5 Criterio de Nyquist.

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5
59
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jZ
Criterio de Nyquist.
Estabilidad es lo mínimo que se puede exigir al diseño de un sistema
realimeantado. Este concepto tiene acepciones simples en sistemas
lineales lo que permite su utilización tanto para el análisis y diseño de este
tipo de sistemas. En este capítulo se introducen los conceptos de
estabilidad absoluta y estabilidad relativa para el diseño de controladores.
Especial importancia se da a las definiciones de margen de fase y margen
de ganancia por su aplicabilidad a sistemas de cualesquier orden.
jZ
jZ
V
V
V
Fig. 5.1 L.G.R. de sistemas críticamente estables e inestables.
Def.: Un sistema es marginalmente estable si no hay raíces del polinomio característico en el S.P.D. y a
lo más hay raíces simples sobre el eje imaginario.
5.1 Introducción.
La estabilidad puede analizarse al considerar los tipos y grados de ésta.
Tipos:
Estable (entrada acotada/salida acotada y entrada cero estabilidad asintótica)
Marginalmente estable.
Inestable.
Grados:
Estabilidad absoluta.
Estabilidad relativa.
Para el análisis de la estabilidad se tienen las siguientes herramientas,
Criterio de Routh-Hurwitz
Criterio de Nyquist
Diagrama de Bode
Diagrama de Nichols
Def.: Se dice que un sistema es estable entrada-acotada/salida-acotada, si para condiciones iniciales
Ejemplo 5.1. Analizar el caso de un motor de c.c. desde el punto de vista de la estabilidad. R.: El motor al girar a una
velocidad angular constante presenta una posición que aumenta linealmente e indefinidamente. Por lo tanto si la posición es
una variable de estado, se tiene un sistema marginalmente estable.h
Def.: Un sistema es inestable si por lo menos hay una raíz simple de la ecuación característica del
sistema en el S.P.D., o una raíz doble sobre el eje imaginario.
Ejemplo 5.2. La ubicación de polos de tres sistemas está dada en Fig. 5.1, analice su estabilidad. R.: El caso (a) es
marginalmente estable pues hay una raíz simple en el eje imaginario, el caso (b) es inestable pues hay una raíz doble en ele
eje imaginario y el caso (c) es inestable pues hay una raíz en el S.P.D. h
5.2 Criterio de Routh-Hurwitz.
El Criterio de Routh-Hurwitz es un método algebraico que analiza el polinomio característico de la F.
de T. de un sistema y permite estudiar la estabilidad absoluta. Sea el caso ilustrado en la Fig. 5.2, donde
se tiene que,
nulas (respuesta a estado cero), su salida es acotada para una entrada acotada; es decir,
u(t) tal que |u(t)| d M
Ÿ
|y(t)| d N < f t
Def.: Si la respuesta a entrada nula, sujeta a condiciones iniciales finitas, alcanza el cero cuando t
tiende a infinito, se dice que el sistema es estable a entrada cero (o asintóticamente estable); es
decir, |y(t)| d M < f t t to
y
lím y (t ) 0 .
y( s)
yd ( s)
kg ( s )
1 kg ( s ) r ( s )
n( s )
,
d ( s)
donde d(s) es el polinomio característico dado por d ( s ) s n a n 1 s n 1 " a1 s a0 . La interrogante
es ¿ puede determinarse si habrá una raíz en el S.P.D. si sólo se observan los coeficientes
t of
y(s)
yd(s)
Afortunadamente, en sistemas lineales e invariantes en el tiempo, ambas definiciones necesitan del
mismo requisito, éste es que todas las raíces del polinomio característico de la F. de T. del sistema
tengan parte real negativa. Por esta razón los sistemas que cumplen con esta condición son conocidos
simplemente como estables.
+
g(s)
k
r(s)
Fig. 5.2 Sistema generalizado en L.C.
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a n 1 , " , a1 , a 0 ?
A.
Inspección Inicial.
i) d ( s )
( s p1 )( s p2 )( s p3 )
s 3 ( p1 p2 p3 ) s 2 ( p1 p2 p1 p3 p2 p3 ) s p1 p2 p3 ,
de donde se puede observar que el caso general es,
d(s) = sn + (suma de todos los polos) sn1
+ (suma de los productos de a dos) sn2
+ (suma de los productos de a tres) sn3
+···+
+ (producto de todos los polos).
Por lo que an-1 = suma de todos los polos, an-2 = suma de los productos de a dos, ..., a0 = producto de
todos los polos. Por otro lado, se sabe que si p1 š p2 š · · · š pn, son estables, entonces, p1 š p2 š · · · š
pn > 0 lo que implica que todos los coeficientes de d(s); es decir, a n 1 , " , a1 , a 0 son positivos y
distintos de cero. Es decir,
si p1 š p2 š · · · š pn > 0
si an-1 › an-2 › · · · › a0 d 0
Ÿ
Ÿ
Este criterio es necesario y suficiente para el análisis de estabilidad. A partir del polinomio
característico d ( s ) s n a n 1 s n 1 " a1 s a0 se genera:
sn
G 01 1
G 02
s n 1 G11 a n 1 G12
s n 2 G 21
G 22
s n 3 G 31
G 32
#
#
#
0
s1
G n 1,1
s0
G n1
a n 2
a n 3
G 03
G13
G 23
G 33
#
0
a n 4 "
a n 5 "
"
"
#
"
; i = 2, ..., n ; j = 1, 2, ... . El criterio establece que el número
G i 1,1
de raíces de d(s) con parte real positiva es igual al número de cambios de signo en la primera columna
del arreglo (columna pivote). El análisis se complica cuando hay ceros en la columna pivote.
s2 1
s a1 s a0 , s 1 a1
s 0 b1
a0
0 , b1
0
s3 1
s 2 a2
s 3 a 2 s 2 a1 s a 0 , 1
s b1
s 0 c1
2
a0
1 1
a1 a1
a1
b1
a0
,
0
c1
0
a0 Ÿ
0
a1 ! 0
a0 ! 0
1
(a 0 a 2 a1 )
a2
1
(a 0 ˜ 0 b1 a 0 )
b1
a0
.
a2 ! 0
Ÿ a 2 a1 ! a0 .
a0 ! 0
Caso Nº2: Ceros en la columna pivote con elementos distinto de cero en la fila en donde está el
cero.
Se hace igual a H y luego se lleva al límite. Por ejemplo, d ( s )
s5 1
s4 2
s3 H
s 2 c1
s 1 d1
s 0 10
c1
d1
Criterio de Routh-Hurwitz.
G i 1,1G i 2, j 1 G i 2,1G i 1, j 1
ii) D( s )
si an-1 š an-2 š · · · š a0 > 0 : caso estable.
p1 › p2 › · · · › pn
d 0 : caso inestable.
Ejemplo 5.3. Analizar la estabilidad del polinomio característico (a) s 2 3s 1 y (b) s 3 0.5s 2 3.5s 4 . R.: El caso (a)
tiene a lo menos una raíz positiva: inestable, el caso (b) puede o no puede ser estable. h
en donde, G ij
62
Caso Nº1: No hay ceros en la columna pivote.
Sea el caso de d(s),
B.
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2
4
6
10
0
0
s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 11s 10
11
10
0
0
0
0
4H 12
12
H
H
, dos cambios de signo Ÿ inestable Ÿ dos raíces inestables.
6c1 10H
o6
c1
Caso Nº3: Ceros en la columna pivote con elementos iguales a cero en la fila en donde está el
cero.
Este caso ocurre cuando hay simetrías en torno al origen: (s + V)(s V) ó (s + jZ)(s jZ) se puede
utilizar un polinomio auxiliar. Por ejemplo, d ( s ) s 3 2 s 2 4 s k
s3 1
s2 2
s 1 82k
s0 k
4
k
0
0
es estable si 0 < k < 8 Ÿ kc = 8.
Nota: Este método complementa la Regla Nº 10 (encuentra kc). Si k = 8 la fila en s1 se hace cero. Por lo
tanto, el polinomio auxiliar es generado con la fila de s2 que es 2s 2 ks 0 2s 2 8 2( s 2 4) , por lo
que,
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d ( s ) : 2( s 2 4 )
s 3 2 s 2 4 s 8 : 2( s 2 4 )
-s
3
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+
4s
2s 2
8
- 2s 2
8
por lo que d ( s )
Caso Nº4:
2( s 4)( s / 2 1)
Fig. 5.4 Sistema en L.C. generalizado.
2
( s 4)( s 2) Ÿ marginalmente estable.
Raíces repetidas en el eje imaginario.
( s 1)( s j )( s j )( s j )( s j )
s5
s4
s3
s2
s1
s0
s 5 s 4 2s 3 2s 2 s 1
2 1
2 1
H 0 m fila de ceros
,
1
0
m fila de ceros
En general se puede definir un “margen de estabilidad” como el cuociente entre el valor estable
máximo al valor actual. Por lo que para la ganancia se tiene que,
M .G.
Ganancia estable máxima
.
Ganancia actual
Este concepto tiene los siguientes problemas, (a) no se puede aplicar siempre (no todos los sistemas se
hacen inestables cuando k o f) y (b) dos sistemas con igual M.G. pueden tener comportamientos
totalmente diferentes. Además, ¿ qué sucede si la planta incluye retraso ?. En este caso,
gr ( s )
n( s ) Ts
e ,
d ( s)
por lo que la ecuación característica es,
d ( s ) n( s )e Ts
s4: s4 + 2s2 + 1 = (s2 + 1)2
s2 : s2 + 1
0,
la cual no corresponde a un polinomio y por tanto no se pueden definir los coeficientes a n 1 , " , a1 , a0
sin utilizar una simplificación. Para estos casos se tiene el Criterio de Nyquist.
múltiple raíces Ÿ inestable.
5.3 Criterio de Nyquist.
Usos y Limitaciones.
¿ Cuál es el rango de k para que el sistema ilustrado en la Fig. 5.3 sea estable ? Para responder se
obtiene la ecuación característica,
1 kgr ( s ) 1 k
s( s 1)( s 2)
0 Ÿ s 3 3s 2 2 s k
0,
al aplicar Routh-Hurwitz se obtiene que a2a1 > a0 por lo que 3 · 2 > k ó k < 6, por lo que la ganancia
crítica es kc = 6 y el rango entonces es, 0 < k < 6.
Otra interrogante interesante es ¿ si el k vale k = 2, en cuánto se puede aumentar la ganancia en L.D.
yd(s)
antes de obtener un sistema inestable ?. Como k = 2 y kc = 6 la ganancia k se puede aumentar en un
kc/k = 6/2 = 3 = 300%. Esta cantidad se conoce como el Margen de Ganancia.
Margen de Ganancia
1
1
H
1
H
1
podría pensarse que es estable si H > 0, pero
C.
H(s)
En este caso aparecen varias filas idénticas a cero. Por ejemplo,
d ( s)
G(s)
,
0
2
y(s)
yd(s)
s / 2 1
+
k
s
1
(s + 1)(s + 2)
Fig. 5.3 Sistema en lazo cerrado.
y(s)
El Criterio de Nyquist permite (entre otros) definir otro margen de estabilidad que complementa al
margen de ganancia. Sea la F. de T. en L.D.: l(s), por lo que la ecuación característica es 1 + l(s) = f(s).
Si s = V + jZ, entonces, f(V + jZ) = u + jv. Es decir, la función transformada f(V + jZ) puede ser
también un número complejo.
Ejemplo 5.4. Para f ( s ) 2 s 1 que tiene un cero en s = 1/2, determine su contorno transformado. R.:
f ( V jZ) 2( V jZ) 1 2V 1 j 2Z , por lo que u 2V 1, v 2Z . Ahora se procede a transformar cada segmento del
contorno en s,
A:B
Ÿ V = 1, Z: 1 o 1
Ÿ u = 3, v: 2 o 2
B : C Ÿ V: 1 o 1, Z = 1
Ÿ u: 3 o 1, v = 2
C : D Ÿ V = 1, Z: 1 o 1
Ÿ u = 1, v: 2 o 2
D : A Ÿ V: 1 o 1, Z = 1
Ÿ u: 1 o 3, v = 2
El contorno resultante está en la Fig. 5.5. h
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66
2
2
1
La función
s
f ( s)
s2
tiene un cero en s = 0 y un
polo en s = -2.
0
2
0.5
0
0
0
0
0
0.5
2
2
3
2
1
0
1
2
2
3
4
2
0
(a)
2
2
1
0
1
2
1
3
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
El plano f(s) encierra en
sentido horario una vez el
origen.
(a)
(b)
Fig. 5.7 Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado.
4
(b)
Fig. 5.5 Transformación de contorno; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado.
A.
3
2
1
0
0
La función
1
f ( s)
2s 1
tiene un polo en s = -1/2.
Transformación o Mapeo de Contornos.
El plano f(s) encierra en
sentido anti-horario una vez
el origen.
Def.: La curva cerrada A:B:C:D se conoce como contorno, normalmente se les asigna un nombre tal
como *, y un sentido de recorrido que puede ser horario (+) o antihorario ().
2
3
2
1
0
1
2
3
1
1
0
1
(a)
(b)
Fig. 5.8 Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado.
Def.: Los (el) puntos (área) al lado derecho del sentido de recorrido de un contorno se dicen (dice)
encerrados (encerrada).
2
1
La función
s
s 1/ 2
tiene un cero en s = 0 y un
polo en s = -1/2.
f ( s)
Def.: El cambio del plano s = V + jZ al plano f(s) = u + jv del contorno * se conoce como
transformación de contorno, también se conoce como mapeo de contorno.
0
0
2
1
El plano f(s) no encierra el
origen.
Def.: El número de encierros es la cantidad de veces que un punto está encerrado por un contorno en
sentido horario. Este valor será negativo si el contorno se mueve en sentido antihorario. El valor
se designa por N.
Nota: Para determinar el número de encierros se usa un vector auxiliar. El vector nace en el punto en
cuestión y termina en un punto (s1) de prueba sobre el contorno. Al mover s1 en el sentido de recorrido
del contorno, la flecha habrá recorrido 2SN grados, para llegar nuevamente al punto de partida.
B.
Ejemplos de Contornos y Teorema de Cauchy.
2
La función
f ( s ) 2 s 1 u jv
tiene un cero en s = -1/2.
2
0
0
El plano f(s) encierra en
sentido horario una vez el
origen.
2
2
3
2
1
0
1
2
3
4
2
0
2
(a)
(b)
Fig. 5.6 Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado.
4
3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
(a)
(b)
Fig. 5.9 Mapeo; (a) contorno a transformar, (b) contorno transformado.
Teorema: (Teorema de Cauchy) Si un contorno * en el plano s encierra Kz ceros y Kp polos de f(s) y
no pasa a través de ningún polo y/o cero de f(s) a medida que se viaja en sentido horario
sobre *, entonces, el contorno transformado f(s) encierra al origen del plano f(s),
N = Kz Kp veces.
Nota 1: La ecuación característica es 1 + l(s) = 0, si l(s) se puede escribir como n(s)/d(s) = l(s),
entonces los ceros de l(s) son las raíces de n(s) y los polos de l(s) son las raíces de d(s).
Nota 2: La ecuación característica se puede escribir como 1 n( s )
d ( s)
f ( s)
0 o equivalentemente
d ( s ) n( s )
0 , por lo tanto, los ceros de f(s) son los polos del sistema en L.C. y los
d ( s)
polos de l(s) son también los polos de f(s).
f ( s)
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1
Nota 3: Dado que f(s) = 1 + l(s), el origen de f(s) es equivalente a l(s) = 1 en el plano l(s). Por lo
tanto, el teorema de Cauchy se escribe como,
Teorema: (Teorema de Cauchy) Si un contorno * en el plano s encierra Kz ceros y Kp polos de
C
0
1 + l(s) y no pasa a través de ningún polo y/o cero de 1 + l(s) a medida que viaja en sentido
horario sobre *, entonces, el contorno transformado l(s) encierra al punto (1, 0) del plano
l(s), N = Kz Kp veces.
1
C.
A
B
1
0
1
Criterio de Nyquist.
Notar que si la función 1 + l(s) tiene ceros (es decir, Kz z 0) en el S.P.D., entonces, el sistema es
inestable. Por esto se usa un contorno * que encierra todo el S.P.D. (contorno de Nyquist ó *, Fig.
5.10) y se inspecciona el valor resultante de Kz. Para esto se utiliza el Teorema de Cauchy. Notar que el
contorno que encierra todo el S.P.D. no debe pasar sobre ningún polo ni cero de 1 + l(s) (los polos de
1 + l(s) son los polos de l(s), los ceros de 1 + l(s) son indeterminados). Finalmente se puede enunciar el
Criterio de Nyquist como,
Fig. 5.11 Nyquist para gr ( s )
AB : s = jZ con Z: 0 o f
gr( jZ)
1
1
0
: o
j
1 jZ 1
0e
j
S
2
.
BC : s = rejT con r o f y T: S/2 o S/2
S
Criterio de Nyquist. Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s) no
encierra el punto (1, 0) cuando el número de polos de l(s) en el S.P.D. del plano s es cero.
2
1
.
s 1
S
j
j
1
1
| e jT : 0e 2 o 0e 2 .
1 re jT r
CA : s = jZ con Z: f o 0
gr ( re jT )
S
j
1
0
1
0e 2 o ,
:
1 jZ j
1
el cual se ilustra en la Fig. 5.11. El sistema es estable. h
gr ( jZ)
Este criterio se puede enunciar para el caso de tener en l(s) polos inestables.
Criterio de Nyquist. Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s)
encierra el punto (1, 0) en sentido anti-horario un número de veces igual al número de
polos de l(s) con parte real positiva.
1
si se utiliza en un esquema realimentado. R.: Hay
s 1
Kp = 0 polos inestables, por lo que N = 0 para tener un sistema estable. El contorno * transformado es,
Ejemplo 5.5. Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D. gr ( s )
B
10
Algunos aspectos generales a considerar al dibujar el Nyquist de una función l(s) son,
A. Funciones con k variable.
Dado que f(s) = 1 + l(s) y en general puede ser f(s) = 1 + kgr(s), el origen de f(s) es el punto 1/k
de gr(s). Por lo tanto, el Criterio de Nyquist puede ser nuevamente enunciado al considerar el caso
1
*
B
0
A
C
rof
A
0
1
C
10
10
1
0
1
Fig. 5.12 Nyquist para l ( s )
0
10
Fig. 5.10 Contorno de Nyquist.
20
2
1
(1 s ) 3
.
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69
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70
general 1 + kgr(s), con el punto dado por 1/k.
1
B. Funciones en L.D. estrictamente propias.
Funciones estrictamente propias son aquellas en que el denominador tiene un orden mayor que el
numerador. En este caso el tramo BC del Contorno de Nyquist siempre se mapea al origen y no
aporta información respecto de la estabilidad del sistema. En estos casos sólo se ocupará el tramo
con jZ con Z: f o f.
B
A
0
C. Simetría respecto del eje real.
Para gr
– (s z ) ,
– (s p )
i
1
sólo basta obtener la transformación para Z: 0 o f dado que para
1
0
1
j
Fig. 5.14 Nyquist de l ( s )
Z: 0 o f es simétrica.
Ejemplo 5.6. Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D. gr ( s )
1
(1 s ) 3
si se utiliza en un esquema realimentado. R.:
Dado que Kp = 0 entonces N = 0 para tener un sistema estable. Se tiene gr(jZ)
1
(1 3Z2 ) j ( Z3 3Z)
(1 jZ) 3
(1 3Z2 ) 2 ( Z3 3Z) 2
Nyquist se muestra en la Fig. 5.12. El cruce sobre el eje real es cuando ‚m( gr ( jZ))
Z 0; Z
r 3 , gr ( j 0)
1 ; gr ( 3 )
0 , Z 3 3Z Z(Z 2 3)
, cuyo
0 Ÿ
1 / 8 . Por lo tanto, el sistema es estable si -f < -1/k < -1/8. h
BC :
gr ( re jT )
OA :
gr( re jT )
AB en A :
1
si se utiliza en un esquema realimentado. R.:
s ( Ws 1)
El contorno de Nyquist se redefine como se ilustra en la Fig. 5.13(a) dado que gr(s) tiene un polo en el origen. Luego,
gr ( jZ)
0
10
(a)
W 2 Z4 Z2
2WZ
Zo0
.
4 W 2 Z3 2 Z
2W
O
A
10
WZ2 jZ
E. Sistema con retardo.
D.
0
1
B
-W
Ho0
10
.
1 0. 9 s
si se utiliza en un esquema realimentado. R.:
e
s 1
El contorno transformado se muestra en la Fig. 5.14. La F. de T. en L.D. es estrictamente propia y además simétrica
respecto del eje real, por lo tanto, sólo se grafica s = jZ. h
C
C
O
S
2
Ejemplo 5.8. Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D. l ( s )
rof
A
j
No hay un tratamiento especial. Desafortunadamente, las soluciones no se pueden obtener en
forma analítica.
*'
0
fe j 0 o fe
.
lím
Zo0 12 W 2 Z 2 2
W
El resultado se muestra en la Fig. 5.13(b). El sistema es estable. h
jf o 0 .
20
B
10
1 jT
e
r
WZ2 jZ
lím ƒe^gr ( jZ)` lím
Ejemplo 5.7. Estudie la estabilidad de la F. de T. en L.D. gr ( s )
AB :
gr ( jZ)
Zo0
En este caso se re-define el contorno de Nyquist de manera de evitar los polos en el origen. En
consecuencia, para cada caso en particular se redefinirá el contorno como en el ejemplo siguiente.
f
j
1
re jT ( Wre jT 1)
0e jS o 0e j 0 .
En realidad:
D. Funciones con polos en el origen.
1
jZ( WjZ 1)
1
re jT ( Wre jT 1)
2
1 0 .9 s
.
e
s 1
20
20
2
0
2
(b)
Fig. 5.13 Criterio de Nyquist; (a) contorno modificado, y (b) Nyquist de gr ( s )
1
.
s ( Ws 1)
4
Estabilidad Relativa y el Criterio de Nyquist.
Al diseñar controladores se pueden utilizar los índices numéricos tales como sobrepaso y tiempo de
asentamiento. Sin embargo, en sistemas de orden mayor no es posible encontrar una relación directa
entre los parámetros de diseño y estos índices. Por otro lado, el concepto de estabilidad relativa no ha
sido aún explorado. Es decir, determinar cuantitativamente cuán estable es un sistema respecto de otro
sin importar su orden.
Apuntes: 543 444
71
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La idea es evaluar cuantitativamente cuan cerca/alejada está el contorno transformado de ser inestable,
Fig. 5.15. Es decir, cuán alejada está la curva del punto (1, 0). Para esto se cuantifica la ubicación de
los puntos A y B. A es donde la curva corta el eje real, y B es donde la curva corta al círculo unitario.
Con estas indicaciones se definen los índices de estabilidad.
a)
l ( s)
72
-f < -1/k < 0 y 1/a < -1/k < f
0 > -k > -f y a > -k > 0
0 < k < f y -a < k < 0
-a < k < f
1
sa
Def.: Se define margen de ganancia (punto A) a la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se puede
0
a
añadir al lazo antes de que el sistema en L.C. se torne inestable.
1
1
20 log10 | l ( jZ p ) | ,
| l ( jZ p ) |
donde Zp es la frecuencia angular de cruce de fase definida por la ecuación,
Así el margen de ganancia (M.G.)
20 log10
b)
arg l ( jZ p ) 180º ,
l ( s)
1
( s 1)
3
una representación gráfica se muestra en la Fig. 5.15 para un Nyquist arbitrario.
-f < -1/k < -1/8 y 1 < -1/k < f
0 > -k > -8 y 1 > -k > 0
0 < k < 8 y -1 < k < 0
-1 < k < 8
0
1
Def.: Se define el margen de fase (punto B) como el ángulo en grados que el contorno transformado
1
0
1
2
20
l(jZ) se debe rotar alrededor del origen para que el cruce de ganancia pase por el punto (1, 0),
donde el cruce de ganancia está definido por | l ( jZg ) | = 1.
c)
l ( s)
Así el margen de fase queda como M.F. = arg l ( jZ g ) 180º , una representación gráfica se muestra en
la Fig. 5.15 para un Nyquist arbitrario.
1
s ( Ws 1)
-f < -1/k < 0
0 > -k > -f
0<k<f
-
-W
20
Es importante destacar que,
-
0
las definiciones anteriores tienen sentido en sistemas con l(s) de fase mínima (es decir, en sistemas
con l(s) sin ceros ni polos en el S.P.D. y estrictamente propias,
funciones con l(s) que contengan ceros en el eje imaginario o S.P.D. también pueden ser analizadas
con el criterio de Nyquist.
2
d)
l ( s)
1.2( s 0.25)
( s 0.5)( s 0.7)
-1 < -1/k < 0
-1 > -k > -f
1<k<f
1
E.
1
0.5
0
0.5
1
Métodos Gráficos Alternativos.
Hay dos maneras complementarias para la representación del Nyquist de l(s). Estas son el “Diagrama
de Bode” y el “Diagrama de Nichols”. Ambas sólo grafican la porción en que s = jZ con Z = 0 o f.
Difieren entre si en que el Bode grafica la magnitud y la fase por separado, y el Nichols grafica en uno
solo la magnitud y la fase, utilizando la frecuencia Z como parámetro. La ventaja del Bode es que no se
pierde la frecuencia.
1
|l(j Zp)|
A
MF
B
1
4
0
1.5
1
2
1
A continuación se revisan algunos casos de interés.
0
0
2500
e identifique en ellos el M.G. y el M.F.. R.: El
s ( s 5)( s 50)
Bode se encuentra en la Fig. 5.16 y el Nichols en la Fig. 5.17. h
Ejemplo 5.9. Dibujar el de Bode y el Nichols de l ( s )
0
1
Fig. 5.15 Nyquist de l ( s )
2
3
0.5( s 15)
( s 1.2) 2 ( s 1.5) 3
4
.
Apuntes: 543 444
73
Apuntes: 543 444
74
finalmente,
50
90
1
2.5
1
Zg
2.5
Fase
Magnitud
14
M.G.
Con este resultado se obtiene el M.F. como,
148
135
0
M.F.
M .F . 180º arg l ( jZg ) 180º 90º tg 1
180
­1
90º tg 1 ®
¯ 2]
50
225
100
0.1
1
10
270
0.1
100
F.
1
10
Relación entre el Margen de Fase y un Sistema de Segundo Orden.
Un sistema de segundo orden que da origen a una F. de T. en L.C. como la estándar es,
l ( s)
Z2n
,
s ( s 2]Zn )
el cual tiene un margen de ganancia infinito, pero un margen de fase finito. Para encontrar la frecuencia
de cruce de ganancia se utiliza la definición,
| l ( jZ) |Z
Zg
Z2n
jZ g ( jZ g 2]Z n )
­
°
tg 1 ®
°¯
100
2500
.
s ( s 5)( s 50)
Fig. 5.16 Bode de l ( s )
4] 4 1 2 ] 2 .
Zn
Zg
2]Zn
½
4] 4 1 2] 2 ¾
¿
.
½
°
¾
4
2
4] 1 2] °¿
2]
Este último resultado muestra que el M.F. es sólo función del factor de amortiguamiento. Es más, al
observar la gráfica del ] vs M.F. (Fig. 5.18) se encuentra prácticamente una relación lineal dada por ] |
0.01·M.F., para valores de M.F. de hasta 50°. Este resultado es de suma importancia puesto que en
sistemas de orden superior no es posible especificar un factor de amortiguamiento; sin embargo, y
gracias a esta relación se puede especificar un M.F. con resultados similares.
En sistemas de segundo orden se recomienda un ] de aproximadamente 0.3 lo que a su vez implica un
M.F. de 30°. Este resultado se puede extender a sistemas de orden mayor, puesto que el M.F. es válido
en esos casos. En general, sistemas de orden mayor a 2 pueden ser diseñados para obtener un margen
de fase de 30º a 60º y con un margen de ganancia superior a 6 dB.
1,
de donde,
Z g Z 4] 2 Z 2n
1,
( Z2n ) 2
( Z2g ) 2 ( Z g ) 2 4] 2 Z2n ,
( Z2g ) 2 4] 2 Z2n Z2g ( Zn2 ) 2
0,
Magnitud versus Fase
30
1
148.28
M.F.
0
14.82
Factor de Amortiguamiento,
]
Z n2
2
g
M.G.
30
60
90
120
270
240
210
180
Fig. 5.17 Nichols de l ( s )
150
120
2500
.
s ( s 5)( s 50)
90
exacta
0.5
aproximada
0
0
20
40
Margen de Fase, M.F. °
60
80
Fig. 5.18 El factor de amortiguamiento ] en función del margen de fase M.F..