15.053 Jueves, 7 de marzo

PROBLEMA PRIMAL:
15.053
z
Jueves, 7 de marzo
maximizar
sujeto a
z=
Dualidad (2)
– El problema dual en general
– Ilustración de la dualidad con la teoría de juegos
de suma cero entre dos personas
3x1 + 4x2 +6x3 + 8x4
x 1 + x2 + x3 + x4
2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4
x1, x2, x3, x4
minimizar
sujeto a
La matriz restringida del
primal es la transposición de
la matriz restringida del
problema dual.
y 1 + 3y2
y 1 + 2y2 ≥ 3
y1 + 3y2 ≥ 4
y1 + 4y2 ≥ 6
y1 + 5y2 ≥ 8
1
PROBLEMA PRIMAL:
z=
Sujeto a
3x1 + 4x2 +6x3 + 8x4
x 1 + x2 + x3 + x4
2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4
x1, x2, x3, x4
y 1 + 3y2
y 1 + 2y2 ≥ 3
y1 + 3y2 ≥ 4
y1 + 4y2 ≥ 6
y1 + 5y2 ≥ 8
=
=
≥
z=
maximizar
sujeto a
1
3
0
Observación 3. Los coefs. de coste
del primal pasan a ser los coefs. del
lado derecho en el problema dual.
Observación 4. El primal (en este
caso) es un problema de
maximización con restricciones de
igualdad y variables no negativas.
El dual (en este caso) es un problema
de minimización con restricciones ≥
y variables
3
de signo no restringido.
3x1 + 4x2 +6x3 + 8x4
x 1 + x2 + x3 + x4
2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4
x1, x2, x3, x4
z=
3x1 + 4x2 +6x3 + 8x4
x 1 + x2 + x3 + x4
2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4
x1, x2, x3, x4
=
=
≥
1
3
0
Pregunta:
PROBLEMA DUAL:
¿Cómo opera el cambio
dual si tenemos restricciones
minimizar
de no igualdad?
Sujeto a
y1 + 3y2
y1 + 2y2 ≥ 3
y1 + 3y2 ≥ 4
y1 + 4y2 ≥ 6
y1 + 5y2 ≥ 8
Recuerde que las variables
óptimas del dual son los
precios sombra para el
problema primal.
4
PROBLEMA PRIMAL:
PROBLEMA PRIMAL:
maximizar
sujeto a
Observación 2.
Los coefs. del lado derecho del
primal pasan a ser coefs. de
coste en el problema dual. 2
PROBLEMA PRIMAL:
PROBLEMA DUAL:
minimizar
1
3
0
Observación 1.
PROBLEMA DUAL:
Entregas: material de clase
maximizar
sujeto a
=
=
≥
precio
≥
≤
≥
11+∆
3+∆
3
0
y1
y2
Método: recuerde que las variables
óptimas del dual son precios sombra.
Sustituyamos el 1 por 1 + ∆. ¿Podría
disminuir el valor objetivo óptimo?
¿Y aumentar?
Conclusión:
y1 ≤ 0.
Sustituyamos el 3 por 3 + ∆. ¿Podría
disminuir el valor objetivo óptimo?
¿Y aumentar?
Conclusión:
y2 ≥ 0 .
3x1 + 4x2 +6x3 + 8x4
x 1 + x2 + x3 + x4
= 1
2x1 + 3x2 +4x3 + 5x4
= 3
x1, x2, x3, x4
≥ 0
Supongamos ahora que
PROBLEMA DUAL:
hacemos que las variables
del problema primal sean
minimizar
y1 + 3y2
≤ 0 o bien que no tengan
sujeto a
y 1 + 2y2 ≥ 3
restricciones de signo.
y1 + 3y2 ≥ 4
maximizar
sujeto a
z=
y1 + 4y2 ≥ 6
y1 + 5y2 ≥ 8
5
Recuerde que los costes reducidos
son los precios sombra de las
restricciones de no igualdad.
6
PROBLEMA PRIMAL:
maximizar
sujeto a
z=
precio
3x1 + 4x2 - 6x3 + 8x4
x 1 + x2 - x3 + x4
= 1
2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4
= 3
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≤ 0 x4 uis
y1
y2
PRIMAL
Conclusión:
c1 ≤ 0, y, por tanto,
y 1 + 2y2 ≥ 3.
Trabajo en parejas: calcular cuál será el signo del
precio sombra para la restricción x3 ≤ 0 y decidir
qué se puede hacer con x 4
DUAL
Holgura compl.
Σj aijxj ≥ bi
yi ≤ 0
yi (Σj aijxj - bi ) = 0
Σj aijxj ≤ bi
yi ≥ 0
yi (Σj aijxj - bi ) = 0
xj ≥ 0
Σj yiaij ≥ cj
xj ≤ 0
Σj yiaij ≤ cj
Σj aijxj = bi
Σj aijxj ≥ bi
Σj aijxj ≤ bi
Î
Î
Î
Î
Î
Î
xj ≥ 0
xj ≤ 0
xj u.i.s.
Min
yi u.i.s.
yi ≤ 0
yi ≥ 0
Σj yiaij ≥ cj
Σj yiaij ≤ cj
Σj yiaij = cj
7
Holgura complementaria
PRIMAL
DUAL
Max
c1 = 3 – y1 – 2y2
Sustituyamos “x 1 ≥ 0” por “x1 ≥ ∆”.
¿Podría disminuir el valor objetivo óptimo?
¿Y aumentar?
Resumen: creación del dual
de un problema de maximización
8
Cálculo del dual
PROBLEMA PRIMAL:
maximizar
sujeto a
xj (Σj yiaij - cj ) = 0
z=
3x 1 + c x2 +6x3
x 1 + 2x2 + x3
2x1 + 3x2 +4x3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0,
≥ 1
= 3
x3 u.i.s.
Calcule el dual del programa lineal
anterior y compare los resultados
con los de su compañero.
xj (Σj yiaij - cj ) = 0
9
Duales del problema de minimización
z
z
z
10
Teoría de juegos de suma cero para dos personas
La persona R elige una fila: la 1, la 2 o la 3
El dual de un problema de minimización
es un problema de maximización.
La persona C elige una columna: la 1, la 2 o la 3
Los precios sombra para el programa
lineal dual forman la solución óptima
para el problema primal.
El dual del dual es el primal.
p.ej.,
11
-2
1
2
2
-1
0
1
0
-2
Esta es la matriz
del resultado del
jugador R. (El jugador
C obtiene la negativa).
R elige fila 3; C elige columna 1
R obtiene 1; C obtiene –1
(suma cero)
12
Otros ejemplos de resultados
2 voluntarios para el siguiente ejercicio
R elige 2, C elige 3
El jugador R saca 1, 2 ó 3 dedos
R obtiene 0; C obtiene 0
(suma cero)
El jugador C saca a la vez 1, 2 ó 3 dedos
-2
1
2
-2
1
2
2
-1
0
2
-1
0
1
0
-2
1
0
-2
R elige fila 3; C elige columna 3
R intenta maximizar su puntuación
R obtiene -2; C obtiene +2 (suma cero)
13
Realice el juego con su compañero
(si no tiene compañero, observe a los demás)
2
2
-1
0
1
0
-2
Se repite
la jugada
5 veces
R intenta maximizar su puntuación
C intenta minimizar la puntuación de R
15
Cálculo de la cota inferior
1
2
2
-1
0
1
0
-2
1
2
2
-1
0
1
0
-2
Hallaremos las
cotas superior e
inferior del
resultado de R
linear mediante la
programación lineal
El resultado de R a largo plazo: ¿será
positivo, negativo, o tenderá a 0?
16
Supongamos ahora que R puede elegir una
estrategia basada en el azar.
Si R debe
comunicar su fila
a C, ¿qué fila
elegirá?
La estrategia de elegir la misma fila una y
otra vez se denomina "estrategia pura". R se
asegura un resultado de al menos -1.
-2
Cálculo de la cota inferior del resultado de R
Supongamos que R debe comunicar a C su
estrategia antes de que éste elija jugada.
-2
14
Supongamos que, al ser R y C muy buenos
jugadores, la partida dura MUCHO TIEMPO
El jugador C saca a la vez 1, 2 ó 3 dedos
1
C intenta minimizar la puntuación de R
¿Quién tiene ventaja: R o C?
El jugador R saca 1, 2 ó 3 dedos
-2
Se repite
la jugada
5 veces
17
-2
1
2
2
-1
0
1
0
-2
R lanza una
moneda al aire y
elige la fila 1 si sale
cara y la fila 3
si sale cruz.
El jugador de la columna hace su jugada
conociendo la estrategia del rival, pero sin
saber si la moneda cayó de cara o de cruz.
18
¿Cuál sería la mejor respuesta del jugador C?
Supongamos que R elige al azar entre las filas 1 y 2
Prob.
Resultado
previsto
-2
1
2
0,5
2
-1
0
0
1
0
-2
0,5
-0,5 0,5
Prob.
Si C sabe que R
juega al azar
podrá calcular
el resultado
previsto para
cada una de las
columnas elegidas.
0
¿Cuál sería la mejor respuesta de C?
19
¿Cuál sería la mejor jugada al azar de R?
Prob.
Resultado
previsto
1
2
1
A
2
x1
-1
0
x2
0
-2
x3
B
C
x1 + x2 + x3 = 1
C elegirá la
columna que sea
el valor mínimo
de A, B, y C.
C:
x1 2 x1
2
0,5
-1
0
0,5
1
0
-2
0
0
0
1
Es decir, jugando al azar, R obtendría al menos 0
Si z = min (x, y)
z es la solución óptima al
siguiente programa lineal:
z
z ≤x
z ≤y
x2
- 2 x3
20
Hallar el mínimo entre dos números como
si se tratara de un problema de optimización
maximizar
sujeto a
A: -2 x1 + 2 x2 + x3
B:
1
2
¿Cuál sería la mejor respuesta de C?
Es decir, jugando al azar, R obtendría al menos -0,5
-2
Resultado
previsto
-2
21
22
Mejor estrategia de R expresada como un PL
-2
1
2
x1
2
-1
0
x2
1
-2
a11
a21
x3
a12
a22
a13
…
a1m
x1
a23
…
a2m
x2
xn
…
Resultado
previsto
Maximizar
0
PL del jugador de las filas (en general)
A
z
B
C
(resultado para x)
A:
z ≤ -2 x1 + 2 x2 + x3
B:
C:
z ≤
z ≤
x1 - x2
2 x1
- 2 x3
x1 + x2 + x3 = 1
x1 , x2 , x3
≥ 0
Juego de
suma 0, dos
personas
23
Resultado
previsto
Maximizar
Pj:
an1
an2
an3
…
anm
P1
P2
P3
…
Pm
z
(resultado para x)
z ≤ a1j x1 + a2j x2 +… + anjxn para todo j
x1 + x2 + … + xn = 1
xj ≥ 0 para todo j
24
Del mismo modo podemos obtener una
cota inferior para C (y una cota superior para R)
Esta es la jugada al azar óptima de R
Result.
previsto
Prob.
Resultado
previsto
-2
1
2
7/18
2
-1
0
5/18
1
0
-2
1/3
1/9 1/9 1/9
El resultado óptimo para R es 1/9.
Es decir, jugando al azar, R se asegura
obtener al menos 1/9.
Esta estrategia
es la cota
inferior de lo que
R puede obtener
si tiene en
cuenta la
jugada de C.
-2
1
2
1/9
2
-1
0
1/9
-2
1/9
1
Prob.
0
1/3 5/9 1/9
25
Un PL ayudaría
al jugador de las
columnas a decidir
su mejor
jugada al azar.
Nota: C puede jugar
al azar para
asegurarse de que la
media de puntuación
de R es 1/9.
Con esta estrategia, R sólo obtendría 1/9.
27
Juegos de suma cero entre dos personas (en general)
z
z
z
z
z
1
2
1/3
2
-1
0
1/3
1
0
-2
-1/3
1/3 1/3 1/3
Si C elige una
estrategia de
jugar al azar,
dará una cota
superior de lo
que obtiene R .
Si C comunica a R que va a jugar al azar,
éste elegirá 1 ó 2.
Si C juega al azar, su mejor estrategia será minimizar
el resultado máximo previsto
Result.
previsto
Prob.
-2
Llamemos x a la estrategia de R de jugar al
azar, con un valor z(x), e y a la misma
estrategia de C con un valor v(y).
z(x) ≤ v(y) para todo x, y
El valor óptimo de x* se obtendría resolviendo
un PL, al igual que el óptimo de y.*
z(x*) = v(y*)
Los dos programas lineales son duales
entre sí.
29
Con esta estrategia de jugar al azar,
C se asegura de que R obtiene al menos 1/3.
26
Si C juega al azar, su mejor estrategia será minimizar
el resultado máximo previsto
Result.
previsto
Prob.
-2
1
2
1/9
2
-1
0
1/9
1
0
-2
1/9
Así, el resultado
medio del juego
sería 1/9,
suponiendo que
ambos jugadores
jugaran de
manera óptima.
1/3 5/9 1/9
En juegos de suma cero entre dos personas, el resultado máximo
que R puede asegurarse jugando al azar sería el resultado
mínimo de R que C se aseguraría jugando también al azar. 28
Juegos de suma cero entre dos personas (continuación)
zEn
principio, a R le sirve lo mismo jugar
siempre al azar que planear con cuidado
una estrategia cada vez.
zLa dualidad en la teoría de juegos fue
descubierta por Von Neumann y Morgenstern
(antes de la dualidad del PL).
z La estrategia en el juego se halla impregnada
por la idea de aleatoriedad.
30