Fundamentos Matemáticos II Tema 2: N´umeros Reales

Fundamentos Matemáticos II Tema 2: Números
Reales
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
E.T.S.I. Telecomunicación, U.P.M.
[email protected]
Septiembre 2009
Índice
1. Axiomas algebraicos de R
1
2. Axiomas de orden de R
3
3. Enteros y racionales
6
4. El axioma de completitud
9
1.
Axiomas algebraicos de R
Axiomas de la suma
Sea R un conjunto y definamos una operación de composición interna suma
+ : R → R sobre las que postulamos los siguientes axiomas:
A1. ∃0 ∈ R : ∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a;
A2. ∀a ∈ R ∃a0 ∈ R : a + a0 = a0 + a = 0;
A3. ∀a, b, c ∈ R, (a+b)+c = a+(b+c);
A4. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a;
Obsérvese que el elemento 0 postulado en A1. es único, ya que si 00 es otro
tal elemento, entonces 0 = 0 + 00 = 00 . Denominamos a este elemento cero.
El elemento a0 cuya existencia se postula en A2. es también único ya que si
c también es tal que a + c = c + a = 0, entonces, sumando a0 a ambos lados
tenemos (a + c) + a0 = (c + a) + a0 , es decir 0 + a0 = c + (a + a0 ), o sea
a0 = c + 0 = c. Este elemento se denota −a y se denomina opuesto de a.
Ası́, la sustracción se introduce tomando (a − b) := (a + (−b)).
Dados x1 , x2 , . . . , xn ∈ R es posible construir su suma, empleando repetidamente A3, como (x1 + · · · xn−1 ) + xn y usando repetidamente A3 y A4
mostrar inductivamente que dicha suma no depende del orden. Ası́ el sı́mbon
X
lo
xj := x1 + · · · + xn está bien definido.
j=1
Axiomas del producto
Sea R un conjunto y definamos una operación de composición interna producto
· : R → R sobre las que postulamos los siguientes axiomas:
P1. ∃e ∈ R − {0} : ∀a ∈ R, a · e = e · a = a;
P2. ∀a ∈ R − {0} ∃a0 ∈ R : a · a0 = a0 · a = e;
P3. ∀a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c);
P4. ∀a, b ∈ R, a · b = b · a;
De nuevo, el elemento e postulado en P1 es único (ejercicio). Denominamos
a este elemento elemento unidad.
Análogamente, el elemento a0 cuya existencia se postula en P2 es también
único (ejercicio). Este elemento se denota a−1 y se denomina inverso de a.
Nótese que el inverso de cero NO ESTA DEFINIDO
Como con laQsuma, dados x1 , x2 , . . . , xn ∈ R es posible construir su producto como nj=1 xj := x1 · · · xn . En particular, un número a multiplicado
por sı́ mismo n veces es an := a · a · · · a. Si a 6= 0 definimos a0 := 1 y,
entonces, param, n ∈ N tenemos am+n = an + am . Finalmente, definimos
m
a−m := a−1 .
Suele
a escribirse ab en lugar de a · b, y la división se introduce tomando
:= ab−1 . Si a 6= 0 escribimos también a−1 = a1 .
b
Suma y producto: Axioma de distributividad
En R las dos operaciones suma + : R → R y producto · : R → R se
relacionan mediante el siguiente axioma de distributividad:
AD. ∀a, b, c ∈ R, (a + b) · c = a · c + b · c.
Ahora se ha de tener que ∀x ∈ R, 0x = 0, ya que 0x + x = 0x + ex =
(0 + e)x = ex = x. Y sumando −x a ambos lados tenemos 0x = 0.
También, a partir de que −e + e = 0, podemos demostrar que (−e)(−e) = e
y, que entonces, también ∀x, y ∈ R, (−x)(−y) = xy (ejercicio).
Es posible generalizar, por inducción, la distributividad a varios factores.
Ası́, es posible probar x (y1 + y2 + · · · + yn ) = xy1 + xy2 + · · · + xyn .
2
Y aún más,
Pn (x1 + · · · + xm )(y1 + · · · + yn ) = x1 y1 + · · · +
P escribir
el ordenP
de la suma
es irrelevante, esto
xmP
yn = P m
i yj , donde
j=1 x
i=1
Pm
P
m
n
n Pm
n
es i=1 j=1 xi yj = j=1 i=1 xi yj = j=1 yj ( i=1 xi ).
Estructuras algebraicas
El hecho de que R verifique los axiomas A1–A4 se resume diciendo que el
conjunto (R, +) tiene estructura de grupo abeliano.
Análogamente decimos que (R − {0} , ·) con los axiomas P1–P4 tiene también estructura de grupo abeliano.
Los axiomas de la adición A1–A4 junto con los del producto P1–P4 y el
axioma de distributividad AD confieren al conjunto (R, +, ·) la estructura de
un cuerpo conmutativo.
Es importante destacar que mediante estos axiomas es posible probar todas las
propiedades de las operaciones de R que son conocidas.
2.
Axiomas de orden de R
Axiomas de orden
Suponemos dado un subconjunto P ⊂ R que denominaremos conjunto de los
elementos positivos de R y sobre el que postulamos los siguientes axiomas:
ORD1. ∀x ∈ R, (x ∈ P ) ∨ (−x ∈ P ) ∨ (x = 0) y las tres son excluyentes
ORD2. ∀x, y ∈ P, (x + y ∈ P ) ∧ (xy ∈ P ).
Obsérvese que inmediatamente deducimos de estos axiomas que, como e 6=
0 y como ya sabemos e = e2 = (−e)2 entonces, como o bien e ∈ P o
bien −e ∈ P , tenemos que ha de ser e ∈ P y, por tanto e es positivo. Por
inducción sobre n, es fácil ver que e + · · · + e (la suma n-veces) es también
positivo.
Un elemento x ∈ R tal que x ∈
/ P ∧ x 6= 0 se dice negativo. Ası́, si x, y son
negativos, entonces, xy es positivo, mientas que si uno de los dos factores es
negativo, el producto es negativo. (ejercicio).
Por lo tanto, si x ∈ R, x 6= 0 se tiene x2 ∈ P y si x ∈ P (y por tanto x 6= 0)
se tiene que x−1 es positivo, ya que xx−1 = e y e ∈ P .
Desigualdades
Definimos
1. (x > 0) := (x ∈ P ) y también
3
2. (x < y) = (y > x) := (y − x) ∈ P , esto es y − x > 0.
Entonces, x < 0 significa que x es negativo (ejercicio)
Es fácil ahora verificar las conocidas relaciones para las desigualdades. Sean
x, y, z ∈ R Entonces:
DS1.
DS2.
DS3.
DS4.
x<y∧y <z
x<y∧z >0
x<y
x < y ∧ x, y > 0
⇒x<z
⇒ xz < yz
⇒x+z <y+z
⇒ x1 < y1
En efecto, si x < y es que y − x > 0 o sea y − x ∈ P . Pero entonces,
ya que z > 0, y por tanto, z ∈ P , se tiene, (y − x)z = (yz − xz) ∈ P ,
es decir yz − xz > 0, es decir xz < yz, o sea, tenemos DS2. Las otras
demostraciones se proponen (ejercicio)
Si x, y ∈ R se define x 6 y := (x < y)∨(x = y). Es fácil entonces verificar
que DS1, DS2, DS3 se verifican sustituyendo < por 6 en todas partes.
También es fácil ver que (x 6 y) ∧ (y 6 x) ⇒ x = y (ejercicio)
Aplicación del orden: la raı́z cuadrada
Sea a ∈ R. Nos preguntamos si puede existir un x ∈ R tal que x2 = a y si es
ası́, ¿cuántos de ellos puede haber?
Si a < 0 no existe tal x (¿por qué?)
Si a = 0, entonces x2 = 0 y entonces x = 0 (Ya que ∀x, y ∈ R, x, y 6= 0 ⇒
xy 6= 0. pruébese)
Si a > 0 y suponemos que x, y ∈ R son dos reales tales que x2 = y 2 = a,
entonces x2 −y 2 = 0 y entonces (como ∀x, y ∈ R, (x+y)(x−y) = x2 −y 2 .
pruébese usando los axiomas) se tiene que (x + y)(x − y) = 0, es decir, o
bien x = −y o bien x = y.
Ahora, como x2 = a, también (−x)2 = a, por lo que si existe x tal que x2 =
a, vemos que existen exactamente dos elementos distintos cuyo cuadrado es
a, esto es x, y −x. De ellos, uno y sólo uno es positivo, el cuál, si existe, se
√
define como a.
√
Ası́ la raı́z cuadrada de a, denotada a, si existe, es el único número positivo
cuyo cuadrado es a.
√
√ √
Definimos
0
=
0.
Además,
observemos
que
si
a, b existen, entonces,
√
√
√ √
ab existe y se tiene ab = a b (ejercicio).
4
El valor absoluto
Para todo x ∈ R definamos su valor absoluto |x| como
√
|x| ≡ x2 .
Observemos que |x| es el único real z > 0 tal que z 2 = x2 .
También vemos que |x|=|−x| y que
x, x>0
|x| ≡
−x , x < 0.
El valor absoluto satisface las siguientes propiedades:
VA1. ∀x ∈ R, |x| > 0, y |x| = 0 ⇒ x = 0;
VA2. ∀x, y ∈ R, |xy| = |x||y|;
VA3. ∀x, y ∈ R, |x + y| 6 |x| + |y|.
A partir de éstas, es posible deducir otras importantes cuyo enunciado y demostración se proponen en los ejercicios.
Intervalos de R
Sean x e y dos números reales tales que x < y. Se definen los intervalos
1. Abiertos (x, y) ≡ {r ∈ R | x < r < y}
2. Cerrados [x, y] ≡ {r ∈ R | x 6 r 6 y}
3. Semi-abiertos o semi-cerrados
(x, y] ≡ {r ∈ R | x < r 6 y}
[x, y) ≡ {r ∈ R | x 6 r < y}
En todos los casos, a la cantidad (y − x) se la denomina longitud del intervalo,
nomenclatura que será justificada más abajo.
Propiedad de acotación
Proposición 2.1. Sea a ∈ R y a > 0, entonces, que |x| 6 a equivale a que
−a 6 x 6 a.
Demostración. De la definición tenemos que − |x| 6 x 6 |x|, ya que o bien
x = |x| o bien x = − |x| . Supongamos primero que |x| 6 a. Entonces tendremos
que −a 6 − |x| 6 x 6 |x| 6 a, y a fortiori tendremos que −a 6 x 6 a.
Recı́procamente, supongamos que −a 6 x 6 a. Claramente hay dos casos:
5
1. Supongamos x > 0 ; entonces se tiene, por definición de valor absoluto y
aplicando la hipótesis, que |x| = x 6 a.
2. Supongamos x < 0 ; entonces análogamente al caso anterior se tiene que
|x| = −x 6 a. Es decir, en ambos casos deducimos que |x| 6 a.
Ası́, mediante la anterior propiedad, podemos acotar un número real mediante
el valor absoluto de otro, lo cual emplearemos con profusión en capı́tulos posteriores.
3.
Enteros y racionales
R “contiene” a Z+ como subconjunto
Hasta ahora hemos mantenido una distinción entre e, el neutro del producto en
R, y 1 ∈ N. Nuestro objetivo es ver que podemos identificar los naturales como
ciertos números reales. La mayorı́a de las demostraciones serán relegadas a los
ejercicios, ya que son esencialmente rutinarias.
Definimos la función f : Z+ → R, tal que n 7→ f (n) = ne := e + e +
· · · + e, la suma n–veces. Ası́, 1 7→ e. Podrı́amos igualmente haber definido
inductivamente f (n) como f (1) = e y ∀n > 1, f (n + 1) := (f (n) + e) =
ne + e.
Entonces puede comprobarse que :
1. ∀m, n ∈ Z+ (m + n)e = me + ne (por inducción sobre n), es decir
f (m + n) = f (m) + f (n).
2. Ya que como se ha visto e > 0, entonces ne > 0 (inducción). Ası́,
entonces ne 6= 0.
3. Si m 6= n entonces f (m) 6= f (n), es decir, f es inyectiva.
4. ∀m, n ∈ Z+ f (nm) = f (n)f (m) (inducción sobre n)
5. ∀m, n ∈ Z+ si n > m es que existe k ∈ Z+ tal que n = m + k.
Entonces, ∀m, n ∈ Z+ si n > m se tiene f (n) > f (m).
Por tanto tenemos una función inyectiva f : Z+ → R que preserva las
operaciones algebraicas y el orden en Z+ 1 .
1
En nomenclatura algebraica, un isomorfismo.
6
Los números enteros Z
De lo anterior se deduce que podemos identificar e con 1 y no hacer ninguna
distinción entre el elemento n ∈ Z+ y el real ne ∈ R.
En esta lı́nea definimos:
Definición 3.1. Denotamos mediante Z ⊂ R al conjunto formado por los
reales que “son” (vı́a la anterior identificación) enteros positivos, cero, y
sus opuestos. Ası́, podemos escribir:
Z := {x ∈ R | x = n ∨ x = 0 ∨ x = −n para algún n ∈ Z+ }.
Es claro que si x, y ∈ Z entonces, x + y ∈ Z y también xy ∈ Z. Llamamos
a Z el conjunto de los números enteros.
Observemos que (Z, +) satisface todos los axiomas A1–A4, por lo que tenemos un grupo abeliano. También (Z, ·) verifica P1, P3 y p4, pero no P2 (¿por
qué?). En este caso, aunque no tenemos un cuerpo, decimos que (Z, +, ·) tiene estructura de anillo conmutativo2
.
Los números racionales Q
El conjunto de los reales del tipo m · n−1 , donde m ∈ Z y n ∈ Z − {0} , se
denomina Conjunto de los Números Racionales y se denota Q .
m
El racional m · n−1 suele escribirse también como
y se dice que m es el
n
numerador mientras que n es el denominador.
Observemos que si k ∈ Z − {0} entonces:
mk
:= (mk) (nk)−1 = (mk) k −1 n−1 = m kk −1 n−1 = m1n−1 = mn−1 .
nk
Ası́, las fracciones
m mk
y
representan el mismo número racional.
n nk
Puesto que ∀m ∈ Z, m = m · 1−1 tenemos obviamente Z ⊂ Q.
Por ello, si fuera necesario, multiplicando el numerador o el denominador
m
por (−1) , puede aceptarse que para todo racional
, m ∈ Z y n ∈ Z+ y
n
también, simplificando los divisores comunes, todo racional puede reducirse
p
a la forma , donde p ∈ Z y q ∈ Z+ y p y q son primos entre si. Se dice,
q
p
m
entonces, que es la forma irreducible del racional .
q
n
2
De hecho se trata de un anillo euclı́deo, en el que existe un algoritmo de división y descomposición única, salvo orden, en factores primos
7
Propiedades de racionales
Empleando el Teorema Fundamental de la Aritmética puede demostrarse que
m
p m0
p
si
=
y 0 =
entonces ha de existir un k ∈ Z tal que, o bien
n
q
n
q
m0 = km y n0 = kn, o bien m = km0 y n = kn0 , de modo que dos
racionales son iguales si, y sólo si, sus numeradores y denominadores son
proporcionales.
Mediante los axiomas pueden probarse las siguientes propiedades, bien conocidas:
m p
mq + np
1.
+ =
,
n
q
nq
m p
mp
2.
· =
,
n q
nq
−m
m
,
3. − =
n
n
m −1
n
4.
= ,
n
m
m
p
5.
6
∧ (n, q ∈ Z+ , ) ⇔ (mq 6 np) ,
n
q
6. (r, s ∈ Q ) ∧ (r < s) ⇒ ∃t ∈ Q | (r < t < s) ,
7. No existe un racional s tal que ∀r ∈ Q , r 6 s, ni tampoco existe un
racional t tal que ∀r ∈ Q , t 6 r.
El cuerpo Q
Es claro que, 0 =
0
1
∈Q y1=
1
1
∈Q.
Es fácil deducir de las propiedades anteriores que la suma y el producto y el
opuesto y el inverso de racionales son racionales (ejercicio)
Como Q ⊂ R ,, entonces (Q, +, ·) verifica todos los axiomas. Entonces r que
Q es un cuerpo, también ordenado. Por tanto, R no es el único ejemplo.
Proposición 3.1. No existe un racional x ∈ Q tal que x2 = 2.
Demostración. (Esquema) Pruebe que:
1. El cuadrado de un par es par y que el cuadrado de un impar es impar.
2. Si existe pq ∈ Q tal que x2 = 2 y
han de ser pares; contradicción.
Ası́, si
p
q
es irreducible, entonces tanto p como q
√
2 existe en R, no puede ser racional.
8
4.
El axioma de completitud
Definición 4.1. Sea X un conjunto ordenado. Se dice que :
i) a ∈ X es un mı́nimo de X si ∀x ∈ X, (a 6 x) , y se denota: a = mı́n X = mı́n
x∈X
x;
ii) b ∈ X es un máximo de X si ∀x ∈ X, (x 6 b) , y se denota: b = máx X = máx
x∈X
x.
Observemos que si un conjunto ordenado X tiene máximo (mı́nimo) éste es
único.
Demostración. (ejercicio). Sugerencia: supóngase que existen dos máximos m1 , m2
y pruébese que necesariamente m1 = m2 . Análogamente para mı́nimo.
Los conjuntos ordenados pueden o no tener máximo o mı́nimo.
Example 1. R + ≡ {x ∈ R | 0 < x} . Es claro que R + no tiene máximo ya que si
a ∈ R + entonces 0 < a y como 0 < 1, se tendrá que a < a + 1 y también que
0 < a + 1. Por tanto, como el elemento a escogido es arbitrario, podemos asegurar
que ∀a ∈ R + , ∃b ∈ R + | a < b (en particular podemos emplear b = a + 1) y por
tanto R + no tiene máximo. Veamos que tampoco tiene mı́nimo. En efecto, puesto
que 0 < 21 < 1 (pruébese) entonces si tomamos un a ∈ R + tendremos que 0 < a
y por tanto
1
1
1
(0 < a) ∧ 0 < < 1 ⇒ 0 < a ∧
a<a ,
2
2
2
de donde se tendrá que es cierto que ∀a ∈ R + , ∃b ∈ R + | b < a (en particular
podemos emplear b = a2 ) y por tanto R + no tiene mı́nimo.
Algo análogo ocurre con el conjunto de los reales negativos R − ≡ {x ∈ R | x < 0} ,
pero ahora los papeles del máximo y el mı́nimo en el ejemplo anterior están
intercambiados.
Obsérvese que como R + no tiene máximo y se tiene que R + ⊂ R ,
R tampoco lo tiene. Análogamente, como R − ⊂ R R tampoco tiene mı́nimo, por lo que podemos asegurar que R no tiene ni máximo ni mı́nimo.
Por otra parte, puede ocurrir que, aunque un conjunto no tenga máximo,
sus elementos no puedan ser arbitrariamente grandes, o arbitrariamente pequeños, o ambas cosas simultáneamente. Ello da lugar a la siguiente
Definición 4.2. Sea X ⊂ R . Si existe un elemento c ∈ R tal que ∀x ∈ X, x 6
c (c 6 x) , se dice entonces que c es una cota superior (inferior) de X y en tal caso
se dice también que el conjunto X esta acotado superiormente (inferiormente).
9
Supremos e ı́nfimos de conjuntos
Definición 4.3. Sea X ⊂ R un conjunto acotado superiormente (inferiormente).
Si existe el mı́nimo s (máximo i) del conjunto de las cotas superiores (inferiores)
de X, se dice entonces que s ( i ) es el supremo (ı́nfimo) de X.
Observemos que en la definición decimos ”el ” supremo (ı́nfimo), ya que éste
ha de ser único (por qué?). Formalmente podemos expresar las anteriores definiciones como:
s = sup X ≡ mı́n {c ∈ R | ∀x ∈ X, x 6 c} ,
i = ı́nf X ≡ máx {c ∈ R | ∀x ∈ X, c 6 x} .
En general, no esta claro que un conjunto acotado, tenga necesariamente que poseer supremo y/o ı́nfimo. Sin embargo, en el caso de subconjuntos acotados de
números reales la existencia esta garantizada gracias al denominado Axioma de
completitud.
Axioma de Completitud
Axioma de Completitud Todo conjunto no vacı́o de números reales que sea
acotado superiormente tiene supremo.
Este axioma se conoce también como el Principio del Supremo.
La importancia de este axioma radica en que, con su ayuda, es posible probar
las propiedades más caracterı́sticas de R. Por ejemplo:
Proposición 4.1 (Propiedad de continuidad). Sean A, B ⊂ R no vacı́os y tales
que ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, (a 6 b) , entonces se tiene que ∃c ∈ R | ∀a ∈ A, ∀b ∈
B, (a 6 c 6 b).
Demostración. (ejercicio)
Propiedades importantes del supremo
Sea S ⊂ R , S 6= φ y sea s = sup S. Entonces
∀a ∈ R ((a < s) ⇒ (∃x ∈ S | a < x 6 s)) .
Demostración. Probémoslo por reducción al absurdo. Para ello, supongamos falsa la implicación. Puesto que el que s = sup S hace que ∀x (x ∈ S ⇒ x 6 s),
asumamos cierto que
∀a ∈ R ((a < s) ⇒ (∀x ∈ S | (x 6 a) ∧ (x 6 s))) .
Pero entonces a serı́a una cota superior de S que al ser a < s nos llevarı́a a
una contradicción con el hecho de que s = sup S.
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La anterior propiedad permite una definición equivalente del supremo de un
conjunto de números reales X :
s = sup X ⇔ (∀x ∈ X, x 6 s) ∧ ∀s0 < s, ∃x0 ∈ X | s0 < x0 .
Propiedades importantes del supremo
Corolario de la anterior es la Propiedad de Aproximación:
Sea S ⊂ R , S 6= φ y sea s = sup S. Entonces
∀ε > 0, ∃x ∈ S | s − ε < x 6 s.
(Demostración: Tómese a = s − ε en la anterior proposición).
Es claro que el anterior corolario garantiza el poder encontrar números del
conjunto S tan próximos como se desee al supremo; de ahı́ su nombre.
Dos propiedades interesantes son las siguientes, cuya demostración dejamos
a los ejercicios:
Propiedad Aditiva Sean A, B ⊂ R , A, B 6= φ y sea C ≡ {x + y ∈ R | x ∈ A ∧ y ∈ B} .
Entonces, si a = sup A y b = sup B se tendrá que C tiene también supremo
y
sup C = a + b.
Propiedad de Comparación Sean S, T ⊂ R , S, T 6= φ y tales que ∀s ∈
S, ∀t ∈ T (s 6 t) . Entonces, si T tiene supremo se verifica que S también
tiene supremo y que
sup S 6 sup T.
Los Naturales no están acotados superiormente
Proposición 4.2. El conjunto de los números naturales, N ⊂ R no está acotado
superiormente.
Demostración. Supongamos que si lo esta. Entonces, por el Principio del Supremo, existirá el supremo de N . Sea, por tanto, a = sup N . Entonces, por
la propiedad de aproximación y tomando ε = 1, existirá un n ∈ N tal que
a − 1 < n. Por tanto a < (n + 1) ∈ N , lo cual constituye una contradicción
con que a = sup N .
Observemos que el que los naturales estuviesen acotados superiormente querrı́a
decir que ∃r ∈ R + , ∀n ∈ N (n 6 r), lo cual, acabamos de probar, es falso. Es
decir, el predicado ¬ (∃r ∈ R + , ∀n ∈ N (n 6 r)) es verdadero. Con lo cual
∀r ∈ R + , ∃n ∈ N (r < n)
es verdadero.
Ası́, acabamos de probar la siguiente proposición
11
Proposición 4.3. ∀r ∈ R , ∃n ∈ N (r < n) .
Por tanto, dado cualquier real, siempre podemos encontrar un natural que es
mayor. Esta propiedad tiene importantes implicaciones, ya que nos permite
probar: Existe un real b tal que b2 = 2.
Demostración. (Esquema) Consideremos A = a ∈ R | a > 0 ∧ a2 < 2 . Entonces A 6= ∅ y está acotado superiormente. Sea b = sup A. Afirmamos que b2 = 2.
1. Supongamos b2 < 2 Entonces podemos elegir n ∈ Z+ tal que (b + n1 )2 < 2
por lo que b no serı́a supremo de A (ya que no serı́a cota superior).
2. Supongamos b2 > 2 Entonces podemos elegir n ∈ Z+ tal que (b − n1 )2 > 2
por lo que b no serı́a supremo de A (pues habrı́a una cota superior menor).
En ambos casos de la demostración, la elección de n se puede realizar gracias a
la proposición anterior. (ejercicio)Pruebe, generalizando la anterior demostración,
que para todo real a > 0 existe b tal que b2 = a.
Números irracionales
A todos aquellos números reales que no son racionales se les denomina
Números Irracionales.
A la luz de la anterior demostración, resulta evidente que el conjunto de
los números racionales no verifica el axioma de completitud, es decir que
si X ⊂ Q no vacı́o y acotado superiormente
puede notener supremo
+
2
(o ı́nfimo) pues basta
considerar X ≡ x ∈ Q | x < 2 (o bien Y ≡
+
2
y ∈ Q | 2 < y , respectivamente).
Recordemos que al anterior número
real positivo, cuyo cuadrado es 2 se
√
le denota mediante el sı́mbolo 2, y aparece como solución a la ecuación
polinómica x2 = 2 considerada en R (está claro ahora que dicha ecuación,
considerada en Q , no tiene solución).
A los irracionales que son raı́ces de polinomios con coeficientes en Q se les
denomina números irracionales algebraicos.
No todos los irracionales son de este tipo. Existen reales, como e y π que son
irracionales y no son construibles como raı́ces de polinomios con coeficientes racionales. A los irracionales no algebraicos se les denomina números
irracionales trascendentes.
12
Propiedad Arquimediana y sus consecuencias
(Arquı́medes) Todo segmento lineal, arbitrariamente grande, puede ser recubierto por un número finito de segmentos lineales de longitud dada;formalmente:
Proposición 4.4 (Propiedad Arquimediana). ∀y ∈ R , ∀x > 0, ∃n ∈ N |
nx > y.
Demostración. Corolario inmediato de la proposición anterior (no acotación
de los naturales) (ejercicio)
Otra forma equivalente de la propiedad Arquimediana es la siguiente:
Proposición 4.5. ∀h, r ∈ R , h > 0,existe un único entero k tal que
(k − 1) h 6 r < kh.
Demostración.
(⇒) Veamos primero que de la Propiedad Arquimediana se
deduce la proposición. Sabemos que existenun natural m talo que r < mh.
r
Sea ahora K el siguiente conjunto: K ≡ n ∈ Z | < n . Obviamente
h
r
K es no vacı́o ya que m ∈ K y esta acotado inferiormente por . Sea,
h
por tanto, k = ı́nf K = mı́n K. Observemos que k es único (por qué?). Es
r
r
entonces claro que, por un lado ,
< k, y por otro que (k − 1) 6 , ya
h
h
que de lo contrario k no serı́a mı́nimo. Es decir tenemos un único entero k
r
tal que (k − 1) 6 < k, de donde obviamente (k − 1) h 6 r < kh.
h
(⇐) Probemos ahora la recı́proca. Ası́, supongamos que existe un único enr
tero k tal que (k − 1) h 6 r < kh. Obviamente entonces, (k − 1) 6 < k,
h
r
y para cualquier n > k se tendrá que
< n, o también r < nh. Ası́,
h
tomando n = k + 1, es claro que existe un natural n tal que r < nh. q.e.d.
Otras implicaciones de la propiedad Arquimediana
1
Proposición 4.6. Sea x > 0. Entonces, si para todo n ∈ N se tiene que x < ,
n
entonces necesariamente ha de ser x = 0.
Demostración. Obviamente, si x = 0 no hay nada que probar. Por tanto supongamos x 6= 0 por lo que entonces ha de ser x > 0. Pero entonces, por la propiedad
Arquimediana, sabemos que existe un natural m tal que mx > 1, es decir existe
1
un natural m tal que x > , contrariamente a la hipótesis.
m
Otra propiedad muy útil es la siguiente:
Proposición 4.7. ∀ε > 0, ∃n ∈ N | 0 <
Demostración. (ejercicio)
13
1
n
<ε .
Densidad de Q en R
Proposición 4.8. Sean a, b ∈ R , tales que a < b. Entonces existe r ∈ Q tal que
a < r < b.
Esta propiedad se suele denominar densidad del conjunto Q (de los números
racionales) en el conjunto R (de los números reales) y por tanto se dice que Q es
denso en R .
Demostración. Ya que a < b implica 0 < b − a, entonces por la existe un n ∈ N
tal que 0 < n1 < b − a y gracias a la proposición anterior, tomando h = 1 y
x = na, existe un m ∈ Z tal que m − 1 6 na < m. Dado que 0 < n, se
m
m
verifica m−1
n 6 a < n , y además, ha de verificarse n < b ya que, de lo contrario,
m−1
m
m
tendrı́amos n 6 a < b 6 n , es decir, b 6 n y −a 6 − m−1
n , de donde
b − a 6 n1 , en contradicción con que 0 < n1 < b − a. Por tanto, r = m
n ∈ Q y
a< m
<
b.
q.e.d
n
14