Polinomio cromatico

Coloración de vértices
Polinomio Cromático
Coloración de vértices
Si dispongo de k colores, ¿de cuántas formas
distintas puedo colorear los vértices de un grafo?
1942, Birkhoff and Lewis introducen el polinomio cromático en
su intento de demostrar el teorema de los 4 colores
Polinomio cromático Dado un grafo G y un conjunto de colores k,
definimos la función P(G, k) como el número de formas distintas de
colorear G usando los k colores.
Coloración de vértices
Propiedades
 P(G,0)=0
 P(G,k)>0 si y sólo si G es k-coloreable
 si k<k’ P(G,k) ≤ P(G,k’)
 Si H es un subgrafo recubridor de G P(G,k)≤ P(H,k)
r
r
i1
i 1
 P(  Gi, k)= P(Gi, k), Gi disjuntos dos a dos.
Coloración de vértices
Polinomios cromáticos de algunas familias de grafos
conocidas
 P(On, k)=kn, con On es el grafo trivial de n vértices
 P(Kn, k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1)
Observación: si G tiene n vértices:
K(k-1)(k-2)…(k-n+1) ≤ P(G,k) ≤ kn
 P(Ln, k)=k(k-1)n-1, con Ln el grafo camino de n vértices
 P(An, k)= ejerc., con An un árbol con n vértices
….
Coloración de vértices
K colores
C4
k
Coloración de vértices
k colores
C4
k
k-1
Coloración de vértices
k colores
C4
k
k-1
k-1
Coloración de vértices
k colores
C4
k
k-1
k-1
k-1?
Coloración de vértices
k colores
C4
k
k-1
k-1
K-2?
Depende
¿Cómo calculamos el polinomio cromático de C4?
Coloración de vértices
Operaciones que se usan en el cálculo del polinomio cromático
 Eliminación de una arista
 Contracción de una arista: Dado el grafo G y sea a={u,v} una arista
suya, llamaremos contracción de la arista a del grafo G a la operación
resultante de considerar los vértices u y v como un único vértice
u
a
v
Coloración de vértices
Operaciones que se usan en el cálculo del polinomio cromático
 Eliminación de una arista
 Contracción de una arista: Dado el grafo G y sea a={u,v} una arista
suya, llamaremos contracción de la arista a del grafo G (Ga) a la
operación resultante de considerar los vértices u y v como un único
vértice.
u
a
vu
v
G
Ga
Coloración de vértices
Teorema: Sean G un grafo, a={u,v} una arista suya y k un número
natural, entonces :
P(G,k) = P(G-a,k) - P(Ga,k)
Recursivamente
Algoritmo Eliminación-contracción (come aristas)
Algoritmo Adición-contracción
Coloración de vértices
a
G
-
=
=
G- a
Ga=C
4
=
C4
-
=
+
G- a
+
G
Coloración de vértices
Ejercicio: Obtener el polinomio cromático de Cn, para cualquier n.
a
a
-
=
Cn
=
P(Cn,k)=(k-1)n+(-1)n(k-1)
Ln
-
Cn-1
Coloración de vértices
Teorema: Para un grafo simple G de orden n y tamaño m,
P(G,k) verifica que:




es un polinomio de grado n en k con coeficientes enteros
su término independiente es 0
sus coeficientes alternan el signo
y el coeficiente de kn-1 es –m.
Coloración de vértices
Otra información que podemos obtener del polinomio cromático:
 el número de componentes conexas del grafo coincide con el menor
grado de los sumandos del polinomio cromático
 el número cromático es el número entero más pequeño para el que
el polinomio cromático es distinto de 0
Ojo!!, el polinomio cromático no caracteriza el grafo