INTRODUCTION AUX SYSTEMES LINEAIRES

INTRODUCTION AUX SYSTEMES LINEAIRES
Cours 2. Modélisation de systèmes physiques
Pour comprendre et développer des automatismes il est nécessaire de connaitre le comportement
des éléments qui font partie du système et de la commande, donc il faut un
Modèle Mathématique : expressions mathématiques qui représentent le comportement
dynamique du système.
Ces expressions permettent de déterminer analytiquement (ou numériquement) la réponse
(sortie) d´un système quand l’entrée est soumise a une variation dans le temps (excitation), elle
représente donc la réponse transitoire du système.
Les modèles mathématiques des systèmes physiques se représentent donc par des équations
différentielles pour des systèmes à paramètres concentrées ou aux dérivées partielles pour des
systèmes à paramètres distribués. Elles peuvent êtres linéaires ou non linéaires suivant le
système et la gamme de fonctionnement sur le quel on veut l’étudier.
Ces équations peuvent prendre des formes différentes suivant les méthodes d’analyse tels que la
fonction de transfert, les équations d´état ou des diagrammes. Toutes les formes de
représentation sont analogues avec quelques différences d´usage.
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MODELES MATHEMATIQUES LINEAIRES et SIMPLIFIES POUR QUELQUES
SYSTEMES PHYSIQUES.
Remarque : les non linéarités des systèmes étudies n’est pas prise en compte, pour obtenir des représentations simplifiés.
Systemes Mécaniques
Eléments
Représentation graphique
Equation fondamentale
F = Kx
Ressort
dx
dt
dx
F = BV = B
dt
d 2x
F = Ma = M 2
dt
F = CV = C
Amortisseur
Friction
Masse
M
Avec:
F : Force
V : Vitesse
K : Coefficient du ressort
B : Coefficient de friction
x : Position
a : Accélération
C : Coefficient de l’amortisseur
M : Masse
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On obtient le modèle à partir d’un diagramme de corps libre pour chaque masse du système.
Exemple: Système formé par une masse, un ressort et un amortisseur :
F
F
Le diagramme de corps libre est:
M
M
x
K
De celui-ci on déduit l’équation :
F − Kx − C
C
2
Fa
Fr
dx
d x
=M 2
dt
dt
Ou :
d 2x
dx
M 2 +C
+ Kx = F
dt
dt
Pour simplifier l’écriture on peu utiliser l’operateur
d
D=
dt
mathématique :
d2
D = 2
dt
et :
2
On obtient l’équation différentielle ordinaire linéaire :
MD 2 x + CDx + Kx = F
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Systèmes Mécaniques Rotatifs
Eléments
Représentation graphique
Equation fondamentale
Moyeu (axe)
T = Gθ
Palier
T = Cω = C
I
Masse
Engrenages
d 2θ
T = Iα = I 2
dt
θ1 ω1 N 2
=
=
θ 2 ω 2 N1 relation de vitesse
T1θ1 = T2θ 2
Avec:
T : Couple
ω : Vitesse de rotation
G : Coefficient de déformation des moyeux
I : Moment d’inertie
dθ
dt
relation de travail
θ : déformation angulaire
α : Accélérations de rotation
C : Coefficient de friction
N : Numéro de dents de l’engrenage
On obtient le modèle à partir d’un diagramme de corps libre pour chaque masse du système.
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Exemple:
Equation sur la masse:
C
G2
G1
T
I
θ2
dθ 2
d 2θ 2
G1 (θ1 − θ 2 ) − G2θ 2 − C
=I
dt
dt 2
Equation de l´extrémité du moyeu:
T = G1 (θ1 − θ 2 )
θ1
Avec ces deux équations on peu obtenir une relation de 𝑇 et 𝜃2 :
d 2θ 2
dθ 2
I
+
+ G2θ 2 = T
C
2
dt
dt
Avec l´operateur mathématique :
ID 2θ 2 + CDθ 2 + G2θ 2 = T
Ou aussi une relation de 𝑇 et 𝜃1 :
ID 2θ1 + CDθ1 + G2θ1 =
G

C
I 2
DT +  2 + 1T
DT+
G1
G1
 G1

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Systèmes Electriques
Eléments
Représentation graphique Equation fondamentale
Resistance
V = RI , Z R = R
Condensateur
V=
Bobine
V =L
En général
dI
dt , Z L = LD
V = ZI
Z
∑I = 0
∑V = 0
Sur en nœud
Sur un circuit
Eléments en série
Eléments en
parallèle
1
1 t
Z
=
Idt
C
CD
C ∫0
;
Z
Z
Z
Z
Avec:
V : Voltage
I : courant
Z : Impédance
R : Resistencia
C : Capacitance
L : Inductance
ZT = ∑ Z i
ZT =
1
∑1
Zi
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Exemple: déterminer pour le circuit 1. V = f (I ) et 2. V = f (V3 )
R2
R1
V1
1. V = f (I )
On sait que:
V = ZT I
C2
V2
V
Avec
V3 L3
V4
C3
Z T = Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 ; Z1 = R1 ;
R3
Z3 =
L4
Z2 =
1
1
R2
1
1
R3
+ C3 D + 1
L3 D ; Z 4 = L4 D
Donc :




1
1
V =  R1 +
+
+ L4 D  I
1 + C 2 D 1 + C3 D + 1


R2
R3
L3 D


( )
2. V = f V3
V3 = Z 3 I
⇔
I=
V
V3
V = ZT 3
Z3
Z 3 ; donc
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+ C2 D
;
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Systèmes Thermiques
Eléments
Représentation graphique
Mur sans absorption de
chaleur
T2
T1
Q
T1
Q1
Tp
Rt1
∑Q = C
T2
CT
Q=
Si T1 > T2 :
Rt
Mur avec absorption de
chaleur
Equation fondamentale
Q2
Rt2
T
T1 − T2
Rt
dT
dt
Q1 − Q2 = CT DT p
Q1 =
T1 − T p
Rt1
Q2 =
T p − T2
Rt 2
;
Avec:
Q : Flux de chaleur
T : Température
R T : Resistance thermique (de contact)
CT : Capacitance thermique = (𝑀 × 𝐶𝑝 en thermodynamique)
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Exemple:
Obtenir le modèle de 𝑇𝐻𝑔 = 𝑓(𝑇𝐸 ) dans le Thermomètre de mercure avec coque en cuivre.
Les deux surfaces et le mercure absorbent de la chaleur:
Hg: Mercure THg, CHg ; V: Verre TV, CV ; C: Cuivre TC, CC
Entre chaque élément on a une résistance de contact:
R1: résistance extérieur – cuivre ; R2: résistance cuivre - verre
R3: résistance verre - mercure
Las équations de base sont :
1) Q1 − Q2 = CC DTC ;
C V
Q1
Q3
Hg
3)
TE Q2
5)
6 équations 7 variables (
TC − TV
R2
;
TE , TC , TV , THg , Q1 , Q2 , Q3
TE − TC
R1
4)
;
TV − THg
Q3 =
R3
6)
Q1 =
Q3 = C Hg DTHg
Q2 =
2) Q2 − Q3 = CV DTV ;
)
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Avec ces équations on peu obtenir l’équation différentielle linéaire suivante :
TE = a1 D 3THg + a2 D 2THg + a3 DTHg + a4THg
Avec:
a1 = R1 R3C Hg CV CC
 R3C Hg CV R3C Hg CV R3C Hg CC

+
+
+ C Hg CC + CV CC 
a2 = R1 
R1
R2
R2


 R3C Hg C Hg CV R3C Hg C Hg CV CC CC
CC 


+
+
+
+
+
+
+
− R3C Hg −
a3 = R1 
2
R1
R1
R2
R2 R2 R3
R3 
R2
 R1 R2
 1

1

+ 2 − 1
a4 = R1 
 R1 R2 R2

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Systèmes Hydrauliques
Eléments
Représentation graphique
Réservoir
Qe Ch
P
Pe
Conduit
h
Qs
Equation fondamentale
∑Q = C
∆P = γh
Q
Ps
Rh
h
Q=
dP
dt ;
Qe − Qs = Ch DP
∆P
P − Ps
Q= e
Rh ;
Rh
Avec:
Q:
Débit
P : Pression
h : Niveau
Rh : Résistance hydraulique (pertes de pression supposées constantes dans conduits et
accessoires)
Ch : Capacitance hydraulique (capacité d’absorber un volume donnée)
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Exemple: Déterminer pour le circuit hydraulique ℎ2 = 𝑓(𝑄𝑒 )
Qe
Ch1
h1
R1
h2
P1
Ch2
P2
R2
Qs
Q
Les équations de base (avec 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 0), sont :
1) P1 = γh1 ;
2) P2 = γh2 ;
3) Qe − Q = Ch1DP1 ;
Q=
5)
P1 − P2
R1 ;
Qs =
6)
4) Q − Qs = Ch 2 DP2
P2
R2
6 équations, 7 variables ( h1 , h2 , P1 , P2 , Qe , Q, Qs ).
Et on obtient l’équation différentielle ordinaire linéaire :

γ
R1Ch1 
γDh2 + γh2
Qe = − R1Ch1Ch 2γD h2 +  Ch1 − Ch 2 +
R2 
R2

2
3
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Systèmes Pneumatiques
Eléments
Représentation graphique
Réservoir a
pression
m s
m e Cn P
Pe
m
Equation fondamentale
∑ m = Cn
Ps
m =
Conduits
Rn
dP
 e − m s = Cn DP
dt ; m
∆P
P − Ps
m = e
Rn ;
Rn
Avec:
m : Débit massique
P : Pression
Rn : Resistencia pneumatique (pertes dans conduits et accessoires)
Cn : Capacitance pneumatique ( V RT )
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̇ 1)
Exemple: Obtenir le modèle mathématique de 𝑚2 = 𝑓(𝑃
Las équations de base sont:
P1
C1
m 1
m 1 =
P2
C2
1)
m 3
R1
m 3 =
Patm
m 2
R3
R2
2)
P1 − P2
R1
P2
R3
3) − m 1 = C1DP1
4) m 1 + m 2 − m 3 = C2 DP2
Remarque: 𝑚̇2 doit être considéré comme connu (entrée du système).
  
4 équations, 5 variables ( P1 , P2 , m1 , m2 , m3 ).
Et on obtient l’équation différentielle ordinaire linéaire :
C

 2 1 
CC
C
m 2 = 1 2 D 2 P1 +  12 + 1 + C2  DP1 +  +  P1
R1
 R1 R3 
 R1 R1R3

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EXERCICES. Obtenir le modèle mathématique en représentation d’état pour les systèmes
suivants :
1. Système mécanique
x2 = f (F ) et x1 = f (F )
K1
C2
K2
F
M1
x1
C1
x2
M2
R1
P2
m 1
C2
R2
R3
P3
m 2
C3
Patm
m 3
P1
P4 =
Cte
Remarque: équation de relation des deux
systèmes:
Pv = mRT
P = ρRT
Gas
Vidrio
Cobre
m 3 = f (TE , P4 )
R4
m 4
2. Système thermo-pneumatique
TE
Avec: ρR = constant
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3. Système thermo-électrique
R3
T = f (VE , TE )
C1
L3
VE
Remarque: équation de relation des deux systèmes:
QR = VI = I 2 R = V 2 R
C3
L2
T
C
R
Aire
Aislante
Pared
C2
TE
4. Système hydraulique
QS = f (QE1 , QE 2 )
QE1
R1
QS
h1
P1
Ch3
Ch2
Ch1
R2
h2 P
2
R3
h3
a
b
R4
QE2
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5. Système pneumatique avec piston
F
P3
Piston
de
surface
A
m 1
C3
m = f (F )
P2
C2
m
R1
m 2
P1
Patm
R3
Remarque: équation de relation du
système pneumatique et piston:
P=F A
R2
6. Système Mécanique- Hydraulique
QE
y1 = f (QE )
Ch
P
R
h
M1
Remarque: équation de relation des deux systèmes:
𝐶ℎ = surface du réservoir
y2
QS
C
K2
M2
y1
K1
K3
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