Estadstica I, 2014-1 Tarea 2A. Precede a examen 2

Estadstica I, 2014-1
Tarea 2A. Precede a examen 2
Profesor: Dra. Guillermina Eslava, [email protected],
Ayudante: Ricardo Samaniego, ric182 [email protected].
Grupo 9085, Saln Yeliscalli 203, Lu-Vie, 10 a 11 hrs.
Grupo 9295, Saln P118, Lu-Vie, 16 a 17 hrs.
La tarea resuelta de forma individual se recibirá el viernes 25 de octubre y se devolverá
calificada el martes 29 también a la hora de clase.
Examen: jueves 31 de octubre.
1. Demuestre que, bajo condiciones de regularidad, se cumple la siguiente igualdad:
d2
d
ln
f
(x;
θ)]
=
E[(
ln f (x; θ))2 ].
2
dθ
dθ
2. Supongamos que E[θˆ1 ] = E[θˆ2 ] y que V ar[θˆ1 ] = σ1 , V ar[θˆ2 ] = σ2 , con θ̂1 independiente de θ̂2 . Se define el estimador siguiente:
−E[
θˆ3 = αθˆ1 + (1 − α)θˆ2
0 ≤ α ≤ 1.
i) ¿ Es θˆ3 un estimador insesgado para θ?
ii) ¿ Para qué valor de la constante α se minimiza la varianza de θˆ3 ?
iii) ¿ Para qué valor de la constante α se minimza la varianza de θˆ3 si ahora θˆ1 y θˆ2
no son independientes pero son tales que Cov(θˆ1 , θˆ2 ) = c 6= 0.
3. Considere una m.a.i.i. de n observaciones independientes x1 , ..., xn de una distribución
f (x) = θ2 x exp {−θx}, 0 ≤ x < ∞, θ > 0.
P
Considere a θ̂ = (2n − 1)/ ni=1 xi como un estimador del parámetro θ. Considere el caso
particular n = 1 y conteste lo siguiente.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Encuentre E(θ̂)
Encuentre la CICR para V (θ̂).
Exhiba la informacin de Fisher Iθ .
Usando Iθ calcule V (θ̂).
Calcule directamente V (θ̂) y compare con iv).
4. Considere una m.a.i.i de observaciones x1 , ..., xn de una distribución
f (x) =
1
xp−1 exp {−x/θ},
Γ(p)θp
p > 0; 0 ≤ x < ∞
Considere a θ̂ = x̄/p como un estimador del parámetro θ suponiendo p conocido.
1
i)
ii)
iii)
iv)
Encuentre E(θ̂).
Encuentre la CICR para V (θ̂).
Exhiba la información de Fisher para θ.
Si θ̂ es un estimador de varianza mı́nima, muestre V (θ̂).
5. Considere una m.a.i.i de observaciones independientes x1 , ..., xn de una distribución
Sea x1 , ..., xn una secuencia de v.a.i.i. con ditribución Binomial(m, p) Considere a
P
xi
como un estimador del parámetro p.
p̂ = ni=1 mn
i)
ii)
iii)
iv)
Encuentre E(p̂).
Encuentre la CICR para V (p̂).
De la información de Fisher contenida en {x1 , ..., xn } para p, Ip .
Si p̂ es un estimador de varianza mı́nima, de la expresin de V (p̂).
6. Dada una m.a.i.i de n observaciones {x1 , ..., xn } de una distribución Cauchy:
f (x) =
1
π[1 + (x − θ)2 ]
− ∞ < x < ∞, −∞ < θ < ∞.
Muestre que la CICR de la varianza de un estimador θ̂ insesgado es igual a 2/n.
7. Sea {x1 , ..., xn } una m.a.i.i de n observaciones independientes de una distribución
P oisson(λ).
λx
x : 0, 1, ...
P [X = x] = exp{−λ}
x!
P
Considere a λ̂ = n1 ni=1 xi como un estimador de λ.
i) Calcule E(λ̂)
ii) Encuentre la CICR para V (λ̂)
iii) Considere a exp{λ̂} como un estimador de exp λ = P [X = 0]. Calcule E(exp{λ̂}).
P
Hint: observe que y = ni=1 xi tiene una distribución P oisson(nλ).
iv) Calcule V (exp{λ̂}).
8. Sea x una v.a. con función de densidad
f (x; θ) = θf1 (x) + (1 − θ)f2 (x),
donde 0 < θ < 1 y f1 y f2 son funciones de densidad especı́ficas cuyo rango de variación
no dependen de θ. Demuestre que la cota inferior de Cramér y Rao al estimar θ con
una muestra de n observaciones independientes (generalmente no se alcanza) es igual a
θ(1 − θ)/{n(1 − I)}, donde
Z ∞
f1 (x)f2 (x)
I=
dx.
f (x; θ)
−∞
Hint: Exprese a (f1 − f2 )2 en trminos de (f − f1 )(f − f2 ).
9. Sea X1 , ..., Xn v.a.i.i.d. con fdp f (x; θ) =
2
1
θ
0 < x < θ.
i) Encuentre la CICR. de la varianza de un estimador insesgado de θ.
)Yn , es un
ii) Ahora considere el estimador Yn = max(X1 , ..., Xn ), muestre que ( n+1
n
estimador insesgado para θ y calcule su varianza.
iii) ¿Por qué la varianza de este estimador es menor que la cota inferior de Cramér y
Rao?
10. Considere a {x1 , ..., xn } como una m.a. de n observaciones independientes de una
Q
distribución Beta(α, β) con α > 0 y β = 2. Muestre que el producto ni=1 xi es una
estadı́stica suficiente para α.
f (xi ) =
Γ(α + β) α−1
xi (1 − xi )β−1 , 0 < xi < 1, i = 1, ..., n
Γ(α)Γ(β)
11. Sea x1 , x2 , ..., xn una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución geométrica
con función de densidad dada por:
f (x; θ) = θ(1 − θ)x ,
Pruebe que
Pn
i=1
x = 0, 1, 2, ...
Xi es una estadı́stica suficiente para θ.
12. Pregunta que involucra a la familia exponencial, por entregarse.
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