Respuesta transitoria a lazo cerrado

Serie 8
Respuesta transitoria
a lazo cerrado
Función de transferencia de lazo cerrado
Gc
r(s)
u(s)
GLC(s) = GC GV GPH / (1 + GC GV GPH)
c(s)
GLC(s) = GU / (1 + GC GV GPH)
c(s)
Caso 1: Proceso de primer orden. Control proporcional.
La válvula y el transmisor tienen dinámicas muy rápidas.
La función de transferencia que relaciona la salida con el set point será:
K C KV K P K H
K C KV K P K H
c( s)
1 + K C KV K P K H
K LC
TP s + 1
=
=
=
TP
r ( s ) 1 + K C KV K P K H
s + 1 T ´s + 1
K C KV K P K H
TP s + 1
Se obtiene otro sistema de primer orden distinto al del proceso.
La única variable es KC. Los otros valores no pueden modificarse.
KC puede variar desde 0 hasta ∞. Por lo tanto, el máximo valor que podrá
alcanzar KLC es 1.
Como T´ es inversamente proporcional a KC, a medida que KC aumenta, T´
disminuye. Para valores muy grandes de KC, T´ tenderá a 0.
Supongamos ahora que se produce un salto escalón unitario en el valor deseado.
Offset: Error de estado estacionario: Diferencia entre el valor deseado y el
valor medido, en valor absoluto, a tiempo infinito (cuando el sistema alcanza
el nuevo estado estacionario).
KLC ∆X
OFFSET
c(t)
t
El offset disminuye a medida que aumenta KC.
El control proporcional siempre deja offset.
5,00
4,50
KK
LC ∆X
4,00
L
3,50
C3,00
KC aumenta
c(t)
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
1
2
3
4t
5
6
7
9
10
La función de transferencia que relaciona la salida con la perturbación será:
KU
KU
c( s )
1 + K C KV K P K H
K ´LC
TP s + 1
=
=
=
TP
u ( s ) 1 + K C KV K P K H
s + 1 T ´s + 1
TP s + 1
K C KV K P K H
La perturbación es un elemento de tipo indeseable, que puede ser de cualquier
tipo. En general se analiza el salto escalón.
Al aumentar KC, disminuye KU.
T´ es la misma que en el caso anterior, pues depende solamente de la
realimentación.
Cuando KC aumenta, T´ disminuye y la respuesta es más rápida.
Supongamos ahora que u sufre un salto escalón.
Offset: Error de estado estacionario: Diferencia entre el valor deseado y el
valor medido, en valor absoluto, a tiempo infinito (cuando el sistema alcanza
el nuevo estado estacionario).
En el caso de perturbación, el valor deseado es 0.
c(t)
OFFSET
0
t
El offset disminuye a medida que KC aumenta.
El control proporcional siempre deja offset.
4,50
c(t)
K4,00
L3,50
C3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
KC aumenta
0
0,00
0
1
2
3
4
t
5
6
7
9
10
En el denominador de la función de transferencia se hallan las raíces del
sistema transitorio. Haciendo la función de transferencia igual a cero, se
obtiene la ecuación característica.
Si las raíces son negativas, las respuestas están “acotadas”.
Si las raíces son negativas, aparecen exponenciales crecientes y las
respuestas están “no acotadas”.
Para KC = 0, la raíz es -1/TP. A medida que KC aumenta, la raíz se desplaza
hacia valores cada vez más negativos.
El sistema de primer orden a lazo cerrado siempre será estable.
I
KC → ∞
−∞
KC = 0
1
−
TP
R
Caso 2: Proceso y válvula de primer orden. Control proporcional.
El transmisor tiene dinámica muy rápida.
La función de transferencia que relaciona la salida con el set point será:
K C KV K P K H
(TP s + 1)(TV s + 1)
c( s )
K C KV K P K H
=
=
=
(TP s + 1)(TV s + 1) + K C KV K P K H
r ( s ) 1 + K C KV K P K H
(TP s + 1)(TV s + 1)
K C KV K P K H
=
=
2
TPTV s + (TP + TV ) s + 1 + K C KV K P K H
K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
=
(TP + TV )
TPTV
2
s +
s +1
1 + K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
El sistema obtenido es de segundo orden. Su comportamiento depende de las
raíces del denominador. El sistema podrá ser sobreamortiguado (ξ>1, raíces
reales y distintas; críticamente amortiguado (ξ=1, raíces reales e iguales) ó
subamortiguado (ξ<1 raíces complejas conjugadas).
K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
=
1 2 2ξ
s +
s +1
2
ωn
1
ωn 2
ωn
K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
TPTV
(TP + TV )
2
s +
s +1
1 + K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
TPTV
=
1 + K C KV K P K H
1 + K C KV K P K H
ωn =
TPTV
2ξ
(TP + TV )
=
ω n 1 + K C KV K P K H
TP + TV
ξ=
2TPTV
1
1 + K C KV K P K H
Hay que analizar cómo varían la frecuencia y el factor de amortiguamiento con KC .
 (TP + TV ) 2 
1
− 1
ξ > 1 → KC < 
 4TPTV
 KV K P K H
 (TP + TV ) 2 
1
ξ = 1 → KC = 
− 1
 4TPTV
 KV K P K H
 (TP + TV ) 2 
1
ξ < 1 → KC > 
− 1
 4TPTV
 KV K P K H
El offset disminuye a medida que aumenta KC, o sea, disminuye ξ. El offset se
eliminaría para KC infinita. En ese caso ξ =0, lo que significa raíces complejas
con parte real nula. Esto implica un sistema marginalmente estable (respuesta
oscilatoria de amplitud constante), lo que no es aceptable en ningún sistema.
Para valores bajos de KC, las raíces son reales negativas. A medida que aumenta
KC, las raíces van migrando de reales negativas a reales e iguales y a complejas
conjugadas. O sea, que salen del eje real negativo. La parte real se hace cada vez
menos negativa y la parte imaginaria comienza a aumentar. Para KC infinita las
raíces se ubican sobre el eje imaginario, en un valor acotado.
ξ =0
0 < ξ <1
ξ =1
I
El diagrama muestra que polos se
localizan siempre en el
semiplano izquierdo. Por lo
tanto, el sistema en lazo cerrado
es estable para cualquier KC.
KC = 0
−∞
1
−
TV
KC → ∞
s1 = −αj
KC = 0
R
1
−
TP
KC → ∞
s 2 = αj
Caso 3: Proceso de primer orden. Control proporcional + integral.
La válvula y el transmisor tienen dinámicas muy rápidas y ganancias unitarias.
La función de transferencia que relaciona la salida con la perturbación será:
KU
K
c( s)
TI s
=
=
1 2 2ξ
u ( s ) K C K P TPTI s 2 + (T + TI ) s + 1
s +
s +1
P
2
ωn
KC K P
KC K P
ωn
La frecuencia natural y el factor de amortiguamiento dependerán de KC y TI.
1
ωn 2
TPTV
=
KC K P
ωn =
KC K P
TPTV
2ξ
TI
= TP +
ωn
1 + KC K P

1  TP K C K P
TI
ξ= 
+

2
TI
TP K C K P 
Para distintas combinaciones de KC y TI, habrá diferentes sistemas de segundo
orden (ξ mayor, igual o menor que 1).
Si perturbamos el sistema con un salto escalón, la respuesta será:
KU
TI s
1
c( s ) =
K C K P TPTI s 2 + (T + TI ) s + 1 s
P
KC K P
KC K P
1
c( s ) = K 2 2
TA s + 2ξTA s + 1
1
TPTI
TA =
=
ωn K C K P
1
1
c(t ) = K
e
2
TA 1 − ξ
KU TI
K=
KC K P
−ξ
t
TA
t
sin(
1− ξ 2 )
TA
Por TVF, c(t), que es una variable desviación, vale 0 a tiempo infinito. El valor
de c(t) coincidirá con el valor de estado estacionario. El offset será 0.
Conclusiones sobre la acción integral:
1.- Aparece un polo en el origen, que es el responsable de que desaparezca el
error de estado estacionario. Por otra parte, aumenta el orden del sistema y
empeora la estabilidad del sistema.
2.- Para cualquier otro tipo de perturbación acotada, la variable controlada
adquiere su valor original. O sea, se elimina el offset.
3.- Para un KC fijo, un aumento de TI causa mayores desviaciones máximas,
pero reduce la velocidad de respuesta y la oscilación del sistema.
4.- Para un TI fijo, un aumento de KC mejora la respuesta porque reduce la
desviación máxima y la oscilación del sistema.
Caso 4: Proceso de primer orden. Control proporcional + derivativo.
La válvula y el transmisor tienen dinámicas muy rápidas y ganancias unitarias.
La función de transferencia que relaciona la salida con la perturbación será:
KU
KU
KC K P + 1
K LC
c( s)
TI s + 1
=
=
=
u ( s ) K K (1 + TD s ) + 1 ( K C K PTD + TP ) s + 1 T ´s + 1
C P
TP s + 1
KC K P + 1
K LC
KU
=
KC K P
K C K PTD + TP
T´=
KC K P + 1
KLC no depende de TD. Además T´ es mayor que TP. Por lo tanto, se empobrece la
respuesta al hacerse más lenta. Como conclusión, la acción derivativa no se
justifica en sistemas de primer orden.
En sistemas de segundo orden subamortiguados, la acción derivativa podría ser
útil para sobreamortiguarlo. La capacidad de amortiguar y bajar la rapidez de la
respuesta se usa para generar sistemas más robustos que los existentes sin control.