ver sección 1.5). De este modo,
(f0 − f )/f0 = ∆f /f0 ≈ β = v/c = gh/c2
(1.169)
Nótese que el miembro de la derecha de la ecuación anterior es igual a la diferencia de potencial gravitatorio (es decir, la energı́a potencial gravitatoria por unidad
de masa) ∆φ = gh entre A y B, dividida por c2 . De acuerdo con el principio de
equivalencia, el detector B en S debe también medir una frecuencia igual a f para
la luz incidente, aunque S está en reposo con respecto al planeta y, por tanto, el
corrimiento no tiene nada que ver con el efecto Doppler. Ya que el átomo emisor
que produjo el pulso en A puede ser considerado como un reloj, el observador en B
debe concluir que el reloj en A corre más lento que el reloj en B. Ya que A está
situado en el punto de menor potencial gravitatorio, el observador concluye que
los relojes corren más despacio cuanto menor sea el potencial gravitatorio. Este
corrimiento del ritmo de los relojes hacia frecuencias más bajas, o hacia mayores
longitudes de onda, al disminuir el potencial gravitatorio se conoce con el nombre
de corrimiento al rojo gravitacional.
En el caso más general de una masa esférica M que no rota, el cambio de
potencial gravitatorio entre la superficie a una distancia R del centro y un punto
en el infinito viene dada por
Z ∞
GM
GM
dr =
(1.170)
∆φ =
2
r
R
R
y el factor por el cual la gravedad corre la frecuencia de la luz es
∆f /f0 = (f0 − f )/f0 = GM/c2 R
(1.171)
58
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.27 Corrimiento al rojo de un haz luminoso cuando se mueve hacia arriba en un campo
gravitatorio.
o
f /f0 = 1 − GM/c2 R (corrimiento al rojo gravitacional)
(1.172)
Este corrimiento al rojo se ilustra de forma esquemática en la Fig. 1.27.
Si la luz se mueve en sentido opuesto, es decir, desde valores grandes a valores
pequeños del potencial gravitatorio, los lı́mites de integración en la ec. (1.170) se
invierten y la ec. (1.172) se convierte en
f /f0 = 1 + GM/c2 R (corrimiento al azul gravitacional)
(1.173)
El análisis de los corrimientos gravitacionales de las frecuencias de la luz procedente de estrellas es extremadamente difı́cil debido a varios factores. Por ejemplo, la
luz se corre hacia el rojo cuando sale de una estrella y se corre hacia el azul cuando
llega a la Tierra. El corrimiento al azul al llegar a la Tierra suele ser despreciable.
Sin embargo, el corrimiento al rojo de estrellas y galaxias debido a su movimiento de
recesión con respecto a nosotros debido a la expansión del universo suele ser mucho
mayor que el corrimiento al rojo debido a efectos gravitatorios. Una complicación
adicional proviene del ensanchamiento térmico de las frecuencias en las atmósferas
estelares.
En realidad, la primera comprobación experimental del efecto gravitatorio sobre
las frecuencias de la luz se realizó sobre la superficie de la Tierra. En 1960 primero
y después en 1964, R.V. Pound y sus colaboradores midieron el corrimiento en
la frecuencia de rayos gamma de 14.4 keV emitidos por núcleos de 57 Fe cayendo
desde una altura de h = 22.5 m. Usando el efecto Mössbauer, las medidas de
Pound y sus colaboradores estaban de acuerdo con el corrimiento al azul predicho
(gh/c2 = 2.45 × 10−15 ) con un error del 1%. Los detalles sobre estos experimentos
se pueden encontrar en R.V. Pound and G.A. Rebka, Jr. Phys. Rev. Lett. 4, 337
(1960) y R.V. Pound and J.L. Snider Phys. Rev. Lett. 13, 539 (1964).
La Teorı́a de la Relatividad
59
Fig. 1.28 Un disco de polvo de 3700 años-luz de diámetro rodea a un agujero negro situado en
el centro de la galaxia elı́ptica NGC 7052 y que tiene una de masa de 300 millones de veces la del
Sol.
1.18.5
Agujeros negros
Los agujeros negros fueron predichos por primera vez por J.R. Oppenheimer and H.
Snyder en 1939. De acuerdo con la teorı́a general de la relatividad, si la densidad de
un objeto como una estrella es suficientemente grande, la atracción gravitatoria será
tan grande que nada puede escapar de su superficie, ni siquiera la luz o cualquier
otra radiación electromagnética. Una propiedad notable de un agujero negro es
que nada de lo que ocurre en su interior puede estar comunicado con el exterior.
Esto ocurre cuando el potencial gravitatorio en la superficie de una masa M es tan
grande que la frecuencia de la radiación emitida desde la superficie se corre al rojo
hasta tener frecuencia cero. Según la ec. (1.172) esto ocurrirá cuando el radio de
la masa alcance el valor crı́tico RG = GM/c2 . Este resultado es una consecuencia
del principio de equivalencia, pero la ec. (1.172) sólo es válida cuando v c. Una
derivación precisa del valor crı́tico RG , conocido como radio de Schwarzschild da
2GM
(1.174)
c2
Para que un objeto con la masa del Sol fuera un agujero negro, su radio deberı́a
ser de 3 km. Durante mucho tiempo se cuestionó la existencia de estos objetos,
pero en los últimos años se han identificado muchos agujeros negros, incluyendo
uno supermasivo en el centro de nuestra galaxia. Un ejemplo de agujero negro
observado con el telespocio espacial Hubble se muestra en la Fig. 1.28.
Es interesante señalar que la ec. (1.174) fue derivada por primera vez en el siglo
XIX por el fı́sico francés Pierre Laplace usando la mecánica newtoniana. Lo que
RG =
60
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Fig. 1.29 El sistema binario PSR 1913+16 pierde energı́a debido a la emisión de ondas gravitacionales. Este gráfico compara el cambio en el tiempo de revolución calculado (lı́nea continua) y
medido (puntos).
él hizopfue calcular la velocidad de escape ve de un planeta esférico de masa M ,
ve =
2GM/r, y la igualó a la velocidad de la luz (c). Esto le llevó directamente a la ec. (1.174). Laplace obtuvo el resultado correcto cometiendo dos errores
fundamentales que se cancelan el uno al otro.
1.18.6
Ondas gravitatorias
La teorı́a de la relatividad general predice la existencia de ondas gravitacionales. Al
igual que una carga eléctrica genera ondas electromagnéticas, una masa acelerada
deberı́a generar ondas gravitacionales que se propagarı́an a la velocidad de la luz.
Estas ondas son distorsiones de espacio-tiempo que se propagan a la velocidad de
la luz.
Hasta hace unos dı́as tan sólo existı́a evidencia indirecta de la existencia de
ondas gravitacionales. En 1974 R.A. Hulse y J.H. Taylor descubrieron el primer
pulsar binario, es decir, un par de estrellas de neutrones orbitando una alrededor
de la otra, una de las cuales estaba emitiendo pulsos de radiación electromagnética.
En un preciso experimento, demostraron que el decrecimiento en el periodo orbital
del par estaba en buen acuerdo con las predicciones de la relatividad general para
el ritmo de pérdida de energı́a gravitacional por medio de la emisión de ondas
gravitatorias (ver Fig. 1.29).
1.19
Bibliografı́a recomendada
Para una introducción o repaso de la relatividad especial sin excesivas complicaciones matemáticas, se recomienda:
La Teorı́a de la Relatividad
61
• Capı́tulo 39 de “Fı́sica para la ciencia y la tecnologı́a, Vol. 2C” (6a edición) de
Tipler y Mosca, editorial Reverté.
• Capı́tulo 1 de “Modern Physics” (6th edition) de Tipler y Llewellyn, W.H.
Freeman.
• Capı́tulo 1 de “Modern Physics” (3rd edition) de R.A. Serway, C.J. Moses and
C.A. Moyer, Thomson/Brook Cole (2005).
En particular, el libro de Tipler y Llewellyn contiene una descripción detallada
del experimento de Michelson y Morley y una discusión amplia de los diagramas
espacio-temporales. En este libro también se puede encontrar un análisis de las dos
paradojas mencionadas en la sección 1.7.
Sin duda el mejor libro de introducción a la relatividad especial es:
• “Introducción a la Relatividad Especial”, J.H. Smith, editorial Reverté.
El nivel de matemáticas que presupone el autor en este texto es incluso un poco
inferior al de nuestro curso. Este libro contiene, en especial, la descripción de muchos
de los experimentos fundamentales que contribuyeron a confirmar la relatividad
especial. Además, el libro de French contiene descripciones muy detalladas, por
ejemplo, del experimento de Michelson y Morley, de los diagramas espacio-tiempo,
del experimento original sobre la dilatación del tiempo para los muones producidos
en rayos cósmicos y de la paradoja de los gemelos. Su último capı́tulo (capı́tulo 8)
acerca de la conexión entre relatividad especial y electromagnetismo es sencillamente
genial. Para nuestro curso recomiendo la lectura de los capı́tulos del 3 al 7.
Otras tres referencias clásicas muy recomendables para aprender la interpretación geómetrica de la relatividad especial y sobre la formulación lagrangiana
de esta teorı́a son:
• Capı́tulo 5 de “Mecánica Clásica”, John R. Taylor, editorial Reverté.
• Capı́tulo 7 de “Classical Mechanics” (3rd edition), Herbert Goldstein, Charles
Poole y John Safko, editorial Addison Wesley.
• Capı́tulo 14 “Classical Dynamics of Particles and Systems” (5th edition),
Stephen T. Thornton and Jerry B. Marion, editoral Thomson Brooks/Cole.
Para aquellos que deseen una introducción más seria y profunda a la relatividad
general, yo les recomendarı́a:
• “Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction”, Ta-Pei Cheng
(Oxford Master Series in Physics).
Este texto proporciona una introducción muy gradual a la relatividad general y a
todo su aparato matemático (tensores y geometrı́a diferencial) que se puede seguir
sin muchas problemas.
Finalmente, para aquellos que les guste la literatura de divulgación cientı́fica,
tres recomendaciones:
62
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
• “Sobre la Teorı́a de la Relatividad Especial y General”, Albert Einstein, Alianza
Editorial.
• “Einstein’s Telescope” Evalyn Gates, W.W. Norton and Company 2009.
• “Brevı́sima Historia del Tiempo”, Stephen Hawkings, Editorial Crı́tica, 2005.
Siempre es bueno leer al autor de una teorı́a y el libro de Einstein de 1916, dirigido
a todos los públicos, nos proporciona una idea muy clara de su motivación para
desarrollar la teorı́a de la relatividad. Los aficionados a la astronomı́a no deberı́an
perderse el libro de Evalyn Gates, donde se relata de una forma muy amena la
importancia de las lentes gravitatorias en la astronomı́a moderna y, en particular,
en la búsqueda de la materia y la energı́a oscura.
1.20
Ejercicios del Capı́tulo 1
Cuestiones de cinématica relativista
(1) Dos sucesos ocurren en el mismo punto x00 en los instantes t01 y t02 en el sistema
S 0 , que se está moviendo con velocidad v (a lo largo del eje x) con respecto
al sistema S. (a) ¿Cuál es la separación espacial entre estos dos sucesos en
el sistema S? (b) ¿Cuál es la separación temporal de estos dos sucesos en el
sistema S?
Solución: (a) x1 − x2 = γv(t01 − t02 ); (b) t1 − t2 = γ(t01 − t02 ).
(2) Un observador ve un sistema formado por una masa que oscila en el extremo
de un muelle que pasa frente a él con una velocidad u y determina el periodo T
de oscilación. Otro observador, que se mueve con el sistema masa-muelle, mide
también su periodo. ¿Cuál es
p la relación entre ambos periodos?
Solución: T 0 = γ(u)T = T / 1 − u2 /c2 .
(3) Una nave espacial se dirige a una estrella que se halla a 35 años-luz a una
velocidad de 2.7 × 108 m/s. ¿Cuánto tarda en llegar a la estrella (a) según se
mide desde la Tierra y (b) según se mide desde la propia nave?
Solución: (a) 38.88 años; (b) 16.94 años.
(4) La vida media propia de un muón es 2 µs. Un haz de muones se está moviendo
a 0.999c. (a) ¿Cuál es su vida media en el sistema del laboratorio? (b) ¿Qué
distancia recorrerán en valor medio antes de desintegrarse?
Solución: (a) 44.73 µs; (b) 13.42 km.
(5) Una regla que tiene una longitud propia de 1 m se mueve en una dirección a
lo largo de su longitud con velocidad relativa v respecto a un observador. Éste
mide la longitud de la regla y su resultado es 0.914 m. ¿Cuál es la velocidad v?
Solución: 0.293c.
(6) En un sistema de referencia S, un evento B ocurre 2 µs después de un evento
A y a una distancia ∆x = 1.5 km del evento A. (a) ¿A qué velocidad se debe
mover un observador a lo largo del eje +x para que vea que los dos eventos
ocurren simultáneamente? (b) ¿Es posible que haya un observador para el cual
La Teorı́a de la Relatividad
(7)
(8)
(9)
(10)
63
el evento B ocurra antes que el A?
Solución: (a) 0.4c; (b) sı́, siempre que su velocidad sea mayor que 0.4c.
Un rayo de luz se mueve a lo largo del eje y 0 con velocidad c en el sistema de
referencia S 0 , que se está moviendo hacia la derecha (eje x) con una velocidad
v con respecto al sistema S. (a) Determinar las componentes ux y uy de la
velocidad del rayo de luz en el sistema S. (b) Demostrar que el módulo de la
velocidad del rayo en S es c.
Solución: (a) ux = v y uy = c/γ; (b) u = c.
Una fuente luminosa que se está acercando a la Tierra con velocidad v emite
luz de sodio de 620 nm de longitud de onda. En el sistema de referencia de la
Tierra el valor medido es de 589 nm. Hallar v.
Solución: v = 0.0512c.
Una galaxia se está alejando de nosotros con una velocidad de 1.85 × 107 m/s.
Calcular el desplazamiento relativo hacia el rojo (λ−λ0 )/λ0 en la luz procedente
de esta galaxia.
Solución: (λ − λ0 )/λ0 = 0.0637
¿A qué velocidad te deberı́as mover hacia una luz roja (λ = 650 nm) para que
te parezca amarilla (λ = 590 nm)?
Solución: 0.0965c.
Cuestiones de dinámica relativista
(11) Una partı́cula se mueve con velocidad menor que c/2. Si su velocidad se dobla,
¿qué ocurre con su momento lineal?
Solución: Se hace infinito.
(12) Dar un argumento fı́sico para demostrar que es imposible acelerar un objeto de
masa m hasta alcanzar la velocidad de la luz, aunque una fuerza constante esté
actuando sobre ella.
Solución: Se requerirı́a una energı́a infinita.
(13) El lı́mite superior para la velocidad de un electrón es la velocidad de la luz c.
¿Significa esto que el momento lineal también tiene un lı́mite superior?
Solución: El momento lineal no está acotado, puede ser infinito.
(14) Los fotones tienen masa cero. ¿Cómo es posible que tengan un momento finito?
Solución: Tienen un momento finito porque tienen una energı́a finita: p = E/c.
(15) Un electrón (cuya energı́a en reposo es 0.511 MeV) se mueve a una velocidad
de 0.6c con respecto al sistema de referencia del laboratorio. Determinar (a)
el factor γ, (b) el módulo del momento lineal p en unidades de MeV/c, (c) su
energı́a total E y (d) su energa cintica K.
Solución: (a) 1.25; (b) 0.383 MeV/c; (c) 0.638 MeV; (d) 0.127 MeV.
(16) La velocidad orbital del Sol relativa al centro de la vı́a láctea es de 250 km/s.
¿Cuál es el cociente entre los valores relativistas y newtonianos del momento
lineal y de la energı́a cinética del Sol?
64
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Solución: prel /pclas = 1.000000347; Erel /Eclas = 0.99936.
(17) En una reacción de fusión nuclear dos átomos 2 H se combinan para producir un
átomo 4 He. (a) Calcular el decrecimiento de la masa en reposo. (b) ¿Cuánta
energı́a se libera en esta reacción? (c) ¿Cuántas reacciones de este tipo han de
tener lugar por segundo para producir una potencia de 1 W? Nota: el átomo
de 2 H tiene una masa de 2.014102u y el de 4 He de 4.002602u, donde u =
1.66054 × 10−27 kg = 931.494 MeV/c2 es la unidad de masa atómica.
Solución: (a) 23.84 MeV; (b) 23.84 MeV; (c) 2.61 × 1011 .
(18) Demostrar que los procesos siguientes son imposibles: (a) Un fotón choca con
un electrón en reposo y le cede toda su energı́a al electrón. (b) Un fotón situado
en el espacio libre se transforma en un electrón y un positrón. (c) Un positrón
rápido y un electrón en reposo se destruyen mutuamente dando lugar a un solo
fotón.
(19) El Sol irradia al espacio una energı́a de unos 4.0 × 1026 J por segundo. (a)
¿Cuánta masa se convierte en energı́a por segundo? (b) Si la masa del Sol es de
2.0 × 1030 kg, ¿cuánto tiempo sobrevivirá el Sol si sigue emitiendo a este ritmo?
Solución: 4.4 × 109 kg; (c) 1.427 × 1013 años.
Cuestiones de relatividad general
(20) Dos relojes idénticos están en la misma casa, uno en el dormitorio del piso de
arriba y el otro la cocina en el piso de abajo. ¿Cuál de los dos relojes marca un
menor tiempo?
Solución: El reloj de la cocina va más despacio.
Problemas de cinemática relativista
(21) La vida media propia de los mesones π (piones) es de 2.6 × 10−8 s. Si un haz
de estas partı́culas tiene una velocidad de 0.9c, (a) ¿cuál es el tiempo de vida
media medido en el laboratorio?, (b) ¿qué distancia recorren en promedio antes
de decaer?, (c) ¿cuál serı́a la respuesta a la pregunta (b) si despreciamos la
dilatación del tiempo?
Solución: (a) 5.96 × 10−8 s; (b) 16.10 m; (c) 7.02 m.
(22) Un astronauta desea ir a una estrella que está a cinco años-luz. (a) Calcular la
velocidad de la nave con respecto a la Tierra de manera que el tiempo, medido
en el reloj del astronauta, sea de un año. (b) ¿Cuál será el tiempo de la misión
medido por un observador terrestre?
Solución: (a) 0.98c; (b) 5.02 años.
(23) Dos naves espaciales se mueven en direcciones opuestas. Un pasajero en la
nave A, que sabe que su nave mide 100 m, ve que la nave B se mueve con una
velocidad de 0.92c y que su longitud es 36 m. ¿Cuáles son las longitudes de las
dos naves medidas por un pasajero en la nave B?
Solución: 39.19 m (nave A) y 91.85 m (nave B).
La Teorı́a de la Relatividad
65
(24) Un satélite artifical completa una órbita alrededor de la Tierra a una altura de
600 km en 100 minutos. ¿Cuántos segundos por dı́a atrasará un reloj en este
satélite comparado con un reloj fijo en la Tierra? Nota: suponer por simplicidad
que la Tierra es un sistema de referencia inercial e ignorar los efectos debidos
al campo gravitatorio terrestre. El radio de la Tierra es 6370 km.
Solución: 2.55 × 10−5 s.
(25) Un destello luminoso es emitido desde el punto x1 del eje de las x y es absorbido
en el punto x2 = x1 + l. En un sistema de referencia que se mueve a una
velocidad v = βc según el eje de las x, (a) ¿cuál es la separación espacial l0
entre el punto en que se emite la luz y el punto en el que se absorbe? (b)
¿Cuánto tiempo
ptranscurren entre la emisión y la absorción de la luz?
Solución: (a) l (1 − β)/(1 + β); (b) (1 − β)γl/c.
(26) Un destello de luz es emitido en el punto O y se absorbe después en el punto P
(ver Fig. 1.30). En el sistema de referencia S la lı́nea OP tiene una longitud l
y forma un ángulo θ con el eje x. En el sistema S 0 que se mueve con respecto
a S con una velocidad constante v a lo largo del eje x: (a) ¿cuánto tiempo t0
transcurre entre la emisión y la absorción de la luz? (b) ¿Cuál es la separación
espacial l0 entre el punto de emisión y el de absorción?
P
l
O
Fig. 1.30
θ
x
Problema 1.26.
(27) Una nave parte de la Tierra con una velocidad constante igual a 3c/5. Cuando
un reloj en la nave indica que ha transcurrido una hora, el cohete emite una
señal luminosa hacia la Tierra. (a) De acuerdo con los relojes terrestres, ¿cuándo
se emitió la señal? (b) De acuerdo con los relojes terrestres, ¿cuánto tiempo
después de la partida de la nave llegó la señal a la Tierra? (c) De acuerdo con
los relojes de la nave, ¿cuánto tiempo después de la partida de la nave llegó la
señal a la Tierra? (d) ¿Qué relojes atrasan?
Solución: (a) 1.25 h; (b) 2 h; (c) 1.6 h; (d) atrasa el reloj de la nave.
(28) A las doce del mediodı́a un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una
velocidad de 0.8c. Los observadores de la nave y los de la Tierra están de acuerdo
en que, efectivamente, es mediodı́a. (a) A las 12:30 según un reloj situado en
la nave, ésta pasa por delante de una estación interplanetaria que se encuentra
en reposo con respecto a la Tierra. ¿Qué hora es en la estación? (b) ¿A qué
distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estación? (c)
A las 12:30, hora de la nave, se establece comunicación con la Tierra desde la
nave. ¿Cuándo (en tiempo de la Tierra) recibe ésta la señal? (d) La estación
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(29)
(30)
(31)
(32)
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuándo se recibirá la respuesta (hora de
la nave)?
Solución: (a) 12:50; (b) 7.2 × 1011 m; (c) 13:30; (d) 16:30.
Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas. Cada una mide
la velocidad de la otra y resulta ser (3/5)c (en módulo). Las naves se cruzan y
en ese instante ponen sus relojes a cero. La nave A recibe un mensaje luminoso
en el instante t = 320 horas, según sus relojes, indicando que ha habido una
explosión en la nave B que ha destruido sus plantas generadoras de oxı́geno y que
les ha dejado también sin la posibilidad de alterar su velocidad. Los ocupantes
de la nave B saben que sólo tienen oxı́geno para sobrevivir 1000 horas (según
sus relojes). La nave A, inmediatamente después de recibir el mensaje, manda
una nave de salvamento C a la nave B. La velocidad de C, medida desde A, es
de (4/5)c. (a) ¿Cuánto tiempo tiene que esperar la tripulación de B para ser
rescatados según la nave A (desde que mandan el mensaje hasta que llega la
nave C)? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre para los tripulantes de B? ¿Son o no
rescatados?
Solución: (a) 1080 h, (b) 864 h (son rescatados).
Sospechando que el Sol está apunto de estallar, se envia desde la Tierra una nave
lejos del Sol a una velocidad de (4/5)c. Los relojes de la nave marcan t = 0, al
igual que los relojes en la Tierra, cuando comienza el viaje. Cuando los relojes
de la nave indican 2 años, se detectan en la nave rayos gammas procedentes de
la explosión del Sol. (a) En el sistema de referencia de la nave, ¿a qué distancia
está la nave del Sol cuando se recibe la señal? (b) De acuerdo con observadores
en la nave, ¿cuándo explotó el Sol? (c) ¿Cuándo ocurrió el desastre desde el
punto de vista de observadores en la Tierra? (d) Para los viajeros de la nave,
¿a qué distancia del Sol estaban cuando éste explotó? (e) Para observadores en
la Tierra, ¿a qué distancia estaba la nave cuando ocurrió la explosión? Nota:
despreciar la distancia entre el Sol y la Tierra.
Solución: (a) 8/5 años-luz, (b) 10/9 años, (c) 2/3 años-luz, (d) 8/9 años-luz,
(e) 8/15 años-luz.
Un nave espacial de longitud L (en el sistema de referencia de la nave) parte de
la Tierra a una velocidad 4c/5. Más tarde, se emite tras él una señal luminosa
que llega a la cola de la nave en el instante t = 0 según los relojes de la nave y los
de la Tierra. (a) ¿Cuándo alcanzará la señal la parte delantera de la nave según
los relojes de la misma? (b) ¿Y según los relojes de la Tierra? Posteriormente,
la señal luminosa se refleja en la parte delantera de la nave y se dirige hacia la
parte trasera. (c) ¿Cuándo alcanza la cola según los relojes de la nave? (d) ¿Y
según los relojes de la Tierra?
Solución: (a) L/c; (b) 3L/c, (c) 2L/c; (d) 10L/(3c).
Una regla tiene una longitud propia Lp y forma un ángulo θ con el eje x en el
sistema S. Demostrar que el ángulo formado con el eje del sistema S 0 , que se
mueve a lo largo del eje +x con una velocidad v, viene dado por tgθ0 = γtgθ y
La Teorı́a de la Relatividad
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que la longitud de la regla en S 0 es
L0 = Lp
1
cos2 θ + sen2 θ
γ2
1/2
.
(33) La longitud propia de una nave espacial es tres veces la de otra. Las dos naves
están están viajando en la misma dirección y, mientras se cruzan, un observador
en la Tierra mide la misma longitud para ambas naves. Si la nave más lenta
se mueve con una velocidad de 0.35c con respecto a la Tierra, determinar la
velocidad de la nave más rápida (a) con respecto a la Tierra y (b) con respecto
a la nave mas lenta.
Solución: (a) 0.95c; (b) −0.975c.
(34) Una barra de longitud propia l0 se encuentra en reposo en un sistema S 0 . Se
encuentra en el plano (x0 , y 0 ) y forma un ángulo arcsen (3/5) con el eje x0 . Si
S 0 se mueve con una velocidad constante v a lo largo del eje x del sistema S,
(a) ¿cuál será el valor de v si, en S, se mide que la barra forma un ángulo de
45o con el eje x? (b) ¿Cuál es la longitud de la barra medida en S bajo estas
condiciones? √
√
Solución: (a) c 7/4; (b) 3 2l0 /5.
(35) Las estrellas A y B se encuentran en reposo respecto a la Tierra. La estrella A
está a 27 años-luz de la Tierra y la estrella B, vista desde la Tierra, se encuentra
aún más allá de la estrella A. (a) Una nave espacial viaja desde la Tierra hasta
la estrella A a una velocidad tal que el trayecto dura 12 años según los relojes
de la nave. ¿Cuál es su velocidad respecto de la Tierra? (b) Después de llegar a
la estrella A, la nave acelera y se dirige hacia la estrella B con una velocidad tal
que el factor γ es ahora el doble que en el apartado anterior. El trayecto desde
la estrella A a la B dura 5 años (tiempo de la nave). ¿Qué distancia separa en
años-luz las estrellas A y B en el sistema de referencia de la Tierra y las dos
estrellas? (c) Al llegar a la estrella B, la nave se dirige hacia la Tierra con la
misma velocidad que en el apartado (b). Tarda 10 años (tiempo de la nave) en
regresar a la Tierra. Si un niño nació en la Tierra el dı́a de salida de la nave
y permaneció en la Tierra, ¿cuál es su edad el dı́a en que la nave regresa a la
Tierra?
Solución: (a) 0.913c; (b) 23.98 años-luz; (c) 102.9 años.
(36) Un cohete, cuya longitud propia es de 60 m, se mueve alejándose directamente
de la Tierra. La nave lleva espejos en cada extremo. Una señal luminosa enviada
desde la Tierra se refleja en los dos espejos. La primera señal se recibe en la
Tierra después de 200 s y la segunda 1.74 µs después. (a) Hallar la distancia del
cohete a la Tierra (medida desde el punto de vista de la Tierra) en el instante
en el que se refleja la primera señal. (b) Determinar el tiempo medido desde
el cohete que tarda la primera señal en regresar a la Tierra. (c) Calcular la
velocidad relativa del cohete con respecto a la Tierra.
Solución: (a) 3 × 107 km, (b) 457.96 s, (c) 0.8996c.
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Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(37) Un cohete espacial de longitud propia l0 se mueve a velocidad constante v
relativa a un sistema S (ver Fig. 1.31). La punta del cohete (A0 ) pasa por el
punto A de S en el instante t = t0 = 0 y en este instante se emite una señal
desde A0 hasta B 0 . (a) ¿Cuánto tardará la señal en términos del tiempo del
cohete (t01 ) en alcanzar la cola (B 0 ) de la nave? (b) ¿En qué instante t1 , medido
en S, alcanza la señal la cola (B 0 ) de la nave? (c) ¿En qué instante t2 , medido
en S, pasa la cola de la nave (B 0 ) por el punto A?
v
B’
A’
A
Fig. 1.31
Problema 37.
(38) Un cohete de 100 m de longitud propia, que se mueve con v = 0.6c, lleva un
receptor de radio en su punta. Se emite un pulso de radio desde una estación
espacial en reposo en el momento en que pasa frente a ella la cola del cohete.
(a) ¿A qué distancia de la estación espacial se encuentra la punta del cohete
en el instante de llegada de la señal de radio a la punta? (b) En términos del
tiempo de la estación espacial, ¿cuál es el intervalo de tiempo entre la llegada
de esta señal y su emisión desde la estación? (c) ¿Cuál es el intervalo de tiempo
de acuerdo con las medidas en el sistema en reposo del cohete?
Solución: (a) 200 m, (b) 6.67 × 10−7 s, (c) 3.33 × 10−7 s.
(39) Un observador en un sistema de referencia S ve como dos rayos impactan simultaneamente en dos puntos separados por 100 m. El primer impacto tiene lugar
en x1 = y1 = z1 = t1 = 0 y el segundo en x2 = 100 mm, y2 = z2 = t2 = 0. (a)
¿Cuáles son las coordenadas de estos dos eventos en un sistema de referencia S 0
en la configuración habitual con una velocidad relativa a S de 0.7c? (b) ¿Cuál
es la distancia entre los dos eventos en el sistema S 0 ? (c) ¿Son simultaneos en
S 0 ? Si no lo son, ¿cuál es la diferencia de tiempos entre los dos eventos y cuál
ocurrió en primer lugar?
(40) Un observador en el sistema S situado en el origen observa dos destellos de luz
de color separados espacialmente por ∆x = 2400 m. Primero se produce un
destello azul, seguido 5 µs después por un destello rojo. Un observador en que
se mueve a lo largo del eje x con una velocidad v relativa al sistema S observa
también destellos separados entre sı́ 5 µs y con una separación de 2400 m, pero
observa primero el destello rojo. Hallar el valor y el sentido de v.
Solución: ≈ 0.9c (se mueve hacia la derecha).
(41) (a) Determinar mediante un cálculo directo la matriz de Lorentz que describe
un cambio de sistema de referencia S a otro S 0 que se mueve con respecto a S
La Teorı́a de la Relatividad
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con velocidad constante en una dirección contenida en el pano xy y que forma
un ángulo θ con el eje x. (b) Demostrar que ese resultado se puede obtener
mediante la aplicación sucesiva de una rotación alrededor del eje z con ángulo
θ, una transformación de Lorentz a lo largo del eje x y una rotación alrededor
del eje z con ángulo −θ.
(42) Demostrar que la ecuación de ondas que describe la propagación de la luz
1 ∂2Ψ
=0
c2 ∂t2
es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, pero no lo es bajo las transformaciones de Galileo.
(43) La dilatación del tiempo implica que cuando un reloj se mueve relativo al sistema S, medidas precisas hechas por observadores en S encontrarán que el reloj
atrasa (el tiempo marcado por ese reloj transcurre más lentamente). Esto es no
significa que un observador individual en S tenga que ver (en el sentido literal
de la palabra) que dicho reloj atrase. Para entender esto debemos recordar que
lo que vemos viene determinado por la luz que llega a nuestros ojos. Consideremos un observador situado cerca del eje x cuando un reloj se aproxima a él con
una velocidad v a lo largo de dicho eje. Cuando el reloj se mueve de la posición
A a la B marcará un tiempo ∆t0 , pero cuando se mide entre los dos eventos
(reloj en A y reloj en B) dicho tiempo es ∆t = γ∆t0 . Sin embargo, como B
está más cerca del observador que A, la luz desde el reloj en B alcanzará al
observador en un intervalo de tiempo más corto que desde A. Por tanto, el
tiempo ∆tver entre que el observador ve el reloj en A y lo ve en B es menor que
∆t. (a) Demostrar que
s
1−β
∆tver = ∆t(1 − β) = ∆t0
.
1+β
∇2 Ψ −
(b) ¿Qué tiempo verá el observador una vez que el reloj le haya pasado y se
aleje de él?
(44) Como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud no puede ser vista
por un único observador. Para explicar esto, imaginemos una varilla de longitud
propia l0 que se mueve a lo largo del eje x de un sistema de referencia S y un
observador está lejos del eje x y a la derecha de la varilla. Medidas precisas
de la longitud de la varilla en un instante dado en el sistema S darı́an como
resultado l = l0 /γ. (a) Explicar por qué la luz que llega a los ojos del observador
en un instante dado debe haber salido de los extremos A y B de la varilla en
instantes distintos. (b) Demostrar que el observador verı́a una longitud más
grande que l. (c) Demostrar que si el observador está cerca del eje x, verá que
la longitud es mayor que l0 , es decir, verá que la varilla se ha expandido en
lugar de contraerse.
(45) Vistos desde la Tierra, dos naves espaciales A y B se están acercando a lo largo
de direcciones perpendiculares. Si la velocidad de la nave A para un observador
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Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
en la Tierra es ~vA = −0.9c ŷ y la de la nave B es ~vB = +0.9c x̂, encontrar la
velocidad de la nave A medida por el piloto de la nave B.
(46) Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo con una velocidad v = 0.8c
relativa al sistema de referencia S tal y como muestra la Fig. 1.32. El espejo
está en reposo con respecto a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja
hacia el espejo, se refleja en él y vuelve al cohete. La parte delantera del cohete
está a una distancia d del espejo (tal y como lo mide un observador en S) en el
momento en que el pulso de luz sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total que
necesita el pulso para regresar al cohete medido (a) por un observador en S y
(b) por un observador en la parte delantera del cohete?
Fig. 1.32
Problema 46.
Solución: (a) (d/c)(2 − v/c); (b) (d/γc)(2 − v/c).
(47) Un profesor de fı́sica en la Tierra da un examen a sus estudiantes que están en
una nave espacial viajando a una velocidad v relativa a la Tierra. El examen
comienza en el instante en que la nave pasa por donde está el profesor. Si
éste desea que los estudiantes tengan un tiempo T0 (medido desde la nave)
para completar el examen, demostrar que el profesor deberá esperar un tiempo
(medido desde la Tierra) dado por
s
1 − v/c
T = T0
1 + v/c
antes de enviar una señal luminosa para pedirles que paren.
(48) Dos naves espaciales, cada una de 100 m de longitud (cuando se miden en
reposo) viajan una hacia la otra con velocidades de 0.85c relativas a la Tierra.
(a) ¿Qué longitud tiene cada nave medida por un observador desde la Tierra?
(b) ¿Qué velocidad tiene cada nave medida por un observador de la otra nave?
(c) ¿Qué longitud tiene cada nave medida por un observador de la otra nave? (d)
En el tiempo t = 0 se ve desde la Tierra que las dos naves tienen sus extremos
frontales en contacto, es decir, comienzan a cruzarse. ¿En qué momento se
verán juntos desde la Tierra los extremos posteriores?
Solución: (a) 52.678 m; (b) 0.987c; (c) 16.07 m; (d) 2.07 × 10−7 s.
(49) Dos naves espaciales, cada una de las cuales mide 100 m en su propio sistema
en reposo, se cruzan entre sı́. Los instrumentos de medida situados en la nave
La Teorı́a de la Relatividad
Fig. 1.33
71
Problema 48.
A señalan que la parte delantera de la nave B invierte 5 × 10−6 s en recorrer
toda la longitud de A. (a) ¿Cuál es la velocidad relativa de ambas naves? (b)
Un reloj situado en el extremo frontal de la nave B señala exactamente la una
al pasar por el extremo frontal de A. ¿Cuál será la lectura del reloj al pasar
por el extremo posterior de A?
Solución: (a) 2 × 107 m/s; (b) 1 en punto más 4.99 × 10−6 s.
(50) Un protón procedente de un rayo cósmico atraviesa un laboratorio con una
velocidad de 0.85c formando un ángulo de 50o con el eje +x (en el plano xy
del laboratorio). Calcular la velocidad (módulo y dirección) del protón desde
el punto de vista de un sistema referencia que se mueve con una velocidad de
0.72c dirigida a lo largo del eje x del sistema de referencia del laboratorio.
Solución: u0x = −0.286c, u0y = 0.744c.
(51) Una nave se aleja de la Tierra a con velocidad v y dispara una cápsula espacial
hacia adelante a una velocidad v con respecto a la nave. El piloto de la cápsula
lanza un objeto con velocidad v con respecto a él. Determinar (a) la velocidad
de la cápsula espacial con respecto a la Tierra y (b) la velocidad del objeto
lanzado con respecto a la Tierra.
(52) Un observador S ve luz que le llega en una dirección que forma un ángulo de
30o con la dirección de movimiento de un objeto A que pasa por el laboratorio
a una velocidad de 0.99c ¿Cuál es el ángulo de emisión medido desde un sistema
de referencia en reposo con A?
A
30o
v = 0.99c
S
Fig. 1.34
Solución: 29.64o .
Problema 38.
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Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(53) Demostrar que si una partı́cula se mueve formando un ángulo θ con el eje x y
con una velocidad u en el sistema S, se moverá formando un ángulo θ0 con el
eje x0 en S 0 (un sistema que se mueve con una velocidad v a lo largo del eje x
con respecto a S) dado por
tgθ0 =
senθ
.
γ(cos θ − v/u)
(54) Una nave de longitud propia 100 m se mueve a una velocidad v = (3/5)c
relativa a nosotros y contiene un pasajero que está en su parte trasera. El
pasajero dispara una bala hacia la parte delantera de la nave. La velocidad de
la bala es de (3/5)c relativa a la nave. (a) ¿Con qué velocidad viaja la bala con
respecto a nosotros? (b) ¿Cuál es la longitud de la nave en nuestro sistema de
referencia? ¿Y en el sistema de la bala? (c) ¿Cuánto tarda la bala en alcanzar
la parte delantera de la nave según el pasajero en la nave y según nosotros?
Solución: (a) (15/17)c, (b) 80 m, (c) 9.44 × 10−7 s.
(55) El movimiento de un medio como el agua influencia la velocidad de la luz. Este
efecto fue medido por primera vez por Fizeau en 1851. Considérese un rayo de
luz atravesando una columna horizontal de agua que se mueve con una velocidad
v. (a) Demostrar que si el rayo viaja en la misma dirección del flujo de agua,
la velocidad de la luz medida en el sistema del laboratorio viene dada por
c 1 + nv/c
,
u=
n 1 + v/nc
donde n es el ı́ndice de refracción del agua. Nota: usar la ley inversa de transformación de velocidades y notar que la velocidad de la luz con respecto al sistema
en movimiento es c/n. (b) Mostrar que para v c la expresión anterior está
de acuerdo con el resultado experimental de Fizeau:
v
c
u ≈ + v − 2.
n
n
Esto demuestra que la transformación de las velocidades de Lorentz y no la de
Galileo es la correcta para la luz.
(56) (a) Según un observador en un sistema de referencia S, un rayo de luz se mueve
en el plano x-y formando un ángulo θ con el eje x. Demostrar que el ángulo θ0
que forma dicho rayo en un sistema de referencia S 0 que se mueve con respecto al
sistema S con una velocidad v a lo largo del eje x satisface la siguiente relación:
cos θ0 =
cos θ − v/c
1 − (v/c) cos θ
(b) En 1727 el astrónomo inglés James Bradley descubrió el fenómeno conocido
como la aberración de la luz. Este fenómeno consiste en un movimiento aparente
de las estrellas que al ser observadas a través de un telescopio parecen describir
un pequeño movimiento circular a lo largo del año. El diámetro angular de los
cı́rculos descritos por las estrellas es del order de 41 segundos de arco. Utiliza
el resultado del apartado anterior para explicar el origen de este fenómeno.
La Teorı́a de la Relatividad
73
(57) Consideremos dos sistemas inerciales, S y S 0 , relacionados de la manera usual.
(a) En t = 0 un fotón parte de S y marcha en una dirección que forma un
ángulo de 45o con el eje x. ¿Qué ángulo forma su trayectoria con el eje x0 de
S 0 ? (b) Repetir la parte (a) para el caso de un cuerpo que se mueve en S con
un módulo de la velocidad
p
p u.
√
2 /c2 /(1 −
1
−
v
2v/c)],
(b)
arctg
[
1 − v 2 /c2 /(1 −
Solución:
(a)
arctg
[
√
2v/u)].
(58) Tres transmisores de radio idénticos A, B y C, cada uno de los cuales transmite
a la frecuencia f0 en su propio sistema en reposo, se encuentran en movimiento
como muestra la Fig. 1.35. (a) ¿Cuál es la frecuencia de las señales de B que
recibe C? (b) ¿Cuál
p es la frecuencia de las señales de A que recibe C?
Solución: (a) ν0 (1 − β)/(1 + β); (b) ν0 (1 − β)/(1 + β).
A
B
C
−v
v
Fig. 1.35
Problema 58.
(59) El sistema de referencia S 0 viaja a velocidad v1 a lo largo del eje x del sistema S. Un sistema S 00 se mueve a velocidad v2 a lo largo del eje x0 de S 0 .
Aplicar dos veces las transformaciones de Lorentz para encontrar las coordenadas x00 , y 00 , z 00 , t00 de cualquier evento en términos de x, y, z, t. Demostrar que
esta transformación es en realidad la transformación de Lorentz estándar con
un velocidad v que es la suma relativista de v1 y v2 .
(60) Dos naves espaciales idénticas A y B, con longitud en reposo l0 = 1 km, avanzan paralelas la una a la otro con velocidades c/2 y c/4, respectivamente, con
respecto a un sistema de referencia inercial S. Inicialmente, la nave A está por
detras de la nave B. (a) Calcular la longitud de cada nave medida en el sistema
de referencia S. (b) Hallar la velocidad y la longitud de la nave A medidas
desde la nave B. (c) Obtener el tiempo que tarda la nave A en adelantar a la
nave B (es decir, obtener el intervalo de tiempo entre que la parte delantera de
la nave A alcanza a la parte trasera de la nave B y la parte trasera de la nave
B sobrepasa la parte delantera de B) según un reloj en S, según un reloj en la
nave A y según un reloj en la nave B.
(61) Supongamos que una nave espacial parte de la Tierra y se aleja de ella con
una aceleración constante a0 , tal y como se mide desde el interior de la nave.
(a) Describir cómo cambia la velocidad con el tiempo, v(t), desde el sistema
de referencia de la Tierra (suponer que en el instante t = 0 la nave estaba
en reposo). Si la nave continúa acelerando durante mucho tiempo, ¿podrı́a
superar la velocidad de la luz? (b) Calcular la distancia recorrida como función
del tiempo, x(t), desde el sistema de la Tierra. (c) ¿Cuánto tardarı́a la nave
en alcanzar la estrella α-Centauro que dista 4 años-luz de la Tierra si a0 = 10
m/s2 ?
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(64)
(65)
(66)
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
p
Cuando t → ∞, entonces
Solución: (a) v(t) = a0 t/ 1 + a20 t2 /c2 .
v → c, pes decir, la velocidad de la luz no se puede superar; (b) x(t) =
(c2 /a0 )( 1 + a20 t2 /c2 − 1); (c) 4.85 años.
(a) ¿A qué velocidad y en qué dirección se debe estar moviendo una galaxia
A para que una lı́nea de absorción, cuya longitud de onda en la Tierra es de
550 nm (verde), tenga una longitud de onda de 450 nm (azul)? (b) ¿A qué
velocidad y en qué dirección se debe estar moviendo una galaxia B para que
esa misma lı́nea aparezca a 700 nm (rojo)?
Solución: (a) 0.198c (la galaxia A se está acercando); (b) 0.236c (la galaxia B
se aleja).
Se detecta radiación procedente de una galaxia en Hydra con una longitud de
onda de 803.77 nm. Esta radiación se identifica como la lı́nea Hα del átomo
de hidrógeno cuya longitud de onda en la Tierra es de 656.28 nm. (a) ¿A qué
velocidad se mueve esa galaxia con respecto a la Tierra? ¿Se aleja o se acerca
a nosotros? (b) Utilizar la ley de Hubble para determinar a qué distancia se
encuentra dicha galaxia. (c) Si esta galaxia pasó frente a la Tierra hace T años y
se ha movido a velocidad constante desde entonces, ¿cuál es el valor de T ? Nota:
Hydra es un cluster de galaxias que contiene más de 100 galaxias brillantes
(puedes ver una foto suya en http://apod.nasa.gov/apod/ap010416.html).
Las galaxias más lejanas que podemos detectar con el telescopio Hubble se alejan
de nosotros con un parámetro de desplazamiento al rojo z = (f0 − f )/f = 5.
(a) ¿Cuál es la velocidad de estas galaxias con respecto a nosotros expresada
como fracción de la velocidad de la luz? (b) La ley de Hubble afirma que la
velocidad con la que se alejan las galaxias de la nuestra propia viene dada por
v = Hr, donde v es la velocidad de alejamiento, r la distancia y H la constante
de Hubble dada por H = 71 km/(s Mpc) (1 pc = 3.26 años-luz). Hacer una
estimación de la distancia a estas galaxias usando esta información.
Solución: (a) 0.946c; (b) 299788.7 Mpc.
Algunas observaciones efectuadas sobre un cuerpo celeste (quasar 3C-9) hacen
pensar que, cuando emitió la luz que acaba de llegar a la Tierra, se estaba
moviendo alejándose de la Tierra a una velocidad de 0.8c.
(a) Una de las lı́neas identificadas en su espectro posee una longitud de onda
de 120 nm cuando se emite desde una fuente estacionaria. ¿A qué longitud de
onda debe haber aparecido esta lı́nea en el espectro observado para el quasar?
(b) Los quasars emiten energı́a a un ritmo tan sumamente elevado que los
astrónomos son de la opinión que deben quemarse por completo en un tiempo
relativamente corto. Si el tiempo de vida del 3C-9 se supone de 106 años medido
en su propio sistema de reposo, ¿durante qué intervalo de tiempo terrestre se
recibirı́a radiación procedente de él en la Tierra? (Supóngase que su velocidad
relativa a la Tierra permanece constante).
Solución: (a) 360 nm; (b) 3 × 106 años.
Efecto Doppler transversal: En 1907 Einstein sugirió que una forma de
La Teorı́a de la Relatividad
75
confirmar experimentalmente la relatividad especial serı́a la de medir la longitud
(o frecuencia) de onda aparente de la luz emitida transversalmente al sentido
de movimiento de una fuente luminosa. El objetivo de este ejercicio es entender
esta afirmación estudiando lo que se conoce como efecto Doppler transversal,
un fenómeno que no existe en la mecánica newtoniana. Para ello, consideremos
el caso en el que la luz de una fuente móvil le llega a un observador formando
un ángulo θ (medido por el observador). Demostrar que la relación entre la
frecuencia medida por el observador, f , y la frecuencia emitida, f0 , viene dada
por
1
f
=
,
f0
γ(1 − β cos θ)
p
donde β = v/c y γ = 1/ 1 − β 2 . Explicar lo que sucede en el caso θ = π/2.
(67) Dos gemelos Speedo y Goslo emigran de la Tierra al planeta X que está a 20
años-luz de distancia según se mide desde un sistema de referencia donde ambos
planetas están en reposo. Los gemelos parten al mismo tiempo en diferentes
naves espaciales. La nave de Speedo viaja a velocidad constante de 0.95c y la
de Goslo a 0.75c. Calcular la diferencia de edad entre los gemelos cuando la
nave de Goslo alcance el planeta X. ¿Cuál de los dos es más viejo?
Solución: 5.45 años (Goslo será más viejo).
(68) Paradoja de los gemelos: A y B son gemelos. A marcha hacia α Centauro (a
una distancia de 4 años-luz) y regresa de nuevo a la Tierra. En ambos trayectos
su velocidad con respecto a la Tierra es de 0.6c y transmite una señal de radio
cada 0.01 de año en su sistema. Su hermano gemelo B emite de forma análoga
una señal cada 0.01 de año en su propio sistema en reposo.
(a) ¿Cuántas señales de las emitidas por A antes de iniciar el regreso recibe B?
(b) ¿Cuántas señales recibe A antes de iniciar el regreso?
(c) ¿Cuál es el número total de señales que recibe cada gemelo procedente del
otro?
(d) ¿Quién es más joven al final del viaje? ¿Cuánto más joven es? Demostrar
que los dos gemelos se muestran de acuerdo con este resultado.
(69) La paradoja de √
la pértiga y el pajar: un corredor se dirige hacia un pajar a
una velocidad de 3c/2 con una pértiga de 20 m de larga en su propio sistema
de referencia. El pajar tiene sus dos puertas, delantera y trasera, abiertas y
las separa una distancia de 10 m. (a) Calcula la longitud de la pértiga en el
sistema de referencia del pajar (sistema S). (b) Calcular la longitud del pajar
en el sistema del corredor (sistema S 0 ). (c) Llámemos PA y PB a los extremos
delantero y trasero, respectivamente, de la pértiga y BA y BB a las puertas
delantera y trasera del pajar. Sea t = 0, x = 0, y t0 = 0, x0 = 0 cuando PA
se encuentra con BA . Calcular en ambos sistemas de referencia el tiempo y
la posición de los siguientes eventos: (i) PA se encuentra con BB , (ii) PB se
encuentra con BA y (iii) PB se encuentra con BB . Discutir en ambos sistemas
de referencia la cuestión: ¿cabe la pértiga en el pajar?
76
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(70) Consideremos la siguiente paradoja que está muy relacionada con la paradoja
de la pértiga y el pajar. Una lámina muy fina de acero con un agujero circular
de 1 m de diámetro está centrada en el eje y y reside en el plano xz en el
sistema de referencia S, ver Fig. 1.36. Dicha lámina se mueve en la dirección
+y con una velocidad constante vy . Por otra parte, una vara de medir de 1
m está orientada a lo largo del eje x y se mueve en la dirección +x con una
velocidad v. La lámina de acero llega al plano y = 0 al mismo tiempo que el
centro de la vara de medir alcanza el origen de S. Como la vara de medir se
observa contraı́da desde el sistema S, pasa a través del agujero de la lámina sin
problemas. La paradoja aparece cuando uno considera que un observador en
S 0 , el sistema en reposo con la vara, observa que el agujero en la lámina está
contraı́do en la dirección x y, por tanto, resulta demasiado pequeño para que
lo atraviese la vara de medir. ¿Podrá pasar la vara de medir por el agujero?
Resuelve la paradoja.
Fig. 1.36
Problema 71.
(71) La paradoja del mago relativista: La asistenta de un mago mide 160 cm.
Ella está tumbada en una mesa completamente estirada. Al lado de la mesa hay
dos verdugos separados por una distancia de 1 m y blandiendo sendas hachas
por encima de sus cabezas (ver Fig. 1.37). El mago asegura que es capaz de
hacer que los dos verdugos bajen a la vez sus hachas cortando la mesa y dejando
a la asistente entre ellas (de una sola pieza y permaneciendo estirada).
Para lograrlo, el mago relativista planea hacer pasar a su asistente y a la mesa
al lado de los verdugos a una velocidad v = (4/5)c. De este modo, en el sistema
de referencia de los verdugos ella sufrirá la contracción de Lorentz y tan śolo
medirá 96 cm, ya que γ(v = 4c/5) = 5/3, y cabrá entre las dos hachas de
los verdugos. Ası́ pues, parece que no hay problema en realizar la experiencia.
Sin embargo, la asistente no está tan convencida. Para ella es la distancia
entre los verdugos la que se contrae, de modo que ahora dicha distancia es de
La Teorı́a de la Relatividad
77
(1 m/γ) = 60 cm, ası́ que parece imposible que una persona de 160 cm pueda
caber en un espacio de tan sólo 60 cm. Obviamente, los dos no pueden tener
razón. ¿Quién está equivocado o equivocada y por qué? Nota: no intentar la
experiencia en casa.
Fig. 1.37
Problema 71.
(72) Demostrar el siguiente resultado, conocido como teorema de la componente cero:
sea q un cuadrivector y supongamos que una componente es cero en todos los
sistema de referencia. (Por ejemplo, q0 = 0 en todos los sistemas). Entonces,
todas las componentes de q son cero en todos los sistemas.
P
(73) (a) Supongamos que el momento total tridimensional P~ =
p~ de un sistema
aislado se conserva en todos los sistemas de referencia. Demostrar que si esto
es cierto, entonces la componente cero P0 del cuadridomento total P = (P0 , P~ )
debe conservarse también. (b) Usar el teorema de la componente cero para
demostrar el siguiente resultado: si una componente del cuadrimomento total
se conserva en todos los sistemas de reference, entonces todas las componentes
se conservan.
(74) Deducir la ley de adición de velocidades relativista a partir de las leyes de
transformación de la cuadrivelocidad o velocidad propia.
Problemas de dinámica relativista
(75) Una partı́cula con masa en reposo m y energı́a cinética 2mc2 choca contra una
partı́cula en reposo cuya masa es 2m y se adhiere a ella. Calcular la masa en
reposo M de la √
partı́cula compuesta.
Solución: M = 17m.
(76) Un fotón de energı́a E choca contra una partı́cula parada de masa en reposo m
y es absorbido. ¿Cuál es la velocidad de la partı́cula compuesta resultante?
Solución: c/(1 + mc2 /E).
78
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
(77) Una partı́cula con masa en reposo m que se mueve a una velocidad 4c/5 choca
con una partı́cula idéntica que está en reposo y se forma entonces una partı́cula
compuesta. ¿Cuál es la masa en reposo de la partı́cula compuesta y cuál es su
velocidad?
√
Solución: 4m/ 3, c/2.
(78) Un electrón y un positrón colisionan y se aniquilan dando lugar a un par protónantiprotón. Obtener la energı́a cinética mı́nima que han de tener las partı́culas
iniciales para que el proceso sea posible en (a) el sistema de referencia del centro
de masas y (b) en el sistema de referencia del laboratorio en el que el positrón
está inicialmente en reposo.
(79) Supongamos que un acelerador puede proporcionar a los protones una energı́a
cinética de 200 GeV. La masa en reposo de un protón es 0.938 GeV. Calcular la
mayor masa en reposo de una partı́cula X que se puede producir en el impacto
de uno estos protones energéticos sobre un protón en reposo en el siguiente
proceso: p + p −→ p + p + X.
(80) El neutrón libre se desintegra en un protón, un electrón y un antineutrino (de
masa en reposo despreciable) de acuerdo a n −→ p + e + ν̄. Esta reacción recibe
el nombre de desintegración β − . Si el neutrón está inicialmente en reposo
(en el sistema de referencia del laboratorio), ¿cuál debe ser la energı́a cinética
total de los productos finales de esta reacción? Si además el momento lineal del
antineutrino fuera despreciable, ¿cuáles serı́an las energı́as cinéticas del electrón
y del protón? Nota: la masa en reposo del neutrón es 939.6 MeV/c2 , la del
protón 938.3 MeV/c2 , la del electrón 0.511 MeV/c2 y la del antineutrino es
despreciable.
Solución: Ktotal = 0.789 MeV, Ke = 0.788 MeV, Kp = 0.001 MeV.
(81) Una partı́cula inestable de masa 3.34×10−27 kg está inicialmente en reposo. La
partı́cula se desintegra en dos fragmentos que se mueven con velocidades 0.987c
y -0.868c. Determinar las masas en reposo de los dos fragmentos.
Solución: 2.51 × 10−28 kg y 8.82 × 10−28 kg.
(82) Una partı́cula A en reposo se desintegra en dos partı́culas B y C (A −→ B +C).
(a) Demostrar que la energı́a total de las partı́culas resultantes (B y C) en
términos de las masas de las partı́culas vienen dadas por
m2 + m2C − m2B 2
m2 + m2B − m2C 2
c y EC = A
c .
EB = A
2mA
2mA
(b) Demostrar que los módulos del momento lineal de las partı́culas resultantes
vienen dados por
q
c
λ(m2A , m2B , m2C ),
pB = pC =
2mA
donde λ(x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 −2xy −2xz −2yz es la llamada función triángulo.
(c) Aplicar los resultados anteriores para determinar la velocidad de un muón
en la desintegración (en reposo) del pión negativo: π − −→ µ− + ν̄µ , donde ν̄µ es
un antineutrino muónico, cuya masa en reposo es despreciable. Nota: la masa
del pión es 139.56 MeV/c2 y la de muón es 105.66 MeV/c2 .
La Teorı́a de la Relatividad
79
(83) Una partı́cula de masa m moviéndose a lo largo del eje x con una velocidad +u
colisiona frontalmente con una partı́cula de masa m/3 moviéndose a lo largo del
eje x en sentido contrario con una velocidad −u. Después del choque las dos
partı́culas permanecen unidas. ¿Cuál es la masa M de la partı́cula resultante?
(84) Considérese la colisión elástica que se muestra en la Fig. 1.38. En el sistema
del laboratorio S la partı́cula b está inicialmente en reposo, la partı́cula a se
aproxima con un cuadrimomento pa y se dispersa formando un ángulo θ y
la partı́cula b retrocede formando un ángulo φ. En el sistema de referencia
S 0 del centro de masas (CM), las dos partı́culas se aproximan y emergen con
cuadrimomentos iguales y opuestos y la partı́cula a se dispersa con un ángulo
θ0 . (a) Demostrar que la velocidad del CM relativa al sistema del laboratorio es
~ = p~a c2 /(Ea + mb c2 ). (b) Transformando el momento final de a del sistema
V
CM al sistema del laboratorio, demostrar que
sen θ0
,
tg θ =
γV (cos θ0 + V /va0 )
donde va0 es la velocidad de a en el CM. (c) Demostrar que en el lı́mite de
que todas las velocidades son mucho más pequeñas que c, este resultado se
reduce al resultado no relativista. (d) Particularizar ahora al caso ma = mb y
demostrar que en este caso V /va0 = 1. Encontrar, además, una fórmula para
tg φ. (e) Demostrar que el ángulo entre los momentos salientes está dado por
tg (θ + φ) = 2/(βV2 γV sen θ0 ). Mostrar que en el lı́mite V c se recupera el
conocido resultado no-relativista θ + φ = 90o .
a
a
b
θ
a
φ
sistema del laboratorio
Fig. 1.38
a
θ′
x
b
b
sistema del CM
Problema 84.
(85) En un experimento en un acelerador, los bariones Λ0 se pueden identificar por
su desintegración Λ0 −→ π − + p ya que ambas partı́culas finales dejan trazas
en detectores como una cámara de niebla. En una desintegración particular se
miden los momentos del pión y del protón y resultan ser 0.75 GeV/c y 4.25
GeV/c, respectivamente, y el ángulo entre sus trayectorias es de 9o . Las masas
del pión y del protón son 139.6 MeV/c2 y 938.3 MeV/c2 . (a) Calcular la masa
del Λ0 . (b) En promedio, se observa que los bariones Λ0 con esta energı́a se
desintegran a una distancia de 33.6 cm del punto de producción. Calcular el
tiempo de vida media del Λ en el sistema de referencia en reposo con esta
partı́cula.
80
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Solución: (a) 1115.36 GeV/c2 , (b) 2.5 × 10−10 s.
(86) Encontrar el ángulo máximo de apertura entre los fotones producidos en la
desintegración π 0 −→ γ + γ si la energı́a del pión neutro es de 10 GeV. Nota:
la masa del pión es mπ = 135 MeV/c2 .
Solución: 1.547o .
(87) El cohete de fotones. (a) Un nave espacial de masa M0 está inicialmente
en reposo en un cierto sistema de referencia en el espacio exterior. De repente,
la nave comienza a expulsar fotones por su parte trasera. Como los fotones
tienen momento lineal, la nave comienza a avanzar en la dirección contraria
a los fotones por simple conservación de momento. La nave, por tanto, se ha
convertido en un cohete de fotones. Demostrar que después de cierto tiempo la
nave habrá alcanzado una velocidad dada por
1 − (M/M0 )2
v
,
=
c
1 + (M/M0 )2
donde M es la masa restante de la nave en ese instante. (b) Si la fracción de
masa restante de la nave es M/M0 = 1/2, ¿cuál es la velocidad que ha alcanzado
la nave? (c) Invierte el resultado del apartado (a) para encontrar la fórmula
para la fracción de masa restante en función de v/c. (d) Si la nave alcanza
v = (4/5)c, ¿qué fracción de la masa inicial resta aún?
(88) Un electrón con energı́a cinética de 1 GeV colisiona frontalmente con un positrón
en reposo. En la colisión las dos partı́culas se aniquilan y se crean dos fotones γ
de igual energı́a, cada uno viajando en una dirección que forma el mismo ángulo
θ con la dirección del electrón original. Calcular la energı́a E, el momento p y
el ángulo de emisión θ de los rayos γ.
(89) La partı́cula K 0 tiene una masa de 497.9 MeV/c2 . Se desintegra en un π + y
un π − , cada uno de masa 139.6 MeV/c2 . Después de la desintegración de una
partı́cula K 0 , uno de los piones queda en reposo en el sistema del laboratorio.
Determinar la energı́a cinética del otro pión y la de la partı́cula K 0 antes de
desintegrarse.
Solución: Kπ = 608.7 MeV y KK 0 = 390 MeV.
(90) Un antiprotón p̄ tiene la misma energı́a en reposo que un protón. Esta partı́cula
se crea en la reacción p + p −→ p + p + p + p̄. En un experimento, los protones
que se encuentran en reposo en el laboratorio son bombardeados con protones
de energı́a cinética KL , que debe ser lo suficientemente grande como para que
pueda convertirse una energı́a cinética igual a 2mc2 en la energı́a en reposo
de las dos partı́culas. En el sistema de referencia del laboratorio, la energı́a
cinética total no puede convertirse exclusivamente en energı́a en reposo debido
a la conservación del momento lineal. Sin embargo, en el sistema de referencia
de momento lineal total cero donde los dos protones se están moviendo el uno
hacia el otro con la misma velocidad u, la energı́a cinética total puede convertirse
en energı́a en reposo. (a) Hallar la velocidad de cada protón u de modo que
la energı́a cinética total en este último sistema de referencia sea 2mc2 . (b)
La Teorı́a de la Relatividad
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
81
Transformar al sistema del laboratorio en el que un protón está en reposo y
hallar la velocidad del otro protón. (c) Demostrar que la energı́a cinética del
2
protón móvil
√ en el sistema
√ de referencia del laboratorio es KL = 6mc .
Solución: 3c/2; (b) 4 3c/7.
Una partı́cula de masa 1 MeV/c2 y energı́a cinética 2 MeV choca con una
partı́cula en reposo de masa 2 MeV/c2 . Después de la colisión, las partı́culas
quedan adheridas. Hallar (a) la velocidad de la primera partı́cula antes del
choque, (b) la energı́a total de la primera partı́cula antes del choque, (c) el
momento lineal total inicial del sistema, (d) la energı́a cinética total después
del choque y (e)
√ la masa del sistema después del choque.
Solución: (a) 8c/3; (b) 3 MeV; (c) 2.828 MeV/c; (d) 4.123 MeV; (e) 4.123
MeV/c2 .
Una partı́cula inestable de masa en reposo M se desintregra en dos partı́culas
idénticas, cada una de masa en reposo m. Obtener una expresión para las
velocidades de las dos partı́culas resultantes en el sistema de referencia del
laboratorio (a) si M está en reposo en el laboratorio y (b) si M tiene una
energı́a total igual a 4mc2 cuando se desintegra y las partı́culas resultantes se
mueven a lo largo de la dirección de M .
El pión neutro π 0 posee una masa de 135 MeV/c2 . Esta partı́cula puede crearse
en una colisión protón-protón: p + p −→ p + p + π 0 . Determinar la energı́a
cinética umbral para la creación de un π 0 en el choque de un protón móvil y
otro en reposo. Nota: la masa en reposo del protón es 938.3 MeV/c2 .
Solución: 278.8 MeV.
El pión neutro π 0 se descompone en dos rayos γ (y nada más). Si un π 0 (cuya
masa en reposo es de 135 MeV/c2 ) se mueve con una energı́a cinética de 1 GeV:
(a) ¿cuáles son las energı́as de los rayos γ si el proceso de desintegración hace
que sean emitidos en sentido opuesto según la trayectoria original del pión? (b)
¿Qué ángulo forman los rayos γ si son emitidos formando un ángulo igual con
respecto a la dirección del movimiento del pión?
Solución: (a) 1.131 GeV y 4 MeV; (b) 6.831o .
Un fotón de alta energı́a choca y es dispersado por un protón que se encuentra
inicialmente en reposo y puede retroceder libremente. El protón retrocede formando un ángulo de 30o (con la dirección incidente) con una energı́a cinética de
100 MeV. (a) ¿Cuál era la energı́a del fotón incidente? (b) ¿Cuál es la dirección
y energı́a del fotón dispersado?
Solución: (a) 328 MeV; (b) θ = 104.5o , Q = 228 MeV.
Un antiprotón p̄ con una energı́a cinética de 2/3 GeV choca contra un protón p
que se encuentra en reposo en el laboratorio. Se destruyen mediante la reacción
p + p̄ −→ γ1 + γ2 , dando lugar a dos fotones que marchan en sentido directo o
inverso según la lı́nea que recorrı́a el antiprotón al incidir. La energı́a en reposo
del protón y del antiprotón es de 1 GeV cada una. (a) ¿Cuáles son las energı́as
que poseen los fotones? (b) ¿En qué dirección marcha cada fotón? (c) ¿Qué
82
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
(102)
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
energı́a posee cada uno de los fotones medido en el sistema de referencia ligado
al antiprotón incidente?
Solución: (a) E1 = 2 GeV y E2 = 2/3 GeV; (b) el fotón 1, que es el más
energético, se mueve en el sentido del antiprotón y el 2 en el sentido contrario;
(c) E1 = 2/3 GeV y E2 = 2 GeV.
Un pión puede desintegrarse espontáneamente en un muón y en un antineutrino
muónico según la reacción: π − −→ µ− + ν̄µ . Experimentos recientes sugieren
que la masa del ν̄µ es menor que 190 keV/c2 . Suponiendo que el pión se desintegra en reposo en el sistema de referencia del laboratorio, calcular las energı́as
y los momentos lineales del muón y del antineutrino muónico si la masa del
antineutrino fuera 190 keV/c2 . Nota: la masa del pión es 139.56 MeV/c2 y la
de muón es 105.66 MeV/c2 .
Solución: Eµ = 109.77 MeV, Eν = 29.78 MeV, pµ = pν = 29.78 MeV/c.
Un pión π − choca con un protón en reposo y produce un kaón K 0 (mesón
neutro) y una partı́cula Λ0 (barión neutro): π − + p −→ K 0 + Λ0 . ¿Cuál es la
energı́a cinética mı́nima del pión para que esto pueda ocurrir? Las masas de
las partı́culas son: pión 139.6 MeV/c2 ; protón 938.3 MeV/c2 ; kaón K 0 493.7
MeV/c2 ; Λ0 1116 MeV/c2 .
Solución: 761.51 MeV.
Un positrón con una energı́a cinética de 0.51 MeV choca inelásticamente con
un electrón en reposo dando lugar a un átomo de positronio que retrocede
libremente. El electrón y el positrón que forman el positronio se aniquilan
mutuamente en vuelo, dando lugar a dos rayos γ. (a) ¿Cuál es la velocidad del
átomo de positronio? (b) ¿Cuál es la energı́a máxima posible para uno de los
fotones producidos
mediante este proceso de destrucción mutua?
√
Solución: (a) 3c/4; (b) 1.20 MeV.
(a) Si un protón con una energı́a cinética de 437 MeV choca elásticamente con
un protón en reposo y los dos protones rebotan con energı́as iguales, ¿cuál es el
ángulo existente entre ambos? [R.B. Sutton et al., Phys. Rev. 97, 783 (1955),
hallaron experimentalmente el valor 84.0o ± 0.2o .] (b) Si el protón incidente
posee una energı́a total de 33 GeV, ¿cuál es el ángulo que forman ambos después
del choque?
Solución: (a) 84.01o ; (b) 26.46o .
La teorı́a usual del efecto Compton considera el caso de un electrón libre en
reposo que es alcanzado por un fotón resultando dispersado un fotón de energı́a
menor. Supongamos que un fotón (de energı́a Q) choca con un electrón en
movimiento (de masa en reposo m). ¿Qué velocidad inicial deberá poseer el
electrón si, como consecuencia del choque, el fotón retrocede con la misma
energı́a Q que p
el fotón incidente?
Solución: Qc/ Q2 + (mc2 )2 .
Para comprobar las predicciones de la relatividad especial y general sobre la
dilatación del tiempo, en 1971 se llevaron relojes atómicos a bordo de cuatro
La Teorı́a de la Relatividad
(103)
(104)
(105)
(106)
83
aviones que volaron alrededor de la Tierra dirigiéndose dos de ellos hacia el
oeste y los otros dos hacia el este. (a) Si los aviones que se dirigen hacia el
oeste volaran a una velocidad promedio de 1500 km/h relativa a la superficie
de la Tierra, ¿cuánto tiempo deberı́an estar volando para que el reloj de abordo
retrasara 1 s con respecto a un reloj en la superficie de la Tierra? (b) En
el experimento real los aviones volaron alrededor de la Tierra una vez y la
discrepancia con los relojes en la Tierra fue de 273 ns. ¿Cuál fue la velocidad
promedio de estos aviones? Nota: tener en cuenta las correcciones debidas tanto
a la relatividad espacial (dilatación del tiempo) como a la relatividad general
(influencia de un campo gravitatorio en el tiempo).
En un experimento mental sencillo, Einstein demostró que existe una masa asociada con la radiación electromagnética. Consideraremos una caja de longitud
L y masa M apoyada sobre una superficie sin rozamiento. En la pared izquierda
de la caja existe una fuente luminosa que emite radiación de energı́a E, la cual
es absorbida por la pared de la derecha de la caja. De acuerdo con la teorı́a
clásica del electromagnetismo, esta radiación transporta un momento lineal de
valor p = E/c. (a) Hallar la velocidad de retroceso de la caja de forma que se
conserve dicho momento lineal cuando se emite la luz. (Como p es pequeño y M
es grande, se puede utilizar la mecánica clásica). (b) Cuando la luz es absorbida
por la pared de la derecha de la caja, ésta se para, de modo que sigue siendo
nulo el momento lineal total. Si despreciamos la velocidad extremadamente
pequeña de la caja, el tiempo que tarda la luz en atravesar la caja es ∆t = L/c.
Hallar la distancia que ha recorrido la caja en ese tiempo. (c) Demostrar que
si el centro de masas del sistema ha de permanecer fijo en el mismo sitio, la
radiación debe poseer una masa m = E/c2 .
Solución: (a) E/M c, (b) EL/(mc2 ).
Un pión positivo en reposo se desintegra en un antimuón y un neutrino muónico:
π + −→ µ+ + νµ . Las masas involucradas son mπ = 140 MeV/c2 , mµ = 106
MeV/c2 y mν ≈ 0. Demostrar que la velocidad del antimuón viene dada por:
β = (m2π − m2ν )/(m2π + m2µ ). Evaluar esta velocidad numéricamente. Hacer lo
mismo para la desintegración π + −→ e+ + νe .
En un sistema de referencia del laboraorio, un electrón con energı́a cinética
K0 = 4me c2 impacta contra un positrn en reposo. Como resultado, las dos
partı́culas se aniquilan y se emiten dos fotones cuyas frecuencias son f1 y f2 no
son necesariamente iguales. (a) Obtener la velocidad del centro de masas (CM)
del sistema medida en el sistema de referencia del laboratorio. (b) Calcular la
energı́a total del sistema en sistema CM. ¿Cuál es la frecuencia de cada uno
de los fotones resultantes en el sistema del CM? (c) Si el ángulo que forman
los momentos lineales de los fotones en el sistema del laboratorio es θ = π/2,
obtener las frecuencias en dicho sistema de referencia.
Se cree que la dispersión Compton por fotones procedentes de estrellas puede
ser un mecanismo de degradación energética de electrones de elevada energı́a
84
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
en el espacio interestelar. Se ha propuesto un experimento [por R. Milburn,
Phys. Rev. Lett. 10, 75 (1963)] en el cual este fenómeno puede observarse
en el laboratorio mediante la dispersión de un haz de electrones de elevada
energı́a contra el flujo intenso de fotones visibles producido por un laser tı́pico.
Demostrar que en tal proceso la energı́a del laboratorio del fotón dispersado
viene dada con una aproximación excelente (β ≈ 1) por
λ(1 − β cos θ0 )
,
E2 ≈ γmc2
1 + λ(1 − cos θ0 )
en donde λ = 2γE1 /mc2 (E1 es la energı́a del fotón incidente) y θ0 es el ángulo
de dispersión del fotón en el sistema en reposo del electrón. Demostrar también
que θ, ángulo de dispersión del fotón, viene dado por
tgθ =
senθ0
.
γ(cos θ0 − β)
Si los electrones de un haz incidente se aceleran con una energı́a de 6 GeV y
los fotones son producidos por un laser de rubı́ de 694.3 nm (de forma que
su energı́a sea 1.79 eV), ¿cuál será la energı́a máxima de los fotones que se
dispersan?
(107) Un resultado muy conocido de la mecánica newtoniana nos dice que si una
partı́cula en reposo es alcanzada por otra partı́cula idéntica y el choque es
elástico, el ángulo que forman sus trayectorias subsiguientes es de 90o . El objetivo de este problema es demostrar que este resultado deja de ser cierto en
la mecánica relativista. Para ello consideraremos el caso especial en el que después del choque las dos partı́culas marchan simétricamente formando el mismo
ángulo θ/2 con la dirección de la partı́cula incidente. Suponiendo que la energı́a
cinética de la partı́cula incidente es K1 y la energı́a en reposo de las partı́culas
es E0 , demostrar que el ángulo θ viene dado por:
cos θ =
K1
.
K1 + 4E0
(108) Dos partı́culas con masas en reposo m1 y m2 se mueven a lo largo del x de un
sistema de referencia una hacia la otra con velocidades v1 y v2 . Después de la
colisión se fusionan en una sola partı́cula con masa en reposo m3 que se mueve
con velocidad v3 con respecto al sistema de referencia. Encontrar m3 y v3 en
función de m1 , m2 , v1 y v2 . ¿Serı́a posible que la partı́cula resultante fuera un
fotón si las partı́culas originales no lo son?
(109) Un fotón de energı́a E1 colisiona con otro fotón de energı́a E2 formando un
ángulo θ. Demostrar que el valor mı́nimo de E1 para que se cree un par de
partı́culas de masa m viene dado por
E1,min =
2m2 c4
.
E2 (1 − cos θ)
La Teorı́a de la Relatividad
85
(110) Considérese un objeto de masa m (que suponemos constante) sobre el que actúa
una fuerza F~ . Mostrar que
F~ = γm~a + (F~ · ~v )~v /c2 ,
donde ~a = d~v /dt es la aceleración del objeto. De este resultado es obvio que en
relatividad especial F~ = m~a no es cierto. Tampoco es cierto que F~ = mvar~a,
donde mvar sea una masa variable mvar = γm, excepto en el caso en el que F~
sea perpendicular a ~v . En general, F~ y ~a ni siquiera tienen la misma dirección.
(111) La expresión de la fuerza relativista es
!
m~u
d
~
p
.
F =
dt
1 − β2
Suponer que ~u está dirigida en la dirección x y calcular las componentes de la
fuerza. Mostrar que
Fx = ml ax , Fy = mt ay , Fz = mt az ,
p
donde ml = m/(1 − β 2 )3/2 y mt = m/ 1 − β 2 .
(112) Una partı́cula de masa m, energı́a cinética K y carga q se mueve en la dirección
perpendicular a un campo magnético B como en un ciclotrón. Encontrar la
relación entre el radio r de la trayectoria de la partı́cula en términos de m, K,
q y B.
(113) Una masa m es lanzada desde el origen en t = 0 con trimomento inicial p0 en
la dirección y. Si está sometida a una fuerza constante F0 en la dirección x,
hallar su velocidad ~v como función de t, e integrando ~v encontrar su trayectoria.
Comprobar que en el lı́mite no relativista la trayectoria es una parábola, como
es de esperar.
Problemas de relatividad general
(114) La luz que viaja en la dirección en la que se incrementa el potencial gravitatorio
experimenta un corrimiento hacia el rojo en su frecuencia. Calcular el cambio
de la longitud de onda de un haz de luz de longitud de onda λ = 632.8 nm que
sube por un tubo vertical de altura h = 100 m.
Solución: (λ − λ0 )/λ0 = 1.08 × 10−14 .
(115) Derivar una expresión para el corrimiento al rojo gravitacional en términos de
la longitud de onda. Usar este resultado para determinar el corrimiento de la
longitud de onda de la luz emitida por una enana blanca a 720 nm. Supóngase
que la enana blanca tiene la misma masa que el Sol (1.99 × 1030 kg), pero un
radio igual al 1% del radio del Sol (6.99 × 108 m).
Solución: λ = λ0 /(1 − GM/Rc2 ), 720.15 nm.
(116) Sirio B es una enana blanca que forma con la estrella Sirio A un sistema binario.
Un análisis de la órbita de esta enana blanca indica que su masa es 2 × 1030 kg,
86
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
que es aproximadamente la masa del Sol. Una comparación de las lı́neas espectrales emitidas por esta estrella con aquellas del mismo elemento en la Tierra
muestra un corrimiento relativo de la frecuencia igual a 7 × 10−4 . Suponiendo
que este corrimiento se debe exclusivamente al corrimiento al rojo gravitacional,
calcular la densidad de esta enana blanca. Nota: la densidad media del Sol es
1409 kg/m3 .
Solución: 5 × 1010 kg/m3 .
(117) Imaginemos que el Sol colapsa para convertirse en una esfera de radio Rg tal
que el trabajo necesario para extraer una pequeña masa m de la superficie fuera
igual a su energı́a en reposo mc2 . Encontrar el valor de Rg . A este radio se le
conoce como radio gravitacional del Sol.
Solución: Rg = GM/c2 = 1.475 km.
(118) El objetivo de este problema es estimar la desviación que sufre un rayo de luz
cuando pasa cerca del Sol. Suponer que la luz consiste en partı́culas de masa
m que viajan a la velocidad de la luz c Ry cuya desviación al pasar por el Sol
∞
es pequeña. (a) Usar la relación ∆px = −∞ Fx dt para mostrar que el ángulo
de deflexión θ está dado por θ = 2GM/(bc2 ), donde ∆px es el cambio total del
momento lineal de las partı́culas de luz incidiendo en el Sol, b es el parámetro
de impacto (distancia mı́nima entre la partı́cula y el centro del Sol si no hubiera
interacción entre ellos) y M es la masa del Sol. (b) Para b igual al radio del Sol
(R = 6.99 × 108 m), demostrar que θ = 4.2 × 10−6 rad.
Apéndice A
El experimento de Michelson y Morley
Albert Michelson y Edward Morley realizaron en 1887 uno de los experimentos más
famosos de la historia de la fı́sica. En él se propusieron medir la velocidad absoluta
de la tierra con respecto al éter, que se suponı́a por aquel entonces que era el medio
en el que todos los objetos estaban sumergidos. Este experimento era una versión
mejorada del realizado por Michelson2 en 1881 y que pasamos a describir.3 En este
experimento, Michelson hizo uso del aparato que se describe esquemáticamente en
la Fig. A.1 y que se conoce con el nombre de interferómetro de Michelson. En
este dispositivo la luz procedente de una fuente S incide sobre una lámina de cristal
inclinada P que posee una capa de metal semitransparente en su cara anterior. Ésta
divide a la luz en dos partes. Una parte atraviesa la lámina y alcanza el espejo M1 .
A continuación recorre el camino seguido en sentido inverso hasta que llega al punto
en donde el haz se desdobló inicialmente, y una fracción de él es reflejado a tavés
de la lámina hacia el telescopio T . La otra parte del haz original es enviada por
reflexión al espejo M2 y vuelve. Una lámina de compensación C hace pasar este
segundo haz a través del mismo espesor de cristal que el primero (para conseguir la
simetrı́a óptica) antes de que se reúnan de nuevo y se introduzcan en el telescopio.
Si esta placa P está inclinada 45o y las superficies de los espejos están entre sı́
casi pero no exactamente a 90o , se obtendrán franjas parecidas a las formadas por
un prisma de ángulo muy pequeño. Con un ajuste adecuado de los espejos estas
franjas pueden hacerse horizontales. Si se designa por l1 y l2 los caminos ópticos
(P M1 y P M2 ) que dan origen a una franja particular tenemos la condición
2(l1 − l2 ) = mλ,
(A.1)
en donde m es un número entero y λ es la longitud de onda de la luz.
Supongamos ahora que el interferómetro de Michelson se encuentra en
movimiento a lo largo de dirección P M1 con una velocidad v medida con respecto
al sistema inercial definido por el éter hipotético. Desde el punto de vista del laboratorio, existe un “viento de éter” que está soplando sobre el aparato (ver Fig. A.2).
La luz que marcha desde P hasta M2 y en sentido contrario debe penetrar en el
2 Albert
3 A.A.
Michelson recibió el premio Nobel de fı́sica en 1907.
Michelson, Am. J. Sci. 122, 120 (1881).
87
88
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
M2
C
P
S
Metalizada
M1
T
Fig. A.1
Esquema de la disposición del interferómetro de Michelson.
viento formando un ángulo tal que la velocidad resultante esté dirigida según P M2 .
De acuerdo con la ley de composición de velocidades
de Galileo el valor de la ve√
locidad resultante relativa al interferómetro es c2 − v 2 . La luz que marcha entre
P y M1 tendrı́a (de nuevo con relación al interferómetro) una velocidad resultante
c − v cuando marchase hacı́a M1 y una velocidad resultante c + v en el recorrido de
retorno. Podemos, por tanto, calcular los tiempos que emplea la luz en ir desde P
hasta los espejos y volver:
l1
l1
2l1 c
2l1 /c
t1 =
+
= 2
=
,
(A.2)
c−v c+v
c − v2
(1 − v 2 /c2 )
2l2
2l2 /c
t2 = √
=p
.
(A.3)
2
2
c −v
1 − v 2 /c2
Esto define una diferencia de tiempos ∆t, que para v c viene dada aproximadamente por:
2l1
v2
2l2
v2
∆t = t1 − t2 ≈
1+ 2 −
1+ 2 ,
(A.4)
c
c
c
2c
es decir,
2(l1 − l2 ) 2l1 v 2
l2 v 2
+ 3 − 3 .
(A.5)
∆t ≈
c
c
c
o
Si el aparato en su conjunto se gira 90 , de forma que P M2 señale ahora en el
sentido del movimiento, obtenemos una nueva diferencia de tiempos ∆t0 :
2(l1 − l2 ) l1 v 2
2l2 v 2
∆t0 = t01 − t02 ≈
+ 3 − 3 .
(A.6)
c
c
c
La variación en la diferencia de tiempos dará lugar a un corrimiento de la figura
de interferencia en una cantidad correspondiente a δ franjas, en donde δ = c(∆t −
∆t0 )/λ, es decir,
(l1 + l2 )v 2
.
(A.7)
δ=
λc2
El experimento de Michelson y Morley
89
M2
l2
´
"Viento de eter"
C
v
P
S
l1
M1
T
Fig. A.2
Fundamento del experimento de Michelson-Morley en función del “viento de éter”.
Si l1 = l2 = l, podemos expresar este resultado de la manera siguiente:
δ=
2(v/c)2
.
λ/l
(A.8)
Los valores de λ, l y c son conocidos, pero, ¿qué valor deberemos dar a v?
Para Michelson y para todos aquellos que investigaron el problema una contribución
claramente identificable era la velocidad de la Tierra alrededor de su órbita, es decir,
unos 30 km/s. Esto supone que v/c ≈ 10−4 . Podemos hacer λ ≈ 6×10−7 m, y como
para el primer aparato de Michelson l = 1.2 m, se tiene que λ/l ≈ 5×10−7 . Teniendo
en cuenta todo esto se obtiene δ ≈ 0.04 franjas. Este efecto es muy pequeño, pero
medible. Sin embargo, para sorpresa y disgusto de Michelson, cuando dispuso su
interferómetro y lo giró no se produjo ningún corrimiento apreciable de la figura de
interferencia.
Este resultado era tan inesperado y tan difı́cil de explicar que exigió una confirmación adicional. Ası́ fue como Michelson, ahora en colaboración con E.W. Morley,
emprendió una investigación mucho más precisa, basada en caminos ópticos unas
10 veces más largos que en el primer experimento. El corrimiento esperado ahora
era de unas 0.4 franjas, pero en los resultados obtenidos se observó un corrimiento de unas 0.005 franjas, a lo sumo. Esta versión refinada del experimento,
llevada a cabo en 1887,4 ha sido considerada durante mucho tiempo como uno de
los pilares experimentales básicos sobre los que descansa la relatividad especial. El
artı́culo original de Michelson and Morley se puede encontrar en el siguiente enlace:
http://www.aip.org/history/gap/PDF/michelson.pdf.
4 A.A.
Michelson and E.W. Morley, Am. J. Sci. 134, 333 (1887).
90
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Apéndice B
Relatividad y electromagnetismo
El objetivo de este apéndice es discutir brevemente la conexión entre la teorı́a de la
relatividad y el electromagnetismo. En primer lugar, es importante dejar claro que
la teorı́a de la relatividad no modifica la teorı́a electromagnética, resumida en las
ecuaciones de Maxwell, pero sı́ proporciona una forma muy intuitiva de entender
muchos fenómenos electromagnéticos y, en particular, establece una conexión muy
profunda entre los campos eléctrico y magnético. Para entender esta conexión es
conveniente hacer uso del lenguaje de tensores y, por ello, haremos primero una
breve incursión en el formalismo de tensores. Este apéndice está basado en las
secciones 15.17 y 15.18 del libro “Mecánica Clásica” de J.R. Taylor.
B.1
Tensores
Una discusión detallada del álgebra tensorial requiere la maquinaria de vectores
“covariantes” y “contravariantes”, pero para nuestros propósitos aquı́ vamos a prescindir de ese formalismo. Por razones didácticas vamos a discutir primero el concepto de tensor en un espacio tridimensional para después generalizarlo al caso del
espacio-tiempo cuadridimensional.
Vectores y tensores en tres dimensiones
Empezemos por recordar que un vector en un espacio tridimensional estándar denotado por ~a = (a1 , a2 , a3 ) es un objeto con tres componentes (en un sistema de
referencia dado) que se transforman bajo rotaciones del mismo modo que las coordenadas del vector de posición, es decir,
~a0 = R~a ⇒ a0i =
3
X
Rij aj ,
(B.1)
j=1
donde R es una matriz 3 × 3 de rotación. Nótese que en este apéndice escribiremos
esas matrices de rotación en negrita, al igual que los tensores que estamos apunto
91
92
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
de introducir. Recordemos también que una rotación deja invariante el producto
escalar de dos vectores, es decir, ~a · ~b = ~a0 · ~b0 , donde ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Este
producto escalar también se puede escribir en notación matricial como ~a · ~b = ~aT ~b.
La invarianza del producto escalar implica que las matrices de rotación deben ser
matrices ortogonales, es decir, RT R = 1.
Un tensor tridimensional T posee 9 elementos o componentes Tij (en un sistema
de referencia), donde i and j toman valores desde 1 hasta 3. (Para ser precisos,
un tensor con 9 components Tij es un tensor de rango 2. De forma más general,
un tensor de rango n tiene 3n componentes, pero nosotros sólo necesitaremos los
tensores de rango 2.) Para encontrar las propiedades de transformación de un
tensor, consideremos el ejemplo de un tensor con componentes
Tij = ai bj ,
(B.2)
donde ai y bj son las componentes de dos vectores cualesquiera. Las leyes de transformación de este tensor se deducen de las correspondientes leyes de transformación
de los dos vectores:
! 3
!
3
3
X
X
X
0
0 0
Tij = ai bj =
Rik ak
Rjl al =
Rik Rjl Tkl .
(B.3)
k=1
l=1
k,l=1
Esta transformación se puede escribir de forma más compacta en notación matricial
como sigue:
T 0 = RT RT .
(B.4)
Cualquier tensor de rango 2 tridimensional se transforma de acuerdo a esta ecuación
y cualquier conjunto de 9 elementos que se transforme de esta manera formará un
tensor.
Una de las operaciones más importantes que se puede realizar con un tensor es
su multiplicación por un vector. Esta operación, que se define como en el álgebra
matricial, da como resultado un vector, como vamos a ver. Sea T un tensor y ~a
un vector. Supongamos que ~b es un objeto definido por ~b = T~a. Veamos que ~b se
transforma bajo rotaciones como un vector:
~b0 = T 0~a0 = (RT RT )(R~a) = RT (RT R)~a = RT~a = R~b,
(B.5)
donde hemos usado el hecho de que R es una matriz ortogonal. De este modo,
queda claro que ~b se transforma como un vector y es, por tanto, un vector.
Vectores y tensores en el espacio-tiempo
La discusión de vectores y tensores en el espacio-tiempo cuadridimensional es una
sencilla generalización de la correspondiente discusión en el espacio tridimensional.
Un vector en el espacio-tiempo es una columna de 4 números (en un sistema de
referencia) que se transforman bajo transformaciones de Lorentz como a0 = Λa
Relatividad y electromagnetismo
93
de un sistema de referencia S a otro S 0 . Esta transformación deja invariante el
producto escalar de vectores, que en notación matricial se escribe como
a · b = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 = aT Gb,
donde b es otro cuadrivector y G es la métrica, una matriz 4 × 4 dada por


+1 0 0 0
 0 −1 0 0 

G=
 0 0 −1 0  .
0 0 0 −1
(B.6)
(B.7)
Recordemos que el producto escalar es invariante bajo transformaciones de
Lorentz, lo que es una consecuencia de la relación
ΛT GΛ = G.
(B.8)
Al conjunto de matrices 4 × 4 que satisfacen esta condición se le conoce con el
nombre de grupo de Lorentz.
Un tensor cuadridimensional de rango 2 se define como el conjunto de 16 números
Tµν (definidos en un sistema de referencia inercial S), donde los ı́ndices toman
valores de 1 a 4, que satisfacen
T 0 = ΛT ΛT .
(B.9)
Del mismo modo que formamos el producto escalar de dos cuadrivectores con la
ayuda de la métrica G, podemos definir el producto de un tensor por un vector de
la siguiente manera:
T · a = T G · a.
(B.10)
Es fácil demostrar que si T es un tensor cualquiera y a un vector cualquiera,
entonces b = T · a es un cuadrivector. Del mismo modo, se puede demostrar que si
a y b son dos cuadrivectores y b = T · a en cada sistema de referencia S, entonces
T es un tensor en el espacio-tiempo.
Con estas definiciones y propiedades estamos ahora en posición de discutir la
relación entre relatividad y electromagnetismo.
B.2
Electrodinámica y relatividad
Las leyes clásicas del electromagnetismo establecen que la luz viaja con una velocidad c en todas las direcciones y sin importar el sistema de referencia inercial, lo
cual es el punto de partida de la teorı́a especial de la relatividad. Esto sugiere que
el electromagnetismo clásico es consistente con los principios de la relatividad (y de
hecho lo es). La forma más sencilla de demostrar este hecho es mostrar que las leyes
de la electrodinámica se pueden escribir en términos de esalares, vectores y tensores
en el espacio-tiempo, de modo que su invariancia Lorentz sea evidente. Aquı́ lo
94
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
mostraremos para el caso de una ley, la ley de Lorentz que describe la fuerza que
~ y un campo magnético B:
~
sufre una carga q en presencia de un campo eléctrico E
~ + ~u × B),
~
F~ = q(E
(B.11)
donde ~u es la velocidad de la carga. En el proceso de demostrar que esta fuerza se
puede expresar de forma covariante, es decir, en términos de escalares, cuadrivectores y tensores, vamos a derivar las leyes de transformación de los campos eléctrico
y magnético. Antes de empezar, es importante remarcar que es un hecho experimental que la carga q de una partı́cula tiene el mismo valor en todos los sistemas
de referencia, es decir, q es un escalar Lorentz.
Aquı́ adoptaremos la visión de que la ec. (B.11) es un hecho experimental válido
en todos los sistemas de referencia inerciales, lo cual es cierto. La ec. (B.11) no
parece ser invariante relativista y nuestra tarea es reescribirla para que lo sea. La
primera pista para ver cómo podemos hacer esto es darse cuenta de que la ec. (B.11)
define F~ como una función lineal de ~u. El siguiente paso natural es reescribir
esta relación lineal en términos de la cuadrifuerza K y de la cuadrivelocidad u.
Recordemos que
K = γ(F~ · ~u/c, F~ ) y u = γ(c, ~u).
(B.12)
Multiplicando ambos miembros de la ec. (B.11) por γ, podemos ver que K es una
función lineal de u. De hecho, es sencillo (se deja como ejercicio) mostrar que la
cuadrifuerza se puede escribir como
K = qF · u = qF Gu,
(B.13)

0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c
 Ex /c
0
−Bz
By 
.
F =
 Ey /c Bz
0
−Bx 
Ez /c −By
Bx
0
(B.14)
donde

Como K y u son cuadrivectores, entonces F tiene que ser un tensor en el
espacio-tiempo. Ası́ pues, vemos que se puede expresar la fuerza de Lorentz de un
modo manifiestamente invariante bajo transformaciones Lorentz y de paso, podemos
hacer uso de las leyes de transformación de los tensores para determinar cómo se
transforman los campos eléctrico y magnético. Al tensor F , que es antisimétrico
(Fij = −Fji ), se le conoce como tensor del campo electromagnético.
Transformaciones de Lorentz del campo eléctrico y magnético
~ yB
~ en un sistema de referencia S dado. Como
El tensor F especifica los campos E
F es un tensor en el espacio-tiempo, su valor en otro sistema de referencia S 0 viene
dado por [ver ec. (B.9)]
F 0 = ΛF ΛT .
(B.15)
Relatividad y electromagnetismo
95
De esta expresión es sencillo derivar las leyes de transformación de los campos
eléctrico y magnético en un cambio de sistema de referencia. Ası́ por ejemplo, si
consideramos la disposición habitual donde el sistema S 0 se mueve con velocidad
constante v a lo largo del eje x del sistema S, los campos en ambos sistemas de
referencia estarán relacionados del siguiente modo:
Ex0 = Ex ,
Ey0 = γ(Ey − βcBz ),
Bx0 = Bx ,
By0 = γ(By + βEz /c),
Ez0 = γ(Ez + βcBy )
Bz0 = γ(Bz − βEy /c),
(B.16)
donde como siempre β = v/c. Lo más sorprendente de estas transformaciones es que
mezclan los campos eléctrico y magnético. De este modo, una situación donde sólo
~ = 0 porque la distribución
haya campo magnético en un sistema de referencia S (B
de carga es estática), corresponderá necesariamente a una situación en otro sistema
de referencia S 0 donde el campo magnético no sea cero. Ası́ pues, vemos que en
relatividad la existencia de un campo eléctrico requiere o exige de la existencia de
un campo magnético y viceversa. En otras palabras, la relatividad especial nos
enseña que los campos eléctrico y magnético no son más que dos caras de la misma
moneda.
Una importante ventaja de conocer las propiedades de transformación de los
campos electromagnéticos es la siguiente: si queremos determinar los campos debidos a ciertas distribuciones de carga y de corriente en un sistema de referencia
S, es posible encontrar un sistema de referencia S 0 en el que los campos sean más
sencillos de evaluar. Si esto ocurre, entonces la estrategia más sencilla es la de determinar los campos en S 0 y transformarlos de vuelta al sistema S. Esto se ilustra
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo B.1: Determinar los campos elétrico y magnético generados por un
hilo cargado con una densidad lineal uniforme de carga λ que está colocado a lo
largo del eje z de un sistema de referencia S y que se mueve con una velocidad v
en la dirección +z.
Solución. Obviamente este problema se puede resolver usando las leyes de Gauss
y de Ampère y el resultado es
~ = 2kλ ρ̂ y B
~ = µ0 I φ̂,
E
ρ
2π ρ
donde k = 1/(4π0 ) es la constante de Coulomb, I = λv es la corriente eléctrica a
lo largo del eje z y ρ, φ, z son las coordenadas polares cilı́ndricas (ρ es la distancia
perpendicular al eje z y φ es el ángulo azimutal).
Vamos a rederivar este resultado transformando al sistema de referencia S 0 que
viaja con las cargas. En S 0 no hay corriente y, por tanto, sólo hay un campo
eléctrico radial E 0 = 2kλ0 /ρ0 . Este campo apunta en la dirección del vector unitario
ρ̂0 = (x0 /ρ0 , y 0 /ρ0 , 0). Por tanto, podemos escribir
0
0
~ 0 = 2kλ ρ̂0 = 2kλ (x0 , y 0 , 0).
E
ρ0
(ρ0 )2
96
Mecánica y Ondas II: La Teorı́a de la Relatividad
Autor: Juan Carlos Cuevas.
Antes de transformar el resultado al sistema S, es importante darse cuenta de
que las densidades de carga λ y λ0 no son iguales. La invariancia de la carga
implica que la carga total contenida en un segmento del eje z debe ser igual en
ambos sistemas de referencia, de modo que λ∆z = λ0 ∆z 0 . Teniendo en cuenta la
contracción de la longitud: ∆z = ∆z 0 /γ, tenemos que λ = γλ0 .
~0 y B
~ 0 = 0 de vuelta al sistema S.
Ahora debemos transformar los campos E
Para hacerlo, debemos darnos cuenta de que S 0 viaje a lo largo del eje z y no del
eje x, como en la dispoción habitual. De este modo, debemos primero reescribir las
relaciones de la ec. (B.16) e invertirlas para obtener los campos en S en función de
los campos en S 0 . El resultado de esas operaciones viene dado por
Ex = γ(Ex0 + βcBy0 ),
Bx = γ(Bx0 − βEy0 /c),
Ey = γ(Ey0 − βcBx0 ),
Ez = Ez0
By = γ(By0 + βEx0 /c),
Bz = Bz0 .
~ 0 = 0 y la expresión de E
~ 0 , tenemos que
Substituyendo B
0
~ = γ 2kλ (x, y, 0) = 2kλ ρ̂,
E
2
ρ
ρ
donde hemos usado que
p x e y no se alteran en el cambio de sistema y, por tanto,
tampoco lo hace ρ = x2 + y 2 . Además, hemos usado que γλ0 = λ. Nótese que el
resultado obtenido para el campo eléctrico está de acuerdo con la expresión que se
obtiene al usar la ley de Gauss.
Análogamente, el campo magnético vendrá dado por
0
~ = γβ 2kλ (−y, x, 0).
B
cρ2
Si ahora usamos que γλ0 = λ, β = v/c, k/c2 = 1/(4π0 c2 ) = µ0 /4π, y
(−y/ρ, x/ρ, 0) = φ̂, entonces
~ = µ0 λv φ̂,
B
2π ρ
que teniendo en cuenta que λv = I, coincide con el resultado esperado.
Lo sorprendente de esta derivación es que no se ha hecho uso de la ley de
Ampère. La ley de Gauss, combinada con las transformaciones de Lorentz para
los campos, ha sido suficiente para obtener un resultado que normalmente se ve
como una consecuencia de la ley de Ampère.
B.3
Problemas
~ ·B
~ y E 2 − c2 B 2 son invariantes bajo transformaciones
(1) (a) Demostrar que E
~ y B
~ son
de Lorentz. Usar estos resultados para demostrar que: (b) si E
perpendiculares en un sistema de referencia S, entonces son perpendiculares
en cualquier otro sistema de referencia S 0 , y (c) si E > cB en un sistema S,
entonces no puede existir un sistema de referencia en el que E = 0.
Relatividad y electromagnetismo
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(2) (a) Usar las leyes de transformación de los campos electromagnéticos para
~ = 0 en un sistema de referencia S, entonces E 0 = ~v × B 0
demostrar que si E
0
~ = 0 en el sistema S, entonces
en S . (b) Análogamente, demostrar que si B
0
0 2
~
B = −~v × E /c . Usar este resultado para derivar la expresión de campo
magnético que genera una carga puntual q que se mueve con una velocidad
~v en un sistema de referencia dado. Pista: usar para ello la ley de Coulomb
que describe el campo elétrico generado por un carga puntual en el sistema
de referencia en reposo momentáneo con la carga.
(3) (a) Demostrar que el tensor de campo electromagnético viene dado por la
ec. (B.14). (b) Usar la ley de transformación de un tensor en el espaciotiempo para demostrar que las leyes de transformación de los campos electromagnéticos vienen dadas por la ec. (B.16).
(4) Derivar la expresión de la fuerza de Lorentz a partir de la ley de Coulomb del
siguiente modo: (a) si una carga q está en reposo en el sistema S 0 , entonces
~ 0 . Usar las leyes
la ley de Coulomb nos dice que la fuerza sobre q es F~ 0 = q E
~
de transformación de la fuerza para escribir la fuerza F vista en el sistema
~ 0 por el momento). (b) Usar las
S. (Dejar la respuesta en términos de E
expresiones de la ec. (B.16) para reescribir la respuesta anterior en términos
~ yB
~ y demostrar que F~ = q(E
~ + ~v × B).
~
de E
(5) Dos cargas idénticas q se mueven al lado la una de la otra a lo largo de
dirección positiva del eje x del sistema de referencia S. La distancia entre
ellas es r y su velocidad en S es v. Determinar la fuerza que aparece sobre
cada carga de las dos formas siguientes: (a) encontrar la fuerza en el sistema
de referencia S 0 en reposo con las cargas y transformar de vuelta al sistema
S usando las leyes de transformación de la fuerza. (b) Encontrar el campo
eléctrico y magnético en S 0 , transformar estos campos al sistema S y escribir
la fuerza de Lorentz sobre cada carga en S. Comparar las magnitudes de
las fuerzas eléctrica y magnética y mostrar que se vuelven del mismo orden
cuando v → c.
(6) Una carga q se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x del
sistema S y su posición viene dada por vtx̂. (a) Escribir el campo eléctrico y
magnético en el sistema S 0 en reposo relativo con la partı́cula. (b) Usar las
leyes de transformación de los campos electromagnéticos para demostrar que
el campo eléctrico en S en la posición ~r y en el instante t viene dado por
~ =
E
R̂
kq(1 − β 2 )
,
(1 − β 2 sen2 θ)3/2 R2
~ = ~r − vtx̂ es el vector que comienza en la posición de la carga y
donde R
~ con el eje x.
acaba en el punto de observación ~r y θ es el ángulo que forma R
(c) Representar esquemáticamente la intensidad del campo como función de
θ para un R fijo y pintar las lı́neas de campo en un instante dado t.