Estática y Dinámica Analítica - Escuela Técnica Superior de

Estática y Dinámica Analítica
Mecánica II
Temas 6 y 7
Manuel Ruiz Delgado
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 1/25
Mecánica analítica
Equilibrio y sistemas reónomos
Principio de los trabajos virtuales
Principio de D’Alembert
Ecuación general de la Dinámica
Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Fuerzas generalizadas y términos cinéticos
Ecuaciones de Lagrange
Ecuaciones de equilibrio
Sistemas potenciales
Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holónomos
Método de los desplazamientos independientes
Método de los multiplicadores de Lagrange
Cálculo de las fuerzas de ligadura
Ecuación de la energía para sistemas holónomos
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 2/25
Equilibrio y sistemas reónomos
Equilibrio: un sistema material tiene una configuración de
equilibrio cuando abandonado el sistema en reposo en dicha
configuración, permanece indefinidamente en reposo:
ri (t) = rei ; vi (t) = 0 ∀t
Ligaduras finitas no estacionarias: f (ri , t) = 0
f (rei , t) = 0 ;
N
X
e
∇
f
·
0
+
f
(r
t i , t) = 0
i
∀t
i=1
Cinemáticas no estacionarias:
N
X
i=1
Ai (rj , t) · vi + B (rj , t) = 0
0 + B rej , t = 0
∀t
Sólo puede haber equilibrio en los puntos que cumplan estas
condiciones: en los que las ligaduras no se mueven.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 3/25
Principio de los trabajos virtuales
Formulación genérica
Condición de equilibrio de un sistema (Newtoniana):
e , 0, t) + FL (re , 0, t) = 0,
FD
(r
i = 1, . . . , N
i
i
i
i
Son 3N condiciones independientes
Si damos un desplazamiento virtual arbitrario:
N X
L
δW =
FD
+
F
i
i · δri = 0 ∀ δri PTV
i=1
Por ser una combinación lineal de vectores nulos.
Como los δri forman un espacio vectorial de dimensión 3N , al
exigir ∀ δri , tenemos 3N condiciones independientes: el PTV es
equivalente a las 3N ecuaciones Newtonianas
La formulación genérica del PTV no aporta nada nuevo:
• igual número de ecuaciones que la Estática Newtoniana
• siguen estando las fuerzas de ligadura.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 4/25
Principio de los trabajos virtuales
Formulación detallada
El PTV es útil cuando hay g ligaduras ideales: sus fuerzas no
trabajan en los DVCL (espacio vectorial de dimensión n= GDL)
L = 0,
Sistema en equilibrio: FD
+
F
i = 1, . . . , N
i
i
Damos un desplazamiento virtual arbitrario:
PN
D
L
δW = i=1 Fi + Fi · δri = 0 ∀ δri
PN
Si el δri es un DVCL, i=1 FL
i · δri = 0,
δW =
N
X
FD
i · δri = 0
∀ DVCL
i=1
Ecuación general de la estática
No aparecen las fuerzas de ligadura
∀ DVCL ⇔ n= GDL ecuaciones independientes
Es condición necesaria: se deduce de las newtonianas
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 5/25
Principio de los trabajos virtuales
Es condición suficiente: demostración por reducción al absurdo
Supongamos que se cumple el PTV, pero el sistema no está en
equilibrio: empezará a moverse con aceleraciones r̈i distintas de
L = m r̈
cero: FD
+
F
i i
i
i
En un tiempo infinitesimal dt, partiendo del reposo, cada
partícula se desplaza dri = r̈i dt2 /2 (∈ Desp. Posibles)
Tomando como DVCL los DP δri = ǫ r̈i ,
N N
N
X
X
X
L
2
δr
=
m
r̈
·
r̈
ǫ
=
m
r̈
ǫ≥0
dW =
FD
+
F
·
i
i
i
i
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
En contra de la hipótesis
Luego no puede cumplirse el PTV y no haber equilibrio.
Queda por demostrar que los dri = ǫ r̈i son DVCL
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 6/25
Principio de los trabajos virtuales
Se derivan las ecuaciones de las ligaduras; inicialmente ṙi ,
X
N
N
X
∂∇i
f
· ṙi +
∇i f · r̈i + ftt = 0
∂t
i=1
N
X
i=1
N
X
∂A
i
· ṙi +
Ai · r̈i + Bt = 0
∂t
i=1
i=1
Para ser DVCL, los r̈i deben cumplirlas congeladas,
N
X
i=1
∇i f · r̈i = 0;
N
X
Ai · r̈i = 0
i=1
Sólo son DVCL en los esclerónomos, ft = B = 0
En los reónomos sólo consideramos los puntos fijos: ft = B = 0
En esos puntos, los r̈i sí son DVCL.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 7/25
Principio de los trabajos virtuales
δW =
N
X
FD
i · δri = 0
∀ DVCL
i=1
PTV: La condición necesaria y suficiente para que un sistema
material sometido a ligaduras ideales tenga una configuración
de equilibrio es que en dicha configuración se anule el trabajo
virtual de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier
desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.
PTV ↔ Ecuación general de la estática
En sistemas reónomos sólo se puede aplicar en los puntos en que
ft = B = 0
En los demás no puede haber equilibrio.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 8/25
Principio de D’Alembert
2a ley de Newton para un sistema de N partículas:
L = m r̈ = ṗ ,
FD
+
F
i = 1...N
i i
i
i
i
Se pueden poner en la forma
L − ṗ = FD + FL + FI = 0 ,
FD
+
F
i
i
i
i
i
i
i = 1...N
Equivale a plantear el equilibrio de cada partícula relativo a unos
ejes con origen en la propia partícula.
Principio de D’Alembert: Las ecuaciones del movimiento de un
sistema material se obtienen planteando, en cada instante, el
equilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, y las de inercia.
Se reduce a un problema de estática: Aplicar el PTV
Pero las ecuaciones siguen siendo diferenciales, no algebraicas
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 9/25
Ecuación general de la Dinámia
Aplicamos a un sistema el principio de D’Alembert y damos DV:
PN
Fi − ṗi = 0 ⇒ δW = i=1 (Fi − ṗi ) · δri = 0, ∀ δri
Aplicamos ahora el PTV: si los δri son DVCL, las fuerzas de
ligadura no trabajan, y queda
N X
FD
i − ṗi · δri = 0
∀ DVCL
i=1
Esta es la Ecuación general de la Dinámica
No aparecen las fuerzas de ligadura
∀ DVCL: Hay n ecuaciones independientes (no GDL)
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 10/25
Ecuación general de la Dinámia
Ej.: aplicar la ecuación general de la dinámica al péndulo simple:
FD = mg (cos θ ur − sin θ uθ )
FL = λ ur
r = (x, z) = R (sin θ, − cos θ) = R ur
δr =
∂r
∂θ
z
x
θ
r
δθ = R ∂u
∂θ δθ = R uθ δθ
r̈ = −Rθ̇2 ur + Rθ̈ uθ
Aplicamos la EGD
δW = µ ∇f + FD − mr̈ · δr = 0, ∀ δr
δW = −mg sin θ − mRθ̈ δθ = 0 ∀ δθ ⇒
µ
g
θ̈ + sin θ = 0
R
y se llega a la ecuación del péndulo que ya conocemos
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 11/25
Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos)
∂ri
Para un sistema holónomo, δri = j=1
δqj (δqj arbitrarios)
∂qj
Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica,
Pn


N N
n
X
X
X
∂ri 
D
D

Fi − ṗi · δri =
Fi − ṗi ·
δqj =
∂qj
i=1
i=1
j=1
"N
#
n
n
∂r
X X
X
i
=
δqj =
(Qj − Pj ) δqj = 0
FD
−
ṗ
·
i
i
∂qj
j=1
i=1
Fuerzas generalizadas:
Términos cinéticos:
j=1
Qj =
Pj =
PN
D
F
i
i=1
PN
i=1
∂ri
·
= f (qj , q̇j , t)
∂qj
∂ri
= f (qj , q̇j , q̈j , t)
ṗi ·
∂qj
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 12/25
Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos)
La ecuación general de la estática queda,
n
X
δW =
Qj δqj = 0
∀δqj
j=1
Como los δqj son independientes y arbitrarios (sist. holónomo),
sólo se cumple si los coeficientes son todos cero,
Qj = 0
j = 1, . . . , n
Queda un sistema de n ecuaciones algebraicas, en general no
lineales, con n incógnitas. Se resuelven para obtener las
posiciones de equilibrio qje (t).
Las ecuaciones han quedado reducidas al no mínimo: n = GDL
No aparecen las fuerzas de ligadura
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 13/25
Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos)
Ej: dos partículas, varilla, corredera; (x1 , 0);
(x1 + L cos θ, L sin θ)
z
δr1 = [1, 0] δx1
2
1
δr2 = [1, 0] δx1 + [−L sin θ, L cos θ] δθ
θ
x1
x
Qx1 = −m1 g k · [1, 0] − m2 g k · [1, 0]
=
0
Qθ = −m1 g k · [0, 0] − m2 g k · [−L sin θ, L cos θ] = −m2 gL cos θ
Las ecuaciones de equilibrio son
0=0
− m2 gL cos θ = 0
⇒
π
θ=±
2
∀ x1
Hay infinitas soluciones: en cualquier x1 , vertical hacia arriba (π/2) o
hacia abajo (−π/2).
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 14/25
Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos)
La ecuación general de la dinámica queda,
δW =
n
X
(Qj − Pj ) δqj = 0
∀δqj
j=1
Como los δqj son independientes y arbitrarios (sist. holónomo),
sólo se cumple si los coeficientes son todos cero,
Pj = Qj
j = 1, . . . , n
Queda un sistema de n ecuaciones diferenciales de 2o orden, con
n incógnitas. Se integran con las condiciones iniciales de cada
caso para obtener las qj (t).
Las ecuaciones han quedado reducidas al no mínimo: n = GDL
No aparecen las fuerzas de ligadura
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 15/25
Términos cinéticos
Los Pj se pueden obtener directamente de la energía cinética:
N
X
ṗi · δri =
i=1

N
X
i=1
mi r̈i · 
n
X
j=1

∂ri 
δqj =
∂qj
n
X
j=1
N
X
i=1
∂ri
mi r̈i ·
∂qj
!
δqj
d
∂ri
∂ri
d ∂ri
=
ṙi ·
r̈i ·
− ṙi ·
∂qj
dt
∂qj
dt ∂qj
|
{z
} |
{z
}
a)
a)
b)
n
X
∂ri
∂ri
∂ ṙi
∂ri
∂ ṙi
∂
1 2
ṙi =
q̇j +
⇒
=
⇒ ṙi ·
=
ṙi
∂qj
∂t
∂ q̇j
∂qj
∂ q̇j
∂ q̇j 2
j=1
b)
d
dt
∂ri
∂qj
∂
=
∂qj
dri
dt
∂ ṙi
=
∂qj
⇒
∂ ṙi
∂
ṙi ·
=
∂qj
∂qj
1 2
ṙi
2
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 16/25
Términos cinéticos
Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica,
n
X
d
∂ri
d ∂ri
Pj =
mi
ṙi ·
− ṙi ·
=
dt
∂qj
dt ∂qj
i=1
"
!#
!
N
N
X
X
∂
1
∂
1
d ∂T
∂T
d
2
2
mi ṙi
−
mi ṙi =
−
=
dt ∂ q̇j
2
∂qj
2
dt ∂ q̇j
∂qj
i=1
i=1
Donde la T (qj , q̇j , t) es la energía cinética.
Esquizofrenia de la T en este cálculo:
En las derivadas parciales ∂∂ , las qj y q̇j se consideran
parámetros independientes
En la derivada total
d
dt ,
se consideran funciones del tiempo
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 17/25
Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos)
Sustituyendo estas Pj en la ecuación general de la dinámica,
n X
d ∂T
∂T
δW =
−
− Qj δqj = 0
dt ∂ q̇j
∂qj
∀δqj
j=1
Se llega a las Ecuaciones de Lagrange:
d
dt
∂T
∂ q̇j
∂T
−
= Qj
∂qj
j = 1...n
Son n ecuaciones diferenciales con n incógnitas: qj (t)
Se calculan las Qj y se pone T en función de las qj y las q̇j .
Las ecuaciones salen automáticamente: sólo hay que derivar.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 18/25
Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos)
ej.: Punto sobre cilindro: r = R ur + z uz , δr = Rδθ uθ + δz uz
z
δz
FD = −mg k → Qθ = 0 ; Qz = −mg
Rδ θ
1 2
y
T = m ż + R2 θ̇2
θ
x
2
Ecuación general de la dinámica, directamente:
h
i
δW = −mg uz − m −Rθ̇2 ur + Rθ̈ uθ + z̈ uz ·(Rδθ uθ + δz uz ) =
θ̈ = 0
2
= R θ̈ δθ + (−mg − mz̈) δz = 0 ∀ δθ, δz →
z̈ = −g
Mediante las ecuaciones de Lagrange:
Tż = mż
Ṫż = mz̈
Tz = 0
→
mz̈ − 0 = −mg
Tθ̇ = mR2 θ̇
Ṫθ̇ = mR2 θ̈
Tθ = 0
→
mR2 θ̈ − 0 = 0
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 19/25
Sistemas holónomos potenciales
Si todas las fuerzas dadas derivan de un potencial ordinario:
FD
i = −∇i V (r1 , . . . , rN , t)
Las fuerzas generalizadas valen:
Qj =
N
X
i=1
FD
i
∂ri
=−
·
∂qj
N
X
i=1
∂V (qj , t)
∂ri
∇i V ·
=−
∂qj
∂qj
Puesto que
∂V
∂V ∂x1
∂V ∂y1
∂V ∂zN
=
·
+
·
+ ··· +
·
=
∂qj
∂x1 ∂qj
∂y1 ∂qj
∂zN ∂qj
∂r1
∂rN
= ∇1 V ·
+ · · · + ∇N V ·
∂qj
∂qj
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 20/25
Sistemas holónomos potenciales: equilibrio
Las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como:
∂V
Qj = −
= 0;
∂qj
∂V
=0
∂qj
j = 1...n
Ej.: dos varillas pesadas unidas por un muelle
1
y
2
V =
+ kAC =
2
a
1
a
= mg cos θ + mg cos θ + k4a2 sin2 θ =
2
2
2
= V (θ) = mga cos θ + 2ka2 sin2 θ A
AB
mgzG
B
BC
+ mgzG
dV
= −mga sin θ+4ka2 sin θ cos θ
dθ
⇒
θ
θ = 0, π
θ = cos−1
C
x
mg
4ka
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 21/25
Sistemas holónomos potenciales: movimiento
Ecuaciones de Lagrange para sistemas potenciales (pot. ordinario):
d ∂T
∂T
∂V
d ∂V
∂V
−
= 0 + Qj = 0 −
= −
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj dt ∂ q̇j
∂qj
Si se define la función lagrangiana L = T − V ,
L=T −V
d
dt
∂L
∂ q̇j
∂L
−
=0
∂qj
j = 1...n
∂V
d
También hay potenciales generalizados, Qj = −
+
∂qj dt
Si hay fuerzas potenciales y no potenciales,
d ∂L
∂L
−
= Q̃j
j = 1...n
dt ∂ q̇j
∂qj
∂V
∂ q̇j
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 22/25
Sistemas holónomos potenciales: movimiento
Ej.: punto sobre cilindro, el potencial es el del peso, V = mgz , que
ya está en función de una coordenada generalizada. Podemos escribir
la lagrangiana:
1 2
L = m ż + R2 θ̇2 − mgz
2
Con esto se pueden ya escribir las ecuaciones de Lagrange,
Lż = mż
L̇ż = mz̈
Lz = −mg
→
mz̈ + mg = 0
Lθ̇ = mR2 θ̇
L̇θ̇ = mR2 θ̈
Lθ = 0
→
mR2 θ̈ − 0 = 0
La generación de las ecuaciones es bastante más directa, pues en
muchos casos el potencial es conocido. En vez de calcular las fuerzas
generalizadas punto por punto, se hallan las derivadas parciales del
potencial.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 23/25
Sistemas holónomos potenciales: movimiento
Ej.: Fuerzas no potenciales: oscilador armónico amortiguado.
El potencial del muelle se incluye en la lagrangiana:
1
1 2
2
L = T − V = mẋ − kx
2
2
d ∂L ∂L
−
= Q̃x
dt ∂ ẋ
∂x
Se calcula la Q̃x de la fuerza no potencial, disipativa:
F = −c ż i, δr = δx i,
δW = −c ẋ δx = Q̃x δx ⇒ Q̃x = −c ẋ
Ecuación de Lagrange, única porque sólo hay un grado de libertad:
Lẋ = mẋ
L̇ẋ = mẍ
Lx = −kx
→
mẋ + kx = −c ẋ
Por Mecánica Newtoniana: m ẍ + c ẋ + k x = 0.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 24/25
Sistemas holónomos potenciales: movimiento
Ej.: Movimiento kepleriano: La fuerza gravitatoria es potencial:
µm
µm
µm
1 2
F = − 3 r → V (r) = −
→ L = m ṙ + r2 θ̇2 +
r
r
2
r
µm
Lr = mrθ̇ − 2 ;
r
2
Lṙ = mṙ ;
L̇ṙ = mr̈ →
→
Lθ = 0 ;
Lθ̇ = mr2 θ̇ ;
→
µm
mr̈ − mrθ̇ + 2 = 0
r
2
L̇θ̇ = mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ →
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ = 0 → r2 θ̇ = C
Se llega a las mismas ecuaciones de Mecánica Newtoniana.
θ∈
/ L Coordenada cíclica o ignorable → Integral primera
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 25/25