aplicación de los juegos cooperativos a problemas de abastecimiento

APLICACIÓN DE LOS JUEGOS COOPERATIVOS A
PROBLEMAS DE ABASTECIMIENTO
Miguel Ángel Hinojosa Ramos
Eulalia Romero Palacios
Departamento de Economía y Empresa. Universidad Pablo de Olavide.
Ctra. de Utrera, Km.1. 41013-SEVILLA.
Telf.: 954 349 356 Fax: 954 349 339
e-mail: [email protected]
RESUMEN
En este trabajo se aborda un problema de la Investigación Operativa: el Problema de
Abastecimiento. En concreto, estudiamos el Problema de Mantenimiento de una Red de
Abastecimiento desde la perspectiva de la Teoría de Juegos.
La situación objeto de análisis es la siguiente, un grupo de consumidores necesitan
abastecerse de determinado bien que les es suministrado por un único proveedor, para
ello estos consumidores utilizarán una red ya existente que los comunica con dicho
proveedor, cada tramo de esta red tiene un coste asociado que entenderemos como
coste de mantenimiento de dicho tramo de red. El problema que surge es cómo repartir
el coste total de mantenimiento de la red completa entre todos sus usuarios.
Se proponen diferentes reglas de reparto del coste total y se demuestra cómo éstas
coinciden con diferentes conceptos de solución que la Teoría de Juegos proporciona
para este tipo de problemas.
Palabras clave: Teoría de Juegos, Juegos Cooperativos, Problemas de Mantenimiento
de una Red de Abastecimiento.
ABSTRACT
In this study we consider a problem that has received much interest in the Operations
Research literature, which is the Maintenance Problem. In short, we study the
Maintenance Problem in a supply network from a game theoretic perspective.
The situation which is the object of analysis is the following. A group of consumers need
to be supplied of certain good that it is provided to them by a single supplier, these
consumers will use an already existing network which allows them to communicate
with this supplier. Each edge of this network has an associated cost that we interpret as
cost of maintenance of this network’s edge. The problem is how to allocate the total cost
of the maintenance of the network among the users.
We propose different rules of allocation of the total costs and we demonstrate how these
rules coincide with different solutions that game theory provides for this type of
problems.
Key Words: Game Theory, Cooperative Games, Maintenance Problems.
1
INTRODUCCIÓN
Presentamos a continuación una aplicación de la Teoría de Juegos Cooperativos a
problemas tradicionales de la Investigación Operativa. Son bien conocidos los modelos
matemáticos que ofrece la Investigación Operativa para resolver el tipo de situaciones
que planteamos, pero cuando en éstas están involucrados varios decisores esta teoría no
es suficiente y es aquí donde la Teoría de Juegos aporta una importante contribución.
Cuando un grupo de decisores convienen realizar juntos un proyecto para incrementar
sus beneficios o bien reducir el coste total del mismo se enfrentarán con dos problemas.
El primero de ellos, cómo ejecutar el proyecto de manera óptima, el segundo, cómo
repartir los beneficios o costes entre todos los participantes. Es muy fácil encontrar
ejemplos en los que la cooperación entre varios participantes de un mismo proyecto
supondría incrementar el beneficio total, o reducir de manera notable el coste total del
proyecto, y en los que esto finalmente no ocurre por no alcanzarse un acuerdo para
repartir los costes o beneficios entre los participantes. Son este tipo de situaciones las
que ayuda a solventar la Teoría de Juegos Cooperativos, los diferentes conceptos de
solución que se conocen pueden ser aplicados para determinar un método eficiente de
asignación de costes o beneficios.
Nos centraremos principalmente en el estudio de uno de los problemas más
comúnmente planteado en Investigación Operativa, el Problema de Abastecimiento. El
principal objetivo de este tipo de problemas es el de minimizar el coste total de
abastecer a varios consumidores de un determinado bien que suministra un único
proveedor. En trabajos anteriores hemos considerado que el coste asociado a cada tramo
de red era el coste de construcción de la red que conecta dichos consumidores con el
proveedor. En este trabajo supondremos que la red de abastecimiento ya está construida,
e interpretaremos el coste a minimizar como el coste de mantenimiento de la red que
comunica a los consumidores con el proveedor.
Observemos que esta nueva situación es notablemente distinta, pues si previamente
podíamos elegir, entre todos las posible vías de conexión, la que supusiese un menor
coste, en la situación que planteamos ahora existe para cada consumidor o cada grupo
de consumidores una única subred que lo conecta con el proveedor, cuyo coste de
mantenimiento además es fijo, así pues el problema se reduce a la búsqueda de repartos
del coste de mantenimiento de la red construida a priori que satisfagan las aspiraciones
de los consumidores.
Partiendo de esta base, proponemos el análisis de diversos conceptos de solución que
nos proporciona la Teoría de Juegos Cooperativos, como son el Núcleo, el Nucleolo, el
Valor de Shapley y el τ-Valor. Comprobando, además, que pueden ser caracterizados
por cómo establecen el coste asignado a cada jugador en función del coste de los
diferentes tramos de red que lo conectan con el proveedor. Lo que nos ofrece asimismo
la ventaja de que puedan ser calculados mediante sencillas reglas de reparto.
2
Concluimos con una exposición resumida de nuestras aportaciones y las posibles líneas
de investigación que del mismo se derivan. Ilustramos con ejemplos cada uno de los
diferentes apartados que se abordan en el trabajo.
PROBLEMAS DE MANTENIMIENTO DE UNA RED DE ABASTECIMIENTO.
Como avanzábamos, la idea que subyace a los problemas de mantenimiento es la
siguiente: un grupo de consumidores está conectado mediante una red fija al único
proveedor de determinado bien o servicio, de manera que para cada consumidor existe
una única vía que lo comunica con dicho proveedor, esta vía tiene un coste de
mantenimiento asociado. El problema que nos planteamos es cómo repartir de manera
justa el coste de mantenimiento de la red completa entre todos los usuarios.
La Teoría de Grafos proporciona herramientas muy útiles para el planteamiento de este
tipo de problemas en los que aparecen redes de conexión. En nuestro caso utilizaremos
grafos1 para definir las redes de abastecimiento que comunican al proveedor con los
diferentes consumidores. Así, describimos la situación que analizamos mediante una
terna (A,k,N) tal que:
-
A=(V,E) es un árbol2 que representará las conexiones posibles entre los
consumidores y la fuente.
k: E → IR+ es una función no negativa definida sobre el conjunto de las aristas
de A, que asigna a cada arista el coste de mantenimiento del tramo de red que
representa.
N={1,2,...,n} es un conjunto finito de consumidores, cada i ∈ N está localizado
en algún vértice de V, que notaremos también i y cada vértice de V, salvo aquél
en el que se encuentra el proveedor, que notaremos por 0, corresponde a un
único consumidor. A partir de ahora notaremos V=N0, siendo N0= N ∪ {0}.
Ejemplo: En el siguiente grafo representamos una red de abastecimiento con cuatro
usuarios.
1
Un grafo es un par (V,E) tal que V es un conjunto no vacío cuyos elementos se denominan vértices y E
es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V, {ij}, denominados aristas.
2
Un árbol es un grafo que no contiene ciclos.
3
Una vez establecida la red de distribución es necesario repartir el coste total de
mantenimiento de la misma entre los consumidores situados en los vértices, recordemos
que el proveedor no participa en este reparto de costes. Al efectuar este reparto hay que
tener en cuenta que, para que los agentes colaboren, no se puede imputar a ninguno de
ellos un coste mayor que el coste que le supondría a dicho agente el mantenimiento de
la red que lo abastece. De igual manera, para evitar que una subcoalición tenga
incentivos para abandonar una coalición mayor, habrá que impedir que la suma de los
costes imputados a cada consumidor, sea superior al coste total de mantenimiento de la
subred que abastece a todos miembros de dicha coalición.
JUEGO DE MANTENIMIENTO DE UNA RED DE ABASTECIMIENTO
La situación anterior puede formularse como un juego cooperativo de utilidad
transferible, que denominaremos Juego de Mantenimiento de una Red de
Abastecimiento, conocido en la literatura simplemente como Juegos de Mantenimiento
cuyo conjunto de jugadores es el conjunto de consumidores y cuya función
característica asocia a cada coalición el coste de mantenimiento del sistema de
distribución que abastece a todos sus miembros.
Definición: Dada una coalición S ⊆ N, S ≠ ∅ ;, el coste asociado por el Juego de
Mantenimiento de una Red de Abastecimiento, (N; c), será:
c(S) =
∑k
i∈VTS
i
siendo ki el coste de la arista incidente en el vértice i del único camino de la fuente al
vértice i del único árbol que conecta los miembros de S, TS, cuyo conjunto de vértices
denotamos por VTS .
Ejemplo (Continuación): La situación expuesta anteriormente daría lugar al siguiente
Juego de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento:
S
∅
{1}
{2}
{3}
{4}
{1,2}
{1,3}
{1,4}
c(S)
0
9
12
14
16
12
14
16
S
{2,3}
{2,4}
{3,4}
{1,2,3}
{1,2,4}
{1,3,4}
{2,3,4}
N
c(S)
17
19
16
17
19
16
19
19
En este tipo de juegos, algunos de los conceptos de solución que nos aporta la Teoría de
Juegos Cooperativos, como son: Núcleo, Nucleolo, Valor de Shapley y τ-Valor, se
pueden caracterizar por cómo establecen el coste asignado a cada jugador en función de
los tramos de red que lo conectan con el proveedor. Esto da lugar además a que dichas
soluciones se puedan calcular siguiendo sencillas reglas que describiremos a
continuación.
4
Núcleo
El Núcleo de un juego está compuesto por todos repartos de coste tales que ninguna
coalición puede proponer una alternativa en la que todos sus miembros mejoren su
situación.
En este tipo de juegos, el Núcleo está caracterizado por contener a todos aquellos
repartos de costes que asocien a cada jugador una parte proporcional del coste de
mantenimiento asociado a cada uno de los tramos de la red que utiliza para conectarse
con el proveedor.
La Asignación de Bird3, nos proporciona en este tipo de juegos un único reparto que
pertenece al Núcleo, por lo que el Núcleo de este tipo de juegos es no vacío.
Nucleolo
La idea del Nucleolo es buscar el reparto socialmente más justo en el sentido de que la
coalición que resulte más desfavorecida en el reparto esté lo menos perjudicada posible,
la siguiente coalición más desfavorecida esté lo menos posible, y así sucesivamente.
Podemos calcular el Nucleolo de este tipo de juegos a través de una regla que nos indica
qué proporción asignar del coste de mantenimiento de cada tramo de red a cada uno de
los consumidores que lo utilizan, de esto se deduce que el Nucleolo nos proporciona un
reparto del Núcleo4.
La regla de reparto que da lugar al Nucleolo establece que cada jugador deberá pagar
parte del mantenimiento de cada uno de los tramos de la red que lo conectan con la
fuente, de manera que, si un jugador está conectado directamente al proveedor,
compartirá, a partes iguales, el coste de este único tramo de red que necesita para
abastecerse con aquellos jugadores que utilizan a su vez un único tramo para conectarse
a él.
Si el jugador no está conectado directamente al proveedor, irá pagando las mismas
cantidades que todos los jugadores cuya subred él utiliza para abastecerse. Estos pagos
recaerán en el mantenimiento de los tramos de la subred del jugador que los paga que
están más próximos al proveedor.
3
El reparto propuesto por Bird es aquel que asigna a cada usuario de la red de abastecimiento el coste de
mantenimiento del ultimo tramo que lo conecta con el proveedor, entendiendo por tal la arista incidente
en el vértice que lo representa.
4
Este resultado también resulta de considerar que el Núcleo de este juego no vacío, y por tanto el
Nucleolo es un reparto del Núcleo.
5
Así hasta que, para terminar de pagar el coste total de mantenimiento de su subred sólo
reste una parte del último tramo que utiliza, cuyo coste compartirá, a partes iguales, con
aquellos jugadores que sólo utilizan un tramo para conectarse a su subred5. A partir de
este momento el jugador no tendrá ningún coste más asignado.
En el caso de que un jugador no comparta su último tramo de red con otros jugadores, le
será asignado el coste completo del mantenimiento de este tramo que él únicamente
utiliza.
Valor de Shapley
El reparto que propone el Valor de Shapley asigna a cada jugador el promedio de sus
contribuciones marginales a cada posible coalición.
En este tipo de juegos, las contribuciones marginales de un jugador se entienden como
el coste que supone a una coalición la incorporación de dicho jugador, y vienen
determinadas por la suma de los costes de los tramos de red que lo conectan, bien
directamente con el proveedor, bien con otro jugador de la coalición ya conectado con
el proveedor.
Así, si un jugador decide empezar a formar una coalición, en principio ha de pagar el
mantenimiento de todos los tramos de red que lo conectan a la fuente. Sin embargo, si
decide unirse a una coalición de un único jugador deberá aportar el pago de todos los
tramos de red que lo conectan a la fuente, salvo aquellos que hayan sido costeados por
el jugador que inició la coalición. Por tanto, si consideramos sucesivamente todos los
posibles órdenes de llegada de un jugador a las coaliciones, observamos que cada
jugador deberá pagar una parte del mantenimiento cada uno de los tramos de red que
necesita para llegar hasta el proveedor. Es más, como no podemos diferenciar los
usuarios de un mismo tramo de red, dicha proporción a pagar será igual para cada uno
de ellos.
Se deduce, por tanto, que en un Juego de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento
el Valor de Shapley nos proporciona una asignación del coste total de la red de
distribución tal que el coste de cada arista se reparte a partes iguales entre todos los
usuarios de la misma.
Debido a la caracterización establecida anteriormente para el Núcleo podemos asegurar
que el Valor de Shapley de este tipo de juegos es un reparto del Núcleo6.
5
Entendemos por subred al único camino contenido en el árbol que define el problema, que conecta la
jugador con el proveedor.
6
Esto se deduce directamente al considerar los Juegos de Mantenimiento de una Red de
Abastecimiento como caso particular de los Juegos de Creación de una Red de Abastecimiento
6
τ-Valor
El τ-Valor busca un compromiso entre los mínimos costes a los que aspiran los
jugadores y los máximos costes que éstos están dispuestos asumir. El τ-Valor de un
juego es una asignación eficiente entre los valor mínimos y máximos que podrían
obtener los jugadores si aceptasen repartos del núcleo del juego.
El Teorema que demostramos a continuación establece que en un Juego de
Mantenimiento de una Red de Abastecimiento el τ-Valor se puede calcular mediante
una sencilla regla que define el reparto de costes a partir de una diferenciación de los
jugadores, en función de la posición que ocupen en el árbol que define la red de
abastecimiento. Para probar este resultado introducimos el concepto de Jugadores
Extremos.
Notación: Para cada coalición S, S ⊆ N, denominaremos Jugadores Extremos en S, que
notaremos por E(S), al conjunto de jugadores de S, que utilizan un tramo de red en
exclusiva, esto es:
i ∈ E(S) ⇔ j ∈ N; i ∉ VT j
siendo VT j el conjunto de vértices del único camino que conecta al vértice j con la
fuente, en el árbol que define la red.
Teorema: El τ-Valor del juego de mantenimiento de una red de abastecimiento (N,c)
viene determinado por τ(N,c) = (τ1, τ2,..., τn), siendo:
1
 n
τi = 
1

 n
∑k
j
si i ∉ E(N)
∑k
j
+ k i si i ∈ E(N)
j∉E ( N )
j∉E ( N )
Demostración: Consideremos un jugador cualquiera i ∈ N , su Mínimo Coste Aspirable
vendrá dado por: miτ ( N , c) = c( N ) − c( N / i )
∑ k j

siendo c( N ) = ∑ k i y c( N / i ) =  j∈N
i∈N
 ∑k j
 j∈N / i
0
luego miτ ( N , c) = 
 ki
si i ∉ E(N)
si i ∈ E(N)
,
si i ∉ E(N)
si i ∈ E(N)
7
Por otra parte el Máximo Coste Asumible por dicho jugador i ∈ N será:




M iτ ( N , c) = máx c( S ) − ∑ miτ ( N , c) = máx c( S ) − ∑ k j 
S⊆N
j∈S / i
j∈E ( S ) / i 
 Si⊆∈SN 
i∈S 
En un Juego de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento este máximo se alcanza
en la gran coalición7, esto es: M iτ ( N , c) = c( N ) −
 ∑kj

por tanto, M i ( N , c) =  j∉E ( N )
 ∑ k j + ki
 j∉E ( N )
∑k
j
j∈E ( N ) / i
si i ∉ E(N)
τ
si i ∈ E(N)
y la asignación del τ -Valor para el jugador i ∈ N será: τ i = (1 − α )miτ + αM iτ , siendo
α∈[0,1] el único valor que hace el vector τ(N,c) = (τ1, τ2,..., τn) eficiente, esto es, que:
∑τ i = c(N ) .
i∈N
Concluimos que, en este tipo de juegos, el τ-Valor es una regla de asignación de costes,
que reparte en primer lugar el coste de los tramos que son utilizados por más de un
consumidor, no necesariamente por todos, entre todos los usuarios de la red a partes
iguales. Una vez repartido este coste, resta asignar es el coste de mantenimiento de los
tramos de la red que son utilizados por un único consumidor, el τ-Valor establece que
cada uno debe asumir el coste total del tramo que únicamente él utiliza.
7
Veámoslo por reducción al absurdo, supongamos que ∃S 0 ⊂ N , i ∈ S0 , S0 ≠ N ,
c( S0 ) −
∑k
j
j ∈E ( S 0 ) / i

= máx c( S ) −
S⊆N
i∈S 
tal que

∑k ,
j
j ∈E ( S ) / i

sea m ∈ N / S0 , podemos asegurar su existencia porque S 0 ≠ N .
Consideremos en primer lugar que m ∈ E ( N / S0 ) :
c ( S 0 ∪ m) −
∑k
j
j ∈E ( S 0 ∪ m ) / i
= c ( S 0 ∪ m) −
∑k
j
j∈E ( S 0 ) / i
− km ≥ c( S0 ) + km −
∑k
j
j ∈E ( S 0 ) / i
− km = c( S0 ) −
∑k
j
j∈E ( S 0 ) / i
por lo que llegamos a contradicción con que, en la coalición S0 , se alcance el máximo.
Consideremos ahora que m ∉ E ( N / S0 ) :
c ( S 0 ∪ m) −
∑k
j
j∈E ( S0 ∪m ) / i
= c ( S 0 ∪ m) −
∑k
j
j∈E ( S0 ) / i
≥ c( S0 ) + km −
∑k
j
j∈E ( S0 ) / i
≥ c( S0 ) −
∑k
j
j∈E ( S0 ) / i
, por lo
que llegamos de nuevo a contradicción, de lo que se deduce que el máximo se alcanza en N.
8
Ejemplo (Continuación): En la tabla que aparece a continuación aparecen los
diferentes repartos estudiados para el Juego de Mantenimiento de una Red de
Abastecimiento planteado anteriormente:
Asignación de Bird
Nucleolo
(9,3,5,2)
(3,6,4,6)
Valor de Shapley
(94,214 ,194 ,274 )
τ-Valor
(144 ,264 ,144 ,224 )
CONCLUSIONES.
La aplicación de los juegos cooperativos al reparto de costes ha sido una de las
cuestiones más ampliamente estudiada en la literatura de los últimos tiempos. En este
trabajo hemos analizado uno de los problemas más planteados en Investigación
Operativa, el Problema de Abastecimiento, cuyo principal objetivo es el de minimizar el
coste total de abastecer a varios consumidores de un determinado bien que suministra
un único proveedor.
Nos hemos centrado en el caso en el que la red de abastecimiento ya esté construida,
Problema de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento, en este tipo de situaciones
definimos reglas de reparto de costes que coinciden con los conceptos de solución que
la Teoría de Juego nos ofrece en este tipo de situaciones, y que, en el caso del τ-Valor,
no habían sido definidas previamente.
FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
Entendemos que este trabajo abre nuevos interrogantes que serán objeto de futuras
investigaciones, algunas de estas cuestiones son las siguientes:
-
La descripción de una expresión matemática para la regla que define el Nucleolo en
los Problemas de Mantenimiento de una Red de Abastecimiento, como al estudiada
para el caso del τ-Valor.
-
Aplicar el estudio realizado en este trabajo a la reciente aplicación de la Teoría de
Juegos a los modelos de control de inventario, considerando que estos modelos
incluyan el coste del recorrido que se tiene que realizar para abastecer a cada
consumidor, lo que derivaría en un nuevo planteamiento de los Problemas de
Abastecimiento.
9
BIBLIOGRAFÍA.
-
-
-
Bird, C. G. (1976), On cost allocation for spanning tree. A game theoric
approach. Networks 6, 335-350.
Borm, P., Hamers, H. and Hendrickx, R. (2001), Operation Research Games: A
survey. TOP Vol.9, N. 2, 139-216.
Curiel, I. J. (1997), Cooperative game theory and applications. Kluwer
Academic Publishers.
Granot, D. and Granot, F. (1992a), On some network flow games. Mathematics
of Operation Research 17, 792-841.
Granot, D. and Granot, F. (1992b), On the computational complexity of a cost
allocation approach to a fixed cost spanning forest problem. Mathematics of
Operation Research 17, 765-780.
Granot, D., Maschler, M., Owen, G. and Zhu W. (1996), The Kernel Nucleolus
of a standard fixed tree games. International Juornal of Game Theory 25, 219244.
Littlechild, S. and Owen, G. (1973). A simple expression for the Shapley value
in a special case. Management Science 20, 370-372.
Littlechild, S. (1974), A simple expression for the nucleolus in a special case.
International Juornal of Game Theory 3, 21-29.
Prim, R. (1957), Shortest connection networks and some generalizations. Bell
Systems Technical Journal 36, 1389-1401.
Shapley, L. S. (1967), On balanced sets and cores. Naval Research Logistics.
Quarterly, Vol 14, 453-460.
10